Distribución muestral de la diferencia de medias

X̄1 − X̄2

MsC Edgar Madrid Cuello

Departamento de Matemática, UNISUCRE

Estadística II

Septiembre 2014

Distribución muestral de la diferencia de mediasX̄1 − X̄2August 31, 2014 1 / 10

Distribución muestral de la diferencia de medias

Introducción.

Hasta el momento hemos trabajado con una sola población. Una aplicación

mucho más importante incluye dos poblaciones. Un cientí�co o economista

se interesa en un experimento comparativo donde se comparan dos

métodos de producción: 1 y 2. La base para tal comparación es µ1 − µ2, la

diferencia en las medias de las poblaciones.

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Theorem

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos

poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2

respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las

medias, X̄1 − X̄2, está distribuida aproximadamente de forma normal con

media y varianza dadas por

µX̄1−X̄2= µ1 − µ2 , y , σ2

X̄1−X̄2=

σ21n1

+σ2

2n2

De aquí,

z = (X̄1−X̄2)−(µ1−µ2)√σ2

1n1

+σ2

2n2

es aproximadamente una variable normal estándar.

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Theorem

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos

poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2

respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las

medias, X̄1 − X̄2, está distribuida aproximadamente de forma normal con

media y varianza dadas por

µX̄1−X̄2= µ1 − µ2 , y , σ2

X̄1−X̄2=

σ21n1

+σ2

2n2

De aquí,

z = (X̄1−X̄2)−(µ1−µ2)√σ2

1n1

+σ2

2n2

es aproximadamente una variable normal estándar.

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Theorem

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos

poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2

respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las

medias, X̄1 − X̄2, está distribuida aproximadamente de forma normal con

media y varianza dadas por

µX̄1−X̄2= µ1 − µ2 , y , σ2

X̄1−X̄2=

σ21n1

+σ2

2n2

De aquí,

z = (X̄1−X̄2)−(µ1−µ2)√σ2

1n1

+σ2

2n2

es aproximadamente una variable normal estándar.

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Theorem

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos

poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2

respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las

medias, X̄1 − X̄2, está distribuida aproximadamente de forma normal con

media y varianza dadas por

µX̄1−X̄2= µ1 − µ2 , y , σ2

X̄1−X̄2=

σ21n1

+σ2

2n2

De aquí,

z = (X̄1−X̄2)−(µ1−µ2)√σ2

1n1

+σ2

2n2

es aproximadamente una variable normal estándar.

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Theorem (Supuestos)

Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación

normal para la distribución de X̄1 − X̄2 es muy buena cuando las

distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin

embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación

normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son

de�nitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son

normales, entonces X̄1 − X̄2 tiene una distribución normal sin importar

cuáles son los tamaños de n1 y n2.

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Theorem (Supuestos)

Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación

normal para la distribución de X̄1 − X̄2 es muy buena cuando las

distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin

embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación

normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son

de�nitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son

normales, entonces X̄1 − X̄2 tiene una distribución normal sin importar

cuáles son los tamaños de n1 y n2.

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Theorem (Supuestos)

Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación

normal para la distribución de X̄1 − X̄2 es muy buena cuando las

distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin

embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación

normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son

de�nitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son

normales, entonces X̄1 − X̄2 tiene una distribución normal sin importar

cuáles son los tamaños de n1 y n2.

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Ejemplo

Se llevan a cabo dos experimentos independientes en los que se comparan

dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con la de tipo A

y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace

con la de tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son

ambas 1.0. Suponiendo que el tiempo medio de secado es igual para los

dos tipos de pintura, encuentre P (X̄A − X̄B > 1.0), donde X̄A y X̄B son

los tiempos promedio de secado para muestras de tamaño nA = nB = 18.

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Ejemplo

Los cinescopios para televisión del fabricante A tienen una duración media

de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años; mientras que los del

fabricante B tienen una duración media de 6.0 años y una desviación

estándar de 0.8 años. ¾Cuál es la probabilidad de que una muestra

aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A tengan una duración media que

sea al menos de 1 año más que la duración media de una muestra de 49

cinescopios del fabricante B?

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Población 1 (A) Poblacion 2 (B)

µ1 = 6.5 µ2 = 6.5

σ1 = 0.9 σ2 = 0.8

n1 = 36 n2 = 49

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Población 1 (A) Poblacion 2 (B)

µ1 = 6.5 µ2 = 6.5

σ1 = 0.9 σ2 = 0.8

n1 = 36 n2 = 49

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Ejercicio (1)

Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que

tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Una segunda

muestra aleatoria de tamaño 36 se toma de una población normal diferente

que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encuentre la

probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones

exceda la media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4

pero menos de 5.9.

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Ejercicio (2)

La distribución de alturas de cierta raza de perros terrier tiene una altura

media de 72 centímetros y una desviación estándar de 10 centímetros; en

tanto que la distribución de alturas de cierta raza de poodles tiene una

altura media de 28 centímetros con una desviación estándar de 5

centímetros. Suponiendo que las medias muéstrales se pueden medir con

cualquier grado de precisión, encuentre la probabilidad de que la media

muestral para una muestra aleatoria de alturas de 64 terriers exceda la

media muestral para una muestra aleatoria de alturas de 100 poodles a lo

más en 44.2 centímetros.

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Ejercicio (3)

La cali�cación media de estudiantes de primer año en un examen de

aptitudes en cierta universidad es 540, con una desviación estándar de 50.

¾Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados al

azar, que consisten en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, di�eran en sus

cali�caciones medias por

1 más de 20 puntos?

2 una cantidad entre 5 y 10 puntos?

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Ejercicio (4)

Para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una

escuela de instrucción media, se usará una muestra aleatoria de 20 niños y

otra de 25 niñas. Se sabe que, en niños y niñas, los pesos siguen una

distribución normal. En concreto, el promedio de los pesos de todos lo

niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación

estándar es de 14,142, mientras que el promedio ele los pesos de todas las

niñas del sexto grado es de 85 libras y su desviación estándar es de 12,247.

Encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños

sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

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