DIVISIBILIDAD.

LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los NÚMEROS NATURALES son los que utilizamos para contar elementos de

un conjunto. El conjunto de los NÚMEROS NATURALES, se representa por :

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 10, … , 20, … , 100, … }

REPASA los NÚMEROS NATURALES, haz CLIC en el icono.

Los NÚMEROS ENTEROS, es el conjunto de los números naturales y el conjunto

de todos los números negativos que se pueden obtener al restar números naturales.

El conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, se representa por ,:

= {…, -100,…, -20,…, -10,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 10,…, 20,…, 100,…}

REPASA los NÚMEROS ENTEROS, haz CLIC en el icono.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

Un número b es MÚLTIPLO de otro número a, cuando podemos encontrar otro

número k tal que b = a k.

EJEMPLO: 56 es MÚLTIPLO de 7, puesto que 56 = 7.8.

OBSERVA.:

Si b es MÚLTIPLO de a. a es DIVISOR de b

EJEMPLO :

56 es MÚLTIPLO de 7 7 es DIVISOR de 56.

Un número a es DIVISOR de otro b, cuando b : a es DIVISIÓN EXACTA.

EJEMPLO : 7 es DIVISOR de 56, puesto que 56 : 7 = 8 es D. EXACTA

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO.

¿Cuántos MÚLTIPLOS hay de 7 ?.

INFINITOS, por que podemos multiplicar el 7 por infinitos números

¿Podrías decir algunos múltiplos de 7 ?.

Basta multiplicar 7 por cualquier número:

7.1 = 7; 7.2 = 14; 7.3= 21; 7.4 = 28, … ,7.50 = 350 , …

¿Cuántos DIVISORES tiene 180?.

Como el número de divisiones exactas que podemos hacer es finita, el número

de divisores de un número es FINITO. Prueba que hay 18 divisores de 180

¿Podrías decir algunos divisores de 180 ?.

Si, basta con encontrar divisiones exactas de 180. Y estos divisores son:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180.

PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

¿Si sumamos dos múltiplos de 9, la suma sigue siendo múltiplo de 9?.

Si piensa en dos múltiplos, ejemplo: 72 + 36 = 8.9 +4.9 = (8+4).9 = 12.9 =108

En general, la suma de dos múltiplos x e y de a (“ x = m.a, y = n.a ”) es siempre

múltiplo de a, ya que la suma será de la forma: m.a + n.a = (m+n).a

¿Si un número es múltiplo de 10, es también múltiplo de 5 ?.

Si, piensa en un múltiplos de 10, ejemplo: 60 = 6.10 = 6.2.5 = 18.5

En general, si a es múltiplo de b (“ a = m.b ”) y b es múltiplo de c (“ b = n.c ”) a

es siempre múltiplo de c, ya que: a = m.b = m.n.c = (m.n).c

Otras propiedades:

Si sumamos un múltiplo de a y otro no que no sea múltiplo de a, la suma no es

múltiplo de a.

Si c es divisor de b, entonces c es también divisor de todos los múltiplos de b

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

¿Qué es un número PRIMO?

Es aquel que solamente es divisible por la unidad y por el mismo.

Ejemplo de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

¿Qué es un número COMPUESTO?

Es aquel que no es primo.

Ejemplo de números compuestos: 4, 6, 8, 9, 12, 14, etc.

¿Qué significa descomponer un número en factores primos?

Ponerlo como producto de números primos.

Ejemplo: El número 60, descompuesto en factores primos es 60 = 2.2.3.5

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2, cuando acaba en 0 o cifra par

Ejemplo de números divisibles por 2: 8, 10 ,24, 150, etc.

Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplo de números divisibles por 3: 9, 24, 150, 13932, etc.

Un número es divisible por 5, cuando acaba en 0 o en 5.

Ejemplo de números divisibles por 5: 10 ,25, 1505, etc.

Un número es divisible por 9, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo de números divisibles por 9: 9, 891, 3654, etc.

Para conocer los números primos menores que 100,

Haz CLIC en el icono (“CRIBA DE ERASTÓTENES”).

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Para descomponer un número en producto de factores primos, utilizamos los

criterios de divisibilidad, efectuando divisiones exactas sucesivas, primero

entre 2, luego entre 3, después entre 5, y así sucesivamente vamos probando

con todos los primos, hasta obtener de cociente 1

Ejemplo: 588 =

588 2

294 2

147 349 7

7 7

1

2 . 294 = 2 . 2 . 147 = 2 . 2 . 3 . 49 = 2 . 2 . 3 . 7 . 7

Luego:

2 2588 2 3 7

2 . 2 . 3 . 7 . 7 =

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO -m.c.m. Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR -M.C.D.

Para hallar el mínimo común múltiplo de varios números:

los descomponemos en producto de factores primos, y tomamos todos los

factores primos, elevados al mayor exponente

Ejemplo: m. c. m. ( 588, 45, 143)

2 2588 2 3 7 245 3 5 143 11 13

2 2 22 3 5 7 11 13 = 1.261.260

Para hallar el máximo común divisor de varios números:

los descomponemos en producto de factores primos, y tomamos solamente los

factores primos comunes, elevados al menor exponente

Ejemplo: M. C. D. ( 588,490,154)

2 2588 2 3 7 2490 2 5.7 154 2 7 11

2 7 = 14