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Division de Ingenierıas

Campus Irapuato-Salamanca,

Universidad de Guanajuato

Guıa Docente de la Unidad de Aprendizaje

Dinamica del Cuerpo Rıgido

Jose Marıa Rico Martınez

Salamanca, Gto., Octubre del 2014.

1. Descripcion de la Unidad de Aprendizaje

En esta seccion encontraras los datos descriptivos de la unidad de aprendizaje.

1.1. Datos de la Unidad de Aprendizaje.

La unidad de aprendizaje de Dinamica II es parte del nucleo del area basicadisciplinar, que comprende 6 creditos, con 72 horas de contacto directo con el instructory 78 horas de actividades complementarias. Es un curso obligatorio para los estudiantesde las licenciaturas en Ingenierıa Mecanica e Ingenierıa Mecatronica. El participanteaccedera a esta unidad en el quinto o sexto semestre de sus estudios de licenciatura. Elcurso se impartira en espanol.

1.2. Prerequisitos.

La unidad de aprendizaje Dinamica II requiere que el alumno haya aprobado lassiguientes unidades:

1. Estatica. Una de las herramientas fundamentales en la Cinetica del Cuerpo Rıgidoes la habilidad para obtener y analizar diagramas de cuerpo libre de cuerpos rıgi-dos. Esta habilidad se adquiere durante el desarrollo de la unidad de aprendizajede Estatica.

2. Dinamica I. Un cuerpo rıgido se define como una agrupacion de partıculas talque la distancia entre dos de ellas, cualesquiera, permanece invariable; es decir, elcuerpo rıgido es indeformable. De esta manera, el analisis de cualesquiera de laspartıculas del cuerpo rıgido forzosamente requiere de las habilidades adquiridasen la unidad de aprendizaje de Dinamica I.

3. Calculo III (Calculo Vectorial). La Dinamica de Cuerpos Rıgidos trata con magni-tudes tales como vector de posicion, velocidad, aceleracion, velocidad y aceleracionangular y sus derivadas. Por lo tanto, las habilidades para obtener e interpretarlas derivadas de funciones vectoriales, que se desarrollan en la unidad de CalculoIII, son de suma importancia en la unidad de aprendizaje de Dinanica del CuerpoRıgido.

1.3. Datos del Instructor.

Dr. Jose Marıa Rico Martınez.

Cuerpo Academico de Dinamica y Robotica.

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Departamento de Ingenierıa Mecanica, de la Division de Ingenierıas, del CampusIrapuato-Salamanca.

Cubıculo 209, del edificio principal de la Division de Ingenierıas del CampusIrapuato-Salamanca.

Correo Electronico [email protected]

Telefono (464) 647-9940 Ext. 2390.

1.4. Horarios de Tutorias.

Las tutorias se ofrecen de 8 A.M. a 3:30 P.M. en el cubıculo del instructor.

2. El lugar de la unidad de aprendizaje en el perfil

de la Ingenierıa Mecanica y Mecatronica

La Dinamica es la ciencıa que estudia el movimiento de los objetos y la relacion entrelas fuerzas que actuan sobre los objetos y los movimientos que estas fuerzas producen.La dinamica ha empleado desde las investigaciones de Newton y Euler dos modelos deestudio de los objetos, la partıcula y el cuerpo rıgido —cursos mas avanzados dentrode la dinamica analizan tambien cuerpos deformables. Mientras que la partıcula es unobjeto para el cual el movimiento de rotacion es o imposible de determinar dadas lasdimensiones infinitesimales del objeto o, bien, un objeto para el cual el movimientode rotacion no es de importancia, un cuerpo rıgido se define como una agrupacion departıculas tal que la distancia entre dos de ellas cualesquiera permanece invariable; esdecir el cuerpo rıgido es un objeto indeformable.

La unidad de aprendizaje de Dinamica II es obligatoria, de caracter disciplinarioque se ofrece como curso y forma parte del Area Basica Disciplinar del programa deestudios de Ingenierıa Mecanica y Mecatronica. La unidad comprende 4 creditos con 72horas de instruccion y 78 horas de trabajo dirigido o independiente del participante.

La Dinamica II permite determinar las velocidades y aceleraciones de las partıculasque forman parte de un cuerpo rıgido y las velocidades y aceleraciones angulares del pro-pio cuerpo rıgido. De manera semejante, esta unidad permite determinar las velocidadesy aceleraciones de agrupaciones de cuerpos rıgidos que posteriormente se denominaranmecanismos. Es evidente el porque la unidad de aprendizaje de la Dinamica I, queaborda las relaciones entre el vector de posicion, velocidad y aceleracion de una partıculay el movimiento que las fuerzas producen sobre la partıcula, es prerequisito obligado deesta unidad. Es igualmente necesario que el participante tenga las competencias nece-sarias para diferenciar e integrar funciones vectoriales, estas competencias se desarrollanen la unidad de aprendizaje Calculo III. Finalmente, es altamente recomendable que el

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participante tenga las competencias necesarias para resolver sistemas de ecuaciones es-calares, usualmente lineales, provenientes de ecuaciones vectoriales, estas competenciasse desarrollan en la unidad de aprendizaje Algebra Lineal.

Es importante senalar que esta unidad, Dinamica II, no trata la determinacion dela posicion de un cuerpo rıgido o agrupaciones de cuerpos rıgidos, los analisis en estaunidad parten del supuesto que se conoce de antemano la posicion del cuerpo rıgidoo agrupaciones de cuerpos rıgidos. Este problema se conoce como analisis de posiciony, junto con otros temas como: Metodos graficos y computacionales para el analisiscinematico de mecanismos, sıntesis de mecanismos, levas, engranes y trenes de engranes,sera motivo de estudio en la unidad de Analisis y Sıntesis de Mecanismos. De manerasemejante, esta unidad de aprendizaje provee de los fundamentos para el abordaje delas unidades de aprendizaje de Dinamica de Maquinaria y Vibraciones Mecanicas.

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3. El Lugar de la Dinamica II en el Contexto Local

y Global

Las guıas de estudio o “syllabus”buscados y analizados dentro del paıs y fuera deel, muestran una gran disparidad de objetivos, contenidos — con descripciones contra-dictorias entre los objetivos del curso y los contenidos respectivos. Dentro del paıs setienen los siguientes ejemplos:

1. La guıa de estudio del sistema de Institutos Tecnologicos, ahora Instituto Tec-nologico Nacional, denominado FGOIMEC-2010-228Dinamica sin fecha de pu-blicacion o aprobacion, muestra un programa semestral con 5 horas de clases queincluye el estudio de la dinamica de partıculas y cuerpos rıgidos en el plano, sinincluir aceleracion Coriolis y metodos de impulso e ımpetu para cuerpos rıgidos.

2. La guıa de estudios de ingenierıa aeroespacial de la Universidad Autonoma de BajaCalifornia, Campus Mexicali, de fecha de aprobacion Febrero del 2009, incluyecomo unica unidad de aprendizaje obligatoria denominada Dinamica, con un totalde 25 horas totales, que unicamente incluye el estudio de la Dinamica I.

3. La guıa de estudios de la unidad Cinematica y dinamica de la Facultad de Inge-nierıa de la Universidad Nacional Autonoma de Mexico, aprobada en Noviembredel 2008, consta de 72 horas totales que incluye la cinematica de la partıculay cuerpo rıgido, sin mencion expresa del estudio de aceleracion Coriolis, y demetodos de trabajo y energıa e impulso e ımpetu para cuerpos rıgidos.

A nivel internacional y de manera mas especıfica en paises desarrollados, la diversi-dad es aun mayor,

1. Una descripcion de la unidad de aprendizaje denominada ENGR 57 Dynamics, dela University of California Merced, cuyo autor es Mohinder Grewal, expresa que elcontenido de la unidad, de acuerdo con el catalogo de la propia Universidad, cons-ta de: Fundamentals of statics. Kinematics and equations of motion of a particlefor rectilinear and curvilinear motion. Planar kinematics of rigid bodies. Kineticsfor planar motion of rigid bodies, including equations of motion and principles ofenergy and momentum. Sin embargo, el autor lista los topicos especıficos del cur-so, como: 1 General principles. Force vectors. 2 Equilibrium of a particle. Forcesystem resultants. 3 Equilibrium of a rigid body. 4 Structural analysis. 5 Internalforces. 6 Friction. Center of gravity of a rigid body. 7 Moments of inertia of rigidbodies. 8 Kinematics of particles. Rectilinear motion. Curvilinear motion. 9 Kine-matics of particles: Newton’s second law of motion. 10 Motion of particles undercentral force. 11 Kinetics of particles: energy and momentum methods. 12 Workand energy. Impulse momentum. 13 Central impact. Oblique impact. Conserva-tion of momentum. 14 Systems of particles. Impulse-momentum. 15 Kinematicsof rigid bodies. Plane motion of rigid bodies: forces andaccelerations. 16 Plane

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motion of rigid bodies: Energy and momentum methods. 17 Angular momentumof rigid bodies in 3-D motion. 18 Introduction to mechanical vibrations. 19 Freevibrations. Forced vibrations. Debe notarse, en particular, la introduccion del mo-mento angular para cuerpos rıgidos en movimiento espacial. No obstante, en eldesglose de los temas que se abordan en la programacion diaria de la clase, lostopicos del 15 al 19, que tratan con la cinematica y dinamica del cuerpo rıgi-do estan ausentes. Es importante notar que otras descripciones de esta mismaunidad de aprendizaje en la misma universidad, cubren en exceso el contenido dela unidad como se describe en el catalogo. No fue posible determinar el numerode horas de instruccion asignadas a esta unidad.

2. Una descripcion de la unidad de aprendizaje denominada ME242 Dynamics, dela Universidad de Nevada, Las Vegas, cuyo autor es Georg F. Mauer, con un totalde 45 horas de instruccion expresa que el objetivo del curso es ... to teach solutiontechniques for rigid body kinematics. Conservation of momentum and energy areemployed to analyze two and three dimensional problems. The use of vectors andfree body diagrams for the analysis of dynamic mechanical systems is stressed. Esimportante senalar, que en nuestra universidad, esos contenidos aparecen en dosunidades de aprendizaje Dinamica I y Dinamica II que combinados ocupan 104horas de instruccion.

3. En las escuelas de ingenierıa alemanas, el estudio de la Dinamica se englobacomo una parte de la Mecanica Tecnica, Technische Mechanik, un libro tıpicode este tipo de contribuciones es Gross, D., Ehlers, W., Wriggers, P. (2010)Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3. Springer: Berlin. El libroincluye entre muchas otras cosas la dinamica de partıculas y cuerpos rıgidos.Desafortunadamente, no se obtuvo informacion del numero de horas de instrucciondedicadas a estos temas.

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4. Objetivos y Competencias de la unidad de apren-

dizaje

Como ya se indico, la Dinamica II permite determinar las velocidades y aceleracionesde las partıculas que forman parte de un cuerpo rıgido y las velocidades y aceleracionesangulares del propio cuerpo rıgido. De manera semejante, esta unidad permite deter-minar las velocidades y aceleraciones de agrupaciones de cuerpos rıgidos. Se espera queal finalizar esta unidad el participante haya desarrollado las siguientes:

Competencias genericas institucionales.

Maneja etica y responsablemente las tecnologıas de la informacion para agilizarsus procesos academicos y profesionales de intercomunicacion.

Competencias especıficas del programa.

Disena, controla y mantiene sistemas electro-mecanicos, hidraulicos y neumaticos,involucrando la conversion de energıa entre sus diversas formas que permitanla automatizacion de procesos industriales enfocados a esquemas de produccioneficientes, y

Desarrolla y aplica sistemas roboticos inteligentes para optimizar procesos y tareasindustriales.

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5. Bibliografıa basica de la unidad de aprendizaje

La dinamica tanto de partıculas como de cuerpos rıgidos es una disciplina con masde cuatrocientos anos de antiguedad y los temas tratados en esta unidad de apren-dizaje son clasicos, de manera que no hay mucha novedad en las herramientas basicaspara la ensenanza de los mismos. Sin embargo, las herramientas computacionales quese han desarrollado en los ultimas seis decadas permiten ofrecer una nueva mirada altratamiento de los temas. En particular, se pretende que al mismo tiempo que los par-ticipantes adquieran las competencias analıticas asociadas a la Dinamica II, tambienadquieran competencias de modelado y analisis computacional de la dinamica de cuer-pos rıgidos. La bibliografıa sugerida apoya esta propuesta con una bibliografıa basica,todos los libros de esta lista incluyen los temas tratados en la unidad, una bibliografıacomplementaria que apoya la formacion de competencias en el modelado y analisis com-putacional y una bibliografıa comparativa que permite a los participantes observar eltratamiento de este tema en otros paises mas alla de Norteamerica.

5.1. Bibliografıa basica.

La bibliografia basica del curso es

Meriam, J.L., Kraige L.G. (2013). Engineering Mechanics: Dynamics. NewYork: John Wiley and Sons.

Beer, F.P., Johnston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., EisenbergE. R. (2009). Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill.

Hibbeler R.C. (2013). Engineering Mechanics: Dynamics. New York: PrenticeHall.

Pytel A., Kiusalaas, J. (2010). Engineering Mechanics: Dynamics. New York:CL Engineering.

Rico, J. M. (2008-2014). Notas de clases de la unidad de aprendizaje de DinamicaII. <http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/>

5.2. Bibliografıa complementaria

La bibliografıa complementaria de la unidad es

1 Garvan, F (2002). The Maple Book. Boca Raton: CRC Press.

2 Abell, M.L., Braselton, J.P. (2005). Maple by Example. New York: Elsevier.

3 Learning Basics. View 2013.pdf. MSC Corporation, n.d. Web. 7 Nov. 2014.<https://simcompanion.mscsoftware.com/infocenter/>

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5.3. Bibliografıa comparativa

La bibliografıa comparativa de la unidad es

1 Pommier, S., Berthaud, Y. (2010), Mecanique Generale Cours et exercicescorriges. Dunod: Paris.

2 Gross, D., Ehlers, W., Wriggers, P. (2010) Formeln und Aufgaben zurTechnischen Mechanik 3. Springer: Berlin.

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6. Criterios de Evaluacion

Se realizaran dos examenes por escrito al finalizar los temas 2a y 5. El promedio decalificacion de estos examenes determinaran el 90 % de la calificacion final. Los requisitospara tener derecho a presentar estos dos examenes son:

1. Obtener una calificacion mayor a 5 en los examenes sorpresa —que por escritose realizaran en los ultimos 20 minutos del periodo de alguna o algunas clases—realizados en el periodo antes del examen correspondiente.

2. Obtener un promedio de las tareas, obligatorias, mayor a 8. Habra una tarea porcada semana, con un promedio de 20 problemas, y se evaluaran aleatoriamentedos problemas de cada tarea.

3. La asistencia a clases con un maximo de 2 faltas en el periodo previo al examencorrespondiente.

El restante 10 % de la calificacion final estara basado en los resultados de 8 pequenosproyectos de solucion de problemas mediante el uso de los programas Maple c© y Adams c©.

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Anexo: Temas de la Unidad

En este anexo se encuentra toda la informacion acerca de las diferentes temas de laUnidad de Aprendizaje. Si el ıcono del tema incluye la figura de un raton de computa-dora, el tema requiere el desarrollo de competencias computacionales, ya sea empleandoun programa de algebra simbolica, Maple c©, o un programa de simulacion de sistemasmecanicos, Adams c©. Ademas la adicion de una a al numero del tema indica que esetema es una parte adicional del tema principal que carece de la letra.

Tema 1. Introduccion a la Dinamica II

Objetivo del Tema. En este tema introductorio, se presenta la unidad de aprendiza-je, se relaciona con las unidades de aprendizaje precedentes, como Estatica yDinamica I, como subsecuentes como Analisis y Sıntesis de Mecanismos, Dinami-ca de Maquinaria y Vibraciones Mecanicas. Igualmente se presenta una compara-cion entre la mecanica Newtoniana y la mecanica analıtica, en particular conla mecanica Lagrangiana. Este tema tambien permitira al instructor conocer losconocimientos previos de los participantes del curso y a los participantes exponercualquier duda acerca de la Unidad de Aprendizaje y las polıticas del curso. Fi-nalmente, en este tema se definiran los conceptos basicos de la unidad: Partıcula,Cuerpo Rıgido, Movimiento, Sistema de Referencia y Sistema Coordenado.

Epıgrafes del tema Los principales descriptores de este tema son:

Desarrollo historico de la Dinamica.

Definicion de partıculas y cuerpos rıgidos.

Cuerpos rıgidos y cuerpos deformables.

Sistemas de referencia y sistemas coordenados.

Material de Trabajo. Lectura de los capıtulos iniciales de la bibliografıa basica, yla nota introductoria al curso. Como complemento lectura del capıtulo inicial deTruesdel, C. (1968). Essays in the History of Mechanics. Berlin: Springer.

Metodo de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atencion en la definiciony significado de los conceptos que se introducen.

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Dificultades que Pueden Presentarse. El tema es muy simple, sin embargo es im-portante diferenciar claramente los conceptos.

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Tema 2. Cinematica del Cuerpo Rıgido

Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La definicion del movimientoplano general de un cuerpo rıgido y los casos especiales de este tipo de movimiento,la determinacion de relaciones entre las velocidades y aceleraciones de las diferen-tes partıculas de un cuerpo rıgido sujeto a los diferentes tipos de movimiento, ladeterminacion y analisis del movimiento de un cuerpo rıgido como un todo.


Definicion de los movimientos de traslacion, rotacion alrededor de un eje fijoy movimiento plano general.

Determinacion de las relaciones entre la velocidad y aceleracion de un cuerporıgido sujeto a movimiento de traslacion.

Determinacion del vector velocidad angular de un cuerpo rıgido sujeto amovimiento de rotacion alrededor de un eje fijo.

Determinacion de la velocidad y aceleracion de las partıculas de un cuerporıgido sujeto a rotacion alrededor de un eje fijo.

Determinacion y analisis del movimiento de un cuerpo rıgido sujeto a movimien-to de rotacion alrededor de un eje fijo como un todo.

Derivada de una funcion vectorial respecto a un sistemas de referencia sujetoa movimiento de traslacion y su relacion con la derivada de la misma funcionvectorial respecto a un sistema de referencia fijo.

Determinacion de las relaciones entre la velocidad y aceleracion de un cuerporıgido sujeto a movimiento plano general.

Centro instantaneo de velocidad o centro instantaneo de rotacion.

Condiciones acerca del movimiento entre dos cuerpos sin deslizamiento.

Condiciones acerca del movimiento entre dos cuerpos con deslizamiento.

Analisis de velocidad y aceleracion de agrupaciones de cuerpos rıgidos, queen la unidad de aprendizaje de Analisis y Sıntesis de Mecanismos se deno-minaran mecanismos.

Material de Trabajo. Lectura de las secciones 15.1 a 15.9 de Beer, F.P., Johnston,E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). VectorMechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes dela restante bibliografıa basica.

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Metodo de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atencion en la definiciony significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas porel instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado duranteel desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequenos proyectos en Maple c© yAdams c©.

Dificultades que Pueden Presentarse. La definicion del vector velocidad angulares siempre un tanto cuanto difıcil. Diferenciar los diferentes tipos de movimientoque un cuerpo rıgido puede al principio parecer un poco confuso. Conocer lasdiferentes condiciones sobre las velocidades y aceleraciones de dos puntos, dediferentes cuerpos rıgidos, cuando el movimiento de los cuerpos ocurre sin y condeslizamiento.

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Tema 2a. Movimiento Respecto a Sistemas de Referencia Suje-tos a Movimiento de Rotacion

Objetivo del Tema. El objetivo de este tema es el analisis del movimiento de un cuer-po rıgido respecto a un sistema de referencia sujeto a rotacion y la conciliacion delos resultados —velocidad y aceleracion— observados en el mismo cuerpo por dossistemas de referencia, uno fijo y otro sujeto a movimiento de rotacion alrededorde un eje fijo.


Derivada de una funcion vectorial respecto de un sistema de referencia sujetoa rotacion alrededor de un eje fijo y su relacion con la derivada de esa mismafuncion vectorial respecto de un sistema de referencia fijo.

Aplicacion del resultado precedente a un vector de posicion. Relacion entrelas velocidades de una partıcula perteneciente a un cuerpo rıgido tal comose observa desde un sistema de referencia sujeto a rotacion alrededor de uneje fijo y un sistema de referencia fijo.

Aplicacion del resultado a un vector velocidad angular y al vector velocidadde una partıcula. Relacion entre las aceleraciones de una partıcula pertene-ciente a un cuerpo rıgido tal como se observa desde un sistema de referenciasujeto a rotacion alrededor de un eje fijo y un sistema de referencia fijo.

Componente Coriolis de aceleracion.

Analisis de velocidad y aceleracion de agrupaciones de cuerpos rıgidos queinvolucren movimiento respecto a un sistema de referencia sujeto a rotacionalrededor de un eje fijo.

Material de Trabajo. Lectura de las secciones 15.10 a 15.11 de Beer, F.P., John-ston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009).Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equiva-lentes de la restante bibliografıa basica.


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Dificultades que Pueden Presentarse. Por alguna razon, la derivacion de vectoresrespecto de un sistema de referencia sujeto a rotacion es un poco dıficil de com-prender. De este concepto, se desprenden las velocidades y aceleraciones de unapartıcula respecto de un sistema de referencia sujeto a rotacion y la aceleracionCoriolis. Se sugiere que se observe el video —incluido en las notas de clase—que, al parecer del instructor, permite asimilar la diferencia entre la derivada deuna funcion vectorial respecto de un sistema de referencia sujeto a rotacion y laderivada de esa misma funcion vectorial respecto de un sistema de referencia fijo.

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Tema 3. Cinetica del Cuerpo Rıgido: Ecuaciones de Newton-Euler

Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La determinacion de las ecua-ciones de movimiento de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento general espacial—este tema esta fuera de los objetivos de esta unidad de aprendizaje sin em-bargo permite a los participantes de esta unidad una pequena vista a las ecua-ciones de movimiento en toda su generalidad—, la simplificacion de las ecuacionesde movimiento para el caso de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano ge-neral, donde el eje perpendicular al plano coincide con uno de los ejes princi-pales de inercia del cuerpo rigido. Ademas est’a unidad presentara y aplicara elprincipio de D’Alembert, analizara los siguientes casos especiales: Movimientode traslacion, movimiento de rotacion baricentrico, movimiento de rotacion nobaricentrico, movimiento de rodadura sin y con deslizamiento. Finalmente, serealizara el analisis dinamico de agrupaciones de cuerpos rıgidos.


Suposiciones fundamentales y un breve repaso de los sistemas de unidades.

Derivacion de las ecuaciones de Newton-Euler para un cuerpo rıgido sujetoa movimiento general espacial.

Simplificacion de las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rıgido sujetoa movimiento plano general, donde el eje perpendicular al plano coincide conuno de los ejes principales de inercia del cuerpo rigido.

Principio de D’Alembert.

Analisis de un cuerpo rıgido sujeto a translacion.

Analisis de un cuerpo rıgido sujeto a rotacion baricentrica.

Analisis de un cuerpo rıgido sujeto a rotacion no baricentrica.

Analisis de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento de rodadura

Analisis de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general.

Analisis dinamico de agrupaciones de cuerpos rıgidos.


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Dificultades que Pueden Presentarse. Este tema presenta algunas dificultades: Larealizacion de los diagramas de cuerpo libre, indispensables para el desarrollo dela Mecanica Newtoniana, el significado fısico del principio de D’Alembert y suaplicacion en la resolucion de problemas, el proceso, que en ocasiones requiere dedos pasos, para determinar el movimiento de un cuerpo rıgido sujeto a rodadura yfinalmente la realizacion de que, casi invariablemente, la solucion de un problemade cinetica de un cuerpo rıgido o una agrupacion de cuerpos rıgidos, involucra lasolucion de un problema, no necesariamente trivial, de la cinematica de un cuerporıgido o una agrupacion de cuerpos rıgidos.

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Tema 3a. Momentos y Productos de Inercia de un Cuerpo Rıgi-do

Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La determinacion del primermomento de masa de un cuerpo rıgido con respecto a un punto, la determinaciondel centro de masas del cuerpo rıgido y la determinacion del tensor de inercia deun cuerpo rıgido con respecto a un punto y a un sistema coordenado asociadoal punto. Adicionalmente, se prueba el teorema de ejes paralelos o teorema deSteiner y el concepto de radio de giro de un cuerpo rıgido con respecto a un puntoy una direccion arbitraria.


Primer momento de masa de un cuerpo rıgido respecto a un punto.

Centro de masas de un cuerpo rıgido

Producto de inercia de un cuerpo rıgido con respecto a un punto y dosdirecciones arbitrarias.

Segundo momento de inercia de un cuerpo rıgido respecto a un punto y unadireccion arbitraria.

Tensor de inercia de un cuerpo rıgido con respecto a un punto y a un sistemacoordenado asociado al punto.

Ejes principales de inercia de un cuerpo rıgido.

Teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner.

Radio de giro de un cuerpo rıgido respecto a un punto y una direccion arbi-traria.

Material de Trabajo. Lectura de las secciones 9.1 a 9.16 de Beer, F.P., Johnston,E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). VectorMechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes dela restante bibliografıa basica. El tratamiento presentado en las notas de clase,es muy general y poderoso y esta tomado de Kane, T.R., Levinson, D. A.(1985). Dynamics, Theory and Applications. New York: McGraw-Hill.

Metodo de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atencion en la definiciony significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas porel instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado duranteel desarrollo de las mismas.

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Dificultades que Pueden Presentarse. Este tema es relativamente sencillo y losparticipantes pueden aprovechar el paralelismo que existe entre los primeros ysegundos momentos de area y los primeros y segundos momentos de masas. Elteorema de ejes paralelos o teorema de Steiner, que se presenta en su forma masconocida, puede presentar algunos problemas.

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Tema 4. Metodos de Trabajo y Energıa Aplicados a CuerposRıgidos

Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema es la aplicacion del metodo de trabajoy energıa al analisis del movimiento de cuerpos rıgidos y agrupaciones de cuerposrıgidos. Para lograr este objetivo es necesario: Revisar brevemente los conceptosde trabajo de una fuerza y energıa cinetica de una partıcula, que fueron abor-dados en la unidad de aprendizaje de Dinamica I, determinar la energıa cineticade un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general y sus casos particulares,determinacion del trabajo efectuado por un par de fuerzas, sistemas conservativosy no conservativos, y energıa potencial.


Revision de los conceptos de trabajo de una fuerza y energıa cinetica de unapartıcula.

Determinacion de la energıa cinetica de un cuerpo rıgido sujeto a movimientoplano general: Casos particulares.

Determinacion del trabajo realizado por un par de fuerzas.

Sistemas conservativos, leyes de conservacion de energıa.

Sistemas no conservativos.

Energıa potencial.



Dificultades que Pueden Presentarse. La aplicacion del metodo de trabajo y ener-gıa, cuyo tratamiento es puramente escalar, es mas sencillo que la aplicacion de

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las ecuaciones de Newton-Euler de naturaleza vectorial. Las dificultades puedenpresentarse por deficiencias en la determinacion del trabajo realizado por dife-rentes tipos de fuerzas, el calculo de la energıa potencial de diferentes tipos decampos vectoriales conservativos y la realizacion de que la solucion de problemaspor este metodo puede requerir la definicion de mas de un sistema de cuerpos ola aplicacion de las ecuaciones de Newton-Euler.

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Tema 5. Metodos de Impulso e Impetu Aplicados a CuerposRıgidos

Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema es la aplicacion del metodo de impulsoe ımpetu al analisis del movimiento de cuerpos rıgidos y agrupaciones de cuerposrıgidos. Para lograr este objetivo es necesario: Revisar brevemente los conceptosde impulso e ımpetu de una partıcula, que fueron abordados en la unidad deaprendizaje de Dinamica I, determinar el impulso traslacional y rotacional defuerzas que actuan sobre un cuerpo rıgido, determinar el ımpetu traslacional yrotacional de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general y sus casosparticulares, leyes de conservacion del ımpetu, impactos entre cuerpos rıgidos.


Revision de los conceptos de impulso e ımpetu de una partıcula.

Determinacion del impulso traslacional y rotacional de fuerzas que actuansobre un cuerpo rıgido.

Determinacion del ımpetu traslacional y rotacional de un cuerpo rıgido sujetoa movimiento plano general y sus casos particulares.

Leyes de conservacion del ımpetu.

Impactos entre cuerpos rıgidos.

Material de Trabajo. Lectura de las secciones 17.8 a 17.12 de Beer, F.P., John-ston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009).Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equiva-lentes de la restante bibliografıa basica.


Dificultades que Pueden Presentarse. La aplicacion del metodo de impluso e ım-petu, cuyo tratamiento es nuevamente vectorial, tiende a ser mas complicado quela aplicacion del metodo de trabajo y energıa. Ademas es necesario distinguir entremomento e impulso lineal y momento e impluso angular. La falta de conocimientosde los conceptos de impulso e ımpetu para partıculas puede ser otra dificultad.

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