Documento Maestro Maestría en Dinámica No Lineal ySistemas Complejos-1

5/13/2018 Documento Maestro Maestr a en Din mica No Lineal ySistemas Complejos-1 - sli...

http:///reader/full/documento-maestro-maestria-en-dinamica-no-lineal-ysistema

Maestra en Dinmica no Lineal y SistemasComplejos

Grupo de Discusin UNAM-UC MUniversidad de la Ciudad de Mxico

Diciembre de 2002



2



ndice general

I Fundamentacin 9

1. Sobre dos ejes 111.1. Consideraciones educativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. De los objetivos de la UCM . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. El problema de los valores . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3. Obsolescencia y cambio rpido . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4. La interdisciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5. El cambio lento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Una visin del mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1. El racionalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Crtica al reduccionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3. Las consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II El programa 29

2. Objetivos generales y perfiles 312.1. El perfil del egresado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. El perfil de ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Formacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2. Requisitos de ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1. De los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. De la Maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. El mapa curricular 373.1. Los ejes y las lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Flexibilidad curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3



4 NDICE GENERAL

3.2. Recomendacin metodolgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Los contenidos 434.1. Ciencia y sociedad en el siglo XXI . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Ciencia y sociedad en el siglo XXI-I . . . . . . . . . . . . 444.1.2. Ciencia y sociedad en el siglo XXI-II . . . . . . . . . . . 444.1.3. Taller de investigacin en ciencia y sociedad . . . . . . . 454.1.4. Bibliografa para el eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Dinmica no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.2. Dinmica no lineal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.3. Dinmica no lineal II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.4. Dinmica no lineal III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.5. Bibliografa de la lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Sistemas complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.1. Sistemas complejos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2. Sistemas complejos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3. Taller de sistemas complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.4. Bibliografa de la lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4. Procesos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.1. Temario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.2. Bibliografa de la lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5. Lneas de investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5.1. Catlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

III Apndices 81

A. De los cursos propeduticos 83A.1. lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.1.1. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.2. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.2.1. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.2.2. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.3. Nociones de anlisis matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86




NDICE GENERAL 5

A.4. Nociones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.4.1. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.4.2. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.5. Programacin en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


B. De la puesta en marcha 89B.1. El convenio con la UNAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.2. Otros aspectos operativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

B.2.1. Del laboratorio de cmputo adaptativo . . . . . . . . . . . 90B.2.2. Del acervo bibliogrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.3. Inicio de actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



6 NDICE GENERAL



Presentacin

La Universidad de la Ciudad de Mxico (UCM) organiza sus tareas educativasen tres grandes programas: el de Ciencias Sociales y Humanidades (PCSyH), el deCiencia y Tecnologa (PCyT) y el de Humanidades y Ciencia (PHyC).

En marzo de este ao, el Rector de la UC M, Ingeniero Manuel Prez Rocha, in-vit a un grupo de profesores e investigadores de la Universidad Nacional Autno-ma de Mxico (UNAM) a

... participar en la discusin sobre los lineamientos bsicos paradesarrollar, en la Universidad de la Ciudad de Mxico, un rea deCiencias que, de acuerdo con los objetivos generales de nuestra insti-tucin, inicie las actividades de docencia, investigacin y difusin eneste campo.

Los acadmicos invitados y dos profesores de la UC M constituyeron un Grupode Discusin UNAM-UCM que se integr con las siguientes personas1

Doctor Germinal Cocho Gil. (Fsica, Princeton). Biologa terica y sistemascomplejos. Instituto de Fsica de la UNAM.

Maestro en Ciencias Jos Luis Gutirrez Snchez. (Matemticas, UNAMy Ciencias de la Computacin, Cantabria). Biologa matemtica, sistemascomplejos, filosofa de la ciencia. UC M.

Doctor Gustavo Martnez Mekler (Fsica, Manchester). Sistemas complejos,sistemas extendidos. Centro de Ciencias Fsicas de la UNAM.

Maestro en Ciencias Juan Luis Martnez Ledesma (Fsica, UNAM). Fsicamatemtica. UC M.

1Se especifican las universidades en las que obtuvieron el grado, sus reas de inters y su lugarde adscripcin actual.

7



8 NDICE GENERAL

Doctor Luis Medrano Gonzlez. (Biologa, UNAM). Gentica de poblaciones,

biologa matemtica. Departamento de Biologa de la Facultad de Cienciasde la UNAM.

Doctor Octavio Miramontes Vidal, (Biologa Terica, Imperial College).Sistemas complejos, redes libres de escala. Instituto de Fsica de la UNAM.

Doctor Pedro Miramontes Vidal. (Matemticas, UNAM). Biologa terica.Departamento de Matemticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Doctor Pablo Padilla Longoria. (Matemticas, Courant, Nueva York). Bi-ologa matemtica, ecuaciones diferenciales parciales. Instituto de Investi-gacin en Matemticas Aplicadas y Sistemas de la UNAM.

Doctor Faustino Snchez Garduo. (Matemticas, Oxford). Biologa matemti-ca, ecuaciones de reaccindifusin. Departamento de Matemticas de laFacultad de Ciencias de la UNAM.

En mayo, de comn acuerdo con el Rector, se decidi orientar el trabajo delgrupo a elaborar un programa de posgrado que, por sus caractersticas interdis-ciplinarias, se ubicara dentro del Programa de Humanidades y Ciencia. El re-sultado fue proponer la Maestra en Dinmica no Lineal y Sistemas Complejos(MDNLySC)2 de la cual ste es el documento base.

2En lo sucesivo nos referiremos a sta por su sigla o, simplemente, como la Maestra.



Parte I

Fundamentacin

9


http:///reader/full/documento-maestro-maestria-en-dinamica-no-lineal-ysistemas



Captulo 1

Sobre dos ejes

La construccin de la propuesta se ha desarrollado sobre dos ejes,

En el primero, se identifican algunos de los problemas sociales y educativosque, a juicio del grupo de discusin, interesan ms al proceso de formacinde profesionales de la ciencia; la discusin correspondiente se aborda en laseccin 1.1.

El segundo es, propiamente, un discurso epistemolgico sobre la ciencia yes el contenido de la seccin 1.2.

1.1. Consideraciones educativas

1.1.1. De los objetivos de la UCM

Como se indicaba en la invitacin del Rector, importa referir este trabajo a losobjetivos de nuestra universidad. La UC M tiene, entre otros, los propsitos de:

Ser una institucin cultural de alto nivel acadmico.

Estar comprometida con la sociedad a travs de sus funciones.

Ser fiel a la vocacin cientfica, humanista y crtica de las institucionesautnticamente universitarias.

En relacin con este proyecto, se derivan los siguientes objetivos particulares:

11



12 CAPTULO 1. SOBRE DOS EJES

Desarrollar una prctica acadmica sustentada en un sistema de valores en

el cual, explcitamente, lo ms importante es el ser humano (vase la seccin1.1.2).

Fortalecer a la universidad pblica como opcin educativa de alto nivelacadmico.

Contribuir a

la construccin de un sistema de investigacin cientfica propio y a

reducir la dependencia tecnolgica del exterior.

Propiciar la formacin de profesionales en ciencias y humanidades con lacapacidad de

contribuir a resolver problemas de diversos campos (vase la seccin1.1.4);

mantener sus conocimientos al da al trmino de su educacin formal(vase la seccin 1.1.3).

Asimismo, la Maestra ha de orientarse sobre la concepcin general de queel conocimiento, la ciencia y la tecnologa son instrumentos para comprender ytransformar el mundo y el cientfico debe asumir responsablemente las conse-cuencias de su trabajo. En particular, de las que pudiere tener en la sociedad en lacual se produce. En tanto bien pblico, el conocimiento generado debe beneficiara la sociedad en su conjunto y no slo a los que puedan pagar por l.

1.1.2. El problema de los valores

La sabidura y el conocimiento son parte de la riqueza del gnero humano y enla sociedad de nuestros das, su distribucin es injusta: los que saben son unoscuantos, los que tienen la posibilidad de beneficiarse de la ciencia son menos uny la ignorancia cubre como un velo espeso a la mayora de la gente. Generacin

tras generacin, el abismo es cada vez ms profundo.La ciencia ha sido un instrumento de liberacin de los seres humanos contra

la supersticin y la ignorancia y, en muchos sentidos, sus avances han contribuidoa mejorar la calidad de vida de la gente y la vocacin de quienes se dedican a ellasuele implicar un afn altruista. Sin embargo, la educacin tradicional en la que



1.1. CONSIDERACIONES EDUCATIVAS 13

se forma la mayora de los cientficos acaba por limitar su perspectiva tica y el

compromiso con la sociedad se relega o se pierde. En ella, se aprende a investigaren un solo campo con la mayor eficiencia posible pero, conforme los estudiososse especializan, su visin general del mundo suele estrecharse ms y ms.

En trminos generales, el sistema de educacin tradicional reproduce una visinfragmentaria descontextualizada histrica y socialmente del conocimiento.Esto implica valores que es necesario tomar en cuenta para, en ltima instancia,saber contrarrestar los que se opongan a nuestros objetivos: de ellos se deriva unatendencia a la especializacin prematura que dificulta las posibilidades de activi-dad y reflexin interdisciplinaria y que, en particular, suele generar indiferenciafrente a las consecuencias sociales del propio trabajo.

La MDNLySC est dirigida a formar profesionales de la ciencia conscientes

de los valores reproducidos en la formacin tradicional y dispuestos a superar laslimitaciones asociadas con ellos.

1.1.3. Obsolescencia y cambio rpido

Otro aspecto fundamental que ha de tomarse en cuenta en la perspectiva deformar cientficos capaces de recuperar para la sociedad los beneficios de su tra-bajo, es el de la velocidad creciente con que se genera nuevo conocimiento.

En nuestros das, el cambio en todos los rdenes de la vida es ms rpidoque nunca: hay una altsima tasa de obsolescencia tanto de lo que se sabe comode sus aplicaciones pinsese, por ejemplo, en la vida til de un programa decomputadora mientras la cantidad de informacin disponible crece exponen-cialmente da a da y los nodos en la red electrnica mundial se multiplican convelocidad similar.

Adems, la informacin especializada es absolutamente inabarcable. Hacia1960, las revistas cientficas publicaban casi un milln de artculos al ao. Es ev-idente que ningn ser humano puede apropiarse de tal cantidad de resultados yesto fortalece la tendencia a la fragmentacin del conocimiento y a la superespe-cializacin.

En ciencia y tecnologa, la tasa de obsolescencia era ya muy alta a mediados

de la dcada de los setenta del siglo pasado. Uno de los cientficos y filsofosde la ciencia ms destacados de esa poca, el embrilogo britnico Conrad HalWaddington, adverta: si se supone que el lapso de educacin formal de un pro-fesional es de quince aos y que cada tres lustros se duplica la informacin en sucampo de trabajo, entonces




...podra decirse que, a menos de que se haya mantenido estudian-

do en el entretanto, quince aos despus de que alguien egresa de laescuela... el cincuenta por ciento de lo que sabe es obsoleto. A lo largode una vida de trabajo de cuarenta y cinco aos, [los conocimientosde] un profesionista en esta situacin son 87,5% obsolescentes. Enalgunos campos de avance muy rpido, como el de las ciencias de lacomputacin, el periodo de duplicacin no es de quince sino de cua-tro aos y la obsolescencia es del 98% en solamente veinticuatro aos(Waddington, 1977: 34).

Todo esto es parte de un proceso de cambio social muy rpido en el cual se

abre la posibilidad de aprovechar la red internacional de comunicacin electrnicay el acceso generalizado a la informacin. Esto requiere una estrategia adecuadapara contrarrestar la obsolescencia y saber estar al da a pesar de la rapidez con laque el conocimiento de punta se va sustituyendo. El mismo C. H. Waddingtonpropona las siguientes medidas educativas para atender el problema:

... Presumiblemente, la solucin consiste en [aprender y] ensear(a) principios generales que se hagan obsoletos slo muy lentamente1;(b) mtodos de investigacin que permitan encontrar rpida y correc-tamente, informacin factual actualizada para poner carne sobre aque-

llos huesos [los de los principios generales...] cuando sea necesarioa fin de aplicar (c) mtodos de clasificacin de la informacin queestablezcan una jerarquizacin en categoras de manera que los asun-tos importantes para un contexto particular, puedan destacarse rpida-mente y (d) inculcar el deseo de continuar autoeducndose luego deque el periodo de educacin formal haya terminado... (Waddington,1977: 3637).

En la MDNLySC se trata de poner en prctica una educacin basada en estosprincipios, apoyados en las facilidades de acceso y procesamiento de la informa-

cin de nuestros das, para que sus egresados puedan ser verdaderos agentes detransformacin del mundo; conscientes de su papel como cientficos o humanistas,capaces de defender, ejercindola, su capacidad creadora.

1Vase la seccin 1.1.5, en la pgina 16, infra.



1.1. CONSIDERACIONES EDUCATIVAS 15

1.1.4. La interdisciplina

Las tendencias a la especializacin prematura y a la fragmentacin del cono-cimiento fueron ya tratadas en el contexto de la discusin del problema de losvalores (vase la seccin 1.1.2). En las ltimas dcadas, en Mxico y otros lu-gares del mundo, ha habido proyectos educativos interesados en contrarrestar esastendencias y han tomado como principio rector de sus programas, la enseanzainterdisciplinaria.

Independientemente de las buenas intenciones, en muchos casos esto se tradu-jo solamente en el aumento de la variedad de asignaturas en los planes de estudio.C. H. Waddington ha explicado las limitaciones de este tipo de intentos de la sigu-iente manera:

En trminos generales, la mxima cantidad de cosas que una sola per-sona puede saber es aproximadamente constante; no hay, por lo tanto,razones para pensar que si a los estudiantes se les ensean dos o tresmaterias distintas, stos puedan llegar a saber tanto como los espe-cialistas que estudian una sola. (Waddington, 1977: 34).

En general, los resultados han sido decepcionantes: no slo no se ha logra-do una buena disposicin para la comunicacin y el trabajo con profesionistas deotras ramas sino que, muchas veces, se han acrecentado las distancias y profun-dizado las brechas entre ellos2.

Es posible hallar tambin motivos del fracaso de esta visin de la interdis-ciplina en la idea de centrar la educacin en la enseanza. Por el contrario, alcaracterizar sus funciones, en la Universidad de la Ciudad de Mxico se ha adop-tado como paradigma de la actividad docente el aprendizaje. Esto implica enfocarla atencin de todos los actores a sus propios procesos de construccin de cono-cimiento, desarrollo de capacidades y prctica de nuevas actitudes y habilidades.As, se contribuye a evitar la dicotoma entre quienes saben y quienes aprenden.

En la medida en que cada quien se descubre capaz de compartir lo aprendido,se da una mejor disposicin y se tienen ms herramientas para la colaborar con losdems. Por el contrario, la interdisciplina por decreto es intil y es contraprodu-

cente multiplicar las asignaturas. Se trata, eso s, de que los futuros profesionistasconstruyan correlaciones mltiples entre los ms diversos campos. Si se aplica

2En particular, esto ha ocurrido entre los campos de las ciencias naturales, en un lado, y lasciencias sociales y las humanidades, en el otro. Conviene tratar este asunto ms extensamente.Vase, para ello, la seccin 1.2.2, en la pgina 18, infra.




adecuadamente el paradigma para la actividad docente adoptado por nuestra in-

stitucin, la interdisciplina deber surgir como una necesidad del que aprende ydeber vincularse directamente con el desarrollo de sus capacidades de investi-gacin y solucin de problemas.

En el plan de estudios de la MDNLySC se manifiesta esta visin de la interdis-ciplina tanto en las recomendaciones metodolgicas (vase la seccin 3.2) comoen los contenidos (vanse, asimismo, las secciones 4.1 a 4.4) y se ha tratado deponer un nfasis especial para evitar la dicotoma entre ciencias y humanidades,propiciando que los alumnos

hagan suya una visin y una prctica humanista del trabajo cientfico, en lacual la importancia de todas las cosas se establece a partir de las necesidadesy la felicidad de los seres humanos;

estudien de manera sistemtica las mutuas dependencias entre todos loscampos de las ciencias naturales, las ciencias sociales y las disciplinas hu-mansticas.

desarrollen habilidades de bsqueda y anlisis de la informacin para com-prender suficientemente problemas de muy diversos campos y ser capacesde articular su trabajo al de otros estudiosos y profesionistas y de compren-der las consecuencias sociales y ticas de sus aportaciones.

1.1.5. El cambio lento

Si bien la pronta obsolescencia de la informacin es una caracterstica de nues-tra poca, las habilidades bsicas y los principios generales necesarios para inves-tigar y aprender a plantear y resolver problemas cambian a un ritmo mucho mslento.

Por ejemplo, al menos desde el siglo II I a. de C. en que Euclides recogi latradicin lgicoformal de la geometra de la Grecia Clsica en sus Elementos, lamatemtica ha crecido sobre el mismo modelo de razonamiento; sus mltiples e

impresionantes ramificaciones siguen la pauta trazada hace casi veinticinco siglosy el conocimiento matemtico acumulado desde entonces es robusto: la validezde sus teoremas no est sujeta al descubrimiento de las propiedades de la mate-ria y tampoco ocurre que nuestra comprensin del mundo influya en el mtodoaxiomtico sobre el cual se ha ido construyendo.



1.2. UNA VISIN DEL MUNDO 17

Asimismo, esos principios generales en las ciencias fsicas estn esencial-

mente relacionados con la capacidad de aplicar la matemtica para descubrir es-tructuras y patrones geomtricos, temporales, dinmicos, relacionales, etctera,en los ms diversos mbitos y esas habilidades han sido las mismas desde la Ilus-tracin hasta nuestros das, constituyen una parte robusta en el cuerpo de co-nocimiento y es imprescindible atenderlas en cualquier programa de formacincientfica.

Del resto, de los resultados de la investigacin de punta o de la inmensacantidad de datos acumulados, lo que no puede excusarse es el aprender a valorarla informacin disponible en funcin de la posibilidad de generar conocimientonuevo.

De lo anterior, puede decirse que la produccin cientfica es un proceso so-

cial en el que ocurren cambios cualitativos en diferentes escalas de tiempo. For-mar profesionales capaces de lidiar con las dificultades de una actividad con taldinmica implica propiciar, mediante los planes de estudio de la MDNLySC el quelos estudiantes hagan suyos mtodos, principios y tcnicas

del anlisis matemtico no lineal, suficientemente generales y flexibles, nece-sarios para afrontar la mayor variedad de problemas y comprender tanto losavances en el campo de conocimiento de su mayor inters como los de otroscampos; por su robustez, estos mtodos, principios y tcnicas son de obso-lescencia lenta;

de investigacin o bsqueda pertinente en la ingente cantidad de publica-ciones disponible hoy por todos los medios; de manera que el profesionistapueda ponerse al da en lo que sea necesario tanto para el trabajo en sucampo como para el trabajo interdisciplinario;

de discriminacin de la informacin que permita jerarquizarla en funcinde su importancia para los problemas que se quiera resolver;

de autodidactismo que se pongan en prctica durante toda la vida profesion-al; se trata de hacer de sta una accin de actualizacin continua luego delperiodo de educacin formal.

1.2. Una visin del mundo

Al instituir la Maestra en Dinmica no Lineal y Sistemas Complejos comoparte del Programa de Humanidades y Ciencia de la Universidad de la Ciudad de




Mxico se debe adems de establecer las caractersticas generales del tipo de

profesionista de la ciencia derivadas de la discusin en la seccin 1.1 partir defundamentos epistemolgicos que le den coherencia a todo su quehacer.En buena medida, las limitaciones de la educacin cientfica tradicional que

tratamos de evitar y fueron descritas en la seccin 1.1.2 son, tambin, consecuen-cias de la visin del mundo correspondiente al reduccionismo mecanicista. Con-viene caracterizar, al menos en las lneas que importan para esta discusin, estaforma de concebir el mundo para luego contrastarla con la nuestra.

1.2.1. El racionalismo

Adoptemos como punto de partida el Renacimiento. Luego de mil aos de

buscar explicaciones para todo en la voluntad divina, los pensadores del seiscien-tos recuperan la confianza en las capacidades del gnero humano, de su razn,para comprender y transformar el mundo en favor de la libertad y la felicidad dela gente comn; dos ideales suprimidos u olvidados durante toda la Edad Media.

Durante dos siglos se exalta a la razn por encima de los dogmas y su impla-cable ejercicio crtico se convierte en un fermento subversivo cuya accin da lugara una revolucin de las conciencias: nace el racionalismo como doctrina filosficay como actitud ante la vida. Ambas se levantan sobre tres principios explicativosgenerales:

El materialista: hay un mundo real, independiente de la percepcin de losseres humanos; un mundo con cualidades esenciales, un universo que puedereducirse, en ltima instancia, a materia.

El mecanicista: todo lo que sucede ocurre merced a fuerzas que operansobre los cuerpos y producen movimiento. El espacio y el tiempo son abso-lutos.

El determinista: dado el supuesto anterior, como la maquinaria no puededesobedecer las leyes que la rigen, todo en el universo est determinado,independientemente de si puede o no calcularse.

1.2.2. Crtica al reduccionismo

Al proponer a la matemtica como lenguaje de la fsica, Galileo le dio a larevolucin racionalista su ms poderosa arma y su mayor impulso. A partir de




una serie de postulados simplificadores entre los cuales, muchas veces, destaca

el no tomar en cuenta los factores no lineales que estn siempre presentes enla naturaleza la fsica clsica justific la idea de un Universo ejecutando unaverdadera msica de las esferas, como haban postulado los pitagricos hacacasi dos mil quinientos aos y de que los cuerpos celestes se movan como laspiezas de un inmenso reloj.

Una consecuencia de restringirse al estudio de lo lineal es la validez del prin-cipio de superposicin: si se tienen dos soluciones de una ecuacin lineal, la sumade ambas es otra solucin. De este modo, slo en un modelo lineal el todo esigual a la suma de las partes y el estudio de un sistema se puede reducir al desus componentes por separado. De aqu resulta una forma de entender el mundoque ha dominado ampliamente el pensamiento cientfico hasta nuestros das: el

reduccionismo mecanicista.Esta concepcin ha resultado un instrumento adecuado para lograr avances

notables en muchos campos; la biologa molecular es, tal vez, uno de los ejem-plos ms espectaculares. Es cierto que, en algunas teoras, ciertas propiedadescolectivas pueden entenderse como resultantes de alguna combinacin lineal desus componentes pero, en general, el problema radica en que el reduccionismono provee un mtodo para ir de las partes a la totalidad; por referirnos a un casomuy reciente, el conocimiento detallado de la secuencia de nucletidos en el DNAde un ser viviente no permite explicar ninguna de las etapas de su desarrollo: es-os componentes bsicos vendran a ser, como ha dicho Poincar, un montn deladrillos que, por s mismos, sin estructura, no constituyen una casa.

Por ejemplo, a propsito de la publicacin en febrero de 2001 de los resultadosdel proyecto de identificacin del genoma humano, completamente insuficientepara explicar siquiera la sntesis de protenas, el paleontlogo y evolucionista es-tadounidense Stephen Jay Gould reflexiona (Gould, 2002: 227):

... Desde los orgenes de su forma moderna, a finales del siglodiecisiete, la ciencia ha privilegiado fuertemente el modo reduccionistade pensamiento en el cual la complejidad se rompe en partes consti-tuyentes para luego tratar de explicar el todo con base en las propiedadesy las interacciones simples, completamente predecibles, de aquellas

partes (anlisis significa, literalmente, disolver en partes bsicas).El mtodo reduccionista funciona triunfalmente para sistemas sim-ples: por ejemplo, predice los eclipses o el movimiento de los plan-etas aunque no es capaz de predecir la historia de sus complejas su-perficies. Pero, cundo aprenderemos? Una vez ms hemos pecado




de soberbia al imaginar que basta tener la clave del comportamiento

de algunos sistemas para tener la de todos los fenmenos naturales.Aprender alguna vez Parsifal que slo si es humilde y pone enjuego estrategias de explicacin mltiples podr encontrar el SantoGrial?

A su vez, Phillip W. Anderson, Premio Nobel de fsica en 1977, ubica as elproblema (Anderson, 1972: 393):

La falacia principal en este tipo de pensamiento es que la hiptesisreduccionista no implica, en forma alguna, una [hiptesis] construc-cionista: la habilidad de reducir todo a leyes fundamentales simples

no implica la habilidad de empezar desde esas leyes y reconstruir eluniverso. De hecho, entre ms nos dicen los fsicos de partculas re-specto a la naturaleza de las leyes fundamentales, menos importanciaparecen tener stas con respecto a los problemas reales del resto de laciencia y mucha menos con respecto a los de la sociedad.

Y, enseguida, atribuye esta insignificancia de las leyes fundamentales a la inca-pacidad del reduccionismo para tratar con dos dificultades gemelas: el tamaoo, como suele llamarse tcnicamente, la escala y la complejidad. A contin-uacin, establece (Anderson, 1972: 393):

... resulta que el comportamiento de los grandes (y complejos)conjuntos de partculas elementales no puede ser comprendido en tr-minos de una extrapolacin simple de las propiedades de unas cuantaspartculas. En lugar de esto, en cada nivel de complejidad aparecenpropiedades completamente nuevas y la comprensin de cada nuevocomportamiento requiere [a su vez] una investigacin tan fundamen-tal como cualquier otra.

Supongamos, dice Anderson, que fuese posible establecer una jerarqua de lasciencias de acuerdo a la siguiente idea: las entidades elementales de la ciencia Xobedecen las leyes de la ciencia Y (vase la tabla 1.1):

De cualquier modo, no sera posible inferir que la ciencia X sea solamente laciencia Y extendida a conglomerados ms grandes o relaciones ms complicadas.De hecho (Anderson, 1972: 393):




X Y

Fsica del estado slido o Fsica de partculasde muchos cuerpos elementalesQumica Fsica de muchos cuerposBiologa molecular QumicaBiologa celular Biologa molecular

......

Psicologa FisiologaCiencias sociales Psicologa

Cuadro 1.1: Jerarquizacin reduccionista de las ciencias

... En cada etapa son necesarias nuevas leyes, conceptos y gener-alizaciones que demandan tanta inspiracin y creatividad como en laanterior. La psicologa no es biologa aplicada ni la biologa es qumi-ca aplicada.

Si los intentos de lidiar en las ciencias fsicas con las dificultades gemelas a lasque se refiere Anderson usando slo la herramienta del reduccionismo mecanicistaestn condenados al fracaso, tratar de aplicarla a describir o comprender procesoshumanos desde la conciencia de los individuos hasta la dinmica del mercadofinanciero, la historia o la evolucin cultural de los pueblos es un despropsitoy empearse en defender su validez, una necedad.

Desde los sistemas complejos

En sus orgenes, la mayor parte de la fsica se construy con base en pos-tulados simplificadores sin posibilidad de analogas vlidas en un mundo carac-tersticamente no lineal. No hay, en todo el campo de las ciencias sociales y lashumanidades ni en gran parte del de las ciencias de la vida, un espacio en el cualse puedan construir representaciones significativas del comportamiento colectivosobre las presunciones simplificadoras del reduccionismo. Hacerlo ha sido no sloirresponsable sino, muchas veces, catastrfico.

Por ello, las posibilidades de matematizar esto es, de reconocer estructuras

o patrones de comportamiento representables formalmente procesos como lamorfognesis, el desarrollo o la evolucin biolgica, el crecimiento urbano, laevolucin lingstica, la aparicin de conciencia en el crecimiento de una personao el aprendizaje, han de empezar por evitar el error de suponer que el compor-tamiento del todo es igual al de la suma de sus partes y ntese: en todos estos




procesos, el todo es lo importante porque la totalidad no es una suma de clulas,

seres humanos, palabras o neuronas: en ella se presentan actitudes y propiedadesque emergen slo en la accin colectiva y no tienen sentido individualmente.

Instrumental para el pensamiento

El estudio de los fenmenos en los cuales importan la escala y la compleji-dad por usar la descripcin de Anderson dio lugar al desarrollo de una nuevavisin del mundo cuya comprensin requiere de herramientas adecuadas para rep-resentar no slo mecanismos sino procesos; en la bsqueda de los instrumentosnecesarios para esto es preciso tomar en cuenta que

Incluso sistemas deterministas relativamente sencillos pueden ser esencial-mente impredecibles; en ellos, pequeas variaciones en las condiciones ini-ciales producen grandes diferencias en el estado final. El descubrimiento deeste tipo de comportamiento dio lugar al concepto de caos determinstico,uno de los ms importantes de la ciencia contempornea.

El comportamiento individual de los agentes participantes puede ser tan het-erogneo que las aproximaciones al estudio del comportamiento colectivomediante tcnicas estadsticas es muy limitado o absolutamente invlido.

Las interacciones son mltiples y no lineales: es decir, los efectos no son

proporcionales a las causas.

Asimismo, importa destacar que tales caractersticas son comunes a procesos cuyabase material es muy distinta; por ejemplo, en

la fsica de estructuras disipativas o sistemas abiertos, alejados del equilibriotermodinmico;

la evolucin biolgica;

la dinmica ecolgica;

la epignesis del desarrollo orgnico;

la economa del desarrollo regional;

el intelecto, el aprendizaje, la capacidad creadora y la conciencia humanas;




la historia de las sociedades humanas.

Reconocidas las limitaciones de la visin del mundo asociada con el mecani-cismo lineal, reduccionista y estrechamente unidisciplinario en alcances y aplica-ciones, se precisa establecer una teora interdisciplinaria e integradora, cualitativay dialctica; capaz de trascender el estudio de las partes para convertirse en unaparato para estudiar la integracin de las partes en la cual lo ms importantesea comprender las propiedades emergentes; esto es, poder explicar cmo, en unsistema de elementos relativamente simples, la interaccin da lugar a un com-portamiento colectivo diferente del que presentan por separado los elementos delsistema.

En la introduccin del libro en el cual aborda estos problemas en el mbito dela fsica, la qumica y la biologa, el cientfico alemn Hermann Haken3 dice:

La formacin de estructuras bien organizadas a partir de grmeneso, ms an, del caos, es uno de los fenmenos ms fascinantes y unode los retos ms importantes a los que se enfrentan los cientficos.Tales fenmenos son una experiencia de nuestra vida diaria cuandoobservamos el crecimiento de las plantas y de los animales. Al pensaren escalas de tiempo muy largas, los cientficos se enfrentan al prob-lema de la evolucin y en ltima instancia al del origen de la materia

viviente. Cuando tratamos de explicar o comprender estos fenmenosbiolgicos extraordinariamente complejos, es natural el preguntarsesi se pueden encontrar procesos de autoorganizacin en sistemas mssimples del mundo inanimado. (Haken, 1978).

Esto requiere, por decirlo en la terminologa de C. H. Waddington, un nuevoinstrumental para el pensamiento que nos permita construir el camino de regreso:de los componentes bsicos al todo, al menos de un nivel de organizacin al in-mediato superior4. Ese instrumental est formado por las herramientas del anlisismatemtico de los sistemas dinmicos no lineales; con l se ha ido construyendo,

desde hace un cuarto de siglo, la teora de los sistemas complejos.3Descubridor del rayo laser e, indudablemente, uno de los pioneros en el estudio de fenmenos

colectivos.4Pues no se trata, dicen los fsicos Goldenfeld y Kadanoff (Goldenfeld y Kadanoff, 1999: 88)

de lograr explicar el funcionamiento de los tractores en trminos de sus quarks.




Durante esos cinco lustros, el concepto central de la teora ha sido precisado5

por distintos grupos de investigadores en el mundo. Octavio Miramontes lo hacaracterizado as:

Los sistemas complejos estn formados por un conjunto grandede componentes individuales que interactan entre s y que puedenmodificar sus estados internos como producto de tales interacciones.Tales sistemas pueden ser estructuralmente simples, aunque tal sim-plicidad no impide que exhiban comportamientos dinmicos diversosy no triviales. Los sistemas complejos pueden situarse en regmenescrticos caracterizados por la presencia de fluctuaciones espaciales ytemporales en todas las escalas posibles. Esta situacin... puede alcan-

zarse de manera espontnea y sin la intervencin de factores o fuerzasexternas al sistema; [se dice entonces] que el proceso se ha autoorga-nizado. El proceso de interacciones puede generar comportamientoscolectivos y globales. Es decir, conductas que no estn definidas enlos elementos individuales pero que emergen como un proceso colec-tivo y que no pueden ser reducidas ni explicadas tomando aislada-mente los elementos constituyentes. (Miramontes, 1999: 83).

La dinmica no lineal

Asimismo, los estudiosos coincidieron en el formalismo matemtico utilizado

para representar la complejidad. El mismo Haken observaba:En aos recientes han sido cada vez ms evidentes numerosos

ejemplos de sistemas fsicos y qumicos en que se originan estruc-turas espaciotemporales a partir de estados caticos y que, comoen los organismos vivos, el funcionamiento de estos sistemas puedemantenerse mediante el flujo de energa y materia a travs de ellos...[Es sorprendente] que muchos de tales sitemas muestren parecidosnotables en su comportamiento al pasar de un estado desordenadoa otro ordenado. Esto sugiere fuertemente que el funcionamiento detales sistemas obedece los mismos principios y que las concepciones

y herramientas matemticas que se tienen en la actualidad pudieranpermitir explicar su comportamiento. (Haken, 1978).

5Por etapas y con algunas sutiles pero importantes discrepancias cuya discusin excede losalcances de este ensayo pero que han de hacerse evidentes en del desarrollo de la lnea curricularde sistemas complejos.




El estudio de los sistemas dinmicos no lineales ha dado lugar a conceptos

y herramientas nuevos. Como lo hemos visto, hoy se sabe que un sistema cuyaevolucin temporal est determinada por una dependencia funcional relativamentesimple, puede presentar transiciones entre distintos estados y fluctuaciones en to-das las escalas y, no obstante su impredictibilidad intrnseca, es posible hallar reg-ularidades en el comportamiento del sistema que lo distinguen, sin duda alguna,del azar.

Ms all de los tecnicismos, importa destacar que las consecuencias episte-molgicas de estos descubrimientos son dramticas y alcanzan las ms diversasesferas del pensamiento porque hay sistemas cuyos agentes pueden ser de natu-raleza muy diversa y, sin embargo, evolucionar de manera semejante.

Dicho de otro modo: existen sistemas cuya base material microscpica es dis-

mbola (tomos, molculas, amibas, insectos, neuronas, computadoras, etctera)que, sin embargo, tienen manifestaciones macroscpicas semejantes (estructurasgeomtricas, redes, asociaciones, comportamientos colectivos, etctera). OctavioMiramontes lo ha dicho as:

En la naturaleza existe un sinnmero de ejemplos de sistemascomplejos que van desde las reacciones qumicas autocatalticas has-ta los procesos sociales y culturales. La naturaleza posee una fuertetendencia a estructurarse en forma de entes discretos excitables queinteractan y se organizan en niveles jerrquicos de creciente com-plejidad; por ello, los sistemas complejos no son de ninguna manera

casos raros ni curiosidades sino que dominan la estructura y funcindel universo. Constituyen la inmensa mayora de los fenmenos ob-servables y se manifiestan en ellos. Sin embargo, y aqu radica unade sus propiedades ms interesantes, la abundancia y diversidad delos sistemas complejos... no implican una innumerable e inclasifica-ble diversidad de conductas dinmicas diferentes. Todo lo contrario,los sistemas complejos poseen propiedades genricas independiente-mente de los detalles especficos de cada sistema o de la base materialdel mismo. (Miramontes, 1999: 84).

Esto permite definir clases de equivalencia dinmica mediante la identifi-

cacin de todos los sistemas que tienen el mismo comportamiento macroscpicoaunque su naturaleza microscpica sea distinta. De esta manera, la dimensin delas posibles manifestaciones de la naturaleza es relativamente pequea porque,con base en leyes simples, es posible explicar multitud de comportamientos com-plejos.




El proceso de abstraccin que permite identificar semejanzas entre muchas

y muy variables cosas es uno de los principios organizadores sobre los cualesse construye el conocimiento; est en la base de las distintas representaciones delmundo que los seres humanos han construido y nos ha permitido superar el pasmoante la diversidad.

El desarrollo de la teora de sistemas dinmicos cuyos cimientos fueron ten-didos por Henri Poicar a finales del siglo XI X y el descubrimiento de grandescategoras de dinmicas universales, permite proponer una nueva concepcin delmundo en la cual es posible descubrir, explicar y comprender el comportamientode sistemas de muy diversa ndole con las mismas herramientas matemticas y elmismo aparato conceptual.

Por ejemplo, hacia 1971, el qumico Ilya Prigogine, basado en sus inves-

tigaciones sobre sistemas termodinmicos abiertos o estructuras disipativas caracterizadas por el intercambio permanente de materia y energa con su entornoy su no linealidad inherente interpret la vida como una cascada de transi-ciones de unas estructuras disipativas en otras e identific a la teora que habaconstruido para el anlisis fisicoqumico de aquellos sistemas como un instrumen-to para cruzar la brecha que separa hoy en da la fsica de la biologa.

Poco despus, el mismo Prigogine y un notable grupo de bilogos y fsicosen distintos centros acadmicos del mundo se animaron a tratar de cruzar aquellabrecha y a transitar por la que se abre tambin entre la fsica y la sociologa: lasestructuras disipativas presentan cambios de fase y fluctuaciones caractersticasque se amplifican bajo ciertas condiciones cuyo estudio

... puede ser una herramienta importante para comprender los fen-menos de evolucin y revolucin social, as como el papel activo yconsciente del hombre como promotor de esos cambios; en ese sen-tido, los fenmenos de transicin que se esbozan tanto a nivel fsicocomo en el anlisis de la evolucin de la estructura de la ciencia,podran estar presentes en todos los niveles [...] Creemos que valela pena aadir que el entendimiento de las leyes de evolucin de lamateria, a diversos niveles de los fenmenos de transicin y amplifi-cacin de fluctuaciones, nos puede ayudar a comprender la dinmicade los cambios sociales revolucionarios hacia una sociedad ms justa,as como el papel del hombre como motor de estos cambios (Cocho,1975).

Como se ve, hace casi treinta aos, se descubri que el camino inverso alreduccionismo la teora de sistemas complejos nos permite extender, con una




economa de medios semejante a la de la fsica tradicional, nuestra comprensin

del mundo en muchas direcciones y abona la idea de que, por muy diversa quepueda ser la realidad, el conocimiento es uno solo y las distintas divisiones de laciencia, convenciones simplificadoras arbitrarias y, muchas veces, engaosas.

En particular, la teora de sistemas complejos contribuye a superar la antiguadisputa entre lo que C. P. Snow llam las dos culturas para referirse a la oposi-cin entre ciencias y humanidades acentuada luego de las atroces aplicaciones dela fsica a la tecnologa de guerra a mediados del siglo XX.

Por ahora, el pensamiento dominante entre quienes hacen la ciencia sigue sien-do reduccionista. Sin embargo, en las ltimas tres dcadas, se ha confirmado quecon las herramientas de los sistemas dinmicos no lineales es posible abordar yexplicar aquellos problemas de formacin de patrones en los sistemas complejos

descritos arriba para los cuales la fsica tradicional es totalmente insuficiente. Es-tamos viviendo un cambio de modelo cientfico, una revolucin del pensamiento.

1.2.3. Las consecuencias

Dadas las condiciones de cambio rpido en la sociedad y de revolucin en elpensamiento cientfico, cules son las consecuencias en relacin con la misinde la Universidad de la Ciudad de Mxico, empeada en construir una visinuniversalista, profunda e integradora del conocimiento y en recuperar un sentidoeducativo de compromiso y servicio social?

En un artculo reciente, dedicado a reflexionar sobre la dinmica del conoci-miento y la ignorancia, el britnico Peter M. Allen, uno de los ms destacadosdiscpulos y colaboradores de Prigogine, plantea as las cosas:

El conocimiento ha dejado de ser lo que creamos. Para saber culessern las consecuencias de nuestras creencias, nuestra poltica y nues-tras acciones, es necesario que podamos entender y predecir comofunciona el mundo. Pero no podemos. Esto se debe a que somospartcipes de un sistema coevolutivo complejo con mltiples escalasespaciales y temporales de interaccin en el cual, todo el tiempo, hayaprendizaje y hay transformacin. Por consiguiente, el sistema es fun-damentalmente irreversible (Allen, 2001: 3).

Se ha explicado extensamente, en la medida que cabe en los alcances de esteensayo, cmo superar la paradoja. En nuestros das, casi todos los centros de inves-tigacin cientfica del mundo tienen un grupo dedicado al estudio de los sistemascomplejos. Por su influencia, destacan:




El Instituto Internacional de Fsica y Qumica de la Universidad Libre de

Bruselas, donde han desarrollado su trabajo Ilya Prigogine y su equipo.El Instituto de Investigacin en Sistemas Complejos en Santa Fe de NuevoMxico, Estados Unidos, en cuya fundacin particip entre otros notablescientficos, el mismo P. W. Anderson que citamos arriba6 y en donde cadaao los ms destacados acadmicos de todo el mundo y de todas las dis-ciplinas, como el bilogo terico Stuart Kauffman o el economista BrianArthur, investigan y dan conferencias o seminarios de actualizacin.

El Departamento de Fsica Terica de la Universidad de Stuttgart, Alema-nia, en donde la investigacin en sistemas complejos ha sido lidereada porel Profesor Hermann Haken.

En Mxico, desde principios de los setenta inicialmente en la UNAM ycon la orientacin de Germinal Cocho se formaron fsicos, matemticosy bilogos que, ms adelante, fundaron grupos de trabajo interdisciplinarioen la propia UNAM y otras instituciones mexicanas de investigacin y edu-cacin superior.

Con enfoques complementarios y algunas diferencias importantes en la inter-pretacin, en todos se aplica la misma herramienta matemtica, la teora de lossistemas dinmicos no lineales, y sus estudios cubren prcticamente todo el es-pectro del conocimiento de nuestros das: desde astronoma, fisicoqumica, in-munologa o fisiologa del sistema nervioso central hasta evolucin biolgica,ecologa, antropologa cultural o prospeccin del desarrollo urbano.

No obstante su importancia creciente, la presencia de estos centros no ha sig-nificado todava un cambio notable de orientacin en la formacin cientfica. Lamayora de los profesionales de la ciencia que egresan hoy de las universidadessigue siendo formado en la tradicin reduccionista, fragmentaria y mecanicista.

En la Universidad de la Ciudad de Mxico al ofrecer la Maestra en Dinmicano Lineal y Sistemas Complejos se abre hoy la posibilidad de asumir las conse-cuencias educativas de la visin integral y dialctica del mundo que hemos discu-tido.

6Vase la pgina 21, supra.



Parte II

El programa

29



Captulo 2

Objetivos generales y perfiles

El objetivo general de la MDNLySC es proporcionar a sus alumnos la posibili-dad de

1. Formarse como profesionistas de alto nivel acadmico

con un conocimiento profundo del anlisis matemtico de los sistemasdinmicos no lineales y de sus posibles aplicaciones;

con la capacidad de identificar en la realidad las posibilidades de aplicarla teora de los sistemas complejos para comprender los procesos fsi-

cos, biolgicos o sociales que tengan lugar en su mbito de trabajo.

2. Apropiarse de una cultura cientfica y humanista que les permita

comunicarse adecuadamente con los tcnicos y profesionistas de otroscampos del conocimiento a fin de identificar la mejor forma de co-laborar con ellos en la solucin de problemas de inters comn enlos cuales puedan aplicarse las herramientas del anlisis no lineal y lavisin de la teora de los sistemas complejos;

profundizar su educacin ya sea formalmente o mediante el aprovechamien-to de las mltiples fuentes de informacin disponibles hoy en el mun-do;

construir un sistema de valores, en el cual la bsqueda de la felicidad yel bienestar de los seres humanos sea el ms importante, para normarsu actividad como cientfico.

31



32 CAPTULO 2. OBJETIVOS GENERALES Y PERFILES

3. Adquirir un compromiso con la sociedad para hacer que su prctica pro-

fesional contribuya a resolver los problemas de la gente, recuperando paraella el bien social que es la ciencia.

De manera especfica, las caractersticas que se espera tengan quienes cursenla MDNLySC se establecen en la seccin 2.1 y las de quienes, en principio, podrnser considerados candidatos a ingresar, en la seccin 2.2.1

2.1. El perfil del egresado

Los egresados de la Maestra en Dinmica no Lineal y Sistemas Complejos de

la Universidad de la Ciudad de Mxico

1. Identificarn procesos y sistemas complejos en la naturaleza y la sociedad.

2. Reconocern la necesidad de establecer un nivel adecuado de anlisis paramodelar los sistemas complejos. Segn la metfora de Leo Kadanoff: sabrnque no se deben modelar tractores con quarks.

3. Incorporarn a su cultura cientfica el conocimiento detallado de las repre-sentaciones formales, mediante los sistemas dinmicos no lineales (SDNL),de procesos fsicos, biolgicos y sociales en los cuales se presentan fen-

menos crticos.

4. Reconocern que la produccin cientfica, en particular la relacionada conla teora de los SDNL, se da en contextos histricos especficos y tiene con-secuencias en distintos mbitos sociales.

5. Sern capaces de aplicar las herramientas de anlisis de la teora de losSDNL a la comprensin de los sistemas complejos.

6. Podrn establecer relaciones entre diversos campos del conocimiento, apren-der a discriminar la informacin y conjeturar explicaciones coherentes en

relacin con fenmenos crticos de diversa ndole para los cuales sea factiblela modelacin con las herramientas de la teora de los SDNL.

7. Podrn participar en proyectos de investigacin o de resolucin de proble-mas interdisciplinarios en los cuales aplicarn la teora de los SDNL.



2.2. EL PERFIL DE INGRESO 33

8. Tendrn las bases matemticas y cientficas necesarias para proseguir su for-

macin en dinmica no lineal y sistemas complejos (DN LySC) tanto formal-mente con estudios de doctorado o especializacin donde los hubierecomo para mantenerse al da por cuenta propia.

9. Podrn transformar su prctica profesional en el mbito que les correspondaal aplicar la visin integradora cientfica, humanstica y social de lateora de los SDNL y sus aplicaciones al anlisis de los SC.

2.2. El perfil de ingreso

2.2.1. Formacin matemticaQuienes deseen ser alumnos de la MDNLySC deben poseer los conocimien-

tos del currculum matemtico de una licenciatura en ciencias o ingeniera. Enparticular, el correspondiente a los cursos de

1. Clculo diferencial e integral de una y varias variables.

2. lgebra superior y lgebra lineal.

3. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

4. Nociones de anlisis matemtico.5. Nociones de mtodos numricos.

6. Nociones de probabilidad y estadstica.

7. Nociones de programacin de computadoras.

Asimismo, se requiere dominio suficiente del ingls para leer sin dificultadliteratura cientfica en general (desde artculos tcnicos hasta ensayos filosficos).

2.2.2. Requisitos de ingreso

Los aspirantes a ingresar como alumnos a la MDNLySC debern

1. Ostentar el grado de licenciado en alguna disciplina cientfica, ingeniera ocarrera universitaria afn o bien.




2. Poseer los conocimientos descritos en la seccin 2.2.1 de este documento.

3. Entrevistarse con un Comit de Ingreso, designado por la UCM para talefecto el cual determinar si el candidato est apto para ingresar o debercumplir algn plan de trabajo para satisfacer el perfil descrito en la seccin2.2.1 de este documento. Dicho plan puede incluir el asistir a uno o ms delos cursos propeduticos (vase el apndice A) ofrecidos por los profesoresde la Maestra.

En caso de no poseer ttulo de licenciatura y cumplir los otros requisitos, loscandidatos podrn ser aceptados provisionalmente si hubieran aprobado la totali-dad del plan de estudios de alguna de las licenciaturas descritas y pasaran a quedarinscritos definitivamente si, en un plazo no mayor a un ao, obtuviesen dicho t-tulo. Cualquier caso no considerado en esta seccin ser resuelto colegiadamenteen el Comit de Ingreso.

2.3. Evaluacin

Para orientar la evaluacin acadmica de la MDNLySC hemos adoptado aqualgunos lineamientos establecidos por Rosa Mara Romero Cuevas y Teresa WuestSilva1 (Romero y Wuest, 2001: 47) quienes plantean concebir la evaluacin co-mo un proceso global y de carcter permanente que debe ser compatible con lanaturaleza de los procesos a los que se aboca.

En particular, la evaluacin dentro de la MDNLySC ha de hacerse en relacindirecta con los objetivos generales y especficos establecidos en la seccin 2.1 yadoptarse como un instrumento educativo que retroalimenta el proceso de forma-cin de profesionales de la ciencia con las caractersticas descritas ah. Por ello, laevaluacin debe

centrarse en el aprendizaje e involucrar a todos los actores del proceso;

articularse en el desarrollo y el contexto de cada curso y del programa en sutotalidad;

permitir identificar logros y carencias tanto en el proceso como en los resul-tados;1En algunos casos se han tomado las definiciones y propuestas textualmente; en otros, se han

adecuado a las particularidades de la MDNLySC. En cualquier caso, conviene dejar constancia delo importante que ha sido para esta seccin el trabajo de estas autoras.



2.3. EVALUACIN 35

servir para reforzar las actividades educativas que coadyuven adecuada-

mente a la consecusin de los objetivos y modular o corregir las que losobstaculicen;

incluir la perspectiva tica.

2.3.1. De los alumnos

La evaluacin del aprendizaje de los alumnos se plantea como una tarea atravs de la cual pueden conocerse sus avances y sus dificultades y limitaciones afin de fortalecer los primeros y trabajar los segundos... (Romero y Wuest, 2001:49) y se har permanentemente con base en instrumentos de diagnstico como los

siguientesEntrevistas peridicas con los profesores en las que se podr aplicar algntipo de cuestionario informativo de comn acuerdo entre estudiantes y mae-stros.

Presentacin de avances en

simulaciones computacionales;

ensayos monogrficos o de divulgacin;

reportes de bsqueda y lectura de publicaciones relacionadas con la

temtica de las diferentes asignaturas; exposiciones ante grupo sobre temas interdisciplinarios especficos;

reportes de trabajo de campo o de laboratorio.

Al final de cada semestre, los profesores harn a los alumnos recomendacionesexplcitas respecto a qu hacer para resolver las posibles carencias en relacin conlos objetivos que no se hayan logrado y los orientarn sobre el momento adecuadopara inscribirse en algn curso especfico.

Con base en esto, los estudiantes debern desarrollar un plan de trabajo (quepuede incluir el repetir una asignatura parcial o totalmente) que les permita avan-

zar en el plan de estudios sin dificultades atribuibles a aquellas carencias.No habr acreditacin por asignatura2 y el proceso se evaluar en su totalidaden la presentacin de la tesis con la que se podr obtener el ttulo correspondiente.

2Aunque podrn expedirse constancias con valor curricular donde se indique la asistencia o elcumplimiento de los objetivos correspondientes.




Requisitos de titulacin

La Universidad de la Ciudad de Mxico otorgar el ttulo de Maestro o Maestraen Ciencias (en Dinmica no Lineal y Sistemas Complejos) a quienes poseanlos conocimientos establecidos en este plan de estudios, presenten y defiendanexitosamente una tesis de investigacin en algn tema del catlogo de lneas deinvestigacin (vase el apndice 4.5) o el que se establezca de comn acuerdoentre el alumno y sus asesores.

2.3.2. De la Maestra

Al final de cada semestre, los alumnos y los profesores llevarn a cabo un

ejercicio en el que evaluarn, adems de los que se consideren pertinentes en sumomento, los siguientes aspectos:

El logro de los objetivos de las lneas curriculares.

Las contradicciones y la congruencia entre los contenidos y las estrategiasde aprendizaje.

El funcionamiento general y especfico de la estructura curricular adoptada.

La operacin del proyecto.

El funcionamiento del cuerpo docente.Por ser un rea del conocimiento en desarrollo permanente y muy acelerado,

los contenidos de la Maestra debern revisarse cada ao y su estructura generalse someter a evaluacin cada cuatro.



Captulo 3

El mapa curricular

Toda organizacin curricular implica y es expresin de una filosofa. sta hasido expuesta en extenso en las secciones 1.1 y 1.2. Aqu es pertinente hacer hin-capi en que

El conocimiento es uno solo y el estudio de lo complejo debe abordarse contodo el instrumental pertinente y cubriendo el mayor espectro posible deaplicaciones.

El aparato conceptual y terico ms desarrollado para hacerlo es el anlisismatemtico de los sistemas dinmicos no lineales.

Asimismo, se trata de comprender fenmenos crticos reales en sistemasfsicos, biolgicos y sociales y de poner en juego para hacerlo las herramien-tas para el pensamiento de los SDNL.

Por consiguiente, debe evitarse cualquier distincin artificial entre fenomenologay formalismo.

3.1. Los ejes y las lneas

El mapa se ha organizado con base en los siguientes dos grandes ejes:

I Ciencia y sociedad (CyS).

II Dinmica no lineal y de los sistemas complejos (DN LySC).

37



38 CAPTULO 3. EL MAPA CURRICULAR

Semestre CyS DNLySC1ro. CyS en el SC I: DNL I: dinmica

siglo XXI-I Fractales y caos temporal (1ra. parte)2do. CyS en el SC II: Sistemas extendi- DNL II: dinmica

siglo XXI-II dos, conectividad y redes temporal (2da. parte)3ro. Taller de inv. Taller de SC: Origen y evo- *DNL III: dinmica

sobre CyS lucin de la complejidad espacio-temporal4to. Seminario de

Investigacin5to. Seminario de

Investigacin

Cuadro 3.1: Mapa curricular

En las secciones 4.1, 4.2 y 4.3 se desglosan los contenidos por programa de cadaasignatura. El segundo eje, a su vez, se organiza en dos lneas curriculares: la dedinmica no lineal (DN L) y la de sistemas complejos (SC) y en la tabla 3.1, sedistinguen por el subndice y se da en ella la secuenciacin de los mismos. Loscursos indicados con un asterisco son optativos. Cada semestre tiene una duracinde 16 semanas y cada curso se desarrollar en 64 horas por semestre.

Conviene aqu insistir en las relaciones horizontales del mapa curricular: escierto que hay una separacin en lneas que se distinguen por el tipo de herramien-ta con la cual se construyen las representaciones formales de distintos procesos;es cierto tambin que hay una secuenciacin didctica orientada por el principiorector de construir el conocimiento por etapas en las cuales los alumnos tienenla oportunidad de asimilar contenidos nuevos, madurar intelectualmente y apropi-arse de los elementos necesarios para comprender las etapas subsecuentes.

Sin embargo, no ha de perderse nunca de vista que el cuerpo de conocimientossus conceptos, teoras, herramientas y aplicaciones es un todo indivisible.Esta caracterstica es una consecuencia de la posibilidad de identificar las clasesde equivalencia dinmica a las que nos referimos en la seccin 7 (vase la pgina24, supra) en procesos fsicos, biolgicos o sociales que son, desde luego, de

muy diversa ndole pero en los cuales es posible identificar reglas de interaccinsemejantes. Por ello, cada tema del programa da lugar a un tratamiento mltiple ycomplementario en las diferentes lneas.

Lo anterior quiere decir, por un lado, que el estudio de los sistemas dinmicosha puesto de manifiesto que el comportamiento de un sistema depende del modo



3.1. LOS EJES Y LAS LNEAS 39

de interaccin entre sus componentes ms que de los detalles de su composicin y

esto provee medios para estudiar fenmenos en donde la experimentacin directaes imposible y en donde la tradicin de la investigacin se limitaba a conseguir,en el mejor de los casos, slo descripciones.

Estudiar la dinmica de un sistema abstrae la base material de ste pero talalienamiento no puede ser total porque son los detalles de la fenomenologa ycomposicin los que definen las formas de interaccin. Describir llanamente dis-tintos sistemas en diferentes niveles fenomenolgicos, adems de ser parte decualquier cosmovisin, es bsico para cualquier caracterizacin dinmica formaly por tanto para lograr habilidades mnimas de modelacin.

Por eso, en todas las lneas hay una insistente presencia de discusiones multi-disciplinarias que van desde la mecnica estadstica hasta la evolucin biolgica

y la gestin social lo que es congruente tambin con el objetivo de que los egresa-dos puedan construir una cultura cientfica y humanstica que sea la base para eltrabajo con otros profesionistas.

Adems de la gran cantidad de ejemplos de aplicacin y de discusiones fenomenolg-icas que aparecen una y otra vez en ambos ejes y que se trabajarn sistemti-camente en el taller de sistemas complejos durante el tercer semestre hay doslneas transversales que cruzan el mapa y que no aparecen explcitamente en latabla 3.1:

(a) Simulaciones computacionales y mtodos numricos y

(b) Procesos estocsticos (vase la seccin 4.4).

Sus temas se van incorporando segn se avanza en el desarrollo de cada asignatu-ra.

3.1.1. Flexibilidad curricular

Cada alumno

Deber cursar todas las asignaturas del eje curricular en CyS. En principio,

stas son las nicas del plan en las que se considera indispensable la pres-encia.

Podr elegir si no cursa alguna asignatura del eje curricular en DNLySC.Para hacerlo, deber poseer los conocimientos descritos en los objetivos de




cada materia y decidirlo de comn acuerdo con sus asesores y, de ser nece-

sario, desarrollar un plan de trabajo personal para cubrir temas o mdulosespecficos.

Podr optar por iniciar su trabajo de investigacin antes del cuarto semestre.

3.2. Recomendacin metodolgica

Conviene plantear aqu una serie de recomendaciones generales sobre la formade abordar los temas en todas las asignaturas:

1. A lo largo de estos cursos, pero especialmente al inicio, los alumnos dis-cutirn problemas de distintas ramas del conocimiento que compartan lacaracterstica de que su representacin matemtica se establece en trminosde sistemas dinmicos continuos o discretos no lineales. Es fundamentalhacer nfasis en la fenomenologa de lo no lineal y en la universalidad quedistintas dinmicas pueden tener, independientemente de la base materialsobre la cual pudieren ocurrir los procesos.

2. Como una estrategia permanente, orientada a presentar siempre los formal-ismos en un contexto adecuado, es necesario cimentar una cultura de locomplejo y de lo no lineal mediante el conocimiento detallado de la influ-

encia recproca entre el desarrollo de la teora de SDNL y el estudio de fen-menos crticos y, ms en general, sistemas complejos de diversa ndole. Estosignifica integrar en los cursos el anlisis de ejemplos histricamente impor-tantes (Poincar, Lorenz, May, Prigogine, Belousov-Zabothinsky, Feigen-baum, etctera) de esta interaccin.

3. En general, slo despus de haber discutido con distinto grado de profun-didad los problemas interdisciplinarios descritos en los dos incisos anteri-ores debern introducirse paulatinamente los elementos toricos, conceptosy tcnicas formales de mayor generalidad. Si bien el formalismo es un cri-terio de correccin matemtica universalmente aceptado, el conocimiento

matemtico se construye mediante la bsqueda de patrones generales deforma, cantidad, cualidad y comportamiento que pueden hallarse lo mismoen el mundo fsico que en el del pensamiento y esta bsqueda echa manode una multitud de recursos intelectuales cuya heurstica incluye desde elrazonamiento lgico deductivo hasta las asociaciones libres. (Lenat).



3.2. RECOMENDACIN METODOLGICA 41

4. La demostracin formal de algunos resultados importantes de dinmica no

lineal requiere que el estudiante posea antecedentes matemticos que, posi-blemente, no tengan todos los alumnos (por ejemplo, similares a los de losegresados de las licenciaturas en fsica o matemticas). En tales casos, sesugiere basar las discusiones en presentaciones conceptuales a travs desistemas escogidos ad hoc.



Captulo 4

Los contenidos

4.1. Ciencia y sociedad en el siglo XXI

Nos encontramos en un mundo en crisis en el que las diferencias de nivelde vida entre pases ricos y pobres y entre las clases sociales dentro de cadapas aumentan dramticamente. En esta situacin importa discutir el papel de laciencia. En particular, reflexionar sobre si ha sido un instrumento de dominaciny, dado el caso, cmo desarrollar una prctica cientfica opuesta a esto.

Aunque muchas de las crticas son vlidas, no lo es menos que para llegar aun mundo ms justo, en el cual la gente sea ms feliz y creativa, la ciencia ser

indispensable, aunque tambin deber distinguirse de la que actualmente se gen-era en los grandes centros metropolitanos de produccin cientfica y tecnolgica.Para esto es necesario comprender las relaciones entre la ciencia y los problemassociales de nuestra poca y del pasado inmediato.

Se proponen dos cursos semestrales y un taller de investigacin. En el primersemestre se discutirn los problemas bsicos a los que se enfrenta la fsica y labiologa en el siglo XXI y las presentes ideas sobre la evolucin de la materia,tanto a nivel cosmolgico, como biolgico y social, tomando en cuenta los condi-cionamientos histricos, econmicos y culturales. Se discutirn tambin diversosenfoques metodolgicos y modos de producir la ciencia y sus caractersticas en el

momento actual de cambio y obsolescencia rpidas.En el segundo semestre se discutirn aspectos de los sistemas complejos, conejemplos de la fsica, la biologa y al sociologa. Se pondr especial nfasis en elanlisis de redes y colectivos sociales, tanto animales como humanos.

En el tercer semestre se tendr un taller en el que a la luz de los conocimien-

43



44 CAPTULO 4. LOS CONTENIDOS

tos impartidos en los diversos cursos de los dos semestres anteriores se analizar

la problemtica de las grandes ciudades, discutiendo qu especialidades y her-ramientas conceptuales seran las adecuadas para atacar estos problemas.Como parte de este taller los estudiantes realizarn prcticas de campo en

comunidades concretas de la Ciudad de Mxico que sean objeto de anlisis y seimpartirn conferencias en las escuelas preparatorias del Instituto de EducacinMedia Superior y en la Universidad de la Ciudad de Mxico.

Asociados a alguno de los temas, se propondran modelos matemticos es-pecficos, deterministas o probabilsticos, analticos si es posible, pero en generalcomputacionales.

4.1.1. Ciencia y sociedad en el siglo XXI-I

Primer semestre. (64 horas).

Temario

1. La problemtica de las grandes ciudades. La Ciudad de Mxico.

2. El modo de producir la ciencia a lo largo de la historia y en nuestros das.

3. El cambio social, cultural y de las concepciones cientficas a lo largo de lahistoria y en la poca actual. Cambio rpido y obsolescencia. Organizacin

del trabajo en la industria, la administracin y la producin cientfica.4. Los grandes problemas de la fsica y la biologa en el siglo XXI. Antecedentes

histricos e interrelaciones con la problemtica social.

5. Evolucin de la materia, a nivel cosmolgico, biolgico y social.

4.1.2. Ciencia y sociedad en el siglo XXI-II

Segundo semestre. (64 horas).

Temario1. Enfoques conceptuales: Reducionismo, estructuralismos fuerte y dbil y

conectivismo.

2. Puentes, diccionarios y respuesta a la obsolescencia. Ciencia conceptual.



4.1. CIENCIA Y SOCIEDAD EN EL SIGLO XXI 45

3. Ejemplos de sistemas complejos fsicos, biolgicos y sociales.

4. Estructura y dinmica de redes sociales.

5. Comunidades de prctica homogneas y heterogna.

4.1.3. Taller de investigacin en ciencia y sociedad

Tercer semestre. (64 horas).

Temario

1. La Ciudad de Mxico. Los problemas que se presentan.

2. Sobre las fuentes de poder de la inteligencia. Dado un problema real com-plejo ver qu especialidades y fuentes de poder de la inteligencia se necesi-taran.

3. Prcticas sociales de campo y conferencias en las preparatorias de la UCM.

4.1.4. Bibliografa para el eje

1. Colecciones de artculos sobre los siguientes tpicos cientficos

a) Evolucin y desarrollo: genmica, protemica y redes metablicas.b) Ciencia experimental, terica, computacional y relacional.

c) La sntesis de la visin del cielo y de la tierra entre Aristteles y New-ton. Convergencias de la fsica de partculas y la cosmologa.

d) Estrategias para la investigacin y el descubrimiento.

2. Albert, Alain (Editor) (1995): Chaos and Society. Amsterdam, IOS Press.

3. Allen, Peter M. (1997): Cities and Regions as Self-Organizing Systems.Models of Complexity. Amsterdam, Gordon and Breach Science Publishers.

4. Altmann, Gabriel y Walter A. Koch, (Editores) (1998): Systems, New Paradigmsfor the Human Sciences. Berln, De Gruyter.

5. Bernal, John Desmond, (1973): Historia social de la ciencia. Barcelona.Pennsula.




6. (BB) Bertalanffy Ludwig von, (1976): Teora general de los sistemas. Mx-

ico, Fondo de Cultura Econmica.7. (BB) Bushev, Mikhail (1994): Synergetics: Chaos, Order, Self-Organization.

Singapur, World Scientific.

8. (BB) Feyerabend, Paul Karl, (1989): Contra el mtodo: esquema de unateora anarquista del conocimiento. Barcelona. Ariel.

9. Gutirrez Snchez, Jos Luis (1999): Teoras, sistemas y comprensin delmundo, en Perspectivas en las teoras de sistemas. (Santiago Ramrez,Coordinador). (Coleccin Aprender a Aprender). Mxico, CEIICH-UNAM-

Siglo XX I. (pp. 93100).

10. Gutirrez Snchez, Jos Luis (2000): El sueo de Isaac Asimov o sonmatematizables las ciencias de lo humano?, en Poltica y cultura 13: 3354, Matemticas ante las ciencias sociales. Verano de 2000. Mxico, De-partamento de Poltica y Cultura, UAM-X.

11. (BB) Mainzer, Klaus (1994): Thinking in Complexity. The Complex Dynam-ics of Matter, Mind and Mankind. Berln. Springer Verlag.

12. Matthies, M., H. Malchow y J. Kriz, (Editores) (2001): Integrative Systems

Approaches to Natural and Social Dynamics. Berln. Springer.

13. Mayr, Ernst W. y William B. Provine, (1997): The Evolutionary Synthesis.Harvard. Harvard University Press.

14. (BB) Kuhn, Thomas, (1971): La estructura de las revoluciones cientficas.Mxico, Fondo de Cultura Econmica.

15. (BB) Rose, Steven y Hilary Rose, (1979): Economa poltica de la ciencia.Mxico, Nueva Imagen.

16. Volkenshtein M.V. (1981): Biofsica. Mosc. Mir.

17. (BB) Waddington, Conrad Hal (1977). Tools for Thought. How to Under-stand and Apply the Latest Scientific Techniques of problem Solving. NuevaYork. Basic Books Inc. Publishers.



4.2. DINMICA NO LINEAL 47

4.2. Dinmica no lineal

Para el desarrollo de esta lnea curricular, el alumno deber cursar las asignat-uras cuyo temario se desglosa ms adelante. Las dos primeras son obligatorias; latercera, optativa. Cada una se cursar durante un semestre de cuatro horas sem-anales (64 horas presenciales en 16 semanas). El contenido de los dos primeroscursos se organiza en torno a dos conceptos fundamentales en sistemas dinmi-cos: estabilidad y bifurcacin. El del tercero toma como eje central el concepto deautoorganizacin espacio-temporal.

4.2.1. Objetivos.

El alumno,

1. Comprender y aplicar las tcnicas cualitativas del anlisis de sistemasno lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias y de algunas familias deecuaciones en derivadas parciales.

2. Ser capaz de reconocer las condiciones de estabilidad y los procesos debifurcacin y autoorganizacin espacio-temporal y podr hacerlo en los ca-sos en los cuales las ecuaciones modelan matemticamente fenmenos oprocesos reales.

4.2.2. Dinmica no lineal I

Primer semestre. (64 horas).

Temario

1. Planteamiento de problemas y la necesidad de una teora.

a) Problemas de fsica: oscilaciones libres, oscilaciones forzadas, camposde fuerza central, osciladores de arena, etctera.

b) Problemas de ciencias de la vida: interaccin entre especies, dinmicade comunidades, propagacin de epidemias, conduccin de impulsosnerviosos, etc.

c) Problemas de qumica: ley de accin de masas, reacciones reversibles,cintica enzimtica, propagacin de contaminantes, etc.




d) Problemas de economa.

e) Sobre existencia, unicidad y continuidad de soluciones respecto a condi-ciones iniciales y a parmetros.

2. Sistemas lineales autnomos.

a) Formas cannicas de sistemas de dimensiones dos y tres. Clasificacindel equilibrio en el caso del plano.

b) Puntos de equilibrio hiperblicos y no hiperblicos.

c) Equivalencia topolgica entre flujos lineales.

d) Estabilidad de Lyapunov.

e) Sistemas lineales no autnomos.f) Existencia de soluciones periodicas.

g) Teora de Floquet (la ecuacin de Mathieu).

3. Sistemas no lineales autnomos.

a) Sistemas lineales con perturbacin no lineal.

b) Equivalencia topolgica local. El teorema de Hartman-Grobman.

c) Sistemas hamiltonianos (cantidades que se conservan). El teorema deLiouville.

d) El mtodo de Lyapunov y cuencas de atraccin (coexistencia ecolgi-ca).

e) Existencia de soluciones peridicas. El criterio negativo de Bendixony la prueba de Dulac.

f) Regiones positivamente invariantes.

g) El teorema de Poincar-Bendixon (los osciladores de Bruselas, de Ore-gon, de van der Pol sin forzamiento, etc.).

h) Dinmica de algunos sistemas tridimensionales (los atractores de Lorenz,Hodgkin-Huxley, Rossler, etctera)

i) Atractores extraos conocidos. Caos cuando n 3.

4. Sistemas no lineales y no autnomos.

a) El oscilador de van der Pol con forzamiento (phase locking).

b) La ecuacin de Duffing.




4.2.3. Dinmica no lineal II

Segundo semestre. (64 horas).

Temario

1. Bifurcacin local de puntos de equilibrio.

a) Bifurcaciones elementales en el caso escalar. Diagramas de bifurcacin.

b) Puntos no hiperblicos en sistemas planos.

c) Las bifurcaciones nodo-silla, pitchfork, nodo-centro, transcrtica, etc.Fenmeno de histresis.

d) La aparicin de ciclos lmite a travs de bifurcaciones.

e) El teorema de bifurcacin de Hopf.

2. Bifurcacin global de trayectorias.

a) Existencia de trayectorias heteroclnicas (silla-silla, nodo-silla) y ho-

moclnicas.b) Bifurcacin de trayectorias heteroclnicas y homoclnicas. Su inter-

pretacin.

c) Estabilidad estructural de sistemas planos.

d) Retratos fase globales y su cambio al cambiar los valores de los parmet-ros.

3. Estabilidad de trayectorias peridicas.

a) La seccin de Poincar.

b) El mtodo de promedios.

c) El mtodo de perturbaciones.




4.2.4. Dinmica no lineal III

Tercer semestre. (64 horas).

1. Autoorganizacin, morfognesis y emergencia de patrones.

a) Estructuras disipativas y rompimientos de simetra.

b) Modelacin de procesos difusivos. Ley de Fick1.

c) Los sistemas de reaccin-difusin como mecanismo morfogentico.

d) Bifurcacin de Turing. El sistema activador-inhibidor.

e) Otro mecanismo morfogentico: la quimiotaxis.

f) Morfognesis y filotaxia.

2. Propagacin de ondas en medios excitables

a) La neurona y las clulas cardiacas como sistemas excitables. Cuali-dades de los sistemas excitables. Sistemas biestables.

b) La propagacin de ondas a travs del msculo cardiaco

c) Las ondas qumicas en las reacciones de Belousov-Zabothinski. Os-ciladores espacio-temporales.

d) Propagacin de ondas en dimensin uno, dos y tres. Ondas viajeras,espirales rotando, ondas enrolladas.

e) La geometra de las ondas en medios excitables.

3. Patrones y sistemas fuera del equilibrio.

4.2.5. Bibliografa de la lnea

El enfoque interdisciplinario y la diversidad de problemas a travs de loscuales se sugiere presentar los temas de estas asignaturas, imposibilita que pueda

pensarse en el libro de texto para cada uno de los cursos que se propone. As,1Deber establecerse la relacin con los temas de sistemas dinmicos intrnsecamente aleato-

rios (caminatas aleatorias) y de sistemas dinmicos aleatorios continuos (movimiento brownianoy procesos de difusin) como se describen en los apartados 1.(b) y 3. de la lnea de pocesos es-tocsticos (vanse, en la seccin 4.4, las pginas 76 y 76 infra).




ninguna de las referencias contenidas en la lista que sigue, contiene todo el ma-

terial de al menos uno de los cursos que se proponen. En ese sentido cada unade las referencias que aparecen a continuacin, tiene indicaciones sobre: el nivel(E=introductorio, I=intermedio, A=avanzado); el curso para el que se recomienda(1 = Dinmica I, 2=Dinmica II, 3=Dinmica III).

1. (BB) Arrowsmith D. K. y C. M. Place (1990): Introduction to Applied Non-linear Dynamical Systems, Cambridge University Press. (A,1,2).

2. A. D. Bazykin (1998):Nonlinear dyna

Documento Maestro Maestría en Dinámica No Lineal ySistemas Complejos-1

Documents

Transcript of Documento Maestro Maestría en Dinámica No Lineal ySistemas Complejos-1