DOCENTES:

CLAUDIA PATRICIA REYES BAUTISTA

JORGE ARMANDO GONZALEZ NIÑO

COLEGIO DE BOYACÁ

SECCIÓN RAFAEL LONDOÑO

BARAJAS

AÑO 2021

1

COLEGIO DE BOYACÁ

SISTEMA DE GESTIÓN DE LA CALIDAD

SE – CR - 04

VERSIÓN 1.0

GUÍA DIDÁCTICA01/11/2013

Página 1 de 1

NÚMERO DE GUÍA: N° 2 TEMA: TEORÍA DE NÚMEROS

GRADO: Sexto

Tiempo: Del 15 de marzo al 16 de abril

DOCENTES:

Jorge Armando González Niño

Claudia Patricia Reyes Bautista

EXPLORACIÓN DEL TEMA:

• Los estudiantes: Realizarán consultas sobre los conceptos de números primos, múltiplos y divisores de los números naturales.

• Reconocimiento de múltiplos y divisores de números naturales menores de 100.

APRENDIZAJES EVIDENCIAS

Descomponer en factores primos y hallar m.c.m y m.c.d.

Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente

o por escrito los procedimientos matemáticos.

Resolver problemas en contextos aritméticos hallando el m.c.m y m.c.d

Describe procedimientos para calcular el m.c.m y m.c.d en situaciones

problema.

Calcula, interpreta y resuelve situaciones problema que involucre hallar

máximo común divisor y mínimo común múltiplo entre números enteros

positivos.

Desarrollo de talleres propuestos por el docente .

Evaluacion virtual.

Exposiciones durante los encuentros sincrónicos.

MATERIAL DE APOYOComputador, diapositivas, tablero digital, material audivisual.

Libro taller Espacios dinámicos 6

Libro Los Caminos del Saber 6

Libro Desafios Maatemáticos 6

LINKS:

https://www.youtube.com/watch?v=VNEu5Xj8hV8

METAS:

Los estudiantes desarrollarán comprensión acerca de: múltiplos y divisores,

descomposición factorial, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

2

3

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Estas son las reglas más comunes:

DIVISIBILIDAD ENTRE

CRITERIO

DOS Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

TRES Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

CUATRO Si sus dos últimas cifras son ceroso forman un múltiplo de cuatro.

CINCO Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.

SEIS Si es divisible entre dos y entre tres.

NUEVE Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

DIEZ Un número es divisible por 10 si termina en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1.000

4

MÚLTIPLOS (X) DIVISORES (÷)

Los múltiplos de un número son los que se obtienen al

multiplicar dicho número por todos los números

naturales salvo el 0. Puesto que hay infinitos naturales,

un número tiene infinitos múltiplos.

Para saber si un número es múltiplo de otro,

simplemente debes hacer la división y comprobar que

el cociente es un número natural y el resto de la

división es cero.

EJEMPLO:

Los múltiplos del número 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18,

21....

Los divisores de un número natural son aquellos

números que se pueden dividir entre él, siendo el resto

cero.

El número 7 es divisor de 364; también se dice que ”el

número 364 es divisible entre 7”, ya que al dividir 364

entre 7 el resto es 0.

Para saber si un número es divisor de otro solo tienes

que hacer la división y comprobar si el resto es cero.

EJEMPLO:

¿Cuáles son los divisores de 15?

Son números entre los que podemos dividir el 15 siendo el

resto 0.

Debemos probar entre los números más pequeños que el 15.

Evidentemente, el 15 lo puedes dividir entre 15, entre 5, entre

3 y entre 1, dando el resto 0. Luego los divisores del 15 son el

1, el 3, el 5 y el 15.

• Factorizar un número significa expresar dicho número como un producto denúmeros primos. La factorización de un número también se conoce con el nombrede descomposición en factores primos.

• Todo número compuesto se puede factorizar utilizando

dos métodos:

1) Realizando un diagrama de árbol

2) Efectuando divisiones sucesivas entre sus divisores primos.

5

1) Diagrama de árbol: Factorizar el número 24

• La descomposición de 24 en factores primos es: 24 = 2 x 2 x 2 x 3

• También se puede expresar con potenciación, ya que hay un factor que es un

número primo y se repite, entonces: 24 = 23 x 3

6

La descomposición de 36 en factores primos es 36 = 2 x 2 x 3 x 3 ó

36= 22 x 32

Revisar el siguiente enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=NS01XlsXK5k

7

2) Divisiones sucesivas: Descomponer el número 36

• Para factorizar el número 36, se divide entre la serie de números primos (2,3,5,7…)tantas veces como se pueda hasta obtener como cociente la unidad. Para determinarentre cuáles números se puede dividir, se utilizan los criterios de divisibilidad.

• Existen dos métodos para hallar el máximo común divisor de dos o más

números:

1) Utilizando los conjuntos de divisores:

• Primero, se hallan todos los divisores de cada número.

• Luego, se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.

• Finalmente, se busca el mayor de los divisores comunes. Este es el máximo

• común divisor.

8

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores

comunes de dichos números. Si a, b, y c son números naturales, el máximo común

divisor de a, b, y c se simboliza m.c.d (a,b,c).

• Ejemplo: Determinar el máximo común divisor de 18 y 24 a partir de los conjuntos

de divisores.

• D18= {1, 2, 3, 6, 9, 18} D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

• Divisores comunes: 1, 2, 3 y 6 m.c.d (18, 24) = 6

9

2) Método abreviado de divisiones sucesivas para hallar el máximo

común divisor:

Para hallar el m.c.d de dos o más números, se pueden descomponer los

números de manera simultánea, únicamente en factores primos comunes. El

máximo común divisor será el producto de sus factores comunes.

• Ejemplo: hallar el m.c.d de 72 y 180

• Descomponer en factores primos:

• Calcular el producto de factores primos:

• 2 x 2 x 3 x 3 = 36 m.c.d (72 , 180) = 36

• Revisar el link: https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY

• https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248384-maximo_comun_divisor.html

10

El mínimo común múltiplo se puede se puede calcular de dos formas:

1) Utilizando los conjuntos de múltiplos de los números:

Primero, se escribe el conjunto de múltiplos de cada número.

Luego, se buscan los múltiplos comunes de los conjuntos de los múltiplos.

Finalmente, se busca el menor de los múltiplos comunes diferente de cero.

Ejemplo: Determinar el m.c.m de 4 y 6.

11

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos

comunes diferente de cero.

Si a, b y c son números naturales el mínimo común múltiplo de a,by c se simboliza

m.c.m (a,b,c).

• M4 = { , 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,32…}

• M6 = { , 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,48…}

• Múltiplos comunes: 0, 12, 24, 36,48…m.c.m (4,6) = 12

12

2) Método abreviado de divisiones sucesivas para hallar el mínimo

común múltiplo:

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se pueden

descomponer simultáneamente los números en factores primos. En este caso,

el mínimo común múltiplo es el producto de todos los factores que resultan

en la descomposición. Es importante tener en cuenta los criterios de

divisibilidad.

Ejemplo: Hallar el m.c.m de 56 y 84 usando el método abreviado.

Primero, se descomponen simultáneamente los números en factores primos.

• Luego, se calcula el producto de los factores que resultan en la descomposición.

2 x 2 x 2 x 3 x 7 =168

• Finalmente, se tiene que el m.c.m (56 , 84) = 168

• Revisar el siguiente link:

• https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248119-

minimo_comun_multiplo.html

• https://www.youtube.com/watch?v=txLlA_fyL5g&t=430s

13

• Problema 1

Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

• Solución

• Si mañana empezamos a contar los días,entonces:

Alan asiste el día 20, el día 40, el día 60... Estos días son los múltiplos de 20.

Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114... que son los múltiplos de 38.

• Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo de20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes.

• Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo.

• Descomponemos los números para escribirlos como producto de potencias de númerosprimos:

14

• Por tanto, volverán a encontrarse dentro de 380 días.

• Problema 2

David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus

respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible,

¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

15

• Solución

• El número de dulces que tienen que dar a cada persona debe dividir a las cantidades

de dulces (porque es una partición en partes iguales). Es decir, debe ser un divisor

común de 24 y de18.

• Además, como la cantidad debe ser máxima, debe ser el mayor divisor

común.

• Descomponemos los números:

16

• Por tanto, cada familia recibirá 6 dulces.

• Como David tiene 24 dulces y dará 6 a cada familiar, los repartirá entre 4 personas

(24 ÷ 6 = 4). Y como Fernando tiene 18 dulces, repartirá entre 3 personas (18 ÷ 6 =

3).

• NOTA:

• De manera autónoma y cuando tengas tiempo, se recomienda ingresar a

los siguientes enlaces y realizar las actividades propuestas en cada link:

• https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248488-

teoria_de_numeros.html

• https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248119-

minimo_comun_multiplo.html

• https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248384-

maximo_comun_divisor.html

¡GRACIAS!

17

18

ANEXOS

TALLER DE M.C.D Y M.C.M

NOTA: Resolver las actividades propuestas en hoja de word o exámen, tomar fotografía «nítida» y subir a la

plataforma Classroom en la parte que dice taller N° 2.

1) Descomponer en factores primos los siguientes números utilizando el método de divisiones sucesivas:

a) 34 b) 250 c) 110

2) Descomponer el número 100 a través del diagrama de árbol.

3) Llenar los espacios para que la igualdad sea verdadera:

3

a) 1080 = 2 x x 5

3

b) 4840 = 11 x 5 x

c) 7007 = 7 x 11 x

d) 1024 =

4) ¿Cuál es el resultado de la suma de los factores primos de 520?

19

5) Hallar el m.c.d de los números. Reemplazar el número por la letra en la clave, y encontrar la palabra secreta:

• m.c.d (25, 30) = __________________

• m.c.d (9, 12) = ____________________

• m.c.d (8, 16) = ___________________

• m.c.d (6, 10) = __________________• m.c.d (24, 30) = ____________________

6) Halla en la columna B el m.c.m de los números de la columna A. Relaciónalos uniendo con una línea de diferente

color:

7) En una floristería se tienen 120 rosas blancas, 360 rosas rojas, 280 rosas amarillas y se quieren formar ramos con la

mayor cantidad de rosas de un mismo color. ¿Cuál es el mayor número de rosas que debe ir en cada ramo, de tal forma

que no sobre ninguna rosa?

8) Como parte de un programa de salud, tres profesionales visitan a una comunidad indígena de la siguiente manera: el

médico asiste cada 12 días, el odontólogo cada 20 días y la enfermera cada 6 días. Si los tres profesionales se

encontraran hoy. ¿cuántos días deben pasar como mínimo para que se vuelvan a encontrar los tres?

20

9) Un motociclista demora en recorrer una pista 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo

del punto de partida .

a) ¿Cuándo volverán a coincidir en el punto de partida?

b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada motociclista?

10) Javier tiene una cuerda con la que quiere medir exactamente longitudes de 100 centímetros, 200 centímetros, 250

Centímetros y 50 centímetros. ¿ Cuál es la mayor longitud que puede tener ésta cuerda?

!ÉXITOS!