7/23/2019 Distribuciones_bidimensionales saul.doc

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Distribuciones bidimensionales

(texto tomado de la Unidad de Descartes Distribuciones bidimensionales, Luis Barrios Calmaestra, 2005)

1. !"#!BL$% $%&!D'%C!% B#D#$%#*!L$%

$n el tema anterior +emos realiado el estudio de una caracter-stica en una oblaci/n. $n estetema amos a estudiar dos caracter-sticas de una misma oblaci/n eremos si existe al3n tiode relaci/n entre ambas.

%e llama ariable estad-stica bidimensional al estudio de dos ariables estad-sticasunidimensionales en una misma oblaci/n.

Ejemplo 1. amos a estudiar en los 3ltimos doce a4os las reciitaciones medias en nuestroa-s,en litros or metro cuadrado la roducci/n de aceite en miles de toneladas mtricas. Losdatos aarecen re6le7ados en la siuiente tabla8

Ao 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005litros/m2 592 50:.; 952.< =;>.: == 911miles Tm 550.< 5:;.; ::>.= ;>.; 1912.1 ;50 1:;>.9

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Tabla de doble entrada. $st 6ormada or tantas 6ilas columnas como alores tenamos decadauna de las ariables, ms una 6ila una columna ms ara indicar los totales. $st indicada

ara casos con bastantes datos, en los ue ara cada alor de una ariable, existen arios aloresde la otra.

x1 x2 ... xi ... xmFrecuencia

absoluta de

la variable Y

y1 f11 f21 ... f i1 ... f m1 fi1

y2 f12 f22 ... fi2 ... f m2 fi2

... ... ... ... ... ... ... ...

yj f1j f2j ... f ij ... fmj fij

... ... ... ... ... ... ... ...

yn f1n f2n ... fin ... f mn fin

Frecuencia

f1j f2j fij f1n Nabsoluta de

la variable X

$scoiendo la rimera la 3ltima 6ila, tenemos la tabla estad-stica corresondiente a la rimeraariable unidimensional. Con la rimera 3ltima columnas construimos la tabla corresondiente ala seunda ariable unidimensional. $stas dos distribuciones reciben el nombre de distribucionesmarinales. $n la 3ltima celda aarecer el total de la 3ltima 6ila de la 3ltima columna, es decir,el n3mero total de elementos estudiados ().

!dems, en esta tabla uede resultar de inters estudiar distribuciones unidimensionalescorresondientes a un alor determinado de aluna de las ariables, llamadasdistribuciones condicionadas.

Ejemplo 2. $n una clase de :0 alumnos alumnas se +a realiado un estudio sobre el n3mero de+oras diarias de estudio el n3mero de asinaturas susensas al 6inal de curso E, obteniendo lossiuientes datos. Construir la tabla de doble entrada calcular la media desiaci/n t-ica decada una de las ariables.

(2,0) , (2,2) , (0,5) , (2,1) , (1,2) , (2,1) , (:,1) , (9,0) , (0,9) , (2,2) , (2,1) , (2,1) , (9,0) , (:,1) , (2,9)

(2,1) , (1,2) , (2,1) , (2,0) , (:,0) , (:,1) , (2,2) , (2,2) , (2,1) , (0,5) , (1,:) , (2,2) , (2,1) , (1,:) , (1,9)

:. D#!F"!! D$ D#%A$"%#G * UB$ D$ AU&*%

%iuiendo el mismo estudio realiado ara las ariables unidimensionales, una e ue tenemosconstruida la tabla de 6recuencias, amos a reresentar r6icamente los datos, aunue ara lasariables estad-sticas bidimensionales el n3mero de r6icos se reduce de 6orma considerable.

$xisten dos r6icos el diarama de disersi/n el rismorama.

Diarama de dispersi!n o n"be de p"ntos. Consiste en dos e7es erendiculares, en cada uno de

ellos colocaremos los alores de cada una de las ariables. Aara reresentar el dato corresondiente

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al ar (xi,yj), colocaremos un unto en las mismas coordenadas. %i ueremos reresentar la6recuencia corresondiente a estos alores de las ariables, lo +aremos escribiendo dic+a6recuencia al lado del unto.

#rismorama o estereorama. $s similar a un diarama de barras o rectnulos, ero intentandodarle un asecto tridimensional. "eresentamos tres e7es (iual ue reresentamos los e7es x, , ). $n

el e7e ertical reresentamos las 6recuencias en los otros los alores de las ariables e E.Aara cada ar de alores (xi,yj), reresentamos un risma o una barra ertical de altura iual a su6recuencia.$ste r6ico no se utilia aenas orue su interretaci/n es mu comlicada. %uele aareceren mu ocas ocasiones.

9. D$A$D$C#! E C*""$L!C#G

%/lo con obserar el diarama de disersi/n nos odemos +acer una idea de si existe ms o

menos relaci/n entre ambas ariables del tio de relaci/n existente. os odemos encontrar lossiuientes casos8

Dependen$ia %"n$ional. Cuando todos los untos del diarama de disersi/n estn situados en lar6ica de una 6unci/n.

&orrela$i!n lineal. Cuando los untos estn situados alrededor de una l-nea recta.

&orrela$i!n $"r'il(nea. Cuando los untos estn situados alrededor de una l-nea cura.

&orrela$i!n positi'a. Cuando al crecer una ariable, crece tambin la otra.

&orrela$i!n neati'a. Cuando al crecer una ariable, decrece la otra.

&orrela$i!n %"erte. Cuando los untos estn mu r/ximos a la r6ica de una 6unci/n.

&orrela$i!n d)bil. Cuando los untos se aroximan oco a la r6ica de una 6unci/n.

*ndependen$ia o a"sen$ia de $orrela$i!n. Cuando la nube de untos no se aroxima a nin3ntiode 6unci/n.

5. C*""$L!C#G L#$!L

amos a estudiar un coe6iciente ue nos ermita cuanti6icar la correlaci/n lineal de las dosariables. !ntes necesitamos conocer un armetro con7unto ara ambas ariables,llamado coariana.

%e de6ine la $o'arian+ade la siuiente 6orma8

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m n

x x x y f iji jxy=

i=1 j=1

N

%in embaro, esta 6/rmula resulta comlicada de alicar. Aodemos desarrollar el numerador llear a la siuiente 6/rmula, muc+o ms 6cil ara traba7ar con ella8

m n

xixjfij

xy

=i=1 j=1

xy

N

!+ora a s- estamos en condiciones de de6inir el siuiente coe6iciente.

&oe%i$iente de $orrela$i!n lineal de #earson. %e de6ine este coe6iciente como el cociente entrelacoariana el roducto de las desiaciones t-icas de ambas ariables, es decir8

r=xyxy

$ste coe6iciente tomar siemre alores comrendidos entre H1 1. %e3n los alores uetome, odremos deducir ue8

%i r=1, existe deendencia 6uncional, todos los untos del diarama de disersi/n estn situadosen una l-nea recta creciente.

%i 0

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de la rimera ariable tendr, or una arte, el alor corresondiente a la seunda ariableyi, orotra, su imaen or la recta de reresi/ny=mxi+n. $ntre estos dos alores existir una di6erenciadi=mxi+nyi. amos a calcular la recta con la condici/n de ue la suma de los cuadrados de todasestas di6erencias!mxi+nyi"2sea m-nima. Deriando resecto de m de n realiando losclculos matemticos necesarios, lleamos a la recta de reresi/n de E sobre , ue tiene orecuaci/n en la 6orma untoHendiente8

yy=xy

2xx

x

%i a+ora cambiamos los aeles de las ariable e E realiamos el mismorocedimiento, obtenemos la ecuaci/n de la recta de reresi/n de sobre E8

xx=xy

2yy

y

Estima$iones . Una e ue conocemos la maor o menor relaci/n entre las ariables con elcoe6icientede correlaci/n lineal ue +emos calculado las rectas de reresi/n, odemos utiliarlas ara redecir elalor de una de las ariables a artir de la otra. Aor e7emlo, en el $7emlo 1, se conoce la relaci/n entrela cantidad de aua ca-da la roducci/n de aceite. %e sabe tambin ue en el 3ltimo a4o +idrol/ico se+a reistrado una reciitaci/n media de 911 litros or metro cuadrado, ero a3n no +a emeado larecolecci/n de la aceituna, or lo ue no conocemos la roducci/n de aceite de este a4o. Aodr-amosutiliar la recta de reresi/n de E sobre x ara calcularlo.

Desus de +aberlo calculado, nos odemos reuntar si este dato obtenido es 6iable o no.$sto deender de dos cuestiones.

La rimera ue exista correlaci/n lineal entre ambas ariables. $l dato ser ms 6iable cuantoms se aroxime el coe6iciente de correlaci/n lineal a 1 o a H1.

La seunda ue las rectas de reresi/n se +an obtenido ara unos alores concretos de de E.!unue exista una correlaci/n lineal 6uerte, si intentamos +acer redicciones ara alores de lasariables le7anos a los estudiados, odemos llearnos sorresas. $s decir, ara ue sea 6iableuna estimaci/n, adems de la rimera condici/n, los alores de e E tienen ue estar dentro deldominio de los estudiados.

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