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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE 5º AÑO BÁSICO

UNIDAD 7 NÚMEROS DECIMALES

Preparado por: Héctor Muñoz

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE 5º AÑO BÁSICO

UNIDAD 7 NÚMEROS DECIMALES

1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

En esta Unidad se retoma el tema de los números decimales que el estudiante empezó a conocer en 4º básico. Para su interpretación y para algunas de sus propiedades se hace uso de la relación que existe entre los números decimales y aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10, y del hecho que los números decimales, al igual que los números naturales, se construyen sobre la base del principio de valor de posición.

Luego de discutir la interpretación de los números decimales, se presenta la posibilidad de

representarlos en la recta numérica y se ven procedimientos de comparación de números decimales.

La relación que existe entre las fracciones y la división y la posibilidad de expresar el cuociente

de divisiones no exactas como número decimal ofrece la posibilidad de transformar una fracción en un número decimal que represente el mismo valor.

Finalmente, se presentan procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones basados en

los respectivos procedimientos de cálculo con números naturales. Estas operaciones se aplican a la resolución de problemas de diferentes contextos y a la construcción de secuencias numéricas de números decimales.

2. DURACIÓN APROXIMADA

5 semanas

3. CONTENIDOS 3.1 Interpretación de números decimales 3.2 Fracciones y números decimales

3.3 Adición y sustracción de números decimales

4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Interpretación de números decimales

En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:

• Lean y escriban números decimales. • Interpreten información cuantitativa en que se emplean números

decimales. • Descompongan de diversas formas un número decimal. • Establezcan relaciones de orden entre números decimales. • Representen números decimales en la recta numérica.

Aprendizajes esperados

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4.2 Fracciones y números decimales

En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes: • Expresen como número decimal el cuociente de divisiones no exactas. • Transformen fracciones en números decimales. • Conozcan la equivalencia decimal de algunas fracciones de uso frecuente.

4.2 Adición y sustracción de números decimales

En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:

• Empleen procedimientos de cálculo para sumar o restar números decimales.

• Completen secuencias de números decimales generadas mediante una regla aditiva.

• Resuelvan problemas con contextos reales que involucran números decimales.

5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS

5.1 Fracciones y números decimales Tanto las fracciones como los números decimales cumplen la función de permitir cuantificar

cantidades que corresponden a partes de una unidad. En la práctica cotidiana y en la literatura científica las fracciones han ido perdiendo terreno y

han ido siendo reemplazadas cada vez más por los números decimales. En álgebra, sin embargo, el lenguaje de las fracciones sigue siendo un aspecto relevante, como se verá en Educación Media.

A diferencia de las fracciones, los números decimales se basan en el mismo principio de valor

de posición que constituye un rasgo esencial de los números naturales. Por este motivo, los procedimientos de cálculo para los números decimales son prácticamente los mismos que para los números naturales. La única diferencia está en la necesidad de ubicar la coma en el caso de los números decimales. Los procedimientos de cálculo con fracciones en cambio, como hemos visto en la unidad anterior, difieren bastante de los respectivos procedimientos utilizados con números naturales.

Las calculadoras y los computadores trabajan sin dificultad con números decimales, pero no así

con fracciones. De hecho, salvo algunas calculadoras especializadas, la mayoría de las calculadoras transforman las fracciones en números decimales y operan con estos, dando el resultado en notación decimal y no en notación de fracciones.

En este nivel, es importante que los estudiantes comprendan que se trata de dos formas de

decir lo mismo y que puedan transformar un lenguaje en el otro en casos simples. Para transformar una fracción en número decimal nos basamos en la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división. De acuerdo con esta equivalencia, si en una fracción dividimos el numerador por el denominador, obtendremos como cuociente un número decimal que es equivalente a dicha fracción.

Aprendizajes esperados

Aprendizajes esperados

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Para la operación inversa, transformar un número decimal en fracción, debemos distinguir algunos casos.

Si el número decimal tiene una cantidad finita de cifras decimales, entonces encontramos una

fracción equivalente escribiendo como numerador el número decimal sin su coma y como denominador la potencia de 10 que corresponda al número de cifras decimales,

Si el número decimal tiene una cantidad infinita de cifras decimales, la situación es un tanto

más compleja. Como sabemos, un número decimal con un número infinito de cifras decimales solo tiene equivalencia como fracción si presenta un conjunto de cifras decimales que se repite indefinidamente, es decir, si estamos en presencia de un número decimal periódico o semiperiódico. En caso contrario, el número decimal no puede escribirse como fracción. En otras palabras, se trata de un número irracional. Esto se verá con mayor detalle en Educación Media.

5.2 Números decimales y números naturales Una de las grandes ventajas de los números decimales reside en el hecho que la notación de

números decimales obedece al mismo principio de valor de posición que rige la formación de los números naturales. En efecto, tanto en los números naturales como en los números decimales el valor representado por cada dígito depende de su posición en el número y se determina multiplicando el dígito por una potencia de 10.

En los números naturales, la última cifra a la derecha es la cifra de las unidades. El dígito que

ocupa esa posición conserva su valor. O dicho de otra forma, su valor se multiplica por 100. Si nos movemos hacia la izquierda, el exponente de la potencia de 10 que multiplica al dígito va aumentando de 1 en 1.

En los números decimales, la posición de referencia sigue siendo la posición de las unidades.

Pero aquí, la posición de las unidades no es la última a la derecha sino la que está inmediatamente a la izquierda de la coma. El dígito que ocupa esa posición multiplica su valor por 100. El exponente de la potencia de 10 que multiplica al dígito va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda y va disminuyendo de 1 en 1 hacia la derecha, de modo que los dígitos que están a la derecha de la coma multiplican su valor por una potencia de 10 de exponente negativo.

En este nivel no hablamos todavía de potencias de 10 de exponente 0 o negativo. Diremos que

el dígito que ocupa la posición de las unidades conserva su valor y los que ocupan posiciones a su derecha dividen su valor por una potencia de 10 cuyo exponente va aumentando de 1 en 1 hacia la derecha.

5.3 Operaciones con números decimales Como ya hemos subrayado, los números decimales se construyen sobre la base del mismo

principio de valor de posición que rige en los números naturales. Una de las consecuencias de este hecho es que los procedimientos de cálculo son muy similares para ambos conjuntos numéricos.

Al tratar los procedimientos de cálculo, en necesario subrayar los siguientes puntos.

(a) En ambos casos, la posición de referencia es la posición de las unidades, pero en los números decimales esta posición no es la última de la derecha sino la que está inmediatamente a la izquierda de la coma.

(b) En el procedimiento estándar de cálculo escrito de adiciones y sustracciones, los

números deben ordenarse de modo que la posición de las unidades de uno quede

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debajo de la posición de las unidades del otro. Esto implica que en los números decimales la coma debe quedar debajo de la coma.

(c) En los procedimientos de cálculo escrito de multiplicación y división (que se verán en 6º

año), no hay diferencias entre números naturales y números decimales, excepto por el hecho que en algún momento hay que determinar cuál será la posición de la coma en el resultado. Por lo tanto, lo único nuevo que es necesario aprender son las reglas que permiten determinar la posición de la coma.

6. DESCRIPCIÓN DE LAS GUÍAS DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES

GUÍA Nº 1 INTERPRETACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES La Guía nº 1 se centra en aspectos básicos del lenguaje de los números decimales que

permiten interpretar la información cuantitativa que ellos portan. La guía se inicia haciendo la distinción entre la parte entera y la parte decimal en un número

decimal, y poniendo atención, en primer lugar, a la información que la parte entera entrega acerca del valor representado por el número.

Para dar una interpretación a las cifras que quedan a la derecha de la coma se recurre a las

fracciones decimales, es decir, aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Con el fin de garantizar una mejor comprensión de este punto, la guía revisa y ejercita algunos conocimientos básicos relativos a este tipo de fracciones.

Luego, con numerosos ejemplos, se establece el valor representado por cada dígito en la parte

decimal de un número decimal. Allí queda claro el papel del principio de valor de posición en la construcción de los números decimales.

La guía muestra que la parte decimal puede interpretarse como una adición en que a cada

dígito corresponde un sumando (57,623 = 57 + �

�� +

�

��� +

�

����) o como una única fracción

(57,623 = 57 + ���

����). Este conocimiento ayuda a interpretar mejor los números decimales.

La guía termina con un par de actividades relacionadas con la lectura de números decimales.

La parte entera de un número decimal es un número natural y debe leerse como tal. En cuanto a la parte decimal, a diferencia de lo que sucede con los números naturales, la práctica ha ido estableciendo más de una forma de leerla. Lo importante es que quede en claro inequívocamente la posición de la coma y el valor representado por cada dígito en la parte decimal.

La guía está dividida en 4 secciones:

1. La parte entera en los números decimales 2. Un paréntesis 3. A la derecha de la coma 4. Dos formas de descomponer números decimales

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GUÍA Nº 2 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Y RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS DECIMALES En la Guía nº 2 se ejercita la representación de números decimales en la recta numérica y la

comparación de números decimales. Para representar números decimales en la recta numérica, la guía propone un procedimiento

de aproximaciones sucesivas basadas en diferentes formas de agrupar los sumandos en la descomposición dígito a dígito del número decimal. Estas aproximaciones sucesivas ayudan también a lograr un mejor sentido de la cantidad representada por el número decimal.

La guía presenta luego un procedimiento de comparación de números decimales similar al que

se utiliza en la comparación de números naturales y que se basa en el principio de valor de posición. Los números se comparan dígito a dígito, empezando por aquellos que representan un mayor valor, es decir, por los que están ubicados a la izquierda.

La guía está dividida en 2 secciones:

1. Números decimales en la recta numérica 2. Comparación de números decimales

GUÍA Nº 3 NÚMEROS DECIMALES Y FRACCIONES En la Guía nº 3 se presenta un procedimiento simple para transformar una fracción en un

número decimal. Como paso previo, se analiza la forma de expresar el resultado de una división no exacta.

Hasta ahora dicho resultado se ha expresado en términos de cuociente y resto, en que tanto el cuociente como el resto son números naturales. Los números decimales permiten expresarlo como número decimal.

Al expresar el cuociente como número decimal se abre la posibilidad de transformar fracciones

en números decimales basándose en la relación que existe entre las fracciones y la división. En efecto, de acuerdo con la relación entre fracciones y división basta dividir el numerador por el denominador de la fracción para obtener un número decimal equivalente a la fracción.

La guía llama la atención a que en algunos casos el cuociente resulta ser un número decimal

con una cantidad infinita de cifras decimales debido a que un dígito o un conjunto de dígitos se repite indefinidamente.

La guía está dividida en 2 secciones:

1. El cuociente de divisiones no exactas 2. Transformación de fracciones en números decimales

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GUÍA Nº 4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La Guía nº 4 se inicia analizando la interpretación que debe darse a ceros en el extremo

derecho de un número decimal. En los números naturales escribir un cero a la derecha del número modifica su valor. Más

específicamente, lo multiplica por 10. Esto se debe a que ha cambiado la posición de las unidades, lo que trae como consecuencia un cambio en el valor representado por cada uno de los dígitos.

En cambio, si en un número decimal se escribe un cero a la derecha de la última cifra decimal,

el valor representado por el número no varía, pues no se modifica la posición de las unidades. Al no modificarse la posición de las unidades, todos los dígitos conservan su valor y el cero agregado equivale a sumar una fracción de numerador 0.

Luego se hace notar que los procedimientos de adición y sustracción de números decimales

son similares a los respectivos procedimientos con números naturales debido al hecho que tanto los unos como los otros se construyen sobre la base del mismo principio de valor de posición.

En la adición y la sustracción, tanto en los números naturales como en los números decimales,

las unidades deben quedar debajo de las unidades. Ello implica que en los números naturales los números que se suman o restan quedan alineados por la derecha y en los números decimales la coma debe quedar debajo de la coma.

Los procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones se aplican luego tanto a la

resolución de diversos problemas con contextos reales como en la construcción de secuencias de números decimales que siguen una regla aditiva.

La guía está dividida en 3 secciones:

1. Ceros a la derecha 2. Adición y sustracción de números decimales 3. Secuencias de números decimales