INTRODUCCION A LAS DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCION NORMAL

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Variables aleatorias Tienen un número para cada resultado de

un experimento (prueba) Tienen una distribución de probabilidad que

asocia un valor de probabilidad a cada resultado numérico de un experimento

“Una variable aleatoria es una variable (casi siempre representada por x) que tiene un solo valor numérico (determinado por el azar) para cada resultado de un experimento”.

Ejemplos: x = el número de accidentes aéreos de

American Airlines entre 7 accidentes aéros seleccionados al azar.

x = La producción lechera de una vaca en un lactancia completa.

x = el número de estudiantes que faltaron hoy a la clase de estadística...

x = el número de crías en la camada de una rata de laboratorio.

x = el puntaje obtenido en el test de clase...

Variable aleatoria discreta: tiene un número finito de valor o un número de valores susceptibles de encontrarse

Variable aleatoria continua: tiene un número infinito de valores y dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua.

Distribución de probabilidad Si se conocen todos los valores de

una variable aleatoria, junto con sus correspondientes probabilidades, tenemos una distribución de probabilidad.

DEFINICION: una distribución de probabilidad da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria

Ejemplo de la distribución de una variable discreta. En la lámina siguiente se observa la

distribución de frecuencia absoluta y relativa de la variable (x) número de crías por camada en ratas de laboratorio, en un total de 1003 ratas.

La variable es aleatoria discreta y tiene los siguientes valores posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Tabla de frecuencia absoluta y relativa (probabilidad)

x frec. de ocurrencia de x P(X=x )1 15 0.0152 34 0.0343 68 0.0684 129 0.1295 258 0.2576 235 0.2347 156 0.1568 71 0.0719 29 0.029

10 4 0.00411 3 0.00312 1 0.001

1003 1.000

Distribución de frecuencia del número de crías

050

100150200250300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de crías por camada

Nú

me

ro d

e m

ad

res

0.00

0.050.10

0.150.20

0.250.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de crías

Prob

abilid

ad

Histograma de probabilidad

Distribución continua de probabilidad Peso al nacimiento de terneros machos de

razas de carne n= 531 Rango= 64-16= 48 kilos Media= 39.4 kilos Mediana= 39.5 kilos Moda= 40 kilos Varianza= 37.9 Desviación típica= 6.15 kilos CV= 15.6%

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 5 clases

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65PNAC

0

100

200

300

400

500

Cou

nt

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Propo

rtion per B

ar

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 10 clases

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65PNAC

0

50

100

150

200

250

Cou

nt

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Proportion per B

ar

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 12 clases

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65PNAC

0

50

100

150

200

Cou

nt

0.0

0.1

0.2

0.3 Proportion per B

ar

Descripción de una variable cuantitativa Polígono de frecuencia, 12 clases

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65PNAC

0

50

100

150

200

Co

unt

Descripción de una variable cuantitativa Curva de densidad, 12 clases

10 20 30 40 50 60 70PNAC

0

50

100

150

200

250

Cou

nt

En la medida que el número de observaciones tiende a infinito y el

ancho de los intervalos tiende a cero, el polígono de frecuencia se aproxima

a una curva uniforme

El área total bajo la curva es 1

La frecuencia relativa de ocurrencia de losvalores entre dos puntos sobre el eje X es igualal área total, limitada por la curva, por el eje Xy por las líneas perpendiculares levantadasen los dos puntos del eje X.

La probabilidad de cualquier valor específicoes CERO

Consecuencias

f(x)

xa b

Integración de lafunción densidadde a a b.

No es posible encontrar la probabilidad para unvalor específico pero si se puede encontrar laprobabilidad para un intervalo entre dos valoresa y b, el cual es igual al área bajo la curva entreesos dos puntos.

ABRAHAM De MOIVRE...... 1667-1754

PIERRE LAPLACE…..1749-1827

CARL FRIEDRICH GAUSS..... 1777-1855

Distribución gaussianna

DENSIDAD NORMAL (ALTURA DELA CURVA PARA DIFERENTESVALORES DE X)

f(x)= e-(x-)2/21

2

P= 3,141592e= 2,71828= media= desviación estándar

Abraham de Moivre (1667-1754), matemático anglo francés, nacido en Vitry-le-Francois, Champagne. Era un descendiente de hugonotes o protestantes franceses, se mudó a Inglaterra después de la revocación de la libertad religiosa garantizada por el edicto de Nantes. Vivió en Inglaterra por el resto de su vida trabajando como profesor. A la edad de 30 años fue elegido como miembro de la Real Sociedad. Como uno de los amigos más cercanos de Isaac Newton, trabajó con él y bajo su encargo, principalmente en la disputa entre Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz sobre la invención del Cálculo y las Probabilidades.Es considerado como uno de los más grandes pensadores en eldesarrollo de la teoría de la probabilidad en el siglo XVIII, junto conLaplace

Carl Friederich Gauss (1777-1855, matemáticoalemán nacido en Braunschweig el 30 de abrilde 1777.Contribuyó en muchas áreas de las Matemáticasincluyendo la teoría de la probabilidad, algebra ygeometría. En su tesis doctoral el probó quecada polinomio tiene al menos una raíz osolución.

Esta teoría pasó a ser conocida como la teoría fundamental delAlgebra. Gauss también aplicó su trabajo matemático teorías dela electricidad y magnetismo. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y lasleyes fundamentales de la distribución de probabilidad. El gráficode la probabilidad normal es llamado curva de Gauss.

Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749-1827),astrónomo y matemático francés, conocido por suaplicación exitosa de la teoría de la gravitación deNewton para explicar todos los movimientosplanetarios en el sistema solar.

Laplace nació en Normandía y fue educado en la Escuela Militarde Beaumont. En 1767 pasó a ser profesor de Matemáticas en laEscuela Militar de París y en 1785 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias.Publicó su trabajo en probabilidades en un libro llamado“Théorie analytique des probabilités” (Teoría analítica de lasprobabilidades).