distribuciones

Cruz

Distribución de BernoulliEsta distribución se trata de 2 resultados llamados “éxito” y “fracaso” los cuales son representados 1 y 0 y también se pueden expresar por “p” y “q”.

Explicación breve: en esta distribución de Bernoulli como podemos ver existen 2 resultados que son llamados “excito” y “fracaso” estos dos resultados pueden variar dependiendo en lo que los estemos ejecutando.

Formula:

P( x )=px (1−p)1−x x=0 , 1Ejemplos:

1.-Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. SeaX _ 1 si la moneda cae en “cara” y X _ 0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X?SoluciónPuesto que X _ 1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito,P(X _ 1), es igual a 0.5. Por tanto, X _ Bernoulli(0.5).

2.-Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X _ 1 si el dadoCae seis y X _ 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?SoluciónLa probabilidad de éxito es p _ P(X _ 1) _ 1/6. Por lo que X _ Bernoulli(1/6).

3.-Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso está defectuoso.Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X _ 1 si el componente está defectuoso yX _ 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?SoluciónLa probabilidad de éxito es p _ P(X _ 1) _ 0.1. Por lo que X _ Bernoulli(0.1).

Problemas:

1.- en la empresa John Deere de torreón se tomaron 3 motores por cada línea de producción para verificar si contenían algún defecto respecto a alguna parte del motor ¿Cuál es la distribución de X?

2.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.Sea X=1 si anota el tiro. Si no lo hace entonces X=0.

3.- En un restaurante la comida rápida .25% de las órdenes para saberes una bebida pequeña, .35% una mediana y .40% una grande. Se X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso.

4.- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es de probabilidad que se decolore o no se agriete. O ambas. Sea X=1si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso: Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso: Z=1 si hay de coloración grieta o ambas, y Z=0 en cualquier otro caso.

5.- Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.

Distribución binomial Esta distribución se trata de tomar una muestra de la población y es la que se encarga de demostrar que tan defectuoso, se utiliza también para saber el número de éxitos que hay en una población según la muestra tomada.

Explicación breve: en esta distribución se trata de saber cuál es número de éxitos tomados de una población pero también de saber cuántos fracasos o defectos tiene esa población.

Formula:

Ejemplos:

1.- Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

2.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

3.- La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?B(10, 1/4)  p = 1/4q = ¾

Problemas:

1.-La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica

2.-En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica

3.-Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

4.- Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

5.- En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección

Distribución de Poisson En esta distribución se trata de determinar la probabilidad de que cierto número de eventos sucedan en cierto periodo de tiempo ya que en estos se pueden representar como “N” es grande y “P” es pequeña.

Explicación breve: con esta distribución se utiliza para en que cierto tiempo se localiza algún evento sucedido y así sabe con cuál es el de más frecuencia que suceda.

Formula:

Ejemplos:

1.-Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

2.-La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

3.-una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3

=3

Problemas:

1.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

2.- Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?

3.- La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.

4.- Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes ¿calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

5.- En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.

Distribución exponencial Esta distribución es una distribución continua ya que se puede utilizar para calcular el tiempo antes de que suceda algún evento.

Explicación breve: en la distribución exponencial estudia el tiempo de cada una de las llegadas que tiene la distribución de poisson.

Formula:

Ejemplos:

1.-El fabricante de Baterías para autos Juan Carlos Slim ofrece un año de garantía, ofrece cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes del año. Si la vida útil de estas baterías es de promedio de 10 años ¿qué porcentaje de las baterías fallaran antes de un año?

SOLUCION. P(X<1)=1-e=1-.9048.

2.-La vida útil de un celular es aproximadamente 4 años ¿Cuál es la probabilidad de que un componente falle antes de los 6 meses?

SOLUCION. P(X<.5)=1-e=1-.7788=.221199.

3.-El número de visitas a un sitio web sigue un proceso de poisson con una razón de tres por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada en 1 minuto?

Problemas:

1.-El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene distribución exponencial con media de dos años. a) ¿Cuál es el valor del parámetro λ? b) ¿Cuál es la mediana del tiempo de vida de dicho fusible?

2.-Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en micrones, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado sigue una distribución exponencial con parámetro λ=0.25. a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros?

3.-Alguien argumenta que el tiempo de espera, en minutos, entre las visitas a un sitio web tiene una distribución exponencial con parámetro λ=1. a) Sea X el tiempo de espera hasta la siguiente visita. Si la afirmación es verdadera, ¿a qué es igual P(X = 5)?

4.-Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una razón media de dos por segundo. Sea T el tiempo de espera, en segundos, entre las emisiones. c) Determine P(T=2).

5.-El fabricante de celulares ofrece un año de garantía, ofrece cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes del año. Si la vida útil de estas baterías es de promedio de 10 años ¿que porcentaje de las baterías fallaran antes de un año?