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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE 5º AÑO BÁSICO

UNIDAD 6 EL LENGUAJE DE LAS FRACCIONES

Preparado por: Héctor Muñoz

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE 5º AÑO BÁSICO

UNIDAD 6 EL LENGUAJE DE LAS FRACCIONES

1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Las fracciones, los números decimales y los porcentajes proporcionan 3 lenguajes para cuantificar partes de una unidad. Las fracciones y los decimales se empiezan a ver en 4º básico. Ahora, en 5º básico, se profundiza en estos dos lenguajes, se estudian sus interrelaciones y se conocen procedimientos de adición y sustracción de fracciones y de números decimales.

La presente Unidad está dedicada al estudio de las fracciones. La Unidad se inicia con un

conjunto de actividades destinadas a reforzar los conceptos fundamentales relacionados con el lenguaje de fracciones. En especial, se enfatizan las dos posibles interpretaciones que se puede dar a las fracciones, se subraya la importancia de prestar atención a la unidad a que se refiere cada fracción y se analiza la relación que existe entre las fracciones y la división.

Luego se discuten las relaciones que existen entre las fracciones y los números naturales, se

analiza la representación de fracciones en la recta numérica y se introducen las operaciones de amplificación y simplificación de divisiones y fracciones. La posibilidad de transformar una fracción en otra que sea equivalente a ella pero posea un denominador diferente abre posibilidades para comparar, sumar y restar fracciones, tanto de igual denominador como de distinto denominador.

Las operaciones de multiplicación y división de fracciones es un tema que se tratará en 6º

básico.

2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas

3. CONTENIDOS 3.1 Interpretación de fracciones y su representación en la recta numérica 3.2 Operaciones con fracciones.

4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Interpretación de fracciones y su representación en la recta numérica

En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:

• Interpreten la información que proporcionan fracciones del tipo �

�en

contextos de la vida cotidiana, reconozcan dos posibles interpretaciones para fracciones del tipo

�

� y distingan el significado del numerador y del

denominador en cada una de estas dos interpretaciones. • Reconozcan la relación que existe entre la división y las fracciones. • Interpreten fracciones cuyo numerador es igual o mayor que su

denominador e identifiquen fracciones que son equivalentes a números naturales.

• Representen fracciones en la recta numérica.

Aprendizajes esperados

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4.2 Operaciones con fracciones

En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:

• Identifiquen y denominen las operaciones de amplificación y simplificación de una división y reconozcan que dichas operaciones no modifican el valor del cuociente.

• Identifiquen y denominen las operaciones de amplificación y simplificación de una fracción y reconozcan que dichas operaciones no modifican el valor de la fracción.

• Identifiquen y construyan fracciones equivalentes a una fracción dada. • Empleen procedimientos para comparar, sumar o restar fracciones cuyos

denominadores son iguales. • Empleen procedimientos para comparar, sumar o restar fracciones cuyos

denominadores pueden igualarse mediante amplificación de una o ambas fracciones involucradas.

• Resuelvan problemas que implican suma o resta de fracciones.

5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS

5.1 La unidad de referencia En el trabajo con fracciones, especialmente en sus inicios, es necesario prestar especial

atención al hecho que en la aplicación de las fracciones a situaciones reales las fracciones aparecen siempre asociadas a una unidad específica: se trata de una fracción de metro, una fracción de segundo, una fracción de un curso, una fracción de un queque, etc.

Esto implica que dos fracciones iguales pueden representar cantidades diferentes si están

referidas a distintas unidades: �

� de metro representan una distancia muy diferente de

�

� de

kilómetro, o dos trozos de �

� de pizza solo representan la misma cantidad de pizza si las pizzas a

que se refieren ambas fracciones son iguales en tamaño. Esto es muy similar a lo que sucede con los números naturales. Es evidente que 5 horas no es

lo mismo que 5 minutos y que $ 2.000 no es lo mismo que 2.000 UF. No prestar atención a la unidad de medida es un error bastante frecuente entre los

estudiantes, de modo que es importante subrayar este punto cada vez que sea necesario.

5.2 Dos interpretaciones para las fracciones Para interpretar fracciones, conviene partir por aquellas cuyo numerador es 1. Una fracción del

tipo �

� representa cada una de las partes que resultan cuando una unidad se divide en q partes

equivalentes. Esta interpretación resulta relativamente fácil de comprender por los estudiantes,

especialmente si presentamos una variedad suficientemente amplia de ejemplos.

Aprendizajes esperados

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Una vez establecida una interpretación para las fracciones del tipo �

� , pasamos a las fracciones

del tipo �

� , es decir, fracciones con numerador distinto de 1. Aquí tenemos dos posibles

interpretaciones. La que se presenta con mayor frecuencia es aquella que considera que la

fracción �

� equivale a p veces

�

� .

Otra posible interpretación que conviene introducir desde temprano concibe la fracción

�

� como

el resultado de dividir p unidades en q partes equivalentes. Esta interpretación establece una directa relación entre las fracciones y la operación de división.

Supongamos que dividimos una cuerda de 1 metro en 4 partes de igual longitud. Cada una de

estas partes corresponde a �

� de metro y 3 de estas partes corresponden a

�

� de metro. Esta

situación ilustra la primera de las interpretaciones para la fracción �

� . En este caso, dado que 1

metro equivale a 100 centímetros, �

� de metro corresponden a una longitud de 75 centímetros.

Supongamos ahora que disponemos de una cuerda de 3 metros y queremos dividirla en 4

partes de igual longitud. Esta situación correspondería a la segunda de las interpretaciones de la

fracción �

� . Y si cortamos la cuerda en 4 partes iguales, veremos que efectivamente cada parte

tiene una longitud de 75 centímetros.

5.3 Fracciones, números decimales y porcentajes Las fracciones son números que, a diferencia de los números naturales, permiten cuantificar

partes de una unidad. Ellas permiten representar cantidades mayores que 0 pero menores que 1 o, en general, cantidades mayores que un número natural n cualquiera pero menores que su sucesor n + 1.

Las fracciones no son el único tipo de número que puede hacer esto. También los números

decimales permiten cuantificar partes de una unidad. En tal sentido, fracciones y decimales constituyen dos lenguajes para el expresar partes de una unidad. No son, sin embargo, lenguajes totalmente equivalentes. Como sabemos, hay cantidades que pueden ser representadas mediante números decimales pero que no pueden representarse mediante fracciones. Se trata de los llamados números irracionales, cuyo descubrimiento significó en su momento un remezón muy fuerte al esquema numérico de Pitágoras.

Otro lenguaje que permite representar partes de una unidad es el lenguaje de los porcentajes.

En esencia, el porcentaje es una forma de expresar una comparación por cuociente en que el resultado se multiplica por 100. Pertenece a una familia de magnitudes similares como el tanto por mil, los ppm (partes por millón) o los ppb (partes por billón).

De acuerdo con el marco curricular, en 4º año básico se introducen tanto las fracciones como

los números decimales. En 5º básico se avanza en el conocimiento de ambos tipos de números, tanto en relación con nuevas propiedades como en el estudio de las operaciones de adición y sustracción. En 6º básico culmina el estudio de fracciones y números decimales en Educación

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Básica con la introducción de procedimientos de multiplicación y división. Al mismo tiempo, en 6º básico se inicia el tratamiento de los porcentajes.

5.4 Fracciones en la recta numérica Al igual que los números naturales, las fracciones pueden ser representadas en la recta

numérica. Así, si se divide la distancia entre el 0 y el 1 en p partes iguales, el punto en que

termina la primera de estas partes representa la fracción �

� , el punto en que termina la segunda

de estas partes representa la fracción

� , el punto en que termina la tercera de estas partes

representa la fracción �

�, y así sucesivamente. Y, por supuesto, esto se puede prolongar más allá

de 1. Es importante subrayar que en la recta numérica la fracción, como todo número, queda

representada por un punto y no por un trazo. Una característica importante de la recta numérica es que los números naturales

representados en ella crecen de izquierda a derecha. Es decir, de dos números naturales representados en la recta numérica, el que está a la derecha es mayor que el que está a la izquierda. Esto es válido también para las fracciones y para los números decimales.

Por su parte, si a 2 o más fracciones les corresponde un mismo punto, como sucede con las

fracciones �

,

� ,

�

etc., ellas son equivalentes, es decir, representan el mismo valor.

6. DESCRIPCIÓN DE LAS GUÍAS DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES

GUÍA Nº 1 IDEAS BÁSICAS RELATIVAS A FRACCIONES En la Guía nº 1 se repasan algunos aspectos básicos relativos a fracciones. Se inicia

estableciendo una interpretación para las fracciones de tipo �

� . Luego se presentan dos formas de

interpretar las fracciones del tipo �

� , es decir, fracciones con numerador distinto de 1. De acuerdo

con la primera interpretación, la unidad se divide en q partes iguales y se consideran p de estas

partes. En otras palabras, la fracción �

� equivale a p veces

�

� .

La otra interpretación equipara la fracción con el resultado de un reparto equitativo. Según

esta interpretación, la fracción p/q corresponde a cada una de las partes que resultan cuando p unidades se dividen en q partes iguales. Esta interpretación establece una relación muy estrecha entre el lenguaje de fracciones y la operación de división.

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En las actividades de esta guía se llama repetidamente la atención a la unidad a que se refiere la fracción de acuerdo al contexto en que ella aparece.

La guía está dividida en 4 secciones:

1. Fracciones de numerador 1 2. Fracciones de numerador distinto de 1 3. Las fracciones y la división: otra interpretación para las fracciones 4. Resumen de las principales ideas

GUÍA Nº 2

MÁS ACERCA DE LAS FRACCIONES En la Guía nº 2 se analiza la posibilidad de que en una fracción el numerador sea igual o mayor

que el denominador. A veces, a este tipo de fracciones se les denomina “fracciones impropias”, una denominación que no parece ser muy adecuada pues no hay nada “impropio” en fracciones que son iguales o mayores que la unidad.

De aquí surgen relaciones entre las fracciones y los números naturales. De hecho, aquellas

fracciones en que el numerador es un múltiplo del denominador son equivalentes a números naturales. Este hecho da pie para que más adelante se considere que el conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números racionales.

La guía analiza también la posibilidad de representar fracciones en la recta numérica. La guía está dividida en 2 secciones:

1. Fracciones de numerador igual o mayor que el denominador 2. Fracciones en la recta numérica

GUÍA Nº 3 AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE DIVISIONES Y FRACCIONES En la Guía nº 3 se discute el hecho que distintas divisiones pueden tener un mismo cuociente y

que ello ocurre cuando en una división se multiplica o divide tanto el dividendo como el divisor por un mismo número, es decir cuando la división se amplifica o simplifica.

Sobre la base de la estrecha relación que existe entre la división y las fracciones, se extiende

la amplificación y la simplificación a las fracciones, subrayando que estas operaciones no alteran el valor representado por la fracción.

La guía está dividida en 2 secciones:

1. Amplificación y simplificación de una división 2. Amplificación y simplificación de fracciones

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GUÍA Nº 4 COMPARACIÓN, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES La última guía de esta Unidad presenta procedimientos para comparar, sumar y restar

fracciones. Estas tres operaciones se tratan simultáneamente ya que la lógica en que se sustentan los respectivos procedimientos es la misma en todas ellas.

Se introduce primero el caso de comparaciones, adiciones y sustracciones de fracciones con

igual denominador. Como sabemos, en estos casos todo lo que hay que hacer es comparar, sumar o restar los numeradores manteniendo el denominador.

A su vez, si las fracciones en cuestión tienen distinto denominador, utilizamos las operaciones

de amplificación o simplificación para obtener fracciones equivalentes a las originales pero que tienen igual denominador. De esta forma podemos aplicar los procedimientos correspondientes a la comparación, adición o sustracción de fracciones de igual denominador.

La guía está dividida en 3 secciones:

1. Comparación, adición y sustracción de fracciones de igual denominador 2. Comparación, adición y sustracción de fracciones de distinto denominador 3. Fracciones en diversas situaciones