INTRODUCCIÓN

Las cosas más cotidianas, menos esperadas e incluso más sencillas, serían

fácilmente optimizadas con un poco de estadística. Por ejemplo, un bufete jurídico

recibe un promedio de 4 casos por hora. El director sabe este bufete tiene la

capacidad de atender a 6 clientes con sus respectivos casos por hora. Pero…

¿Qué pasaría si el número de casos creciera? ¿Cómo saber cuándo es necesario

hacerse de más practicantes? ¿Cuál es la probabilidad de que dicho bufete sea

insuficiente para atender los clientes que llegan por hora?

La Distribución de Poisson, el tema central de esta investigación, es una

distribución de probabilidad discreta (es decir con elementos finitos), cuya finalidad

es expresar a partir de una frecuencia dada la probabilidad de que ocurra un

determinado número de eventos durante un segmento n de distancia, área,

volumen ó tiempo específico.

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DESARROLLO

DISTRIBUCIÓN DE POISSON:

La distribución de Poisson es un conjunto de procedimientos descubiertos

por el matemático francés por Siméon Poisson (cuyo apellido curiosamente

significa “Pescado” en francés), quien no se limitó a aportar sólo a la estadística,

sino también a la matemática, electricidad y hasta astronomía.

Esta distribución se basa principalmente en la “medida” en que ocurren

cierto número de eventos, ya sea una medida de longitud, de área, tiempo, etc., la

idea es que mientras esta medida está en funcionamiento ocurre “n cantidad de

eventos”, que es el valor a encontrar.

Por ejemplo, la cantidad de usuarios que entra a un servidor por minuto, o

dicho de otro modo menos complicado, la cantidad de personas que entra a una

página web en un minuto.

Otros ejemplos aplicables podrían ser la cantidad de muertos por día en

cierta ciudad, las mutaciones ocurridas en una cadena de ADN después de ser

expuesta a cierta cantidad de radiación, las probabilidades de obtener ciertos

números de entre las 75 pelotas de bingo, etc., desde casos muy complejos hasta

otros bastante científicos, pero todos con una medida “limitante”, que en los casos

más comunes en ejemplos es el tiempo, una buena limitante.

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RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:

La distribución binomial mide el número de éxitos en una secuencia de n

ensayos bernoulli. El número de ensayos es fijo, es por tal razón que el recorrido

de la variable aleatoria va desde 0 hasta n. Cosa que no ocurre en la distribución

de Poisson cuyo recorrido va desde 0 a infinito.

La distribución de Poisson se utiliza para obtener probabilidades de

ocurrencia dentro de un marco continuo (conociendo una tasa de ocurrencia por

unidad de peso, volumen, tiempo, etc.). El recorrido de la variable Poisson va de 0

a infinito, no se limita como la distribución Binomial.

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas

veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja,

es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.

Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10

Si los parámetros de n y de una distribución binomial tienden a infinito en

n y a 0 en , haciendo a la media con un valor de cero, la distribución limite es la

misma que la de Poisson, es decir es el límite de la distribución binomial.

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RESOLVER PROBLEMAS CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Para resolver problemas que cumplan las condiciones de la distribución de Poisson se usa la siguiente fórmula:

P ( x=k )= e−λ∗λk

k !

De cual podemos comprender que:

VALORES PRESENTES EN LA FORMULA

k Es el número de veces en que ocurre el evento.

λ

Es el número de veces en que se espera que ocurra el evento.

Debe ser un número positivo. Por ejemplo, sí se espera que un

CD gire 50 veces cada 4 segundos se aplicará así:

λ=50 x 4=200e Constante con valor 2,71828

P ( x=k )Probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un

valor finito K

Teniendo esto en claro veamos unos ejemplos:

EJEMPLO #1:

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de

0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿Cuál es la

probabilidad de tener tres accidentes?

SOLUCIÓN:

4

Como se tiene p<0.1, y el producto n*p es menor que 10 (300*0.02=6), entonces

se aplica el modelo de la distribución de Poisson:

P ( x=3 )= e−6∗63

3 !=0.0892

Con ésta información llegamos a la conclusión de que tener 3 accidentes en 300

días de trabajo es del 8.92%.

EJEMPLO #2:

La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la

probabilidad de que entre 800 productos fabricados 5 hayan salido defectuosos?

SOLUCIÓN:

λ = n * p = 800x0.012=9.6

( x=5 )= e−9.6∗9.65

5 !=0.04602

Con esto llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que hayan 5

productos defectuosos entre 800 es de 4.6%

EJEMPLO #3:

5

En un taller se tiene que el 2% de los libros encuadernados tiene encuadernación

defectuosa. Se desea saber la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados

en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de

Poisson.

SOLUCIÓN:

λ = n * p = 400 * 0.02 = 8

( x=5 )= e−8∗85

5!=0.092

Con base en el anterior resultado podemos llegar a la conclusión de que la

probabilidad de que 5 de 400 libros estén defectuosos es de 9.2%

También podemos hacer uso de la varianza con la fórmula:

Var ( y )= λm

EJEMPLO #4:

6

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

  SOLUCIÓN:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l = 6 cheques sin fondo por díae = 2.718

                            

  b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que

llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que  llegan al banco en dos días consecutivosNota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

                          

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CONCLUSIÓN:

La distribución de Poisson tiene una utilidad en aquellos casos donde el

valor conocido sea la variable discreta que representa el rango en el que los

hechos son llevados a cabo, es decir durante su ejecución los hechos son llevados

a cabo.

La distribución de Poisson es el límite de la distribución Binomial, es decir,

es cuando la distribución Binomial el valor de la media es igual a cero, es la

distribución de Poisson, esta interjección hace posible que en ciertos

procedimientos se utilicen ambos tipos de distribuciones.

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BIBLIOGRAFIA

1) Wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Poisson

2) Instituto Tecnológico de Chihuahua

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr

%20Poisson.htm

3) Elementos de Probabilidad y estadística

Autor: Juan Ortega Sánchez

4) Guía básica para el estudio de la estadística inferencial

Autor: M.A. José Rafael Aguilera

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INDICE

INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................1

DESARROLLO................................................................................................................................2

DISTRIBUCIÓN DE POISSON:............................................................................................2

RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:...........................................................3

RESOLVER PROBLEMAS CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON............................4

CONCLUSIÓN:...............................................................................................................................8

BIBLIOGRAFIA...............................................................................................................................9