DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria.- Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio

muestral S y cuyo rango es un subconjunto de los números reales R, que tiene asociada a

su conjunto de valores una función de probabilidad.

En general el resultado de cada experimento se puede relacionar con un número si se

especifica una regla de asociación, por ejemplo el peso total del equipaje para una muestra

de 35 pasajeros de una unidad de transporte. Esta regla de asociación recibe el nombre

de variable aleatoria, variable porque son posibles diferentes valores numéricos y aleatoria

porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales

aparezca.

Si el rango X es el conjunto de los números enteros Z o un subconjunto de Z, la variable

aleatoria de denomina discreta. Por ejemplo el número de artículos defectuosos

producidos en un lote, número de alumnos que asisten diariamente durante un semestre,

número de accidentes automovilísticos registrados durante una semana, etc.

Si el rango X es el conjunto de los números reales R o un subconjunto de R, la variable

aleatoria se denomina continua. Por ejemplo el tiempo de vida de un foco que extrae

aleatoriamente de un lote de focos, el tiempo de espera para completar un trabajo de

procesamiento de datos, resistencia (en libras por pulgada cuadrada) de una barra de

acero, etc.

Las variables aleatorias se denotan por letras mayúsculas X, Y, etc para distinguirlas de

sus posibles valores dados en minúsculas.

Distribución de Probabilidad para una variable aleatoria discreta

La distribución de probabilidad de X nos permite determinar cómo es que la probabilidad total de

1, se encuentra distribuida entre todos los posibles valores de X.

EJEMPLO

Se lanza dos veces una moneda y se observa el número de apariciones cara. Determine la

distribución de probabilidad para X.

Solución

Elementos de S Valores de X:xi f(xi)

S S 0 f(0)=1/4

C S 1 f(1)=2/4

S C 1

C C 2 f(2)=1/4

Observemos que f(xi) es denominada función de distribución de probabilidad de la variable

aleatoria X. También podemos decir que, f(x)=P(X=x)

Entre los requisitos para una distribución de probabilidad discreta tenemos que:

1

Ejemplo

Seis lotes de dispositivos eléctricos están listos para ser enviados a cierto proveedor. El

número de dispositivos defectuosos de cada lote se presenta a continuación:

Lote 1 2 3 4 5 6

# de dispositivos 0 2 0 1 2 0

defectuosos

Uno de los lotes se va a seleccionar al azar para enviarse a un cliente en particular. Construya la

distribución de probabilidad para el número de dispositivos defectuosos del lote seleccionado.

Solución

Valores de X:xi f(xi)

0 f(0)=3/6

1 f(1)=1/6

2 f(2)=2/6

Valor Esperado .- Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x), , el

valor esperado o medio de X es:

Varianza .- Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x), la

varianza de x es:

La desviación estándar de x es la raíz cuadrada de la varianza

Ejemplo:

Del ejemplo anterior calcule el valor esperado y la desviación estándar:

=0,806

2

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

1. Distribución Binomial.-

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1)     El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n el número de pruebas o ensayos.

2)     Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernoulli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3)     La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4) Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral esta compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

1.1) Parámetros de la Distribución Binomial

1.2) Función de Distribución de la v.a. Binomial

Siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.

Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

El cálculo de las F(x) = p(X x) puede resultar laborioso, por ello se  han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.

3

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

Ejemplo 1:

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Halle la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución:

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad  p(X=1).

Ejemplo 2:

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:

a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.

Solución:

2. Distribución Multinomial.-

La distribución multinomial es esencialmente similar a la binomial con la única diferencia de que cada prueba tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.

4

Si tenemos K resultados posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidades fijas (p i , i = 1, ... , K), la variable que expresa el número de resultados de cada tipo obtenidos en n pruebas independientes tiene distribución multinomial.

La probabilidad de obtener x1 resultados E1, x2 resultados E2, etc.

2.1) Función de Distribución Multinomial

 2.2) Parámetros de la Distribución Multinomial

Ejemplo 1:

Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto?

 Solución:

a) n = 9

x1= # de delegados que llegan por aire = 3x2= # de delegados que llegan en autobús = 3x3= # de delegados que llegan en auto = 1

5

x4= # de delegados que llegan en tren = 2 

p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40 p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

007741401003002004002133

992133 21334321 .).().().().(

!!!!!)n;x,x,x,x(p

b) n = 9

x1 = 4 por aire; p1 = 0.40x2 = 1 en autobús; p2 = 0.20x3 = 2 en auto; p3 = 0.30x4 = 2 en tren; p4 = 0.10 

1567603003002004002214

992214 22144321 .).().().().(

!!!!!)n;x,x,x,x(p

 

c) n = 9

x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70 

0735140700300

459945 45

21 .).().(!!

!)n;x,x(p

Ejemplo 2:

De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución:

a) n = 8

x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

6

0820310250250500125

88125 125321 .).().().(

!!!!)n;x,x,x(p

 

b) n = 8

x1 = 3 rojos; p1 = 0.50 x2 = 2 negros; p2 = 0.25x3 = 3 blancos; p3 = 0.25

 0683590250250500

32388323 323

321 .).().().(!!!

!)n;x,x,x(p

Ejemplo 3: Los ladrillos defectuosos se clasifican en una fábrica de acuerdo a las roturas, decoloración o

ambas cosas. Si las probabilidades respectivas son: 0,50 0,40 y 0,1. Hallar la probabilidad de

que seis de 10 ladrillos tengan roturas, tres sin color y uno presente ambos defectos.

Ejemplo 4: Los trabajos presentados a un centro de cómputo universitario pueden ejecutarse en una de

cuatro clases diferentes de prioridad:Urgente, prioridad normal, baja prioridad y espera. El centro

de cómputo estima que 10% de los trabajos se presentan como urgentes, 50% con prioridad

normal, 20% con baja prioridad y 20% en fila de espera. Suponga que se presentan

simultáneamente n=20 trabajos.

a) Calcule la probabilidad de que 2 trabajos se presenten como urgentes, 12 con

prioridad normal, 5 con prioridad baja y 1 en fila de espera.

b) Calcule el número esperado de trabajos de baja prioridad en la muestra

3. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICACuando se extrae una muestra de una población finita, constituida por éxitos y fracasos,

tal es el caso de observaciones referentes a un lote de piezas defectuosas o sin defectos,

los supuestos de un experimento Binomial se satisfacen siempre que el elemento extraído

para ser observado, se reincorpore a la población antes de hacerse la segunda

observación. Este método de muestreo se denomina muestreo con reemplazo. Sin

embargo en la práctica usualmente utilizamos el muestreo sin reemplazo, esto es

seleccionar aleatoriamente n elementos diferentes de N elementos de la población.

Consideremos una población de N unidades, de los cuales “a” poseen ciertas

características y “N-a” no la poseen. Si se hacen “n” extracciones al azar, sin reemplazo

7

a N-a

xN

n-xn

entre la población, cada extracción es subsecuente es dependiente y la probabilidad de

éxito cambia en cada extracción. En estas condiciones si deseamos obtener x unidades

del tipo “a”( éxitos) en la muestra al azar de tamaño “n”, el número de éxitos en este caso

se llama variable hipergeométrica .

La distribución de probabilidad hipergeométrica está dada por:

Media

varianza

Nota: Puede considerarse como regla general el uso de la distribución Binomial como una aprox.

De la Distribución hipergeométrica si N es grande y

Ejemplo 1:

Se quiere comprar un lote de 25 lámparas. Se eligen 5 de ellas al azar y se examinan de modo que si menos de 2 fallan, el lote es aceptado, de lo contrario será rechazado. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea rechazado si contiene un total de 4 lámparas defectuosas?

Solución:

Sea X: Número de lámparas defectuosas en la muestra.

Entonces, N = 25: Total lámparas en la población

n = 5: Tamaño de la muestra aleatoria sin reemplazamiento.

La probabilidad de que el lote sea rechazado, es por lo tanto;

8

= 1 - P(X <2)

=

= 1 –[f (0)+ f (1)]

= 0,17

Ejemplo 2:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?  Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

n = 3 tabletas seleccionadasX:Número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al momento de hacer la selección.

 p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

 

b)  p (no sea arrestado por posesión de narcóticos)

 

 Ejemplo 3:

Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador apropiado para la producción

comercial de etilendiamina (EDA), un producto que se utiliza en jabones. Suponga que un

ingeniero químico selecciona al azar tres catalizadores para probarlos de entre un grupo de 10

catalizadores , seis de los cuales tienen baja acidez y cuatro de los cuales son muy ácidos.

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a)Calcule la probabilidad de que no se escogerá un catalizador muy ácido.

b)Calcule la probabilidad de que se escoja exactamente un catalizador muy ácido.

Ejemplo 4:Un embarque de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de estas alarmas se

seleccionan aleatoriamente y se le envían a un cliente. Determine la probabilidad de que el

cliente reciba una en mal estado.

Ejemplo 5:Si un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de tres baterías de cada

lote de 24 baterías para automóvil listos para ser embarcados. Si uno de estos lotes contiene seis

baterías con ligeros defectos

a) ¿Qué probabilidad hay de que la muestra del inspector contenga ninguna batería con

defectos?

b) ¿Qué probabilidad hay de que la muestra contenga solo una batería con defectos?

4.DISTRIBUCIÓN DE POISSONProporciona un modelo para la frecuencia relativa del número de “eventos poco comunes” que

ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc. Como por ejemplo el ejemplo el número

de accidentes fatales por mes en una planta de producción, el número de defectos visibles en un

diamante, etc.

Entre otras características tenemos:

La probabilidad de un evento que ocurra en una unidad de tiempo, área o volumen es la

misma para todas las unidades

El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es

independiente del número de los que ocurren en otras unidades.

El número medio (o esperado ) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega

lambda , .

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria e Poisson está dada por:

, x=0,1,2,3,.....

Donde

: es el número medio de eventos en una unidad de tiempo, área o volumen

=2.71828......

La media y la varianza de una variable aleatoria de Poisson son, respectivamente

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Ejemplo 1:

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a) X = El número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata  

3293070

1548845060

1718260601

601

.).)(.(

!).().(

).,x(p.

 b) X = Número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc. = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

!).)((

!).()(

),,x(p)....etc,,,x(p171821

071821

111011432110

  =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) x = Número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata 

!).()(

!).()(

),x(p),x(p),,x(p1

718230

7182331303103130

  = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

Ejemplo 2:

Suponga que el número de grietas por espécimen de concreto con cierto tipo de mezcla de

cemento tiene una distribución de probabilidad de poisson aproximada. Además suponga que el

número de grietas por espécimen es de 2.5.

a)Calcule la media y desviación estándar de x.

b)Calcule la probabilidad de que un espécimen de concreto escogido al azar tenga dos o más

grietas.

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EJERCICIOS

1. Se ha encontrado que el número de cierto tipo de bacterias en el agua de servicio

público tiene una distribución de Poisson. Supongamos que el número máximo

permisible por muestra de agua para este tipo de bacteria es 5 y que el número

medio de bacterias por muestra que reciben las viviendas son 2. Si fuera analizada

una muestra, ¿cuál es probabilidad de que el número exceda el máximo tolerable?.

2. Usando una técnica de trasplante nuclear el núcleo de una célula de uno de los

estados finales del desarrollo de un embrión se trasplanta a un huevo fertilizado para

ver si el núcleo puede desarrollarse normalmente. Si la probabilidad de que un

trasplante tenga éxito es 0.683, ¿cuál es probabilidad de que como máximo 20

trasplantes de un total de 75 fracasen?.

3. Sí la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo delgado de aluminio a 10

atm de presión es 0.30. Cuál es probabilidad de que en las condiciones establecidas

el vapor se condense:

a) En 5 de 9 de tales tubos

b) Entre 20 y 30 (inclusive) de 40 de tales tubos

4. Al inspeccionar la aplicación de estaño por un proceso electrolito continuo, se

descubren en promedio 1.4 imperfecciones por minuto. Calcule las probabilidades

de encontrar:A)Una imperfección en 2 minutos.B)Al menos dos imperfecciones en

4 minutos.

5. El número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radiactiva es una

variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con lambda igual a 5.5. Si un

detector deja de operar cuando hay más de 10 rayos por segundo, ¿cuál es la

probabilidad de que este instrumento deje de funcionar durante un segundo

cualquiera?.

6. El 90% de los químicos determinan en forma correcta el porcentaje de calcio en cierto

compuesto químico. Se pide a cinco químicos seleccionados aleatoriamente que

determinen el porcentaje de calcio del compuesto. ¿Cuál es la probabilidad de que tres

químicos calculen el verdadero contenido de calcio?.

7. La probabilidad de que un experimento de laboratorio tenga un resultado exitoso es

0.65. ¿Cuál es la probabilidad de que en 15 ensayos del experimento 5 resultados

sean positivos?.

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8. Un agente químico produce la decoloración 7% de los rollos de papel producido por

cierta compañía. ¿Cuál es probabilidad de que en una muestra aleatoria de 15 rollos

de papel, 9 no presenten decoloración debido al agente químico?.

9. En promedio se encuentran 3 glóbulos rojos por unidad cuadrada. ¿Cuál es la

probabilidad de que más de 4 glóbulos rojos sean visibles para un observador con

un microscopio en dos unidades cuadradas?.

10. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas

con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de

cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido.

Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8

lleguen vivas al final del experimento?

11. En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de

que 3 sean blancas?

12. En una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar

¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

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