Dominancia EstocsticaHasta ahora se evaluaron medidas de aversin al riesgo en un economa donde

slo existan dos activos: uno riesgoso y otro libre de riesgo. En esta seccin seasumir la existencia de slo dos activos riesgosos.La utilidad esperada puede ser usada para introducir la economa de elec-

cin bajo incertidumbre: Un individuo no saciable y averso al riesgo vaclaramente a preferir aqul activo que le d mayor utilidad esperada.A continuacin vamos a presentar distintos criterios basados en las propiedades

estocsticas de los retornos (o de las funciones de probabilidad de los retornos)que le aseguren al individuo que, al elegir un activo, obtenga mayor utilidad es-perada. Los criterios de comparacin que vamos a analizar se conocen como deDominancia Estocstica de Primer orden y Dominancia Estocstica de Segundoorden. Estos criterios van a estar relacionados con a) nivel del retorno y b) ladispersin del retorno.

Denition 1 Un activo se dice que es dominante desde el punto de vista es-tocstico si el individuo recibe mayor riqueza de este activo para todo estadoordenado de naturaleza.

Si denotamos F y G las distribuciones acumuladas (funciones de de proba-bilidad) de los activos riesgosos A y B (por simpleza asumimos que el dominiode los retornos, rA y rB ; es [0,1]), donde

F () = P (rA ) =Z 0

f(z)dz;

y

G() = P (rB ) =Z 0

g(z)dz:

Dominancia estocstica puede caracterizarse como una serie de criterios mnimossobre las propiedades estocsticas de los retornos que nos aseguren que

EF (U(rA)) EG(U(rB));o en otras palabras el activo A domina estocsticamente a B si para toda funcin-no decreciente- U : R ! R se cumpleZ 1

0

U()dF () Z 10

U()dG():

A continuacin pasaremos a denir distintos tipos de dominancia estocstica.

1 Dominancia Estocstica de Primer Orden

Dominancia estocstica de primer orden provee una regla para ordenar de modoconsistente activos riesgosos, para individuos que preeren ms riqueza a menosriqueza (U 0 > 0). Es decir, para este tipo de dominancia slo requiremos que lafuncin de utilidad sea creciente.

1

Denition 2 El activo A domina estocsticamente de primer orden al activoB (y se denota como A

FSDB ) si

G() F () 8v:

Figura 3.1

Dado que F () y G() son las funciones de distribucin acumuladas de losretornos de los activos riesgosos A y B; respectivamente, esta denicin nosdice que el individuo preere ms a menos riqueza. Esto se debe a que, comose puede apreciar en la Figura 3.1, al ser G() F (); para valores bajos delos retornos, el activo B tiene asignada una masa mayor de probabilidad queel activo A: Esto a su vez implica que la media de los retornos del activo A esmayor que la del activo B:

Proposition 3 Si G() F () entonces; EF (U(rA)) EG(U(rB)); o sea

Z 10

U()dF () Z 10

U()dG():

Demostracin. ConsidereR 10U()dF (); integrando por partes obtenemos

(recordemos que para simplicar asumimos que el dominio de los retornos es elintervalo [0; 1])

U()F ()j10 1Z0

F ()dU():

(Notar que la regla de integracin por partes establece quebRa

h (x) dz (x) =

h (x) z (x) jabbRa

z (x) dh (x) ; en este caso h (x) = U() y z (x) = F ()): Anloga-

2

mente Z 10

U()dG() = U()G()j10 1Z0

G()dU():

De estas dos ltimas expresiones para la utilidad esperada de los retornos seinere que la condicin para que se cumpla dominancia estocastica,Z 1

0

U()dF () Z 10

U()dG();

es equivalente a

U()F ()j10 1Z0

F ()dU() U()G()j10 1Z0

G()dU():

Sustituyendo los lmites de integracin (F (1) = G(1) = 1) y simplicando

1Z0

F ()dU() 1Z0

G()dU();

o1Z0

(G() F ())dU() 0:

Esta expresin puede tambin escribirse como

1Z0

(G() F ())U 0()d 0;

por lo tanto, como asumimos que U 0() > 0; se desprende que el activo Adomina al activo B si G() F ():Se puede demostrar que G() F () tambin es condicin necesaria. Por

lo tanto se puede armar A FSD

B si y slo si G() F ():

1.1 Consecuencias de Dominancia estocstica de primerorden

Una consequencia de dominancia de primer orden es que si A FSD

B; podemos

expresar el retorno del activo dominante A como la suma de el retorno del activoB ms una variable aleatoria positiva, i.e., rA = rB + #, donde # representa lavariable aleatoria positiva. Esta relacin se cumple ya que

E(u(rA)) = E(u(rB + #)) E(u(rB))como U es creciente

3

entoncesE(u(rA)) E(u(rB)):

Por otra parte es fcil de ver, tomando valor esperado en ambos lados de laecuacin, que rA = rB + # implica E(rA) E(rB):

2 Dominancia Estocstica de Segundo Orden

Dominancia estocstica de segundo orden rankea a todos los individuos que

i) Preeren ms a menos riqueza (U 0 > 0):ii) Son aversos o neutrales al riesgo (U 00 0):

El criterio de dominancia estocstica de segundo orden est preponderante-mente relacionado a la dispersin de los retornos (para simplicar la exposicinnos limitaremos a comparar distribuciones con la misma media).

Denition 4 Se dice que A domina estocsticamente de segundo orden a B siR 0(G(z) F (z)) dz 0 y se denota como A

SSDB ( el valor esperado de la

utilidad del activo A es mayor que el del activo B): Ver Figura 3.2.

Figura 3.2

Proposition 5 A SSD

B si y slo siR 0(G(z) F (z)) dz 0 (dado E(rA) =

E(rB))

4

Demostracin (suciencia). Anteriomente probamos queZ 10

U()dF () = U()F ()j10 1Z0

F ()dU()

= U(1)1Z0

F ()dU()

= U(1)1Z0

F ()U 0()d:

Aplicando integracin por partes nuevamente obtenemos (tomando z (x) = F ()y h (x) = U 0())Z 1

0

U()dF () = U(1)24U 0() Z

0

F (z)dz

3510

+

1Z0

0@U 00() Z0

F (z)dz

1A dsimplicando y sutituyendo los lmites de integracin obtenemosZ 1

0

U()dF () = U(1) U 0(1)(1 E(rA)) +1Z0

0@U 00() Z0

F (z)dz

1A d;(este resultado se obtiene porque

1R0

F (z)dz = F (z)zj10 1R0

zdF = 1 E(rA)).Anlogamente podemos probar queZ 1

0

U()dG() = U(1) U 0(1)(1 E(rB)) +1Z0

0@U 00() Z0

G(z)dz

1A d:Por lo tanto es fcil ver que si

R 0(G(z) F (z)) dz 0 entoncesZ 1

0

U()dF () Z 10

U()dG();

ya que las ecuaciones anteriores implican que1Z0

0@U 00() Z0

F (z)dz

1A d 1Z0

0@U 00() Z0

G(z)dz

1A d;o

1Z0

U 00()

24 Z0

(F (z)G(z))dz35 d 0;

y dado que U 00() es negativa, esto prueba la parte de suciencia.La parte de necesidad no ser demostrada (por una prueba ver Foundations

for Financial Economics de Huang & Litzemberger, pg 47).

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2.1 Consequencias de Dominancia estocstica de segundoorden

Stiglitz (1970) demuestra que A SSD

B si y slo si

rB = rA + " =) E("jrA) = 0:

Es decir, el retorno del activo B es igual al retorno del activo A ms unavariable aleatoria ortogonal al retorno de A. Notar que rB y rA tienen igualmedia, pero el retorno del activo B tiene mayor varianza y por lo tanto el activoes ms riesgoso.Demostracon (suciencia). (Si rB = rA + " =) E("jrA) = 0; entoncesA SSD

B).

E(U(rB)) = E(U(rA + "))por expectativas iteradas

= E(E(U((rA + ")jrA)));

por Jensen Inequality se inere que

E(U((rA + ")jrA)) U (E(rA + "jrA));E(U((rA + ")jrA)) U (E(rAjrA) + E("jrA)) ;E(U((rA + ")jrA)) U (rA) ;

nalmente, aplicando a ambos lados el operador esperanza, se obtiene

E(U(rB)) E(U(rA)):

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