vibraciones UVM

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Hector Escutia Mauricio Valadez Fernando Alonso Eduardo Salas Practica Vibraciones Forzadas Excitadas Armonicamente Dr Ferrer 27/03/12
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vibraciones

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  • Hector Escutia

    Mauricio Valadez

    Fernando Alonso

    Eduardo Salas

    Practica

    Vibraciones Forzadas Excitadas

    Armonicamente

    Dr Ferrer

    27/03/12

  • Introduccion

    SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA

    Ecuacin de Movimiento

    Estableciendo p(t)=p0 senwt en la ecuacin 3.4 se obtiene la ecuacin

    diferencial[1que gobierna el movimiento forzado por carga armnica para un

    sistema no amortiguado:

    (1)

    Donde p0 es la amplitud o valor mxima de la fuerza (Figura 1) y w es la

    frecuencia de excitacin. La solucin particular a la ecuacin diferencial 1 es:

    (2)

    La solucin complementaria de la ecuacin 1 es:

    (3)

    La solucin total es la suma de ambas ecuaciones:

    (4)

  • Figura 1 Fuerza armnica

    Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones

    iniciales u(0) y (0), es as que se tiene:

    (5.5)

    Esta ecuacin contiene dos componentes de vibracin distintas:

    El trmino senwt para la oscilacin en frecuencia de excitacin;

    representa el estado permanente de vibracin debido a que siempre est

    presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.

    Los trminos sen wnt y cos wnt para la oscilacin en frecuencia natural

    del sistema; representan el estado transitorio de vibracin que depende

    de u(0) y (0), el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El trmino

    estado transitorio de vibracin se debe a que el amortiguamiento, siempre

    presente en sistemas reales, hace que la vibracin libre decrezca en el tiempo.

  • Figura 2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica: w/wn=0.2; u(0)=0 y (0)=wnp0/k

    La ecuacin 5 para condiciones iniciales en reposo u(0) = (0) = 0 es expresada de

    la siguiente forma:

    (6)

    Resonancia

    Ignorando el efecto dinmico de la aceleracin en la ecuacin 5.1 se obtiene como

    resultado la deformacin esttica en cada instante de tiempo:

    (7) El mximo valor de esta deformacin es:

  • (8)

    Por lo tanto la respuesta dinmica del estado permanente, una oscilacin sinoidal

    en frecuencia de excitacin, puede ser expresada como:

    (9)

    El factor entre corchetes de la ecuacin 9 es graficado contra la relacin de

    frecuencias en la Figura 3, de la cual se observa que:

    Para w/wn < 1 w 1 w>wn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen

    signos opuestos, lo que significa que el sistema estar fuera de fase con la

    fuerza aplicada. (el sistema est desplazado en direccin opuesta a la fuerza)

  • Figura 3 Rd versus relacin de frecuencias

    La ecuacin 9 puede ser reescrita en trminos de la amplitud u0 y el ngulo de

    fase f:

    (10) De donde se tiene que:

  • (11)

    Donde el factor de deformacin Rd es la relacin de amplitud de deformacin

    vibratoria u0 y la deformacin esttica (ust)0 debido a la fuerza p0.

    Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de

    excitacin para la cual Rd es mximo. Para un sistema no amortiguado la

    frecuencia resonante es wn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformacin

    vibratoria crece indefinidamente, pero sta se vuelve infinita slo despus de un

    tiempo infinito.

    Para w=wn la ecuacin 6 no es ms vlida; en este caso la funcin Csenwt, como

    eleccin de una solucin particular a la ecuacin diferencial falla debido a que sta

    ya forma parte de la solucin complementaria, por tanto la solucin particular

    ahora es:

    (12) Y la solucin total es:

    (13)

    Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en

    reposo u(0)=(0)=0 es as que se tiene la ecuacin de respuesta:

    (14) :

  • (15)

    Figura 4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica de w=wn

    En la Figura 4 est graficada la ecuacin 15, de donde se observa que el tiempo

    requerido para completar un ciclo de vibracin es Tn. En cada ciclo el incremento

    de la amplitud] est dado por:

    (16)

    La interpretacin de este resultado acadmico para estructuras reales es que a

    medida que la deformacin se incrementa, el sistema en algn punto en el tiempo

    fallar si es frgil o ceder si es dctil.

  • SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA

    Ecuacin de movimiento

    Figura 6 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica

    Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuacin 1 la ecuacin diferencial que

    gobierna este sistema es:

    (17)

    La solucin particular de esta ecuacin es:

    (18) Donde:

  • (19)

    La solucin complementaria de la ecuacin 17 es:

    (20) Y la solucin completa es:

    (21)

    Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos

    estndar en trminos del desplazamiento u(0) y la velocidad (0).

    La Figura 5 muestra la ecuacin 21 graficada para w/wn = 0.2 x = 0.05 u(0) =

    0 y (0) =wn p0 / k. La respuesta total es representada por una lnea de trazo

    continuo y la respuesta del estado permanente por una lnea discontinua, la

    diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente

    con el tiempo en un valor que depende de w/wn y x ; quedando nicamente la

    respuesta forzada y es por esta razn que es llamada respuesta del estado

    permanente.

    Resonancia

  • Para w=wn las constantes C y D de la ecuacin 19 son:

    Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en

    reposo u(0) = (0)=0 y para w=wn:

    Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica

    para w=wn es:

    (22)

    Esta ecuacin de respuesta es graficada en la Figura 6, se observa que la

    magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 4, y

    que el lmite de respuesta est dado por:

    (23)

    Para amortiguamientos pequeos el trmino del seno en la ecuacin 22 es

    pequeo y , por lo que la ecuacin 5.22 toma la forma de:

  • (24)

    La deformacin vara con el tiempo como una funcin coseno, la amplitud se

    incrementa en funcin del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la

    Figura 5.6 como una lnea de trazo discontinuo. Es importante el notar que la

    amplitud del estado permanente de deformacin del sistema es influenciada

    fuertemente por el amortiguamiento.

    El desplazamiento pico uj despus de j ciclos de vibracin es determinado

    sustituyendo t=jTn en la ecuacin 24, estableciendo coswnt=1 y utilizando la

    ecuacin 23, de donde se tiene:

    (25)

  • Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga

    armnica w=wn

    Figura 7 Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga armnica w=wn

    Deformacin Mxima

    La deformacin en el estado permanente del sistema debida a una carga armnica

    descrita en la ecuacin 5.18 y la 5.19 puede ser reescrita como:

    (26)

    Donde y sustituyendo por C y D :

    (27)

    (28)

    Rd es graficada en funcin de w/wn en la Figura 7(a) para algunos valores

    de x, notar que todas las curvas estn por debajo de la curva correspondiente

    a x =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de

    deformacin tambin reduce. La magnitud de esta reduccin depende de la

    frecuencia de excitacin de la siguiente manera:

  • Si w/wn > 1 (la fuerza est variando rpidamente) Rd tiende a cero y no es

    afectada por el amortiguamiento. Para valores grandes de w/wn el trmino

    (w/wn)4 es dominante en la ecuacin 27, la cual puede ser aproximada por:

    (30)

    Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.

    Si w/wn 1 (la frecuencia de excitacin se acerca a la frecuencia natural

    del sistema) Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformacin

    dinmica puede ser ms grande que la esttica. Si w=wn la amplitud mxima es

    la expresada por la ecuacin 5.23:

    (31)

    Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento

    de la estructura.

  • Factores de Respuesta Dinmica

    En este punto se introducen factores de respuesta de deformacin, velocidad y

    aceleracin que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La

    ecuacin 10 se puede escribir de la siguiente forma:

    (32)

    Derivando la ecuacin 32 se obtiene la respuesta para la velocidad:

    (33)

    Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:

    (34)

    Derivando la ecuacin 33 se obtiene la respuesta para la aceleracin:

    (35)

    Donde el factor de respuesta para la aceleracin esta relacionado

    con Rd mediante:

  • (36)

    En la Figura 7 estn graficados los tres factores de respuesta dinmica en funcin

    de w/wn. Estas cantidades estn relacionadas de la siguiente forma:

    (37)

    que hace posible el presentar estas tres grficas en una sola utilizando un papel

    tetralogartmico.

  • Figura 8 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleracin para

    un sistema amortiguado sujeto a la accin de una carga armnica.

    Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

    La frecuencia Resonante est definida como la frecuencia de excitacin en la cual

    ocurre la amplitud mxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada

    estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra con respecto

    dew/wn para :

    Frecuencia resonante para el desplazamiento:

    Frecuencia resonante para la velocidad:

    Frecuencia resonante para la aceleracin:

    Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a wn. Los tres

    factores de respuesta dinmica en sus respectivas frecuencias resonantes son:

    (38)

  • Objetivo

    El estudiante balanceara un rotor con N planos,asi tambien aislara

    un sistema vibratorio;con el fin de utilizarlos en la solucion de

    problemas de ingenieria

    Desarrollo

    Los compaeros explicaron que era la vibracion Forzada excitadas

    armonicamente y por que se daba, por medio de videos y las

    explicaciones matematicas

    Cuestionario

    1. Que entiendes por Vibraciones Forzadas Excitadas

    Armonicamente?

    Es cuando un sistema vibra debido a una excitacin constante

    2. Menciona 1 ejemplo donde se pueden presentar estas

    vibraciones forzadas

    Cuando un cuerpo esta vibrando se pone en contacto con otro,

    el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma

    frecuencia que el original.

    Por ejemplo: Si un diapason es golpeado con un martillo y

    luego se coloca su base contra la cubierta de una mesa de

    madera, a intensidad del sonido se incrementara

    repentinamente. Cuando se separa de la mesa el diapason, la

    intensidad disminuye a su nivel original. Las vibraciones de

    las particulas de la mesa en contacto con el diapason se

    llaman vibraciones forzadas

    3. De cuanto es el angulo de fase cuando W=Wnesta

    condicion es utilizada para identificar frecuencias

    naturales?

    90 Grados

    4. La respuesta estacionaria tiene la misma frecuencia que la

    fuerza excitadora (w)?

    Si

  • Bibliografa:

    1. C.F. Beards , Structural Vibration: Analysis and Damping , Arnold , London , 1996.

    2. S.G. Braun, D.J. Ewins, S.S. Rao (Eds.), Encyclopedia of Vibration , Vols. 1-3, Academic Press, San Diego, CA, 2001.

    3. R.L. Clark, W.R. Saunders, G.P. Gibbs , Adaptive Structures: Dynamics and Control , John Wiley & Sons, 1998.

    4. J.P. Den Hartog , Mechanical Vibrations , 4 th Edition, Mc-Graw Hill , NY , 1956. (Edicin disponible en espaol).