Distribuciones derivadas del muestreo. 2 DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO Cuando se trata de...

Distribuciones derivadas del Distribuciones derivadas del muestreomuestreo

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DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO MUESTREO

Cuando se trata de una muestra de datos Cuando se trata de una muestra de datos seleccionados aleatoriamente de una población, seleccionados aleatoriamente de una población, surge la pregunta de si las estadísticas observadas en surge la pregunta de si las estadísticas observadas en esa muestra serán parecidas a las estadísticas de esa muestra serán parecidas a las estadísticas de población de donde se obtuvo la muestra.población de donde se obtuvo la muestra.

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Por ejemplo, si obtenemos al azar muestras de Por ejemplo, si obtenemos al azar muestras de frijol almacenado, medimos el contenido de proteína, frijol almacenado, medimos el contenido de proteína, y obtenemos el promedio de proteína de ese frijol, la y obtenemos el promedio de proteína de ese frijol, la pregunta que nos hacemos es: pregunta que nos hacemos es:

¿Es ese valor promedio de proteína parecido al ¿Es ese valor promedio de proteína parecido al contenido de proteína promedio de todo el frijol contenido de proteína promedio de todo el frijol almacenado en el país o en la región?almacenado en el país o en la región?

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DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREOMUESTREO

En primer lugar se debe establecer que un En primer lugar se debe establecer que un estadísticoestadístico de una muestra aleatoria (como la media de de una muestra aleatoria (como la media de la muestra, la varianza, la desviación estándar o la muestra, la varianza, la desviación estándar o cualquier otro), va a tener una distribución derivada del cualquier otro), va a tener una distribución derivada del modelo de distribución que estamos suponiendo que modelo de distribución que estamos suponiendo que tienen las observaciones que componen la muestra. tienen las observaciones que componen la muestra.

La variable x de la muestra se

distribuye como:

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Se desea determinar el calibre promedio de Se desea determinar el calibre promedio de cierto tipo de árbol que crece en una región (El cierto tipo de árbol que crece en una región (El calibre de un árbol es su diámetro, medido seis calibre de un árbol es su diámetro, medido seis pulgadas arriba de la tierra).pulgadas arriba de la tierra).

Para este estudio se toma una muestra Para este estudio se toma una muestra aleatoria de 16 árboles que miden 13 pies de altura, aleatoria de 16 árboles que miden 13 pies de altura, y se mide el calibre de cada uno de ellos. Se y se mide el calibre de cada uno de ellos. Se obtienen los siguientes resultados: 2.3, 1.9, 1.7, obtienen los siguientes resultados: 2.3, 1.9, 1.7, 2.1, 1.5, 1.8, 1.8, 1.1, 2.1, 1.5, 2.0, 1.6, 1.3, 1.6, 2.1, 1.5, 1.8, 1.8, 1.1, 2.1, 1.5, 2.0, 1.6, 1.3, 1.6, 1.5, y 1.3.1.5, y 1.3.

71.x 3320.s

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Suponemos que los calibres de los árboles siguen una distribución normal, y sabemos que los parámetros del modelo de distribución normal serán:

= Calibre promedio de todos los árboles de 13 pies de altura que crecen en esa región.

=Desviación estándar del calibre de los árboles que tienen las características especificadas.

Surge entonces la idea de estimar con la media

muestral y con la desviación estándar de la muestra. Así:

1.7 es una estimación de

0.332 es una estimación de

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DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL DERIVADAS DEL

MUESTREOMUESTREO

¿Podemos suponer que los árboles (de 13 ¿Podemos suponer que los árboles (de 13 pies de altura) de toda la región tendrán un calibre pies de altura) de toda la región tendrán un calibre promedio de 1.7? promedio de 1.7?

Esto va a depender de cómo se distribuye el Esto va a depender de cómo se distribuye el calibre de los árboles, de si su variación es grande calibre de los árboles, de si su variación es grande o chica, y del tamaño de la muestra de árboles.o chica, y del tamaño de la muestra de árboles.

0123456789101112

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DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL DERIVADAS DEL

MUESTREOMUESTREO

Lo que se va a saber en esta unidad es que Lo que se va a saber en esta unidad es que la media de la muestra es un buen estimador de la media de la muestra es un buen estimador de la media de la población, y que depende de la la media de la población, y que depende de la varianza y del tamaño (n) de la muestra, qué tan varianza y del tamaño (n) de la muestra, qué tan lejos o tan cerca pueda estar la media de la lejos o tan cerca pueda estar la media de la muestra de la verdadera media de la población. muestra de la verdadera media de la población.

0123456789101112

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¿Qué sucede si otras personas también están ¿Qué sucede si otras personas también están estudiando el calibre de los árboles de esa región, y estudiando el calibre de los árboles de esa región, y tienen muestras con promedios y desviaciones tienen muestras con promedios y desviaciones estándar diferentes ?estándar diferentes ?

Media = 1.96 Media = 1.83 Media = 1.91Dev. St. = 0.38 Dev. St. = 0.60 Dev. St. = 0.48

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Es por ello, que cuando tenemos una Es por ello, que cuando tenemos una muestra, decimos que el promedio estimado de la muestra, decimos que el promedio estimado de la población de árboles será de 1.7.población de árboles será de 1.7.

Respecto a la posibilidad de que haya otras Respecto a la posibilidad de que haya otras muestras con diferentes promedios y desviaciones muestras con diferentes promedios y desviaciones estándar, esto se deduce del modelo de estándar, esto se deduce del modelo de distribución que se supuso para la población. distribución que se supuso para la población.

Si los valores aleatorios de calibre siguen Si los valores aleatorios de calibre siguen un modelo de distribución normal, los promedios un modelo de distribución normal, los promedios de cada muestra aleatoria tendrán también una de cada muestra aleatoria tendrán también una distribución normal. distribución normal.

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Los estadísticos de la muestra tienen una Los estadísticos de la muestra tienen una distribución de probabilidades derivada de la distribución de probabilidades derivada de la distribución de la variable aleatoria con la que se distribución de la variable aleatoria con la que se calcula el estadístico.calcula el estadístico.

Si la media de la muestra procede de valores de Si la media de la muestra procede de valores de X con una distribución binomial [XX con una distribución binomial [XB(np, npq)], la B(np, npq)], la media muestral tendrá una distribución binomial:media muestral tendrá una distribución binomial:

[ [ B(p, pq/nB(p, pq/n)])]Si la media de la muestra procede de valores de Si la media de la muestra procede de valores de

X con una distribución de Poisson, la media tendrá una X con una distribución de Poisson, la media tendrá una distribución Poisson, con media distribución Poisson, con media , y varianza , y varianza /n./n.

X

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Distribuciones derivadas del Distribuciones derivadas del muestreomuestreo

Una de las propiedades de la media de la Una de las propiedades de la media de la muestra, es que cualesquiera que sea la muestra, es que cualesquiera que sea la distribución de X, cuando la muestra es distribución de X, cuando la muestra es suficientemente grande, la media de la muestra suficientemente grande, la media de la muestra tendrá una distribución aproximadamente tendrá una distribución aproximadamente normal. normal.

Esto se deriva del Esto se deriva del Teorema Central del Teorema Central del LímiteLímite..

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Teorema central del límiteTeorema central del límite

Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño n, Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con un valor de la media y un tomada de una población con un valor de la media y un valor dado de la varianza, y si n es suficientemente valor dado de la varianza, y si n es suficientemente grande, la media de la muestra se distribuye grande, la media de la muestra se distribuye aproximadamente normal con media igual a la media de aproximadamente normal con media igual a la media de la población y varianza igual ala varianza de la la población y varianza igual ala varianza de la población dividida n (población dividida n (22/n)./n).

Es así que la variable aleatoria:Es así que la variable aleatoria:

se distribuirá aproximadamente normal con media 0 y se distribuirá aproximadamente normal con media 0 y varianza 1 (o sea tendrá una distribución normal varianza 1 (o sea tendrá una distribución normal estándar).estándar).

n/

X

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Distribución de la media muestralDistribución de la media muestral

X tiene alguna distribución con media 1.7 y varianza 0.81.X tiene alguna distribución con media 1.7 y varianza 0.81.La media de una muestra de tamaño 100 tendrá una La media de una muestra de tamaño 100 tendrá una

distribución con media 1.7 y varianza 0.0081.distribución con media 1.7 y varianza 0.0081.

0123456789101112

Media = 1.7

Distribución de X

Distribución de Distribución de XDesv. estándar = 0.9

Desv. estándar = 0.09

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Distribución Z de la media de la Distribución Z de la media de la muestramuestra

Dos reglas para calcular la media Dos reglas para calcular la media y la varianza de una nueva y la varianza de una nueva variable (NX) que es una variable (NX) que es una

transformación lineal de otra (X): transformación lineal de otra (X):

Sea la transformación: Sea la transformación:

Donde NV=Nueva variableDonde NV=Nueva variable

μμ =media poblacional de X =media poblacional de X

σσ = desv. estándar de X = desv. estándar de X

X

XNXNX

La media poblacional de NX será: La media poblacional de NX será:

Media (NX) - Media (NX) - μμ

La varianza poblacional de NX será: La varianza poblacional de NX será:

)NX(Var12

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Distribución estandardizadaDistribución estandardizadade la media de la muestra ( Z )de la media de la muestra ( Z )

Si la nueva variable es la media de la muestra, la media de la Si la nueva variable es la media de la muestra, la media de la distribución es distribución es μμ (aplicando el teorema central del límite), y la (aplicando el teorema central del límite), y la

varianza de la distribución de la media de la muestra es varianza de la distribución de la media de la muestra es σσ22/n, donde /n, donde n es el tamaño de la muestra. n es el tamaño de la muestra.

Eso se resume en la ecuación a la derecha.Eso se resume en la ecuación a la derecha.

)n,(NdistribuyeseX 2

Calcule la media y la varianza de Z para la media de una Calcule la media y la varianza de Z para la media de una muestra de tamaño 20 (n=20) cuya distribución tiene muestra de tamaño 20 (n=20) cuya distribución tiene

una media una media μμ de 5 y una varianza de 5 y una varianza σσ2 2 de 0.82de 0.82

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σnμ)X(Zc

Tabla de Z

Distribución estardardizada de la Distribución estardardizada de la media de la muestramedia de la muestra

Z P [ z > zc ]

-1.0

1.64

1.96

2

0.8431

0.05

0.025

0.023

0.8431

0.05

18

Distribución de t de StudentDistribución de t de Student

Grados de Libertad (n-1)

0.15

0.10

0.05

1 6.314

12.706

2

2.920 4.303

8

1.860 2.306

P [ t > tc] 0.075 0.05 0.025

Tabla de tP [ t >| tc|]

nss

2

X

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Valores de t de Student

(n-1) = 34

X

c s)X(

t

P{t > t(34)= 2.3} = 0.01

19

0 5101520253035404550

G. de L. = 19

0 1 2 3 4 5 6

Valores de Chi-Cuadrado

P{2 > 2 (19) = 3.77} = 0.05)/(}s)1n{( 222

c

P [ χ2 > χ2c ] =

Grados de Libertad

(n-1)

=0.05 = 0.01 = 0.001

1 3.84 6.63

2 5.99 9.21

8 2.73 20.09

Tabla de Chi-Cuadrado

Distribución de Chi-cuadradoDistribución de Chi-cuadrado

20

Distribución de FDistribución de F

2b

2a

c s

sF

Grados de libertad del Numerador (m-1)

Grados de LibertadDenominador

(n-1)1 2 8

1

161.45

199.50 238.88

2 18.513

19.000

19.371

8

5.3177

4.4590

3.4381

Tabla de F

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14

P {F > F(7,16) =10.5} = 0. 049

G. de L. Num. = 7G. de L. Den. = 16

Valores de F

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Cálculo de probabilidadesCálculo de probabilidades

El software enseñado hasta el presente (Excel e El software enseñado hasta el presente (Excel e Infostat) tiene implementado el cálculo de Infostat) tiene implementado el cálculo de

probabilidades.probabilidades.

Se harán demostraciones en clase.Se harán demostraciones en clase.

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EjerciciosEjercicios

Se realizarán varios ejercicios con las distribuciones Se realizarán varios ejercicios con las distribuciones vistas y con el uso de tablas.vistas y con el uso de tablas.

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ResumenResumen

Población estadísticaPoblación estadística

MuestraMuestra

Propiedades de la muestra:Propiedades de la muestra:

Muestra aleatoriaMuestra aleatoria

Muestra representativaMuestra representativa

Muestra suficienteMuestra suficiente

Procedimientos de muestreoProcedimientos de muestreo

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