3 La divisibilidad1

Matemáticas1º ESO

Múltiplos de un número

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales

Como sabes: 5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otronúmero que es múltiplo de 5.

Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7)44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4

44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44

0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ...

0 es múltiplo de todos los números

3 La divisibilidad2

Matemáticas1º ESO

Divisores de un número

Un número es divisor de otro cuando la división del segundopor el primero es exacta.

44 : 5 no es exacta

44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44

5 no es divisor de 44

Divisor y factor significa lo mismo.

Observa:

44 : 4 = 11 44 = 4 · 11 44 = 4 · 11

4 es divisor de 4444 es producto de los factores 4 y 1144 es múltiplo de 4 y de 11

(También 11 es divisor de 44)

Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.

3 La divisibilidad3

Matemáticas1º ESO

Cálculo de todos los divisores de un número

Un número puede tener varios divisores

Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Para hallar todos los divisores de un número:

Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1.Se termina cuando se repitan los factores.

Ejemplo: 45 = 1 · 45

45 = 3 · 15

1 y 45 son factores

3 y 15 son factores

45 = 5 · 9 5 y 9 son factores

45 = 9 · 5 Se repiten los factores

Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45

Compruébalo

Los factores aparecidos son todos los divisores del número.

3 La divisibilidad4

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Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos.

Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8.

Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.

¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir?

No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3

Esto es un truco, quellamamos criterio.

3 La divisibilidad5

Matemáticas1º ESO

Divisibilidad por 2, por 5 y por 10

Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado por la cifra de las unidades. Luego:

1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10.Ejemplos:

280 es divisible por 10, y por 5, y por 2.10395 es divisible por 5.

Observa: 438 = 43 · 10 + 8

10 es divisible por 2, por 5 y por 10

Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8

Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2. Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es.

Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.Un número es divisible por 10 si termina en 0.

232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.

3 La divisibilidad6

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Divisibilidad por 4, por 25 y por 100

Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es elnúmero formado por sus dos últimas cifras.

1780 es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100.Ejemplos:

2800 es divisible por 100, por 25 y por 4.10375 es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100.

Observa: 13528 = 135 · 100 + 28

100 es divisible por 4, por 25 y por 100

Luego, 13528 será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28.

Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4. Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, 13528 no es divisible por 25 ni por 100.

232451 no es divisible por 4, ni por 25 ni por 100.

135 · 100 + 25 = 13525 es divisible por 25, pues 25 lo es.

135 · 100 + 100 = 13600 es divisible por 100, por 25 y por 4.

Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras.

3 La divisibilidad7

Matemáticas1º ESO

Criterios de divisibilidad por 3 y por 9

Ejemplos:

Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de suscifras es divisible por 3.

a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3.

Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de suscifras es divisible por 9.

Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es 5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9.

Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto.

50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9

b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.

3 La divisibilidad8

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Divisibilidad por 11

Para saber si un número es divisible por 11:Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares en la escritura del número.Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el númerodado es divisible por 11.

Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues:

709181Cifras pares: 7 + 9 + 8 = 24

Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2

Diferencia:24 - 2 = 22

La división 44968 : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11.

Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares: 4 4 9 6 8

Las cifras pares suman: 4 + 6 = 10

Las cifras impares suman: 4 + 9 + 8 = 2121 – 10 = 11

3 La divisibilidad9

Matemáticas1º ESO

Números primos y compuestos

17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17.

Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto.

Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45

43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43

Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama primo.

Los primeros números primos son:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103 107 109

En cambio:

Los números 17 y 43 son primos.

45 y 18 son números compuestos

3 La divisibilidad10

Matemáticas1º ESO

Descomposición de un número en sus factores primos

Para descomponer un número en factores primos:Se divide el número por un factor primo.Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1.El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo.

Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos:

132 = 2 · 66

66 = 2 ·33

= 2 · 2 · 33

33 = 3·11

= 2 · 2 · 3 · 11

Disposiciónpráctica

132 266 233 311 11

1

A la derecha de laraya vertical

quedan todos los factores primos

Comprueba que 360 = 23 · 32 · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360.

Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos.

= 22 · 3 · 11

3 La divisibilidad11

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El máximo común divisor: m.c.d.

El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

Consideremos los números 30 y 18.

Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30

Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18 Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6

El máximo común divisor de varios números es igual al productode los factores primos comunes elevados al menor exponente.

Escribimos: m.c.d(30 y 18) = 6

El mayor de ellos es el 6.

Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos:

30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. 2 · 3 = 6

3 La divisibilidad12

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El mínimo común múltiplo: m.c.m.

El mínimo común múltiplo de varios números es el menorde sus múltiplos comunes, excluido el cero.

Consideremos los números 35 y 25.

Múltiplos de 35: 0 35 70 105 140 175 210 … 350 …525, ...

Múltiplos de 25: 0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ...

Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ...

El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de losfactores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175

Factores comunes: 5Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 52 · 7 = 175Factores no comunes: 7

El menor de ellos, excluido el 0, es 175

35 = 5 · 7 25 = 52

3 La divisibilidad13

Matemáticas1º ESO

Cálculo del m.c.d y del m.c.m.

Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600.

780 2390 2195 3

65 513

Los descomponemos en factores primos:

300 2150 2

75 325 5

51

13

15 m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60

m.c.m.(780, 600) = 23 · 3 · 52 ·13 = 7800

Factores comunes: 2 3 5

Menor exponente respectivo: 2, 1 y 1

Mayor exponente respectivo: 3, 1 y 2 Factores no comunes: 13

600 2

780 = 22 · 3 · 5 · 13

600 = 23 · 3 · 52

Máximo común divisor:

Mínimo común múltiplo:

Factores comunes: 2 3 5

780 = 22 · 3 · 5 · 13600 = 23 · 3 · 52