Sistemas de Ecuaciones Lineales y MatricesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G...

Sistemas de Ecuaciones Lineales yMatrices

Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de IngenierıasFacultad de Ingenierıa, Mecanica, Electrica y Electronica

Trimestre Invierno 2008,10 de enero de 2008

Inversa y transpuesta de una matriz Matrices elementales y matrices inversas Factorizacion LU de una matriz

Contenido

1 Inversa y transpuesta de una matrizInversa y transpuesta de una matriz

2 Matrices elementales y matrices inversasMatrices elementales y matrices inversasResumen

3 Factorizacion LU de una matrizFactorizacion LU de una matrizResumen


Inversa y transpuesta de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada

Definicion de InLa matriz identidad In de n × n es unamatriz de n × n cuyos elementos de ladiagonal principal son iguales a 1 ytodos los demas son 0.

In = bij donde bij =

{1 si i = j0 si i 6= j

Las siguientes matrices son unosejemplos:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I5 =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1



La inversa de una matriz cuadrada

Inversa de una matriz: A−1

Consideremos A y B dos matrices den × n donde se cumple que:

AB = BA = I

Entonces B se llama la inversa de A yse denota A−1. De esta forma secumple:

AA−1 = A−1A = I

Si A tiene inversa, entonces se diceque A es invertible.

Ejemplo: Consideremos las matrices

A =

(2 51 3

)y

B =

(3 −5−1 2

)Entonces(

2 51 3

)(3 −5−1 2

)=

(1 00 1

)



Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A

Procedimiento:

1 Se escribe la matriz aumentada (A|I).2 Se utiliza la reduccion por renglones

para poner la matriz A a su formaescalonada reducida por renglones.

3 Se decide si A es invertible:

Si la forma escalonada reducidapor renglones de A es unamatriz identidad I, entonces A−1

es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.Si la reduccion de A conduce aun renglon de ceros a laizquierda de la barra vertical,entonces A es singular.

Ejemplo: consideremos la matriz,

A =

2 4 64 5 63 1 −2

La matriz aumentada (A|I3) es 2 4 6 | 1 0 0

4 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1




Procedimiento:






Reduccion por renglones (inicio): 2 4 6 | 1 0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1

R1 → 1

2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 1

2 0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1




Procedimiento:






(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0

4 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1

R2 → R2 − 4R1

R3 → R3 − 3R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 12 0 0

0 −3 −6 | −2 1 00 −5 −11 | − 3

2 0 1




Procedimiento:






(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0

0 −3 −6 | −2 1 00 −5 −11 | − 3

2 0 1

R2 → − 1

3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 1

2 0 00 1 2 | 2

3 − 13 0

0 −5 −11 | − 32 0 1




Procedimiento:






(continuacion...) 1 2 3 | 12 0 0

0 1 2 | 23 − 1

3 00 −5 −11 | − 3

2 0 1

R1 → R1 − 2R2

R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 −1 | − 56

23 0

0 1 2 | 23 − 1

3 00 0 −1 | 11

6 − 53 1




Procedimiento:






(continuacion...) 1 0 −1 | − 56

23 0

0 1 2 | 23 − 1

3 00 0 −1 | 11

6 − 53 1

R3 → −R3−−−−−−−→ 1 0 −1 | − 5

623 0

0 1 2 | 23 − 1

3 00 0 1 | − 11

653 −1




Procedimiento:






(continuacion...) 1 0 −1 | − 56

23 0

0 1 2 | 23 − 1

3 00 0 1 | − 11

653 −1

R1 → R1 + R3

R2 → R2 − 2R3−−−−−−−−−−−→ 1 0 0 | − 83

73 −1

0 1 0 | 133 − 11

3 20 0 1 | − 11

653 −1




Procedimiento:






Finalmente, la inversa A−1 es:

A−1 =

− 83

73 −1

133 − 11

3 2− 11

653 −1

factorizando el termino 1

6 , tenemos:

A−1 =16

−16 14 −626 −22 12−11 10 −6

Se puede demostrar que AA−1 = I.



Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz

Teoremas:

Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.

Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB esinvertible y es:

(AB)−1 = B−1A−1

Si A es una matriz de 2× 2 y det A = a11a22 − a12a21. Entonces

A es invertible si y solo si det A 6= 0.Si det A 6= 0, entonces

A−1 =1

det A

(a22 −a12

−a21 a11

)Si A es invertible, entonces la solucion unica de Ax = b esta dada porx = A−1b.



Transpuesta de una matriz

Definicion:

Sea A = (aij) una matriz de m × n. Entonces la transpuesta de A, que seescribe At , es la matriz n ×m obtenida al intercambiar los renglones por lascolumnas de A. De forma simplificada, se puede escribir At = (aji). Esto es:

si A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

, entonces At =

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

......

a1n a2n · · · amn



Propiedades de la transpuesta de una matriz

Teorema:

Sea A = (aij) una matriz de n ×m y B = (bij)una matriz de m × p. Entonces:

1 (At)t = A.2 (AB)t = BtAt .3 Si A y B son de n ×m, entonces

(A + B)t = At + Bt .4 Si A es no singular, entonces At es

invertible y (At)−1 = (A−1)t .Observacion: Si en una matriz se cumple queA = At , entonces se dice que A es una matrizsimetrica. De igual forma, si en una matriz secumple que A = −At , entonces se dice que A esuna matriz antisimetrica.

Ejemplo:

Consideremos A =

1 12 00 1

.

Entonces:

At =

(1 2 01 0 1

)y

(At)t =

1 12 00 1

= A




Teorema:





Ejemplo:Consideremos:

A =

1 12 00 1

y B =

(1 30 1

).

donde

(AB)t =

1 42 60 1

t

=

(1 2 04 6 1

).

Entonces,

BtAt =

(1 03 1

)(1 2 01 0 1

)=

(1 2 04 6 1

)




Teorema:





Ejemplo:

Si A =

1 13 21 1

y B =

2 11 31 1

Entonces,

(A + B)t =

3 24 52 2

t

=

(3 4 22 5 2

)De igual forma,

At + Bt =

(3 4 22 5 2

)




Teorema:





Ejemplo:

Consideremos A =

(1 30 1

)donde

A−1 =

(1 −30 1

)At =

(1 03 1

)(At)−1 =

(1 0−3 1

)De aquı podemos observar que:

(At)−1 = (A−1)t


Contenido





Matrices elementales y matrices inversas

Definicion y operaciones de las matrices elementales

Definicion:

Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puedeobtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una solaoperacion elemental con renglones.

Tipos de operaciones elementales:

1 Multiplicar el renglon i por un numeroc diferente de cero.

2 Sumar un multiplo del renglon i alrenglon j .

3 Permutar los renglones i y j .




Definicion:






Nomenclatura: cRi 1 0 00 1 00 0 1

R2 → 4R2−−−−−−→ 1 0 00 4 00 0 1

= 4R2




Definicion:






Nomenclatura: Rj + cRi 1 0 00 1 00 0 1

R3 → R3 − 2R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 00 1 00 −2 1

= R3 − 2R2




Definicion:






Nomenclatura: Pij 1 0 00 1 00 0 1

R2 � R3−−−−−−→ 1 0 00 0 10 1 0

= P23



Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental

Teorema:

Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.

Ejemplo:

Sea la matriz A =

1 3 32 1 24 0 7

y la matriz elemental E =

1 0 0−2 1 0

0 0 1

Entonces,

EA = (R2 − 2R1)A

=

1 0 0−2 1 0

0 0 1

1 3 32 1 24 0 7

=

1 3 30 −5 −44 0 7




Teorema:

Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental esuna matriz elemental.

Para EcRi : (cRi)−1 = 1

c Ri

Para ERj+cRi : (Rj + cRi)−1 = Rj − cRi

Para EPij : (Pij)−1 = Pij




Teorema:



c Ri



1 0 00 c 00 0 1

1 0 00 1

c 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Ejemplo: E → 4R2 1 0 0

0 4 00 0 1

1 0 00 1

4 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1




Teorema:



c Ri



1 0 00 1 0c 0 1

1 0 00 1 0−c 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Ejemplo: E → R3 + 2R1 1 0 0

0 1 02 0 1

1 0 00 1 0−2 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1




Teorema:



c Ri



Ejemplo: E → P23 1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 0 10 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1



Representacion de una matriz en terminos matrices elementales

Teorema:

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matriceselementales.

A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1

A =E−11 E−1

2 · · ·E−1m−1E−1

m

Ejemplo: Sea A =

(2 44 5

), con su matriz aumentada:

(2 4 | 1 04 5 | 0 1

)




Teorema:


A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1

A =E−11 E−1

2 · · ·E−1m−1E−1

m

Ejemplo: Sea A =

(2 44 5


(2 4 | 1 04 5 | 0 1

)

E1 :12

R1−−−−−−→

(1 2 | 1

2 04 5 | 0 1

)E2 : R2 − 4R1−−−−−−−−−→

(1 2 | 1

2 00 −3 | −2 1

)

E3 : −13

R2−−−−−−−→

(1 2 | 1

2 00 1 | 2

3 − 13

)E4 : R1 − 2R2−−−−−−−−−→

(1 0 | − 5

623

0 1 | 23 − 1

3

)




Teorema:


A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1

A =E−11 E−1

2 · · ·E−1m−1E−1

m

Ejemplo: Sea A =

(2 44 5


(2 4 | 1 04 5 | 0 1

)Entonces,

A−1 = (R1 − 2R2)(−13

R2)(R2 − 4R1)(12

R1)

=

(1 −20 1

)(1 00 − 1

3

)(1 0−4 1

)( 12 00 1

)

=

(− 5

623

23 − 1

3

)




Teorema:


A−1 =EmEm−1 · · ·E2E1

A =E−11 E−1

2 · · ·E−1m−1E−1

m

Ejemplo: Sea A =

(2 44 5


(2 4 | 1 04 5 | 0 1

)De igual forma,

A = (12

R1)−1(R2 − 4R1)

−1(−13

R2)−1(R1 − 2R2)

−1

=

( 12 00 1

)−1 ( 1 0−4 1

)−1 ( 1 00 − 1

3

)−1 ( 1 −20 1

)−1

=

(2 00 1

)(1 04 1

)(1 00 −3

)(1 20 1

)=

(2 44 5

)


Resumen

Resumen

Tarea y problemas

1 Sea(

a11 a12a21 a22

)es una matriz con elementos reales no negativos que tienen

las propiedades siguientes:

i) a211 + a2

12 = 1 y a221 + a2

22 = 1 y ii)(

a11a12

)·(

a21a22

)= 0.

Demuestre que A es invertible y que A−1 = At .

2 Encuentre la matriz elemental E tal que EA = B si A =

1 23 45 6

y

B =

−5 −63 45 6

.

3 Sea A =

0 2 31 1 42 4 1

, expresa A como el producto de matrices elementales.


Resumen

Resumen

Programas:

1 Realizar un programa que genere las n2 matrices elementales cuyo productogeneran la matriz A−1.

2 Modificar el programa anterior para obtener las n2 matrices elementales cuyoproducto generan la matriz A.


Contenido





Factorizacion LU de una matriz

Factorizacion LU aplicando matrices elementales

Ejemplo:

A =

2 1 43 2 05 1 1

Reduciendo la matriz a una forma escalonadaaplicando la eliminacion Gaussiana: 2 1 4

3 2 05 1 1




Ejemplo:

A =

2 1 43 2 05 1 1


3 2 05 1 1

2 1 4

3 2 05 1 1

R2 → R2 − 32 R1

R3 → R3 − 52 R1

−−−−−−−−−−−→

2 1 40 1

2 −60 − 3

2 −9




Ejemplo:

A =

2 1 43 2 05 1 1

Operaciones Elementales

E1: R2 − 32 R1

E2: R3 − 52 R1


3 2 05 1 1

2 1 4

3 2 05 1 1

R2 → R2 − 32 R1

R3 → R3 − 52 R1

−−−−−−−−−−−→

2 1 40 1

2 −60 − 3

2 −9




Ejemplo:

A =

2 1 43 2 05 1 1


E1: R2 − 32 R1

E2: R3 − 52 R1


3 2 05 1 1

2 1 4

0 12 −6

0 − 32 −9

R3 → R3 + 3R2−−−−−−−−−−−→

2 1 40 1

2 −60 0 −27




Ejemplo:

A =

2 1 43 2 05 1 1


E1: R2 − 32 R1

E2: R3 − 52 R1

E3: R3 + 3R2


3 2 05 1 1

2 1 4

0 12 −6

0 − 32 −9

R3 → R3 + 3R2−−−−−−−−−−−→

2 1 40 1

2 −60 0 −27




Teorema:

Para realizar una operacion elemental en una matriz A, se multiplica A por laizquierda por la matriz elemental adecuada.

E3E2E1A = U

[R3 + 3R2][R3 −52

R1][R2 −32

R1]A = U

1 0 00 1 00 3 1

1 0 00 1 0− 5

2 0 1

1 0 0− 3

2 1 00 0 1

2 1 43 2 05 1 1

= U

Donde:

U =

2 1 40 1

2 −60 0 −27



Factorizacion LU aplicando matrices elementales ...

Procedimiento:

1 Multiplicamos por lamatriz inversa quecorresponda por laizquierda

2 Donde:

A =

2 1 43 2 05 1 1

U =

2 1 40 1

2 −60 0 −27

3 Finalmente tenemos:

A = LU

E3E2E1A = U

E−11 E−1

2 E−13 E3E2E1A = E−1

1 E−12 E−1

3 U

A = [R2 −32

R1]−1[R3 −

52

R1]−1[R3 + 3R2]

−1U

A = [R2 +32

R1][R3 +52

R1][R3 − 3R2]U

A =

1 0 032 1 00 0 1

1 0 00 1 052 0 1

1 0 00 1 00 −3 1

U

A =

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)



Metodo simplificado de la factorizacion LU

Procedimiento:

1 Se expresa A = LU2 Se iguala el producto

escalar del primer renglonde L y la primera columnade U al elemento a(1,1) deA y se determina laprimera incognita.

3 Se repite el procedimientopara el renglon i de L y lacolumna j de U y se igualaal elemento a(i,j) de A paraencontrar todas lasincognitas.

A =

(1 0 0a 1 0b c 1

)(d e g0 f h0 0 i

)

Por lo tanto, tenemos:




Procedimiento:




A =

(1 0 0a 1 0b c 1

)(d e g0 f h0 0 i

)

(2 1 43 2 05 1 1

)=

(1 0 0a 1 0b c 1

)(d e g0 f h0 0 i

)





Procedimiento:




A =

(1 0 0a 1 0b c 1

)(2 e g0 f h0 0 i

)

(2 1 43 2 05 1 1

)=

(1 0 0a 1 0b c 1

)(d e g0 f h0 0 i

)


2 = d




Procedimiento:




A =

(1 0 032 1 0b c 1

)(2 e g0 f h0 0 i

)(

2 1 43 2 05 1 1

)=

(1 0 0a 1 0b c 1

)(2 e g0 f h0 0 i

)


3 = 2a




Procedimiento:




A =

1 0 032 1 052 −3 1

( 2 1 40 1

2 −60 0 i

)(

2 1 43 2 05 1 1

)=

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 i

)


1 = 4(52

)− 6(−3) + i




Procedimiento:




A =

1 0 032 1 052 −3 1

( 2 1 40 1

2 −60 0 −27

)




Aplicacion a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b

Procedimiento:

El metodo consiste en resolverel sistema Ax = b mediante lafactorizacion de la matriz decoeficientes A en LU.

Se expresa el sistemacomo: LUx = b.

Se sustituye y = Ux y seresuelve el sistemaresultante Ly = b.

Se resuelve el sistemay = Ux para el vector x.

Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)(

1 0 032 1 052 −3 1

)(y1y2y3

)=

(142

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)(

y1y2y3

)=

(1

4− 32 y1

2− 52 y1 + 3y2

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)(

y1y2y3

)=

(1527

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)(

y1y2y3

)=

(1527

)(

2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(1527

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)(

y1y2y3

)=

(1527

)(

x1x2x3

)=

(12 (1− x2 − 4x3)

2( 52 + 6x3)

− 727

)




Procedimiento:





Ejemplo:(2 1 43 2 05 1 1

)(x1x2x3

)=

(142

)

(1 0 032 1 052 −3 1

)(2 1 40 1

2 −60 0 −27

)(x1x2x3

)=

(142

)

(x1x2x3

)=

(2

275127

− 727

)


Resumen

Resumen

Tarea y problemas

1 Resuelve el siguiente sistema usando la factorizacion LU. Esto es, resuelvaAx = LUx = b

A =

3 9 −26 −3 84 6 5

; b =

3104

2 Encuentre una matriz de permutacion P y las matrices triangulares inferior y

superior L y U tales que PA = LU; utilice el resultado para resolver el sistemaAb = b.

A =

0 2 40 3 74 1 5

; b =

−102


Resumen

Resumen

Programas:

1 Realizar un programa que obtenga la factorizacion LU de una matriz A de n × n.2 Modifica el programa anterior para obtener la factorizacion LU de una matriz A

de n ×m, donde la matriz L es una matriz triangular inferior de n × n con unosen su diagonal.

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