DISTRIBUCIN PROBABILISTICA.

Estadstica inferencial: conjunto de mtodos utilizados para saber algo acerca de una poblacin, basndose en una muestra

Concepto

Enumeracin de todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad asociada a cada uno.

Probabilidad de un evento: #de resultados favorables/ #total de resultados posibles.

Variable aleatoria:Es un valor numrico determinado por el resultado de un experimento.

Una distribucin probabilstica discreta tiene las siguientes caractersticas:

1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1

2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1

3. Los resultados son mutuamente excluyentes.

Una distribucin continua puede a sumir un nmero infinito de valores dentro de un intervalo especfico.

Calculo de la media y la varianza de una distribucin de probabilidad.

Media= valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. Es un promedio ponderado para el que os valores posibles que se consideran son a afectados o sopesados por las probabilidades correspondientes de ocurrencia.

= (Xi * P (Xi)) = E(Xi) = valor esperado

Varianza: describe el grado de dispersin o variacin de una distribucin.

2 = (Xi -) 2 * P(Xi)

Para la desviacin estndar: es la raz cuadrada de 2

ejm

Sea X el nmero de equipos MSM que fallaron en una industria en los ltimos 250 das.

Equipos que fallaronNumero de das

0100

160

235

320

412

515

68

a) Construya una distribucin de probabilidades.b) Cul es la probabilidad de que fallen 3 equipos maana.c) Cul es la probabilidad de que fallen menos de 3 equipos maanad) Cul es la probabilidad de que fallen entre 1 y 3 equipos maanae) Cuantos equipos se espera que fallen maanaf) Calcule la desviacin estndar

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Las observaciones posibles pueden obtenerse mediante 2 mtodos de muestreo distintos. Cada observacin puede considerarse como seleccionada de una poblacin infinita sin reemplazo o de una poblacin finita con reemplazo.

Una distribucin probabilstica binomial tiene las siguientes caractersticas:

1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1

2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1

3. Los resultados son mutuamente excluyentes.

La distribucin binomial posee 4 propiedades esenciales:

1 un resultado de cada ensayo o realizacin de un experimento se clasifica en una de dos categoras mutuamente excluyentes: xito o fracaso; verdadero o falso; positivo o negativo; aceptable o no aceptable; empleado o desempleado.

2. la variable aleatoria es el resultado de contar el nmero de xitos en una cantidad fija de ensayos:Ejm. Se lanza una moneda 5 veces y se cuenta el nmero de veces que sali cara.Se escogen 20 lotes y se cuentan los que no cumplieron con las especificaciones del producto.

3. La probabilidad de un xito permanece igual para cada ensayo. Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso. Ejm. En un examen de verdadero y falso, la probab que sea verdadera es y de igual manera que sea falsa es para todas las preguntas.

4. Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no afecta el resultado de algn otro. Esto significa que no existe una configuracin rtmica con respecto a los resultados

Cmo se elabora una distribucin probabilstica binomial?

Se debe saber

1. El numero de ensayos.2. La probabilidad de xito en cada ensayo.

Por ejm:

Si un examen de estadstica consiste en 20 preguntas de opcin mltiple, el nmero de ensayos es 20. Si cada pregunta tiene 5 opciones y solo una es correcta la probabilidad de xito para una persona que desconozca la materia es 1/5 = 0.20

La distribucin probabilstica binomial se puede describir de la siguiente manera:

Donde:

n= es el numero de ensayosx= es el numero de xitos de cada ensayo.P= en la probabilidad de xito en cada ensayo.q= 1-p = es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.

La media de una distribucin binomial

Puede obtenerse fcilmente

= E(x) = n * p

donde:E(x)= valor esperadon= numero de observacionesp= probabilidad de xito.

Desviacin estndar de la distribucin binomial

= Donde:n= numero de observacionesp= probabilidad de xito. q= 1-p = es la probabilidad de fracaso.

Forma:Puede ser simtrica o sesgada. Siempre que p=0.5 la distribucin binomial ser simtrica sin importar que tan grande o pequea sea el valor de n.

Cuando p 0.5 la distribucin binomial ser sesgada. Mientras mas cercana este p de 0.5 mayor sea el numero de observaciones, n, menos sesgada ser la distribucin.

Ejm:Un 10% de los empleados de produccin en la empresa W estn ausentes del trabajo en un determinado da de verano. Supngase que se seleccionan al azar 10 trabajadores de produccin para un estudio riguroso del ausentismo.a) Cual es la variable aleatoria.b) Tal variable es discreta o continua.c) Desarrolle una distribucin probabilstica binomial para el experimento.d) Cual es la probabilidad de que mas de 3 empleados seleccionados este ausente.e) Cul es la probabilidad de que menos de 7 empleados seleccionados este ausente.f) Cul es la probabilidad de que entre4 y 8 empleados seleccionados este ausente.g) Calcule la media, varianza y la desviacin estndar de la distribucin.

DISTRIBUCIN POISSON

Es ideal para probabilidades de xito menores de 0.05 y para n muy grandes (n 100)

La forma limite de la distribucin binomial cuando la probabilidad de xito es muy pequea y n muy grande se denomina distribucin probabilidad de Poisson.

Se le conoce la ley de eventos improbables.

Aplicaciones:

Como modelo para describir la distribucin de errores en la captura de datos.# de ralladura y otros.# de llamadas por hora.# de llegadas de carros al da.# de huelgas industriales importantes al ao.# de defectos por lote.# de carreras por entrada# de accidentes en una carretera en un periodo. Etc.

Una distribucin probabilstica Poisson tiene las siguientes caractersticas:

1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1

2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1

3. Los resultados son mutuamente excluyentes.

La distribucin Poisson resulta de un conteo del # de xitos en una cantidad fija de ensayos.

Como se calcula:

Donde:

: es la media aritmtica del nmero de ocurrencias (xitos) en un intervalo de tiempo especfico.e: es la constante 2.71828X: es el # de ocurrencias ( xitos) por unidad.

Clculo de la media

Media = = E(x) = valor esperado.

Calculo de la varianza y desviacin estndar.

Varianza= 2 =

Desviacin estndar= =

Para una distribucin binomial existe un nmero fijo de ensayos por ejm. Prueba de opcin mltiple de 4 preguntas, puede ser 0,1,2,3,4 respuestas correctas para una distribucin poisson puede tomar un numero infinito de valores esto es 0,1,2,3,4. Pero las probabilidades se vuelven muy pequeas despus de las primeras ocurrencias (xitos)

Ejm

En un banco a la hora del almuerzo llegan en promedio 0.05 clientes por segundo Cul es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen exactamente 2 clientes? Lleguen mas de 2 clientes? Haga la distribucin de probabilidad.

USO DE LA DISTRIBUCION DE POISSON PARA APROXIMARSE A LA DISTRIBUCION BINOMIAL

Para aquellas situaciones en la que n es grande (n 20) y p es muy pequea (p 0.05) se utiliza la formula de la distribucin binomial.

En estos casos X no debe exceder el valor de n pues se esta utilizando como una distribucin binomial.

Caractersticas:

Media = E(x) = n * pDesviacin estndar = = Ejm

El 50% de los residentes de Puerto Ordaz estn registrados para votar, si se eligen 25 personas al azar:a) Cul es la probabilidad que estn registrados menos de 6 personas.b) Cul es la probabilidad que no estn registrados mas de 8 personas.c) Cul es la probabilidad que estn registrados entre 1 y 6 personas.

DISTRIBUCION NORMAL

La mayora de los productos de consumo masivo siguen este tipo de distribucin, pues describe el comportamiento que debe tener la mayora de la poblacin, se dice que en este tipo de distribucin ms del 90% tiene los valores cercanos a la media

Una distribucin probabilstica continua cumple con las mismas caractersticas de las distribuciones discretas:

1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1

2. La probabilidad de un resultado de un evento est entre 0 y 1

3. Los resultados son mutuamente excluyentes.

Caractersticas fsicas de la distribucin normal:

a) Es acampanada y la media, mediana y moda tienen el mismo valor (son iguales)b) Es simtrica.c) Es asintnica (la curva se aproxima al eje X pero nunca lo toca)d) Queda descrita por la media y la desviacin estndar.e) Existe una familia de distribuciones normales. Cada vez que cambien la media o la desviacin estndar, se origina una nueva distribucin normal.

Medias iguales pero distintas desviaciones estndar:

La distribucin normal estndar es un caso especial de la del tipo normal. Tiene una media de 0 y una desviacin estndar de 1.

Pero en la realidad no es as, la media es diferente de 0 al igual que la desviacin puede ser diferente de 1

As que cualquier distribucin normal puede convertirse a una del tipo normal estndar mediante la siguiente frmula:

Donde:

X = es el valor de cualquier medida u observacin especifica. = es la media aritmtica de la distribucin. = es la desviacin estndar de la distribucin.Z= para este caso es la distancia desde menos infinito hasta el valor denotado por los parmetros. (x,,)

Ejm:Luego de un gran nmero de observaciones se ha llegado a la conclusin de que el ingreso semanal especfico de una empresa responde a una distribucin normal y es de 250 Bs fuerte con una desviacin estndar de 10 Bs fuerte. Calcule el % de ingreso semanal cuyos sueldos son:

DISTRIBUCION PONDERADA, BINOMIAL, POISSON Y NORMALPROF: OLATZ ERMINA

1.Sea X el nmero de das en los que ocurrieron accidentes en una empresa durante el aos pasado.

Nmero de accidentesNmero de das

0185

1102

255

312

411

a) Es esta una distribucin de frecuencias o una distribucin de probabilidad?b) Construya una distribucin de probabilidad.c) Cul es la prob de que haya dos accidentes maana?d) Cul es la prob de que haya menos de dos accidentes maana?e) Cul es la prob de que haya mas de dos accidentes maana?f) Cuantos accidentes se espera que ocurran maana?g) Calcule la desviacin estndar.

2.Sea x el numero de Equipos que fallaron un una industria en los ltimos 250 das.equipos que fallaronNmero de das

0100

160

235

320

412

515

68

a) Construya una distribucin de probabilidad.b) Cul es la prob de que fallen 3 Equipos maana?c) Cul es la prob de que fallen menos de 3 Equipos maana?d) Cul es la prob de que fallen entre 1 y 4 Equipos maana?e) Cuantos Equipos se espera que fallen maana?f) Calcule la desviacin estndar.

3. Una mquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas slo haya una defectuosa. 4. La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0,70. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedad.b) Todos sufran la enfermedad.c) Dos de ellos contraigan la enfermedad.d) Mas de 3 contraigan la enfermedad

5. La probabilidad de xito de cierto medicamento para tratar el cncer es 0,60%. Calcular la probabilidad de que una vez administrado a 12 pacientes: a) ninguno sufra cncer; b) todos continen enfermos; c) tres de ellos contraigan la enfermedad. d) menos de 8 mejoren

6. D. Un jugador de rugby tiene 2/5 de probabilidad de hacer gol cuando juega. Si juega 5 partidos, hallar la probabilidad de que haga: a) mas de 2 goles; b) un gol por lo menos

7. Entre los trabajadores de una fbrica se producen 2 accidentes por semana en promedio. a) Calcular la probabilidad que haya 2 o menos accidentes durante dos semanas b) Calcular la probabilidad que haya 2 o menos accidentes en cada una de 2 semanas.

8) Una computadora que opera las 24 horas se cuelga 0.25 veces por hora. Cual es la probabilidad que no falle durante 2 horas?

9. Un agente de seguros vende plizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 aos ms es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 aos vivan: a. Mas de 3 individuos b. Exactamente 2 individuos.

10. El nmero medio de automviles que llega a una estacin de suministro de gasolina es de 210 por hora. Si dicha estacin puede atender a un mximo de 10 automviles por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la estacin de suministro ms automviles de los que puede atender.

11. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad sangunea es 0,4. Si se sabe que 15 personas han contrado esta enfermedad, cul es la probabilidad de que: a. Sobrevivan menos de 10 personas? b. Sobrevivan entre 3 y 8 inclusive? c. No Sobrevivan mas de 5?

12 El gerente de control de calidad de las galletas Marilyn esta inspeccionando un lote de galletas de chispas de chocolate que se acaban de hornear. Si el proceso de produccin esta bajo control, el numero promedio de chispas por galleta es de 6.0 Cul es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada.a) se encuentren mas de 4 chispas?b) Entre 2 y 6 chispas?c) Menos de 4 chispas?

13. Basndose en registros anterior, el nmero promedio de accidentes de dos carros en un distrito de policia de Barinas es de 3.4 al da. Cual es la probabilidad de que haya:a) menos de 6 accidentes en un da cualquierab) entre 2 y 8 accidentes en un da cualquiera.

14. Suponga que la cantidad de tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes se distribuye normalmente con una media de 12 semanas y una desviacin de 3. Que proporcin de contribuyentes debe tener un reembolso:a) menor a 6 semanas.b) mayor a 8 semanasc) entre 2 y 10 semanas.

15. Suponga que la cantidad de sodio por rebanada de pan blanco producido por una compaa de procesamiento de comida particular se distribuye normalmente con una media de 110 mg y una desviacin estndar de 25 mg. Cual es la probabilidad de que una rebanada seleccionada aleatoriamente contenga:a) entre 82 y 100 mg de sodio.b) menos de 90 mg de sodio.c) mas de 100 mg de sodio.

16. La probabilidad de que un arquero ataje un penal es del 80%. Si el hombre lo intenta en 4 oportunidades, calcular la probabilidad de que: a) No ataje la pelota; b) ataje ms de 2 penal; c) ataje 3 penales.

17. La probabilidad de que un hombre lave la ropa en su casa es del 10%. Si lo hace 7 veces, calcular la probabilidad de que: a) no lave nunca; b) lave alguna vez; c) lave 5 veces.

18 se realiza una prueba de vida til para un gran nmero de pilas alcalinas tipo AAA. Se revel que la duracin media para un uso especifico antes de la falla es de 19 horas con una desviacin estndar de 1.2 horas. La distribucin de las duraciones se aproxima a una distribucin normal. Cul es la probabilidad. A) que falle con ms de 16 horas de uso. B) que falle entre 14 y 18 horas de uso. c) que falle antes de 15 horasProf. Olatz ErminaPgina 1