Distribución de probabilidad binomial

• La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia.

• Una característica de una distribución binomial consiste en que sólo hay dos posibles resultados en determinado intento de un experimento. Por ejemplo, el enunciado en una pregunta de cierto o falso es o cierto o falso.

Los resultados son mutuamente excluyentes, lo cual significa que la respuesta a una pregunta de cierto o falso no puede ser al mismo tiempo cierta o falsa.

• Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos.

Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas. Lance una moneda equilibrada cinco veces y cuente el número de veces que aparece una cara.

• Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de una prueba a otra.

Dos ejemplos son:

La probabilidad de que adivine la primera pregunta de una prueba de verdadero o falso (éxito) es de un medio. Ésta constituye la primera prueba. La probabilidad de que adivine la segunda pregunta (segunda prueba) también es de un medio; la probabilidad de éxito en la tercera prueba es de otro medio, y así sucesivamente.

Si la experiencia reveló que el puente giratorio sobre Intercoastal Waterway, en Socastee, se elevó una de cada 20 veces que usted se aproximó a él, entonces la probabilidad de una vigésima (un éxito) de que se eleve la próxima ocasión que se acerque a él es de un veinteavo, etcétera. 1/20.

• La última característica de una distribución de probabilidad binomial consiste en que cada prueba es independiente de cualquiera otra.

Que sean independientes significa que no existen patrones en las pruebas. El resultado de una prueba en particular no influye en el resultado de otra prueba.

¿Cómo se calcula una probabilidad binomial?

1. El número de pruebas.2. La probabilidad de éxito de cada prueba.

Por ejemplo, si un examen al término de un seminario de administración incluye 20 preguntas de opción múltiple, el número de pruebas es de 20. Si cada pregunta contiene cinco elecciones y sólo una de ellas es correcta, la probabilidad de éxito en cada prueba es de 0.20.

Por consiguiente, la probabilidad de que una persona sin conocimientos del tema dé con la respuesta a una pregunta es de 0.20. De modo que se cumplen las condiciones de la distribución binomial recién indicadas.

Fórmula

𝑃 (𝑥 )=❑𝑛𝐶𝑥 𝜋𝑥(1− 𝜋)𝑛−𝑥

Donde:C = representa una combinación.n = es el número de pruebas.x = es la variable aleatoria definida como el número de éxitos.π = es la probabilidad de un éxito en cada prueba.

Empleamos la letra griega π (pi) para representar un parámetro de población binomial.No se confunda con la constante matemática 3.1416.

Ejemplo:

US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto Regional de Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?

La probabilidad de que un vuelo llegue tarde es de 0.20, así, π = 0.20. Hay cinco vuelos, así, n = 5, y x, la variable aleatoria, se refiere al número de éxitos. En este caso un éxito consiste en que un avión llegue tarde. Como no hay demoras en las llegadas, x = 0.

𝑃 (𝑥 )=❑𝑛𝐶𝑥 𝜋𝑥(1− 𝜋)𝑛−𝑥

𝑃 (0 )=❑5𝐶00.200(1−0.20)5−0=(1 ) (1 ) (0.3277 )=0.3277

2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde

hoy?

𝑃 (𝑥 )=❑𝑛𝐶𝑥 𝜋𝑥(1− 𝜋)𝑛−𝑥

𝑃 (0 )=❑5𝐶10.201(1−0.20)5−1=(5 ) (0.20 ) (0.4096 )=0.4096

n = 5x = 1π = 20

Número (x) Probabilidad (π)

0 0.3277

1 0.4096

2 0.2048

3 0.0512

4 0.0064

5 0.0003

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