DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD

ARTURO NAJERA MARTINEZ

LIC. GERARDO MATA RUIZ

PROCESOS INDUSTRIALES AREA

MANUFACTURA

2° “E”

Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito y valor 0 para la probabilidad de fracaso. Si es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro.

DISTRIBUCION BERNOULLI

FORMULA DE BERNOULLI

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

EJEMPLOS

La probabilidad que al lanzar un dado nos aparezca el numero 2 es de 1/6 de probabilidad de éxito(salga el numero 2): X Be probabilidad de fracaso (cualquier otro numero que no sea 2): (1-p)= 1-1/6 = 5/6

"Lanzar un dado y salir un 6".Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la principio de indiferencia| principio de indiferencia de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro   = 1/6La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

Se sabe que una maquina produceun 3 % de piezas defectuosas. Elegimosuna pieza al azar para comprobar si no presentadefectos. ¿Como se distribuye la variable Xque vale 1 si la pieza no es defectuosa y 0 sies defectuosa?¿Cuales son su media y su varianza?X sigue una distribución Bernoulli con parámetro0,97. La media y varianza son:E[X] = ,97V [X] = ,97 × ,03=,0291

PROBLEMASEn un restaurante de comida rápida.25%de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35%una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y sea X=0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si la orden de la bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso sea Z =1 si la orden es una bebida pequeña o media y Z =0 para cualquier otro caso.Sea PX la probabilidad de éxito de X. Determine PXSea PY la probabilidad de éxito de Y. Determine PYSea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determine PZ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?¿Es Z=X+Y? explique Respuesta PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)= 0.25PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)= 0.35PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)= 0.40SiNoNo porque los valores son totalmente distintos

Si se realiza un total de n ensayos de Bernoulli y siLos ensayos son independientesCada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito pX es el número de éxitos en los n ensayosentonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p, que se denota comoX Bin(n, p).

DISTRIBUCION BINOMIAL

FORMULA

Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue:

m = np= 10*0.2= 2 Medias = Ö npq=  Ö (10) (0.2) (0.8)= Ö 1.6= 1.265 Desviación estándar.

EJEMPLOS¿Cual es la´probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? K es el numero de aciertos. En este ejemplok es igual (en cada acierto deciamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos entonces k=6) n es el numero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es la probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0.5 entonces

Luego , P (x=6)=0.205, es decir, se tiene una probabilidad del 20.5% de obtener 16 caras al lanzar 10 veces una moneda

Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que aparecen. ¿Cuál es ladistribución de X?

Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de p 0.5.La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

La probabilidad de que Ronaldo marque un gol de penalti es 0,8. ?Cual es la distribución del numero de goles que marca en los siguientes 6 penaltis? X ∼ B(6, 0,8) ?Cual es la probabilidad de que marque todas las 6 penaltis? P(X = 6) = 6 6 ! ,8 6 (1 − ,8)6−6 ≈ ,262 ¿Y la probabilidad de que falle por lo menos uno? P(X < 6) = 1 − P(X = 6) = ,738

PROBLEMAS

Supongamos que se eligen 10 piezas al azar. Si X es el numero de piezas defectuosas, ¿cual es la distribución de X? X ∼ B(10, 0,03) Igualmente, si Y es el numero de piezas buenas, Y ∼ B(10, 0,97) ¿Cual es la probabilidad de que se encuentre por lo menos una pieza defectuosa? P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 10 0 ! ,030 (1 − ,03)10−0 ≈ ,263

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.

DISTRIBUCION POISSON

FORMULA

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y =0,02.

EJEMPLOS

Si X Poisson(3), calcule P(X 2), P(X 10), P(X 0), P(X 1) y P(X 0.5).SoluciónCuando se usa la función de masa de probabilidad (4.9), con λ 3, se obtieneP(X = 2) = e−3 322!= 0.2240P(X = 10) = e−3 31010!= 0.0008P(X = 0) = e−3 300!= 0.0498P(X = −1) = 0P(X = 0.5) = 0

EJEMPLOS

PROBLEMAS

Si ya se conoce que el solo 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes. Calcular la probabilidad de que si tomamos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.N=100P=.03λ=100*.03=3X=5R=.100820

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día. Cuales son las probabilidades de que reciba. a) 4 cheques sin fondo en un día dado) 10 cheques son fondos en cualquiera de los días consecutivos.a)x=variable que nos define el numero de cheques sin fondo = 0,1,2,3…..,,,Λ= 6 cheques sin fondo por día =.13392

b)= variable que nos define el numero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos dias consecutivos=0,1,2,3….,etc.λ= 6*2=12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos.

=.104953

Tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

FORMULA

𝑋 𝐸𝑋𝑃 (ℵ )

EJEMPLOS

Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Solución:La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:                      la | nos indica que la integral se va  a evaluar desde 8 hasta ¥       Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 añosq = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)                

PROBLEMAS

El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes? Solución:                 lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3 x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos      x = 0, 1, 2,...,6 días p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran  3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724                                                                         = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744