DOMINIO DE UNA FUNCIÓNjgvaldemora.org/blog/matematicas/wp-content/uploads/2019/...2019/09/02 ·...

Teresa Sánchez Serrano IES Juan García Valdemora

Ejercicio 1

a) 3)1()( −= xxf función polinómica =→ )(Dom f

b) 14

1)(

2 −=

xxf función racional

−−==−−=→

2

1,

2

1}014/{)(Dom 2xxf

2

1 ò

2

1

4

1 14 014 22 =−====− xxxxx

c) 34

2)(

2

7

+−

−=

xx

xxf función racional 3 , 1 }034/{)(Dom 2 −==+−−=→ xxxf

=

==

=

−==+−

1

3

2

24

2

12164 0342

x

xxxx

d) 3

1)(

xxf = función racional 0}0/{)(Dom 3 −==−=→ xxf

0 0 0 33 === xxx

e) 5

7)(

2 −=

xxf función racional 5,5 }05/{)(Dom 2 −−==−−=→ xxf

2 25 0 5 5x x x− = = =

f) 81

1)(

4 −=

xxf función racional 3 , 3}01/{)(Dom 4 −−==−−=→ xxf

3 81 81 081 444 ====− xxxx

g) 43

1)(

24 −−

−=

xx

xxf función racional }043/{)(Dom 24 =−−−=→ xxxf

▪ bicuadradaecuación 043 24 =−− xx

▪ 043 variablede Cambio 22 =−−= tttx

−=−=

====

=

+==−−

realsolución tieneno 1 1

2 4 4

2

53

2

1693 043

2

2

2

xt

xxtttt

▪ Por tanto, 2,2)(Dom −−=f

h) 22

3)(

23

2

+−−

−=

xxx

xxf función racional }022/{)(Dom 23 =+−−−=→ xxxxf

▪ 022 23 =+−− xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+

0 2 1 1 −−

1


−=

==

=

+==−−

==−

=−−−=+−−

1

2

2

31

2

811 02

1 01

0)2()1( 0222

223

x

xxxx

xx

xxxxxx

▪ }2 , 1 , 1{)(Dom Por tanto, −−=f

i) 16

97)(

4 +

+=

x

xxf función racional }016/{)(Dom 4 =+−=→ xxf

−=−==+ en solución 16 16 016 444 xxx

=)(Dom Por tanto, f

Ejercicio 2

a) xxxf −−+= 32)( (resta de funciones)

▪ Dom( 2 ) { / 2 0} [ 2, )y x x x= + = + = − +

▪ Dom( 3 ) { / 3 0} ( ,3]y x x x= − = − = −

Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)(Dom −=−+−=f

b) xxf 24)( −= función radical con índice par ]2,(}024/{)(Dom −=−=→ xxf

4 2 0 4 2 2 2x x x x−

c) 3 24)( xxf −= función radical con índice impar =−==→ )24(Dom)(Dom xyf

d) x

xf24

1)(

−= (cociente de funciones) 0)(/)(Dom)(Dom)/( Dom =−= xgxgfgf

▪ == )1Dom(y

▪ ]2,(}024/{)24Dom( −=−=−= xxxy

▪ 2 024 024 ==−=− xxx

Por tanto, )2,(}2{]2,()(Dom −=−−=f

e) 3 24

1)(

xxf


▪ == )1Dom(y

▪ =−==−= )24Dom()24Dom( 3 xyxy

▪ 2 024 0243 ==−=− xxx

Por tanto, ( ) }2{}2{)(Dom −=−=f


f) 4 2 45)( +−= xxxf función radical con índice par }045/{)(Dom 2 +−=→ xxxf

045 :inecuación laresolver que Tenemos 2 +− xx

=

==

=

−==+−

1

4

2

35

2

16255045 Ceros 2

x

xxxx

= 01a

),4[]1,()(Dom Por tanto, +−=f

g) 352)( 2 −+−= xxxf función radical con índice par }0352/{)(Dom 2 −+−=→ xxxf

0352 :inecuación laresolver que Tenemos 2 −+− xx

=

=

=−

−=

−

−−==−+−

2

3

1

4

15

4

242550352 Ceros 2

x

x

xxx

−= 02a

=

2

3 , 1)(Dom Por tanto, f

h) 5 2 1

1)(

−=

xxf (cociente de funciones) 0)(/)(Dom)(Dom)/( Dom =−= xgxgfgf

▪ == )1Dom(y

▪ =−==−= )1Dom()1Dom( 25 2 xyxy

▪ 1 01 01 25 2 ==−=− xxx

Por tanto, ( ) }1{}1{)(Dom −=−=f


i) 4 29

1)(

xxf


▪ == )1Dom(y

▪ ]3,3[}09/{)9Dom( 24 2 −=−=−= xxxy

09 2 − x

3909 Ceros 22 ===+− xxx

−= 01a

▪ 3 09 09 24 2 ==−=− xxx

Por tanto, ( ) )3,3()(Dom )3,3(}3{]3,3[)(Dom −=−=−−= ff

j) x

xxf

1)(

−= función radical con índice par

−

=→ 01

/)(Domx

xxf

01

:inecuación laresolver que Tenemos −

x

x

Ceros Polos

101 ==− xx 0=x

),1[)0,()(Dom Por tanto, +−=f

k) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }0{

1Dom)(Dom −=

−==→

x

xyf

l) 1

)(2

−=

x

xxf función radical con índice par

−

=→ 01

/)(Dom2

x

xxf

01

:inecuación laresolver que Tenemos2

−x

x

Ceros Polos

002 == xx 101 ==− xx

),1(}0{)(Dom Por tanto, +=f


m) 23

2)(

2 +−

−=

xx

xxf función radical con índice par

+−

−=→ 0

23

2/)(Dom

2 xx

xxf

0)1)(2(

)2( 0

23

2 :inecuación laresolver que Tenemos

2

−−

−

+−

−

xx

x

xx

x

Ceros Polos

202 ==− xx

=

==

−==+−

1

2

2

8930232

x

xxxx

),2()2,1()(Dom Por tanto, +=f

n) 33 5

1)(

xxxf

−= función radical con índice impar =

−==→

xxyf

5

1Dom)(Dom

3

}5,0{}05/{ 3 −==−−= xxx

==−

==−=−

505

0 0)5( 05

2

23

xx

xxxxx

o) 4

1)(

−

+=

x

xxf (cociente de funciones) 0)(/)(Dom)(Dom)/( Dom =−= xgxgfgf

▪ ),1[}01/{)1Dom( +−=+=+= xxxy

▪ =−= )4Dom( xy

▪ 404 ==− xx

( ) ),4()4,1[}4{ ),1[ )(Dom Por tanto, +−=−+−=f

p) 27

4)(

3

2

+

−=

x

xxf

▪ ),2[]2,(}04/{)4Dom( 22 +−−=−=−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 −x

Ceros 2404 22 ===− xxx

= 01a


▪ =+= )27Dom( 3xy

▪ 32727027 333 −=−=−==+ xxxx

( ) ),2[]2,3()3,()(Dom }3{),2[]2,( )(Dom Por tanto, +−−−−=−+−−= ff

q) 3 9

72)(

x

xxf

−

+=

▪ =+= )72Dom( xy

▪ =−==−= )9Dom()9Dom( 3 xyxy

▪ 9093 − xx

}9{)(Dom Por tanto, −=f

r) 2

2

4( )

2

xf x

x x

−=

−

▪ ),2[]2,(}04/{)4Dom( 22 +−−=−=−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 −x

Ceros 2404 22 ===− xxx

= 01a

▪ 2Dom( 2 )y x x= − =

▪ 2 2 0 ( 2) 0 0 ò 2 x x x x x x− = − = = =

( )Por tanto, Dom( ) ( , 2] [2, ) {0,2} Dom( ) ( , 2] (2, )f f= − − + − = − − +


Ejercicio 3

a) )23ln()( +−= xxf

−=+−=→

3

2,023/)(Dom xxf

3

2 23 023 −−+− xxx

b) )5ln()( 2xxf −= )5,5(05/)(Dom 2 −=−=→ xxf

05 05 :inecuación laresolver que Tenemos 22 +−− xx

5 5 05 Ceros 22 ===+− xxx

−= 01a

c) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{)(Dom 2 +−=+−=→ xxxf

023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 +− xx

1

2

2

13

2

893023 Ceros 2

=

==

−==+−

x

xxxx

= 01a

),2()1,()(Dom Por tanto +−=f

d) 3

ln)(

−=

x

xxf

▪ ),0()lnDom( +== xy

▪ ),3[}03/{)3Dom( +=−=−= xxxy

▪ rdenominado al anula porque dominio elen está no 3 303 →− xx

Por tanto, ),3()(Dom +=f


e) )1ln(

)(−

=x

xxf

▪ =→= Dominioxy

▪ ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +==−=→−= xxxxxy

▪ 2110)1ln( −− xxx

),2()2,1()(Dom Por tanto, +=f

f) x

xxf

)7log()(

+=

▪ ),7(}7/{}07/{Dominio)7log( +−=−=+=→+= xxxxxy

▪ =→= Dominioxy

▪ 0x

),0()0,7()(Dom Por tanto, +−=f

g)

+=

x

xxf

7log)(

+

=→ 07

/Dominiox

xx

Ceros Polos

707 −==+ xx 0=x

),0()7,()(Dom Por tanto, +−−=f

h) xxf −= 15)( }01/{)1(Dom)Dom( −=−==→ xxxyf ]1,(−=

i) 22)( −= xxf ),0[)(Dom)2(Dom)Dom( +===−==→ xyxyf

j)

132

2

1)(

+−

=

xx

xf =+−==→ )13(Dom)Dom( 2 xxyf

k) 1

)(+

=x

x

e

exf

▪ =→= Dominioxey

▪ =→+= Dominio1xey

▪ ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx −==+

Por tanto, =)(Dom f


l) 2

)(−

=x

x

e

exf

▪ ),0[)Dom()Dom( +===→= xyfey x

▪ =→−= )Dom(2 fey x

▪ 2ln2lnlne202 ====− xee xxx

Por tanto, ),2(ln)2ln,0[)(Dom +=f

m) 42

2)(

−=

x

x

xf

▪ =→= Dominio2xy

▪ =→−= Dominio42xy

▪ 242042 − xxx

Por tanto, ),2(ln)2ln,0[)(Dom +=f

n) 3 1)( −= xexf función radical con índice impar =−==→ )1(Dom)(Dom xeyf

o) 42

ln)(

−=

x

xxf

▪ ) ,0(Dominioln +=→= xy

▪ =→−= Dominio42xy

▪ 242042 − xxx

Por tanto, }2{),0()(Dom −=f

Ejercicio 4

a) 32)( −+= xxf =→ )(Dom f

b) 3

1)(

x

xxf

−= función radical con índice impar }1,1{

1Dom)(Dom −−=

−==→

x

xyf

1 1 01 ===− xxx

c) 2

2)(

−=

xxf }2{

2

2Dom)(Dom −=

−==→

xyf

d) 2

2)(

−=

xxf }2,2{}02 / {)(Dom −−=−=→ xxf

2 2 02 ===− xxx


e) xx

xxf

−

−=

2

1)( }1,0,1{}0/{)(Dom 2 −−=−=→ xxxf

===−

−===+

=−

1 o 0 0 si 0

1 o válida)(no 0 0 si 0

0

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xx

f) 24

1)(

xx

xxf

−

−= }4,0,4{}04 / {)(Dom 2 −−=−=→ xxxf

===−

−===−−

=

=−

=−−

=−

4 o 00 si 04

4 o 00 si 04

04 si 04

04 si 04

04

2

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xx

g) 1ln)( −= xxf }1{}01/{)(Dom −=−=→ xxf

h) 1ln)( −= xxf ),0()1ln(Dom)(Dom +=−==→ xyf

i) )7(sen)( += xxf =+==→ )7(Dom)(Dom xyf

j)

+

+=

9

72cos)(

2

3

x

xxf =

+

+==→

9

72Dom)(Dom

2

3

x

xyf

−==+ en solución 9 09 22 xx

k)

−=

2

2cos)(

2xxf }2{

2

2Dom)(Dom

2−=

−==→

xyf

2 2 02 22 ===− xxx

l)

−=

xx

xxf

3cos)( }1,0,1{}0/{Dom)(Dom 3

3−−==−−=

−==→ xxx

xx

xyf

1 ò 0 0)1( 0 23 ===−=− xxxxxx

Ejercicio 5

a)

2 si 0

( ) 2 si 0 3

2 si 3 7

x x

f x x

x x

+

= −

▪ Dom( 2) ( ,0) Dom( )y x f= + = −

▪ Dom( 2) (0,3] Dom( )y f= =

▪ Dom( 2) (3,7] Dom( )y x f= − =

Por tanto, Dom( ) ( ,7] 0f = − −


b) 2

2 si 3

( ) 2 3 si 0 3

2 si 3

x

f x x x x

x x

−

= − + −

▪ Dom( 2) ( , 3) Dom( )y f= = − −

▪ 2Dom( 2 3) (0,3) Dom( )y x x f= − + =

▪ Dom( 2) [3, ) Dom( )y x f= − = +

Por tanto, Dom( ) ( , 3) (0, )f = − − +

c)

2

1 si 13

1( ) si 1 5

2

1 si 6

xx

f x xx

x x

+

= −+

▪ 2

Dom 1 ( ,1] Dom( )3

xy f

= + = −

▪ 1

Dom {2} (1,2) (2,5) Dom( )2

y fx

= =−

−

▪ Dom( 1) [6, ) Dom( )y x f= + = +

),6[)5,2()2,()(Dom Por tanto, +−=f

d) 3

1 si 0

( ) 1 si 0

2

x

f xx

x x

= −

▪ Dom( 1) ( ,0] Dom( )y f= = −

▪ 3

1Dom {0, 2, 2} (0, ) 2 Dom( )

2y f

x x

= =− − + −

−

Por tanto, Dom( ) { 2}f =−


e)

2 3 si 4

( ) 2 si 4 1

1 si 1 7

2

x

x x

f x x

xx

− −

= −

−

▪ Dom( 2 3) ( , 4) Dom( )y x f= − = − −

▪ Dom( 2 ) ( 4,1] Dom( )xy f= = −

▪ 1

Dom {2} (1,7] 2 Dom( )2

y fx

= =− −

−

Por tanto, Dom( ) ( ,7] 4,2f = − − −

f)

−

−

=0

2

1

0 1

)(xsi

x

xsix

xf

▪ Dom( 1) (0, ) Dom( )y x f= − = +

▪ 1

Dom {2} ( ,0] Dom( )2

y fx

= =− −

−

=)(Dom Por tanto, f

g)

−−

−−

=1

9

1

1 1

)(2

xsix

xsix

xf

▪ Dom( 1) ( 1, ) Dom( )y x f= − = − +

▪ 2

1Dom { 3,3} ( , 1] 3 Dom( )

9y f

x

= =− − − − − −

−

Por tanto, Dom( ) { 3}f =− −


h)

−

−

=0

2

1

0 1

)(xsi

x

xsix

xf

▪ 1 Dominio [0, ) (0, ) Dom( )y x f= − → = + +

▪ )(Dom]0,( }2{Dominio2

1f

xy −−=→

−=

=)(Dom Por tanto, f


Ejercicio 6

a)

+−

−+

−++

=

93 si 122

31 si 3

1 si 56

)(

2

xx

xx

xxx

xf

▪ )1( 562 −++= xxxy función cuadrática

1) arriba hacia cóncava 01 =a

2) Vértice )4,3( Vértice

4 45)3(6)3(

3 32

6

22

−−

−=−=+−+−=

−=−=−

=−

=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

x −1 2− 3− 4− 5− →− 6 y 0 3− 4− 3− 0 5

▪ )31( 3 −+= xxy función afín

▪ )93( 122 +−= xxy función afín

}3 , 1{)9 , ()(Dom −−−=f ),6()(Rec +−=f

x −1 0 3 y 2 3 6

x 3 6 9 y 6 0 6−


b)

−

−

−+−

=

5 si 2

52 si 5

23 si 1

)(

2

x

xx

xx

xf

▪ )23( 12 −+−= xxy función cuadrática

1) abajo hacia cóncava 01 −=a

2) Vértice: )1,0( Vértice

1110

002

0

22

==+−=

==−

=−

=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

▪ )52( 5 −= xxy función afín

▪ )5( 2 −= xy función constante

} 2 {) , 3[)(Dom −+−=f ]1,8[)(Rec −=f

x •− 3 2− 1− 0 1 2 y 8− 3− 0 1 0 3−

x 2 3 5 y 3− 2− 0

x •5 6 7 y 2− 2− 2−


c)

−

+−

=

106 si 142

62 si 1

2 si 2

)(

2

xx

x

xxx

xf

▪ )2( 22 +−= xxxy función cuadrática


2) Vértice: )1,1( Vértice

1121121

112

2

22

==+−=+−=

==−

−=

−=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

x 2 1 0 1− →− 2 y 0 1 0 3− 8−

▪ )62( 1 = xy función constante

▪ )106( 142 −= xxy función afín

)10 , ()(Dom −=f )6 , ()(Rec −=f

x •2 4 •6 y 1 1 1

x 6 8 10 y 2− 2 6


d)

−

+−

+

=

75 si 255

50 si 4

0 si 2

)( 2

2

xx

xxx

xxx

xf

▪ xxy 22 += función cuadrática



1 121)1(2)1(

1 12

2

22

−−

−=−=−=−+−=

−=−=−

=−

=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

▪ 42 xxy +−= función cuadrática



4 484)2(4)2(

2 22

4

22

==+−=+−=

==−

−=

−=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

▪ 255 −= xy función afín

}0{]7,()(Dom −−=f ),5[)(Rec +−=f

x 0 1− 2− 3− →− 4 y 0 1− 0 3 8

x 0 1 2 3 4 •5 y 0 3 4 3 0 5−

x 5 6 •7 y 0 5 10


e) ),5(]4,()(Dom

5 o 4 2

40 3

0 2

)( +−=

=−

−

=

−

f

xxsix

xsix

xsi

xf

x

• lexponenciafunción 2 →= −xy

x •0 1− 2− 3−

y 1 2 4 8

• linealfunción 3 →−= xy

x 0 1 4

y 3 2 1−

• linealfunción 2 →−= xy

x 4 5 6 7

y 2 3 4 5


f)

−+

−−+

=

0 si 1

03 si 2

39 si 6

)( 2

xx

xxx

xx

xf

}0{),9()(Dom

)(Dom),0( }0{)/1Dom(

)(Dom)0,3[ )2Dom(

)(Dom)3,9( )6Dom(

2 −+−=

+−==

−=+=

−−=+=

f

fxy

fxxy

fxy

▪ )39( 6 −−+= xxy función afín

▪ )03( 22 −+= xxxy función cuadrática



1 121)1(2)1(

1 12

2

22

−−

−=−=−=−+−=

−=−=−

=−

=

yy

xa

bx

3) Tabla de valores

▪ )0( 1

= xx

y hipérbola

0=x es asíntota vertical por la derecha

+=

+→ xx

1lim

0

0=y es asíntota horizontal por la derecha

= +

+→0

1lim

xx

}0{),9()(Dom −+−=f ),3()(Rec +−=f

x − 9 6− 3−

y 3− 0 3

x •−3 2− 1− 0 y 3 0 1− 0

x 2/1 1 2 4 y 2 1 2/1 4/1


g) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy

1) −= abajo hacia cóncava01a

2) Eje de simetría 2 22

4

2==

−

−=

−= xx

a

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

2

2V

fy

x

v

v

=−+−=−+−==

=

4) Puntos de corte con los ejes

Eje de abscisas:

=

−+−=

0

342

y

xxy

=

=

−

−=

−

−−==−+−

3

1

2

24

2

121640342

x

xxxx

Los puntos de corte con el eje de abscisas son )0,1( y )0,3(

Eje de ordenadas: 30

342

−=

=

−+−=y

x

xxy

El punto de corte con el eje de ordenadas es )3,0( −

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

−=

0 si

0 si

AA

AAA


h)

−−

−+=−−=

0 si 2

0 si 22)(

2

2

2

xxx

xxxxxxf

▪ 22 −+= xxy

1) arriba hacia cóncava01 =a

2) Eje de simetría 2

1

2−=

−= x

a

bx

3) Vértice

−−

−=−

−+

−=

−=

−=

4

9,

2

1

4

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v


Eje de abscisas:

=

−+=

0

22

y

xxy

−=

=

−=

+−==−+

2

1

2

31

2

811022

x

xxxx

Los puntos de corte con el eje de abscisas son )0,1( y )0,2(−


22

−=

=

−+=y

x

xxy



5) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

▪ 22 −−= xxy

1) arriba hacia cóncava01 =a

2) Eje de simetría 2

1

2=

−= x

a

bx

3) Vértice

−

−=−

−

=

=

=

4

9,

2

1

4

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v


Eje de abscisas:

=

−−=

0

22

y

xxy

−=

=

=

+==−−

1

2

2

31

2

811022

x

xxxx

Los puntos de corte con el eje de abscisas son )0,1(− y )0,2(


22

−=

=

−−=y

x

xxy


5) Tabla de valores

x 2− 1− 0 2

1 1 2 3

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4


i) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

▪ ),0()ln(Dom +== xy

▪ Corta al eje de abscisas en el punto )0,1(

▪ No corta al eje de ordendas

▪ 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−=+→

xfx

▪ Tabla de valores

x +0 1 e 2e

y − 0 1 2


−=

0 si

0 si

AA

AAA


j) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

xy 2=

▪ == )2(Dom xy

▪ ),0()2(Rec +== xy

▪ No corta al eje de abscisas

▪ Punto de corte con el eje de ordenadas )1,0(

▪ Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


−=

0 si

0 si

AA

AAA

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