DIVISIN ALGEBRAICA

Es la operacin que tiene como objetivo calcular una expresin llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

Esquema clsico

Propiedades

1.El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

2.El grado mximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno.

RMX Grado mximo del resto.

3.La propiedad fundamental de la divisin en el lgebra forma una identidad.

4.Si la divisin es exacta, el resto es un polinomio idnticamente nulo.

Ejemplo:Para dividir dos polinomios tenemos el siguiente criterio:

1.Ordenar el dividendo y divisor, segn una misma variable, colocando cero para los trminos que faltan.

2.Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor obteniendo el primer trmino del cociente.

3.Se multiplica el primer trmino obtenido del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para ello se coloca cada trmino de este producto debajo de su semejante cambindole de signo. Luego se suma algebraicamente.

4.Se efectan las operaciones como en los pasos anteriores continuando hasta que el residuo sea un polinomio de grado menor que el divisor.

Ejemplo 1:

Dividir: 4x5 - 12x4 + 13x3 + 12x2 - x + 1 entre: 2x2 - 3x + 1Resolucin:

Luego:

-El polinomiocociente es: 2x3 - 3x2 + x + 9-El polinomio residuo es: 25x - 8

Ejemplo 2:Efectuar la divisin: x3 - 27 x + 3

Resolucin:En este caso el dividendo carece de trmino en x2 y en "x", por lo cual los supliremos con coeficiente cero.

Finalmente:Cociente: x2 - 3x + 9Residuo: -54

Ejemplo 3:Efectuar la siguiente divisin:(x2 + 7x + 12) (x + 3)

Resolucin:

Luego el cociente es x + 4 y la divisin es exacta pues el residuo es 0.Ejemplo 4:Efectuar la siguiente divisin:(x2 - x3 + x4 - 3x + 2) (x2 + x + 2)

Resolucin:Ordenamos el dividendo segn las potencias decrecientes de "x".

Finalmente:Polinomio cociente: x2 - 2x + 1Polinomio residuo: 0

MTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS

En la divisin de polinomios, podemos prescindir de la parte literal.

Ejemplo: Dividir: 10x4 + 6x3 - 37x2 + 36x - 12entre: 5x2 - 7x + 3

Resolucin:Como el polinomio dividendo y divisor estn completos y ordenados en forma decreciente podemos distribuir slo coeficientes.

Luego:-El polinomio cociente es: 2x2 + 4x - 3-El polinomio residuo es: 3x - 3

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO

1.Sea la siguiente divisin:adems:A: grado del dividendoB: grado del divisorC: grado del cocienteEfectuar: (A - C)B

2.En la divisin:Si el grado del cociente es 2007, hallar el valor de "n"

3.Indicar el residuo de la siguiente divisin:

(x2 - 12x + 35) (x - 5)

4.Efectuar: (x2 - 5x + 4) (x - 1)e indicar el cociente

5.Indicar el cociente, luego de dividir:6.Indicar la suma de coeficientes del residuo en la divisin:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.Al dividir:

Sealar el cociente:

a)3x3 + 2x2 + x + 2b)x3 + 2x2 + x + 2c)x3 + x2 + x + 1d)x3 - 2x2 + 3x - 2e)8x2 + x + 3

Del problema anterior:

2.Sealar el residuo:

a)x2 + 2x + 2b)3x3 + 2x2 + x + 2c)8x2 + x + 3d)x2 - x + 1e)2

3.El coeficiente del trmino lineal del cociente es:

a)1b)2c)3d)0e)4

4.La suma de coeficientes del cociente:

a)4b)7c)6d)5e)8

5.Hallar el residuo de la siguiente divisin:

a)y + 5b)y2 + 3c)y + 3d)-10y + 14e)10y + 14

6.Hallar el residuo de la divisin:

a)z2 + 1b)-2c)4zd)-6e)4z - 6

7.Hallar "A + B", si la siguiente divisin:; es exacta.

a)1b)2c)3d)4e)5

8.Calcular "m + n + p", si la divisin: ; es exacta.

a)22b)18c)17d)25e)28

9.En la siguiente divisin exacta:; calcular "a + b".

a)2b)13c)9d)8e)19

10.Determinar "a + b"; si la divisin:;

deja como residuo: 5x + 7.

a)28b)24c)20

d)16e)12

11.Calcular "m + n + p", si la divisin:

arroja como residuo "6z2 + 4z + 3"

a)10b)18c)9d)25e)15

12.Hallar la suma del cociente y el residuo en:

a)y2 + 6y - 6b)y2 + 17y - 8c)y2 + 15y - 7d)y2 - 17y + 7e)y2 - 15y - 8

13.Hallar "A+B", en la siguiente divisin: ; exactaa)10b)12c)14d)16e)18