DIVISIÓN DE POLINOMIOS I Mathema

Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1

Paolo Ruffini (1765 - 1822), filósofo, médico y

matemático italiano. Fue profesor de matemáticas y, en 1814, rector de la Universidad de Módena. Ruffini fue el primero que realizó un intento, con éxito parcial (probablemente

en 1803 o 1805), de demostrar la imposibilidad de resolver mediante procesos elementales de álgebra las ecuaciones generales de un grado superior a cuatro. Esta formulación, denominada teorema Abel - Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel. William George Horner (1786 - 1837) Recibió su educación en la Escuela de Kingswood de Bristol. Resulta sorprendente que, cuando tenía 14 años, se convirtiera en maestro auxiliar en dicha escuela y, años más tarde, en su director. Horner solamente realizo una única contribución significativa a las matemáticas, a saber, el método de Horner para resolver ecuaciones algebraicas. Éste fue presentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical Transactions of the Royal Society. No obstante, algunos años antes Ruffini había descrito un método semejante, por el cual le fue concedida la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science, que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que el matemático chino Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado quinientos años antes.

PROBLEMAS 1. Efectuar las siguientes divisiones:

a. 3 5 2

2

42 1

+ − ++ −

x x x xx x

.

b. 5 2 4

2

6 7 33 2− + −− +

x x xx x

.

2. Calcule el resto de

3 2 4

2

9 10 16 32 2

− + + −− + +

x x x xx x

3. Efectúe

4 3 2

2

( 1) ( 1) ( ) 3+ + + + − + − + −+ +

x a x a b x b a x bx ax b

e indique la suma de los coeficientes del cociente.

Rpta: 1

4. Si la división 4 2

2

32

+ + ++ −

x x mx px x

tiene

como residuo a 4x . Halle el valor de +m p .

Rpta: 0

5. En la división exacta

4 3

2

32 3

x x mx nx x− + +

− +, halle el valor de

+m n . 6. Si el resto de la siguiente división

5 4 3 2

2

5 8 52

+ − + − ++ −

mx nx x x xx x

es 2 5+x ,

halle el valor de −m n . Rpta: 0 7. Luego de dividir

4 3 2

2

9 6 23 2 1

+ + + ++ −

x x ax bx cx x

, calcule el

valor de + +a b c ; si la suma de coeficientes del cociente es 8 y el resto 3 7+x .

Rpta 21

8. En la división

5 4 3 2

2

2 62 4

+ + + + ++ +

x x ax bx cx bx x a

, 0≠a ; se

obtiene un resto ( ) = +R x ax b . Calcule el valor de +b c .

Rpta: 8− 9. Si la siguiente división

4 3

2

5 22

+ + +− +

mx nx xx x

es exacta, halle el

valor de 3 2+m n Rpta: 7

10. Calcule el valor de ( + +mn np mp ) si el

resto de la división 4 3 2

2

6 62 5 2

+ + + +− +

mx nx px xx x

es 5 8− +x y la

suma de coeficientes del cociente es 4.

11. Si la división 4 3 2

2 1+ + + +

− −x ax bx cx d

x x es

exacta. Calcule el valor de a b dc a d+ ++ −

.

Rpta: 2

12. Si la siguiente división

4 3

2

5 22

+ + +− +

mx nx xx x

es exacta, halle el

valor de 3 2+m n Rpta: 7 13. El resto de la siguiente división

4 3 2

2

8 92 3

− + + + −+ −

Ax Bx Ax xx x

es el

polinomio ( )R x = 3 3−x . Calcule el

valor de 3

3A B+ .

Rpta: 1− 14. Si la división

4 3 2

2

(2 16) 2 45 3 2

+ + − − +− + +

ax bx c x xx x

es

exacta, calcule el valor de 2 7+ +a b c .

Rpta: 1− 15. Si la división

6 5 4 3

3 2

2 3 (2 3) 6 92 3

+ + − + +− + +

nx mx p x xx x

es

exacta, indique el valor de 2 2 2+ +m n p 16. Si ( 3 5+x ) es el resto de dividir

( )P x = 4 3 26 14 5α β+ − + −x x x x entre

( )d x = 25 2− + +x x . Halle el valor de 3 4α β− − .

17. Al efectuar la división

4 2 3 2 2 2

2

( )+ + − + −+ −

abx a bc x b x acx cax cx b

se

obtiene un resto de la forma [( 1) ]+ −a x c . Halle el valor de 2 +c b ;

0<c . Rpta: 0 18. Al dividir

3 2 2 2 2

2

( )+ − + + +− −

acx c ab x abx a bcx bx c

;

≠abc 0 el resto es +dx d . Calcule el valor de 6 6 6+ +a b c 2 2 23− a b c sí { , , }⊂a b c R .

Rpta: 0

19. Al dividir 4 3 2

2

62 2

+ + + +− +

x ax bx cx dx x

se

obtiene un cociente cuyos coeficientes van aumentando de uno en uno, y un resto ( ) = +R x ax b , halle el valor de +c d .

Rpta: 30

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20. Hallar el residuo de la siguiente división 4 3 2

2

4 4 11 22 3 2

+ + + +− +

x x ax xx x

si el término

independiente del cociente es cero. 21. Sabiendo que el resto de la división

4 2

2

4 4 32− + +− −

x x xx x m

no es lineal. Halle el

residuo. 22. Si al efectuar la división

( )4 3 26 14 5+ − + −x Ax x Bx ÷

( )25 2− + +x x se obtuvo como residuo

un polinomio ( 3 5+x ); halle el valor de 4 1+ −A B .

Rpta: 2

23. Si dividimos un polinomio de quinto

grado entre ( 2 1+ +x x ) se obtiene por resto (10 2+x ) y por cociente ( )q x . Sabiendo que (4) 0=P , halle el valor

de +n a en 2( ) 18= − −nq x x ax . 24. La siguiente división

4 2 3 2 2

2

( ) ( )+ + + + + ++ +

abx a b x bx a b x aax bx a

deja como residuo ( ) = +R x ax b . Calcule el valor de

2 2( ) 3 (1 )+ + ++

a b b a ba b

.

El Método de Ruffini: Fue publicado en 1804, y en esencia coincide con el método de W. G. Horner aparecido en 1819, conocido hoy con el nombre de “esquema de Horner”, reservándose para Ruffini el método práctico para la determinación de los coeficientes de la división de la ecuación por factores binomios lineales, procedimiento con que Ruffini facilito el método. Un lejano precursor de este método se ha encontrado en los matemáticos chinos del siglo XIII.

25. Efectuar las siguientes divisiones

a. 4 3 26 8 2

3 2− + +

+x x x

x.

b. 4 3 25 9 7 6

15

+ − +

−

x x x

x.

c. 7 6 4 32 3 2 3 8 1

2 3+ + + − −

+x x x x x

x.

26. Luego de efectuar; señale el cociente en

3 23 10 6 42

3 1

− + +−−

x x xxx

.

27. Halle el producto de coeficientes del

cociente de la división 3 2 2 22 2 2

2+ + − − −

−abx b x bcx ax bx c

bx

Rpta: abc

28. En la división

4 3 2 2 2(4 ) (4 ) 4 2+ + + + + ++

bx ab a x a b x abx a

0≠b el resto es –2 y además la suma de coeficientes del cociente es cero. Halle el valor de +a b .

Rpta: 3

29. Halle la suma de coeficientes del

cociente aumentado en su resto en la siguiente división.

6 4 3 24 (2 2 3) (1 3 2) 5 22 1

x x x xx

+ − + − − +−

30. Si la división indicada

2 2 3 2 2 2( ) (2 2 ) 4 2( )

− + − + + −+ + −

A B x AB B x ABx B ABA B x B A

es exacta. Halle el valor de 2 2A BAB+

.

Rpta: 1

31. En la división

( )3 2+ +nx x n ÷ ( 3)−x la suma de

coeficientes del cociente es 365, halle el resto.

Rpta: 740

32. Si la suma de coeficientes del cociente

de la división 1 2 32 3 4 1

2 1

− − −+ + + + + +−

n n nx x x nx nx

es

28, halle su resto. 33. En la división

17 16 2 11

+ ++ + + + +−

a ax x x xx

halle el

valor de a , si la suma de coeficientes del cociente es 90 veces su resto.

Rpta: 167

34. Si la suma de coeficientes del cociente

es igual al resto en

4 2 3 2 2( 1)1

+ − − − +−

nx n x n x x nnx

; 0>n

según ello; señale el valor de 2 1+ +n n . 35. De la división

51 372 2

1 1 2 2

3 1

x x xb a

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− se obtiene

un cociente ( )q x = 50 49

0 1 50+ + +c x c x c y el resto

5− ; donde 0 1 50+ + +c c c =2 1+

a b.

Calcule el valor de 1+ba .

Rpta: 1/4 36. Dado el polinomio

5 3( ) (3 2 2) 2 2 1= + − + +P x x x . Halle

el valor de ( 2 1)−P . Rpta: 4