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Dos Pruebas Elementales del Teorema deDirichlet en la Tonalidad Polinomia

Harold Gamero Rodrıguez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota, Colombia

2013

Dos Pruebas Elementales del Teorema deDirichlet en la Tonalidad Polinomia

Harold Gamero Rodrıguez

Trabajo de investigacion presentado como requisito parcial para

optar al tıtulo de Magister en Ciencias Matematicas

Director:

(Doctor, Matematico) Vıctor Samuel Albis Gonzalez

Linea de Investigacion:

Algebra

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota, Colombia

2013

Resumen iii

Resumen

TDP, dado un cuerpo finito Fq y polinomios a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1, m 6= 0, setiene

∑

π≡a mod m

deg π6n

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log qn +O(1), para n > 0.

En otras palabras, TDK, para las mismas condiciones, existe una cantidad infinitade polinomios π ∈ P (q;T ), el conjunto de polinomios irreducibles unitarios, tales queπ ≡ a mod m.

Palabras claves: Teorema de Dirichlet en Fq[t] segun Pollack (TDP); Teorema de Dirichlet en Fq[t] segunKornblum (TDK).

Abstract iv

Abstract

TDP, given a finite field Fq and polynomials a,m ∈ Fq[t] with (a,m) = 1, m 6= 0, we have the equation

∑

π≡a mod mdegπ6n

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log qn +O(1), para n > 0.

In other words, TDK, under these conditions, there is an infinite number of polynomials π ∈ P (q;T ), theset of unitary irreductible polynomials, such that π ≡ a mod m.

Keywords: Dirichlet’s Theorem in Fq[t] according Pollack (TDP); Dirichlet’s Theorem in Fq[t] accordingKornblum (TDK).

Agradecimientos

Quiero expresar mis humildes agradecimientos a Dios por escucharme y darme el valor y la persistencia paraseguir adelante en la difıcil carrera como son las matematicas. Gracias a El he podido finalizar este trabajo.

Igualmente, expresar mis sinceros agradecimientos al Profesor Vıctor Albis por la gran dedicacion e interescon que ha dirigido este trabajo y, desde luego, por las ensenanzas y formacion que he recibido de su partedurante todo este tiempo.

Agradezco enormemente a la Universidad Nacional de Colombia la por brindarme la gran oportunidadde realizar mis estudios de Maestrıa en Matematicas; a su departamento de matematicas por poner a midisposicion los recursos y la infraestructura necesaria para la realizacion de este trabajo.

Finalmente, quiero dar las gracias de manera especial a mı familia y a mı esposa por su esfuerzo y apoyoincondicional durante el tiempo que dedique a los estudios de Maestrıa.

Contenido.

Resumen iii

Abstract iv

Agradecimientos v

Introduccion vii

1. Preliminares. 1

1.1. Conceptos basicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Congruencias en K[t] y aritmetica de las clases de congruencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Funciones aritmeticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Caracteres de grupos abelianos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Caracteres modulo m(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Teorema de Dirichlet en Fq[t] segun Pollack. 9

2.1. Algunos resultados preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Caracteres y Series-L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Prueba del Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Teorema de Dirichlet en Fq[t] segun Kornblum. 39

3.1. Resultados Preliminares: Productos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Prueba del Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bibliografıa 51

Introduccion vii

Introduccion

La progresion aritmetica de numeros impares 1, 3, 5, · · · , 2k+1, · · · , contiene infinitos numeros primos.Es natural preguntar si otras progresiones aritmeticas tienen esta propiedad. Una progresion aritmeticacon el primer termino a y diferencia comun m consiste de todos los numeros de la forma

a+mk, k = 0, 1, 2, · · · . (1)

Si a y m tienen un factor comun d, cada termino de la progresion es divisible por d y no puede habermas de un primo en la progresion si d > 1. En otras palabras, una condicion necesaria para la existenciade infinitos numeros primos en la progresion aritmetica (1) es que (a,m) = 1. Dirichlet fue el primero enprobar que esta condicion es tambien suficiente. Esto es, si m > 0 y a son enteros con (a,m) = 1, entonceshay un numero infinito de primos p en la progresion aritmetica (1), es decir, un numero infinito de primosp con p ≡ a mod m. Este resultado es conocido como el teorema de Dirichlet.De hecho, Dirichlet establecio mucho mas:

lıms↓1

( ∑

p≡a mod m

p−s

log(

1s−1

))

=1

ϕ(m).

Ya que log(

1s−1

)= log ξ(s) +O(1) =

∑p p

−s +O(1) cuando s ↓ 1, esto muestra que en cierto sentido, losprimos se distribuyen por igual en las progresiones.Recordemos que Euler probo la existencia de infinitos numeros primos mostrando que la serie

∑p p

−1,extendida sobre todos los primos, diverge.La idea de Dirichlet era probar una afirmacion correspondiente cuando los primos estan limitados a estar enla progresion dada en (1). En una memoria famosa [8], publicada en 1837, realizo esta idea por ingeniososmetodos analıticos. Desafortunadamente, esta prueba no puede ser considerada enteramente elemental,pues, para ello utiliza el desarrollo de Taylor del logaritmo complejo alrededor de s = 1. Ademas, la pruebade Dirichlet de la no anulacion de ciertas sumas infinitas (las series L correspondientes a los caracteres noprincipales reales) en s = 1, depende de investigaciones difıciles en la teorıa de formas cuadraticas binarias.Sin embargo, la prueba fue mas tarde simplificada por varios autores. En 1950, H. N. Shapiro publico unaprueba elemental del teorema de Dirichlet [7]. Esta es elemental, ya que evita el uso del logaritmo complejoy otras herramientas de la teorıa de funciones, que establecen la no anulacion de las funciones L en s = 1,y con pocas excepciones solo usa sumas finitas.La prueba de Shapiro realmente obtiene una estimacion para

∑p

log pp cuando (a,m) = 1, m > 0:

∑

p≡a mod mp6x

log p

p=

1

ϕ(m)log x+O(1).

Nuestro proposito es mostrar el analogo del teorema de Dirichlet en el caso de un anillo de polinomiossobre Fq, donde Fq denota a un cuerpo finito con q elementos y de caracterıstica p, con q = pk donde p es

Introduccion viii

un entero primo y k > 1. Es decir, que dado un cuerpo finito Fq y polinomios a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1,m 6= 0, se tiene que la serie ∑

p∈P (q;t)p≡a mod m

log |p|

|p|

es divergente, donde |p| es lo que llamaremos, luego, la norma del polinomio p. El primero en realizar dichaprueba fue Heinrich Kornblum [5] en 1919. La estructura de esta demostracion es en gran parte la mismacomo en el caso clasico.Tambien, se mostrara que la prueba de Shapiro y su estimacion pueden ser adaptadas para el caso de Fq[t].Esta prueba fue hecha por Paul Pollack [2]. Es decir, probar que dado un cuerpo finito Fq y polinomiosa,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1, m 6= 0, se tiene

∑

π≡a mod mdegπ6n

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log(qn) +O(1), para n > 0.

Para cumplir con los objetivos de este trabajo, se estudiaron las funciones aritmeticas definidas sobre elmonoide M(q; t). En particular, los analogos en M(q; t) de la funcion de von Mangoldt y de la funcionde Mobius conocidos en Z. Se Emplearon las propiedades de los caracteres de grupos abelianos finitos(caracteres de Dirichlet modulo m(t)) y sus relaciones de ortogonalidad en el estudio de las funciones L oL-funciones (llamadas series o funciones de Dirichlet), L(s, χ), asociadas con un caracter χ modulo m(t).Tambien, algunas consecuencias que involucran a la funcion Zeta de Riemann, ζ(s), y algunos productosde Euler en el caso polinomial.

Capıtulo 1Preliminares.

1.1. Conceptos basicos.

Definicion 1.1. Si g(x) > 0 para todo x > a, escribimos f(x) = O(g(x)) (se lee “f(x) es oh grande deg(x)”) en el sentido de que el cociente f(x)/g(x) es acotado para x > a; es decir, existe una constanteM > 0 tal que

|f(x)| 6Mg(x) para toda x > a.

Una expresion de la forma f(x) = h(x) +O(g(x)) significa que f(x)− h(x) = O(g(x)).

Notacion 1.1. Usaremos la notacion f(x) ≪ g(x) para indicar que existe una constante positiva M talque f(x) 6Mg(x).

Teorema 1.1. Sea G un grupo y g un elemento de G. Entonces, si o((g)) = m, entonces (g) = {1, g, · · · , gm−1},y gn = 1 si, y solo si, m|n.

Teorema 1.2 (Algoritmo de la division para enteros). Si m,n ∈ Z y n > 0, entonces existe un unico parde enteros q y r tales que m = qn+ r, donde 0 6 r < n.

Definicion 1.2. Sea K un campo. Sea f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn un polinomio en K[t], con an 6= 0K .

Entonces, an se llama el coeficiente lıder de f(t). El grado de f(t) es el entero n, y se denota “deg(f(x))”.f(t) es monico o unitario si an = 1K.

Teorema 1.3 (Algoritmo de la division para polinomios). Sea K un campo y f(t), g(t) ∈ K[t] con g(t) 6=0K . Entonces, existen polinomios unicos q(t) y r(t) tales que

f(t) = g(t)q(t) + r(t),

donde o r(t) = 0K o deg(r(t)) < deg(g(t)).

Afirmacion 1.1. Sea K un campo y k, n enteros positivos. Entonces, xk − 1K divide a xn − 1K en K[x]si, y solo si, k|n en Z.

Demostracion. Como k y n son enteros con k > 0, entonces por Teorema 1.2 existen enteros unicos q yr tales que n = kq + r y 0 6 r < n.Note que xn − 1K = (xk − 1K)h(x) + (xr − 1K), donde h(x) = xn−k + xn−2k + · · ·+ xn−qk.Si xk − 1K |xn − 1K , entonces existe f(x) ∈ K(x) tal que

xn − 1K = (xk − 1K)f(x) + 0.

1.2 Congruencias en K[t] y aritmetica de las clases de congruencia. 2

Luego, por Teorema 1.3 se tiene que xr − 1K = 0, lo cual obliga a que r = 0. Por lo tanto, n = kq, es decir,k|n.Recıprocamente, si k|n, entonces existe u ∈ Z tal que n = ku. Luego, por Teorema 1.2 se tiene que r = 0.Por lo tanto,

xn − 1K = (xk − 1K)h(x).

Es decir, xk − 1K |xn − 1K . �

Teorema 1.4 (Factorizacion unica de polinomios). Sea K un campo. Cada polinomio no constante f(t) enK[t] es un producto de polinomios irreducibles en K[t]. Esta factorizacion es unica en el sentido siguiente:Si

f(t) = p1(t)p2(t) · · · pr(t) y f(t) = q1(t)q2(t) · · · qs(t)

con cada pi(t) y qj(t) irreducible, entonces r = s. Tambien, los qj(t) pueden ser reorganizados y reetique-tados de modo que pi(t) es un asociado de qi(t), para i = 1, 2, · · · .

Proposicion 1.1. Si K es un cuerpo, entonces K[t] es un dominio euclidiano.

1.2. Congruencias en K[t] y aritmetica de las clases de

congruencia.

Definicion 1.3. Sea K un campo y f(t),m(t) ∈ K[t] con m(t) diferente de cero. La clase de f(t) modulom(t) se define ası

f(t) = {g(t) | g(t) ≡ f(t) mod m(t)}

= {f(t) + h(t)m(t) | h(t) ∈ K[t]},

y se denota con f(t). El conjunto de todas las clases de congruencia modulo m(t) se denota con K[t]/(m(t)),la notacion analoga de Zn = Z/nZ.

Observacion 1.1. De ahora en adelante, Fq denota a un cuerpo de caracterıstica p y cardinal q = pk,con p un numero entero primo y k > 1.

Teorema 1.5. f(t) ≡ g(t) mod p(t) si, y solo si, f(t) = g(t).

Corolario 1.1. Sea K un cuerpo finito con q elementos. Entonces, K∗ = K − {0} es cıclico de ordenq − 1. Ademas, K = Fp(ζ), donde ζ es una raız (q − 1)-esima primitiva de la unidad.

Vease la prueba en [1, Leccion I, Corolario 2].

Teorema 1.6. Sea A un dominio con un numero finito de unidades n, y sea u una unidad de A. Entonces,un = 1A.

En particular, como Fq es un cuerpo con q elementos, es un dominio de integridad que tiene q − 1unidades. Luego, si a ∈ Fq con a 6= 0, entonces aq−1 = e, por tanto, aq = a. Esta igualdad vale si a = 0.

Corolario 1.2. Sea K un campo y p(t) un polinomio de grado n en K[t]. Sea

S = {a0 + a1t+ · · ·+ amtm | m < n y ai ∈ K con 0 6 i 6 m}

Entonces, toda clase de congruencia modulo p(t) es la clase de algun polinomio en S, y las clases de

congruencias de polinomios diferentes en S son distintas. Es decir, f(t) = h(t) donde h(t) ∈ S, y f(t) 6=

h(t), si f(t), h(t) ∈ S y f(t) 6= h(t).

1.3 Funciones aritmeticas. 3

Afirmacion 1.2. Si m(t) ∈ Fq[t] tiene grado k, entonces hay exactamente qk clases de congruenciasdistintas en Fq[t]/(m(t)).

Demostracion. Si p(t) ∈ Fq[t] tiene grado k, entonces los posibles residuos en la division por p(t) sonde la forma a0 + a1t + · · · + ak−1t

k−1 con ai ∈ Fq, por el algoritmo de la division. Por otro lado, hay qposibilidades para cada de los k coeficientes a0, a1, · · · , ak−1 y, por lo tanto, hay qk polinomios diferentesde esta forma. Por consiguiente, por Corolario 1.2, hay exactamente qk clases de congruencias distintas enFq[t]/(m(t)). �

Proposicion 1.2. El conjunto U(Fq[t]/(m(t))), con m(t) ∈ Fq[t], definido por

U(Fq[t]/(m(t))) = {a ∈ Fq[t]/(m(t)) | (a,m) = 1}

es un grupo multiplicativo de orden ϕ(m), donde ϕ es la funcion de Euler para los polinomios. En particular,si m(t) es un polinomio primo de grado k, entonces U(Fq[t]/(m(t))) = (Fq[t]/(m(t)))∗, los elementos nonulos de Fq[t]/(m(t)), es un grupo multiplicativo de orden ϕ(m) = qk − 1.

Teorema 1.7. Sea K un campo y p(t) un polinomio no constante en K[t]. Entonces, K[t]/(p(t)) es unanillo conmutativo con identidad que contiene a K.

Teorema 1.8. Sea K un campo y p(t) un polinomio no constante en K[t]. Entonces, las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i). p(t) es irreducible en K[t].

(ii). K[t]/(p(t)) es un campo.

(iii). K[t]/(p(t)) es un dominio de integridad.

Observacion 1.2. M(q; t) denota el monoide de los polinomios unitarios con coeficientes en Fq y P (q; t)denota el conjunto de los polinomios primos de Fq[t], es decir, de los polinomios irreducibles unitarios.

Teorema 1.9 (Analogo del teorema de Euler). Si (a,m) = 1 con m ∈M(q; t), entonces

aϕ(m) ≡ 1 mod m.

Vease la prueba en [1, Leccion II, Seccion 4].Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente:

Corolario 1.3 (Analogo del teorema pequeno de Fermat). Si p(t) ∈ P (q; t) tiene grado d y p(t) ∤ a(t),entonces

a(t)qd−1 ≡ 1 mod p(t).

1.3. Funciones aritmeticas.

Definicion 1.4. Una funcion con valor complejo definida en el monoide M(q; t) se llama una funcionaritmetica. Una funcion aritmetica f 6= 0 es multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) siempre que (m,n) = 1y es completamente multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) para todo par m,n ∈M(q; t).

Definicion 1.5. La funcion aritmetica I dada por

I(f) =

{1, si f = 1,

0, si f 6= 1

se llama la funcion identidad.

1.3 Funciones aritmeticas. 4

Definicion 1.6. El analogo de la funcion de Mobius µ esta definida por

µ(f) =

1, si f = 1,

0, si π2|f para algun π ∈ P (q; t),

(−1)r, si f = π1π2 · · ·πr, donde los πi ∈ P (q; t) son mutuamente distintos.

Para f = 1, se considera r = 0.

Teorema 1.10. La funcion de Mobius satisface la relacion

∑

d|f

µ(d) = I(f).

Vease la prueba en [1, Leccion VII, Proposicion 6 (a)].

Teorema 1.11. La funcion de Mobius µ es multiplicativa.

Vease la prueba en [1, Leccion VII, Proposicion 6 (b)].

Afirmacion 1.3.

∑

d|f

µ(d) =∏

π|f

(1 + µ(π)), (1.1)

si f = πa11 πa2

2 · · ·πak

k , con πi ∈ P (q; t), ai > 1.

Demostracion. Teniendo en cuenta que µ es multiplicativa, desarrollamos el producto del miembroderecho de la igualdad (1.1), obteniendo

∏

π|f

(1 + µ(π))

= (1 + µ(π1))(1 + µ(π2)) · · · (1 + µ(πk))(1 + µ(π1π2)) · · ·

(1 + µ(πk−1πk)) · · · (1 + µ(π1π2 · · ·πk))

= 1 + µ(π1) + µ(π2) + · · ·+ µ(πk) + µ(π1π2) + · · ·+ µ(πk−1πk) + · · ·+ µ(π1π2 · · ·πk)

lo cual es igual al miembro izquierdo de (1.1). �

Definicion 1.7. La norma | · | de un polinomio unitario de Fq[t] es una funcion | · | :M(q; t) → N tal que|a(t)| = qn con n = deg(a(t)), para a(t) ∈M(q; t). Como tal, esta funcion tiene las siguientes propiedades:

(i). |1| = 1,

(ii). si p(t) ∈ P (q; t), entonces |p(t)| > 1, y

(iii). |a1(t)a2(t)| = |a1(t)||a2(t)| para a1(t), a2(t) ∈M(q; t).

Proposicion 1.3 (Formula de la inversion de Mobius). Sean f y g dos funciones aritmeticas. Supongaque para cada a ∈M(q; t), la funcion

g(a) =∑

d|a

f(d)

es multiplicativa. Entonces,

f(a) =∑

d|a

µ(d)g(a/d) =∑

d|a

g(d)µ(a/d)

y la funcion f es multiplicativa.

1.4 Caracteres de grupos abelianos finitos. 5

Vease la prueba en [1, Leccion VII, Proposicion 9].

Definicion 1.8. El analogo de la funcion de von Mangoldt esta definida por

Λ(f) =

{log |π|, si f = πk, para algun π ∈ P (q; t) y k > 1,

0, de otro modo.

Como Λ(1) = 0, esta funcion no es invertible y mucho menos multiplicativa.

1.4. Caracteres de grupos abelianos finitos.

Definicion 1.9. Sea G un grupo abeliano finito, denotado multiplicativamente. Un homomorfismo f :G→ C∗ se llama un caracter de G si f tiene la propiedad multiplicativa

f(g1g2) = f(g1)f(g2)

para todo g1, g2 en G, y f(1G) = 1, donde 1G es el elemento unidad de G.

El conjunto de todos los caracteres de G se denota con G, esto es

G = {f : G→ C∗ | f es un homomorfismo de grupos}.

Con T designamos al grupo multiplicativo {z ∈ C∗ | |z| = 1} (la circunferencia de radio 1 y centro en elorigen). Este grupo es un subgrupo de C∗.

Proposicion 1.4. Si f ∈ G, entonces f(g) ∈ T , para todo g ∈ G. Es decir, cada funcion valuada f(g) esuna raız de la unidad. De hecho, si gn = 1G, entonces f

n(g) = 1.

Vease la prueba en [1, Leccion VIII, Proposicion 1].

Todo grupo admite, por lo menos, un caracter fo(g) := 1, para todo g ∈ G. A este caracter se le lla-ma principal.Si f1, f2 ∈ G, podemos definir una ley de composicion interna sobre G, de la siguiente manera:

(f1f2)(g) := f1(g)f2(g) (1.2)

para cualquier g de G. Ademas, fof = ffo = f , para cualquier f ∈ G.

Proposicion 1.5. Sea G un grupo abeliano finito. Con la ley (1.2), G es un grupo abeliano. Ademas, si

f ∈ G, entonces

f−1(g) =1

f(g)= f(g)

para cada g ∈ G.

Demostracion. Los postulados de grupo abeliano son de facil verificacion, usando la definicion, por lotanto, vamos a omitir los detalles. Por otro lado, por la Proposicion 1.4, |f(g)| = 1, para cada g ∈ G. Comof(g)f(g) = |f(g)|2 = 1 y f(g)f−1(g) = 1, entonces f−1(g) = f(g), pues, el inverso multiplicativo en Ces unico. Por lo tanto, el recıproco 1/f(g) = f−1(g) es igual al conjugado complejo f(g), para cualquierg ∈ G. Ası, la funcion definida por f(g) = f(g), para cada g ∈ G es, tambien, un caracter de G. �

Proposicion 1.6. Si G es un grupo abeliano finito, entonces G ∼= G. Es decir, o(G) = o(G).

Vease la prueba en [1, Leccion VII, Proposicion 7] o en [3, Teorema 6.8].

1.5 Caracteres modulo m(t). 6

1.5. Caracteres modulo m(t).

Definicion 1.10. Sea m ∈ Fq[t] un polinomio no constante fijo. Sea χ′ : (Fq[t]/(m(t)))∗ → C∗ unhomomorfismo. Dado χ′, definamos χ : Fq[t] → C∗ de la siguiente forma:

χ(f) =

{0, si (f,m) 6= 1,

χ′(f), si (f,m) = 1.

Las funciones χ definidas de esta manera son llamadas caracteres de Dirichlet modulo m. El caracterprincipal χo es el que tiene las propiedades:

χo(f) =

{0, si (f,m) 6= 1,

1, si (f,m) = 1.

Definicion 1.11. Sea m ∈ Fq[t]. Una funcion χ : Fq[t] → C∗ se llama un caracter multiplicativo modulom si para cada a, b ∈ Fq[t] se tiene:

(i). χ(a) = 0, si (a,m) 6= 1.

(ii). χ(1) 6= 0.

(iii). χ(ab) = χ(a)χ(b).

(iv). a ≡ b mod m, entonces χ(a) = χ(b).

Como es facil ver, un caracter multiplicativo modulo m(t) es un caracter del grupo(Fq[t]/(m(t)))∗, que se extiende a Fq[t]/(m(t)) haciendo χ(α) = 0 para todo divisor de cero α en esteanillo.

Proposicion 1.7. Si χ es un caracter modulo m(t), entonces

∑

a mod m

χ(a) =

{ϕ(m), si χ = χo,

0, si χ 6= χo.


Proposicion 1.8. Sea ϕ′(m) el numero de caracteres modulo m(t) sobre Fq[t]. Entonces

∑

χ

χ(a) =

{ϕ′(m), si a ≡ 1 mod m,

0, si a 6≡ 1 mod m.


Ahora, podemos calcular el numero de caracteres distintos modulo m(t) sobre Fq[t]. En efecto, por laProposicion 1.7 y por la Proposicion 1.8,

∑

χ

( ∑

a mod m

χ(a)

)=

∑

a mod m

χo(a) +∑

a mod m

χo(a)

∣∣∣∣∣χ6=χo

= ϕ(m)

y∑

a mod m

(∑

χ

χ(a)

)=∑

χ

χ(a)

∣∣∣∣∣a≡1 mod m

+∑

χ

χ(a)

∣∣∣∣∣a 6≡1 mod m

= ϕ′(m).


Tambien,∑

χ

( ∑

a mod m

χ(a)

)=

∑

a mod m

(∑

χ

χ(a)

).

Por lo tanto, ϕ(m) = ϕ′(m).Es decir, los caracteres de Dirichlet (que estan definidos en Fq[t]) inducen y estan inducidos por elementosen el grupo de caracteres de (Fq[t]/(m(t)))∗. Por consiguiente, hay exactamente ϕ(m) caracteres de Diri-chlet modulo m(t).

Los caracteres modulo m(t) de un grupo abeliano finito satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad.Aquı tomamos G = (Fq[t]/(m(t)))∗. Para nosotros, estas relaciones toman las siguientes formas:

Lema 1.1. Sean χ1, · · · , χo(G) caracteres de Dirichlet modulo m (asumiendo χ1 como el caracter principal)

y u, v ∈ Fq[t] con (v,m) = 1. Entonces,

1

ϕ(m)

∑

χ

χ(u)χ(v) = δ(u, v),

donde

δ(u, v) =

{1, si u ≡ v mod m,

0, de otra manera.

Vease la prueba en [1, Leccion VII, Proposicion 13] o en [3, Teorema 6.16].

Lema 1.2. Sean χ, ψ caracteres de Dirichlet modulo m y u ∈ Fq[t]. Entonces,

1

ϕ(m)

∑

u mod m

χ(u)ψ(u) = δ(χ, ψ),

donde

δ(χ, ψ) =

{1, si χ = ψ,

0, de otra manera.

Demostracion. Suponga que χ(u) = ψ(u) para todo u ∈ Fq[t] (u mod m). Entonces,

χ(u)ψ(u) = ψ(u)ψ(u) = χo(u).

Por tanto,∑

u mod m

χ(u)ψ(u) =∑

u mod m

χ(u)ψ(u)

=∑

u mod m

χo(u)

=∑

u mod m(u,m)=1

χo(u) +∑

u mod m(u,m) 6=1

χo(u)

=∑

u mod m(u,m)=1

1 = ϕ(m).

Por otro lado, suponga χ 6= ψ. Entonces, χψ 6= χo, por tanto, existe un b ∈ Fq[t] tal que (χψ)(b) 6= 1.Como consecuencia, tenemos

∑

u mod m

χ(u)ψ(u) =∑

u mod m

(χψ)(u) =∑

u mod m

(χψ)(bu) = (χψ)(b)∑

u mod m

(χψ)(u),


y ası

((χψ)(b)− 1)∑

u mod m

(χψ)(u) = 0.

Ya que, (χψ)(b)− 1 6= 0, esto implica que∑

u mod m

(χψ)(u) = 0. �

Como ejemplo, tomando ψ = χo, podemos deducir de la relacion de arriba que∑

u mod m

χ(u) = 0

para cualquier caracter no principal χ (si (u,m) = 1, χo(u) = 1 = χo(u). Por el contrario, si (u,m) 6= 1,entonces χo(u) = 0 = χo(u). Es decir, χo = χo).

Capıtulo 2Teorema de Dirichlet en Fq[t] segun Pollack.

Antes de proceder, introducimos un poco de notacion: Para p ∈ Fq[t] se define ϕ(p) como el cardinaldel grupo de unidades de Fq[t]/(p). De aquı en adelante, π siempre denota un monico irreducible de Fq[t], d,f siempre denotan polinomios monicos, n siempre denota un entero no negativo. Las sumas de polinomiossiempre se entiende que deben tomarse solo sobre polinomios monicos.Con estos acuerdos, podemos expresar uno de nuestros resultados principales como:

Teorema 2.1. Sean Fq un cuerpo finito, a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1 y m 6= 0. Entonces, para n > 0,

∑

π≡a mod mdeg π6n

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log(qn) +O(1).

Corolario 2.1. Bajo los supuestos del Teorema 2.1, tenemos para x > 1,

∑

π≡a mod m|π|6x

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log x+O(1).

Demostracion. Para x = qn, donde 0 6 n ∈ Z, la consecuencia es inmediata por Teorema 2.1. A saber,para 0 6 n ∈ Z, tenemos ∑

π≡a mod mdeg π6n

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log(qn) +O(1).

Ademas, como 0 < deg(π) 6 n, entonces qdeg(π) 6 qn. Es decir, |π| 6 qn = x. Por lo tanto, se concluye laprueba.Por otro lado, el resultado se sigue para todo x > 1, de la siguiente manera:Note que si n = 0, 1 6 x < q; si n = 1, q 6 x < q2; si n = 2, q2 6 x < q3, ası, de manera sucesiva,obtenemos que 1 6 qn 6 x < qn+1, para cualquier n > 0. Por consiguiente,

log(qn) 6 log x < log(qn+1). (2.1)

Entonces,log(qn) + log(qn+1) 6 log x+ log(qn+1)

y, ademas,2 log(qn) < log(qn) + log(qn+1).

2.1 Algunos resultados preliminares. 10

Por lo tanto,2 log(qn) < log x+ log(qn+1).

De aquı, tenemos

−[log(qn+1)− log(qn)] = − log(qn+1) + log(qn) < log x− log(qn). (2.2)

Por otra parte, de (2.1) se puede concluir

0 6 log x− log(qn) < log(qn+1)− log(qn). (2.3)

Luego, de (2.2) y (2.3), se tiene

| log x− log(qn)| < log(qn+1)− log(qn).

Es decir, existe M = log(qn+1)− log(qn) > 0, tal que, para todo x > 1, se cumple

| log x− log(qn)| 6M · 1.

Entonces, log x− log(qn) = O(1), lo que significa

log x = log(qn) +O(1).

Lo que nos conduce a la siguiente igualdad:

1

ϕ(m)log(qn) +O(1) =

1

ϕ(m)log x−

1

ϕ(m)O(1) +O(1)

=1

ϕ(m)log x+

(1−

1

ϕ(m)

)O(1)

=1

ϕ(m)log x+O(1).

Ahora, note que |π| = qdeg(π) 6 qn 6 x. Finalmente, de lo anterior y por Teorema 2.1, se concluye

∑

π≡a mod m|π|6x

log |π|

|π|=

1

ϕ(m)log x+O(1)

para x > 1. �

2.1. Algunos resultados preliminares.

En primer lugar demostraremos un analogo de la estimacion log[x]! = x log x− x+O(log x).

Lema 2.1. Para n > 0,

∑

deg(f)6n

log |f | =qn+1

q − 1log(qn)−

(q

q − 1

)(qn − 1

q − 1

)log q.

Demostracion. Sea S :=∑

deg(f)6n log |f |. Ya que |f | = qdeg(f), entonces

S =∑

deg(f)6n

log |f | =

n∑

k=0

log q∑

deg(f)=k

deg(f)

=

n∑

k=0

k log q∑

deg(f)=k

1.


Puesto que,∑

deg(f)=k 1 = qk para f(t) ∈ Fq[t], entonces

S =

n∑

k=0

k log q∑

deg(f)=k

1 = log q

n∑

k=0

kqk,

por lo tanto,

S(1− q) =

(log q

n∑

k=0

kqk

)(1 − q)

= log q

(n∑

k=0

kqk − q

n∑

k=0

kqk

)

= log q[0 + q + 2q2 + 3q3 + · · ·+ nqn − q(0 + q + 2q2 + 3q3 + · · ·+ (n− 1)qn−1 + nqn)]

= log q[0 + q + 2q2 + 3q3 + · · ·+ nqn − q2 − 2q3 − 3q4 − · · · − (n− 1)qn − nqn+1]

= log q(q + q2 + q3 + · · ·+ qn − nqn+1)

= log q

(− nqn+1 +

n∑

k=1

qk

)

= log q

[− nqn+1 +

q(qn − 1)

q − 1

]

= q log q

(− nqn +

qn − 1

q − 1

)

pues,∑n

k=1qk es una progresion geometrica. Entonces,

S = −q log q

q − 1

(− nqn +

qn − 1

q − 1

)

=nqn+1 log q

q − 1−q log q

q − 1·qn − 1

q − 1

=qn+1

q − 1log(qn)−

(q

q − 1

)(qn − 1

q − 1

)log q.

�

Tambien necesitaremos algunos resultados elementales sobre la distribucion de primos en Fq[t], los

cuales reuniremos aquı. Estas seran consecuencias sencillas de los siguientes:

Teorema 2.2 (Teorema del numero primo para Fq[t]). Sea Fq un cuerpo finito. Sea νq(n) que denota elnumero de polinomios primos (monicos) de grado n en Fq[t]. Para n > 1,

∑d|n dνq(d) = qn. Ası,

νq(n) =1

n

∑

d|n

qdµ(n/d) =qn

n+O

(qn/2

n

).

Demostracion. Consideremos la factorizacion prima de tqn

− t en Fq[t]. Si π(t) es un primo monico degrado d, con d|n, es decir, n = dk, para algun k ∈ Z, entonces

tqd

≡ t mod π(t) (2.4)

por el analogo del teorema pequeno de Fermat. A saber, como π(t) es un primo monico de grado d y π(t) ∤ t(en el caso de que π(t) = t, es facil notar que tq ≡ t mod π(t), pues tq = t + t(tq−1 − 1)), entonces por el


analogo del teorema pequeno de Fermat tqd−1 ≡ 1 mod π(t), es decir, tq

d

≡ t mod π(t).Elevando reiteradamente ambos lados de (2.4) a la qd obtenemos:

tqd

≡ t, tq2d

≡ tqd

, tq3d

≡ tq2d

, · · · , tqkd

≡ tq(k−1)d

para k > 1.Por consiguiente,

tqkd

≡ tq(k−1)d

≡ · · · ≡ tq3d

≡ tq2d

≡ tqd

≡ t mod π(t)

para k > 1. De modo que π(t)|(tqkd

− t) = (tqn

− t).

Recıprocamente, si π(t)|(tqn

−t) escogemos g(t) como un generador del grupo multiplicativo(Fq[t]/(π(t))

)∗

(ya que, por ser Fq[t]/(π(t)) un cuerpo finito, por Afirmacion 1.2 y Teorema 1.8,(Fq[t]/(π(t))

)∗es cıclico,

por Corolario 1.1).Entonces, ya que, tq

n

≡ t mod π(t), tenemos tqn

= t+h(t)π(t) con h(t) ∈ Fq[t]. Si g(t) = g0+g1t+· · ·+gktk

donde cada gi ∈ Fq, se tiene:

g(tqn

) = g(t+ h(t)π(t))

= g0 + g1(t+ h(t)π(t)) + · · ·+ gk(t+ h(t)π(t))k

= g0 + g1(t+ h(t)π(t)) + · · ·+ gk(tk + ktk−1h(t)π(t) + · · ·+ hk(t)πk(t))

= g0 + g1t+ · · ·+ gktk + g1h(t)π(t) + · · ·+ gk(kt

k−1h(t)π(t) + · · ·+ hk(t)πk(t))

= g(t) + [g1h(t) + · · ·+ gk(ktk−1h(t) + · · ·+ hk(t)πk−1(t))]π(t).

Es decir, g(tqn

) ≡ g(t) mod π(t). Por otro lado,

g(tqn

) = g0 + g1tqn + · · · gkt

kqn

y, ademas, por Teorema 1.6

g(t)qn

= (g0 + g1t+ · · · gktk)q

n

= gqn

0 + gqn

1 tqn

+ · · · gqn

k tkqn

= g0 + g1tqn + · · · gkt

kqn

puesto que Fq es un dominio de integridad con q − 1 unidades y de caracterıstica p.Entonces,

g(t)qn

= g(tqn

) ≡ g(t) mod π(t)

es decir, g(t)qn = g(t).

Como g(t) ∈(Fq[t]/(π(t))

)∗, existe g(t)−1 ∈

(Fq[t]/(π(t))

)∗tal que g(t)qn−1 = 1. Ademas, puesto que

o((g(t))) = qd − 1 (por Corolario 1.1, pues, Fq[t]/(π(t)) es un cuerpo finito con qd elementos), entonces,por Teorema 1.1, qd − 1|qn − 1, lo que obliga a que d|n, por Afirmacion 1.1.Sea

tqn

− t = π1(t)π2(t) · · ·πk(t) (2.5)

es la factorizacion unica de tqn

− t en polinomios monicos irreducibles. Por lo que se probo anteriormente,cada irreducible monico de grado divisorio de n debe ser o aparece como uno de los πi, y cada πi es unirreducible monico de grado divisorio de n (pues, πi|t

qn − t). Tambien, ningun πi aparece mas de unavez, de lo contrario, por la regla del producto, y del hecho de que Fq es de caracterıstica p, πi divide a la


derivada formal de tqn

− t, la cual es −1. Esto es, tomando, en particular, π1 = π2, y derivando a amboslados de (2.5), se tiene

−1 = qntqn−1 − 1 = 2π1(t)π

′1(t)

(π2(t) · · · πk(t)

)+ π1(t)

(π2(t) · · ·πk(t)

)′= π1(t)r(t),

donde r(t) = 2π′1(t)(π2(t) · · ·πk(t)

)+(π2(t) · · ·πk(t)

)′, es decir, π1(t)| − 1, lo cual es contradictorio. De

lo mostrado anteriormente se deduce que

tqn

− t =∏

π(t):deg π|n

π(t).

Como

tqn

− t =∏

π(t):deg π|n

π(t) =(π11(t)π12(t) · · ·π1k1(t)

)︸︷︷︸

deg π11=···=deg π1k1

degπ1i|n

(π21(t)π22(t) · · ·π2k2 (t)

)︸︷︷︸

deg π21=···=deg π2k2

degπ2i|n

· · ·

(πr1(t)πr2(t) · · ·πrkr

(t))

︸︷︷︸degπr1=···=degπrkr

deg πri|n

entonces, comparando grados, se tiene

qn = k1 deg π1i|degπ1i|n+ k2 deg π2i|degπ2i|n

+ · · ·+ kr deg πri|deg πri|n

= νq(d)d|d=degπ1i

degπ1i|n

+ νq(d)d|d=degπ2i

degπ2i|n

+ · · ·+ νq(d)d|d=degπri

degπri|n

=∑

d|n

dνq(d).

La formula para νq(n) se sigue de la inversion de Mobius (Proposicion 1.3), ası: colocando g(n) = qn yf(d) = dνq(d), se tiene

f(n) =∑

d|n

g(d)µ(n/d),

entoncesnνq(n) =

∑

d|n

qdµ(n/d).

Por lo tanto, νq(n) =1

n

∑

d|n

qdµ(n/d). Por otro lado, veamos

∑

d|n

qdµ(n/d) = qn +O(qn/2 + nqn/3). (2.6)

Si n = 1, entonces d = 1. Por lo tanto,

∑

d|1

qdµ(1/d) = qµ(1) = q.

Pero, q = q + 0 = q +O(q1/2 + q1/3). Por consiguiente,

∑

d|n

qdµ(n/d) = qn +O(qn/2 + nqn/3), si n = 1.


Si n = 2, entonces d = 1 o d = 2. Por lo tanto,

∑

d|2

qdµ(2/d) = qµ(2) + q2µ(1)

= q(−1) + q2

= −q + q2

Pero, | − q| = q < q2/2 + 2q2/3. Es decir, −q = O(q2/2 + 2q2/3). Entonces,

∑

d|n

qdµ(n/d) = qn +O(qn/2 + nqn/3), si n = 2.

Si n es un numero primo > 2, entonces d = 1 o d = n. Por lo tanto,

∑

d|n

qdµ(n/d) = qµ(n) + qnµ(1)

= q(−1) + qn

= −q + qn

Como n > 2, entonces qn/2 > q, pues n/2 > 1. Entonces, | − q| = q < qn/2 < qn/2 + nqn/3. Es decir,−q = O(qn/2 + nqn/3). Luego, (2.6) se verifica para un primo n > 2.Suponga que n es un numero con las siguientes formas:Si n = 2t, con t = 2, 3, · · · , entonces,

∑

d|n

qdµ(n/d) = qnµ(1) + qn/2µ(2) + S

dondeS :=

∑

d|nd6n/4

qdµ(n/d).

Por otro lado, como d 6 n4 <

n3 , entonces q

d < qn/3 y, ademas, |µ(n/d)| 6 1, por consiguiente,

∣∣∣∣∣∑

d|nd6n/4

qdµ(n/d)

∣∣∣∣∣ 6∑

d|nd6n/4

qd|µ(n/d)|

= qt1 |µ(n/t1)|+ qt2 |µ(n/t2)|+ · · ·+ qtr |µ(n/tr)|+ qn/4|µ(4)|

< qn/3 + qn/3 + · · ·+ qn/3︸︷︷︸r terminos

= rqn/3

< nqn/3,

donde t1, t2, · · · , tr son los divisores de n menores que n/4.Por lo tanto,

| − qn/2 + S| 6 qn/2 + |S| < qn/2 + nqn/3

Entonces, ∑

d|n

qdµ(n/d) = qn +O(qn/2 + nqn/3).


Si n = 3t, con t = 2, 3, · · · , entonces,∑

d|n

qdµ(n/d) = qnµ(1) + S

dondeS :=

∑

d|nd6n/3

qdµ(n/d).

Por otro lado,∣∣∣∣∣∑

d|nd6n/3

qdµ(n/d)

∣∣∣∣∣ 6∑

d|nd6n/3

qd|µ(n/d)|

= qt1 |µ(n/t1)|+ qt2 |µ(n/t2)|+ · · ·+ qtr |µ(n/tr)|+ qn/3|µ(3)|

= qt1 + qt2 + · · ·+ qtr + qn/3

< qn/3 + qn/3 + · · ·+ qn/3︸︷︷︸r terminos

+qn/2

= qn/2 + rqn/3

< qn/2 + nqn/3

donde t1, t2, · · · , tr son los divisores de n menores que n/3. Ası, de esta forma, se verifica (2.6).Analogamente, (2.6) se verifica si n = pt, donde p es un entero primo y t ∈ Z+. De acuerdo a lo anterior,(2.6) se cumple para n > 1.Ya que,

∑

d|n

qdµ(n/d) = qn +O(qn/2 + nqn/3)

= qn +O((1 + nq−n/6)qn/2)

= qn +O(qn/2)

la estimacion final se sigue. �

Lema 2.2. Para cada f , ∑

d|f

Λ(d) = log |f |.

Tambien, ∑

d|f

µ(d) log |d| = −Λ(f).

Demostracion. Sea f = πa11 πa2

2 · · ·πak

k con πi primo, para 1 6 i 6 k. Entonces,

|f | = |π1|a1 |π2|

a2 · · · |πk|ak .

Por lo tanto,

log |f | = log(|π1|a1 |π2|

a2 · · · |πk|ak)

=k∑

i=1

log |πi|ai

=

k∑

i=1

ai log |πi|, (2.7)


pues, al ser | · | una funcion completamente multiplicativa, se tiene

log(|π1|a1 |π2|

a2 · · · |πk|ak) = log |πa1

1 πa22 · · ·πak

k | = log |f |.

Por otro lado, si d ∈ {π1, π21 , · · · , π

a11 , π2, π

22 , · · · , π

a22 , · · · , πk, π

2k, · · · , π

ak

k }, entonces Λ(d) 6= 0, por lo cual:

∑

d|f

Λ(d) = Λ(π1) + Λ(π21) + · · ·+ Λ(πa1

1 )

+ Λ(π2) + Λ(π22) + · · ·+ Λ(πa2

2 ) + · · ·+ Λ(πk) + Λ(π2k) + · · ·+ Λ(πak

k )

= log |π1|+ log |π1|+ · · ·+ log |π1|︸︷︷︸a1 terminos

+ log |π2|+ log |π2|+ · · ·+ log |π2|︸︷︷︸a2 terminos

+ · · ·+ log |πk|+ log |πk|+ · · ·+ log |πk|︸︷︷︸ak terminos

=

k∑

i=1

ai log |πi|

= log |f |

por (2.7). Luego, ∑

d|f

Λ(d) = log |f |.

La segunda afirmacion se sigue por una generalizacion apropiada de la inversion de Mobius.Podemos dar una prueba directa de la siguiente manera:Sea f = πa1

1 πa22 · · ·πak

k con πi primo, para 1 6 i 6 k. Para evaluar el lado izquierdo es suficiente restringirla suma a divisores libres de cuadrados d. Expandiendo log |d| formalmente, tenemos

∑

d|f

µ(d) log |d| = µ(π1) log |π1|+ µ(π2) log |π2|+ · · ·+ µ(πk) log |πk|

+ µ(π1π2) log |π1π2|+ · · ·+ µ(πk−1πk) log |πk−1πk|+ · · ·

+ µ(π1π2 · · ·πk) log |π1π2 · · ·πk|

= µ(π1) log |π1|+ µ(π2) log |π2|+ · · ·+ µ(πk) log |πk|

+ µ(π1π2) log |π1|+ µ(π1π2) log |π2|+ · · ·

+ µ(πk−1πk) log |πk−1|+ µ(πk−1πk) log |πk|+ · · ·

+ µ(π1π2 · · ·πk) log |π1|+ µ(π1π2 · · ·πk) log |π2|+ · · ·

+ µ(π1π2 · · ·πk) log |πk|

= log |π1|(µ(π1) + µ(π1π2) + · · ·+ µ(π1π2 · · ·πk))

+ log |π2|(µ(π2) + µ(π1π2) + · · ·+ µ(π1π2 · · ·πk)) + · · ·

+ log |πk|(µ(πk) + µ(π1πk) + · · ·+ µ(π1π2 · · ·πk))

= log |π1|

[(−1)1 + (k − 1)(−1)2 + · · ·+

(k − 1

j − 1

)(−1)j + · · ·+ (−1)k

]

+ log |π2|

[(−1)1 + (k − 1)(−1)2 + · · ·+

(k − 1

j − 1

)(−1)j + · · ·+ (−1)k

]+ · · ·

+ log |πk|

[(−1)1 + (k − 1)(−1)2 + · · ·+

(k − 1

j − 1

)(−1)j + · · ·+ (−1)k

]


= log |π1|

k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

)+ log |π2|

k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

)+ · · ·

+ log |πk|

k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

)

=∑

π|f

log |π|k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

)

donde π son los divisores primos de f distintos mutuamente, y k es el numero de divisores primos de fdistintos mutuamente. De esta manera,

∑

d|f

µ(d) log |d| =∑

π|f

log |π|

k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

).

Si k = 0 de modo que f = 1, la suma de la derecha es vacıa. Si k = 1, entonces f = πa11 , y el lado derecho

se evalua como − log |π1|. Si k > 2, la suma interior es igual a −(1− 1)k−1 = 0. A saber:

k∑

j=1

(−1)j(k − 1

j − 1

)= (−1)1

(k − 1

0

)+ (−1)2

(k − 1

1

)+ (−1)3

(k − 1

2

)+ · · ·

+ (−1)k−1

(k − 1

k − 2

)+ (−1)k

(k − 1

k − 1

)

= (−1)

[(−1)0

(k − 1

0

)+ (−1)1

(k − 1

1

)+ (−1)2

(k − 1

2

)+ · · ·

+ (−1)k−2

(k − 1

k − 2

)+ (−1)k−1

(k − 1

k − 1

)]

= −k−1∑

j=0

(−1)j(k − 1

j

)

= −(1− 1)k−1

= 0

si k > 2. Por lo tanto, en cualquier caso, el resultado se demuestra. �

Afirmacion 2.1. La suma de los grados de todos los polinomios primos π(t) en Fq[t] que dividen al enteropositivo r es qr. Esto es,

∑

deg(π(t))|r

deg(π(t)) = qr.

Demostracion. Sea r = p1p2 · · · pk donde pi son numeros primos, y sea νq(n) que denota el numero depolinomios primos (irreducibles unitarios) de grado n, con n > 1. Entonces,

∑

deg(π(t))|r

deg(π(t)) = 1 · νq(1) + p1 · νq(p1) + p2 · νq(p2) + · · ·+ pk · νq(pk) +∑

P

Pνq(P )

=∑

d|r

dνq(d)

= qr

por Teorema 2.2, donde P son los distintos productos que dividen a r y cuyos factores estan en {p1, p2, · · · , pk}.�



ψ(n) :=∑

deg f6n

Λ(f) =

(qn+1 − q

q − 1

)log q = O(qn).

Observacion 2.1. Esta es otra forma del teorema del numero primo para Fq[t]. Aquı tenemos una formulaexacta y simple para esta suma.

Demostracion.

∑

deg f6n

Λ(f) =∑

deg f6n

f=πk, k>1

log |π|

= log q∑

k deg π6nk>1

deg π

pues deg πk = k deg π.Si r = k deg π con k > 1, entonces 1 6 deg π 6 r 6 n. Por lo tanto, por Afirmacion 2.1, tenemos

ψ(n) :=∑

deg f6n

Λ(f) = log q∑

k deg π6nk>1

deg π

= log q∑

16r6n

∑

k degπ=r

deg π

= log q∑

16r6n

∑

degπ|r

deg π

= log q∑

16r6n

qr

=

[q(qn − 1)

q − 1

]log q

=

(qn+1 − q

q − 1

)log q.

Por otro lado, como log q < q − 1, entonces

(qn+1 − q

q − 1

)log q < qn+1 − q < qn+1 = qqn.

Es decir, (qn+1 − q

q − 1

)log q = O(qn).

Considerando los resultados anteriores, se sigue la igualdad deseada. �


∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=

∑

degπ6n

log |π|

|π|+

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|2+ · · ·

=∑

degπ6n

log |π|

|π|+O(1).


Tambien,

∑

deg π6n

log |π|

|π|= log(qn) +O(1).

Demostracion. La primera igualdad se sigue por la reordenacion de la suma, al igual que cuando seprueba la afirmacion analoga sobre Z. De esta forma, tenemos

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=∑

k>1

∑

k deg π6n

log |π|

|π|k.

Entonces,

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

deg π6n

log |π|

|π|=

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|2+

∑

3 deg π6n

log |π|

|π|3+ · · ·

Por otro lado,

∑

k>2

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|k=

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|2+

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|3+ · · ·

=∑

2k6n

∑

deg π=k

log |π|

|π|2+∑

2k6n

∑

degπ=k

log |π|

|π|3+ · · ·

=

( ∑

deg π=1

log |π|

|π|2+

∑

degπ=2

log |π|

|π|2+ · · ·+

∑

deg π=[n/2]

log |π|

|π|2

)

+

( ∑

deg π=1

log |π|

|π|3+

∑

deg π=2

log |π|

|π|3+ · · ·+

∑

degπ=[n/2]

log |π|

|π|3

)+ · · ·

=∑

degπ=1

log |π|∑

k>2

1

|π|k+

∑

degπ=2

log |π|∑

k>2

1

|π|k+ · · ·

+∑

degπ=[n/2]

log |π|∑

k>2

1

|π|k

=∑

2 deg π6n

log |π|∑

k>2

1

|π|k

=∑

2 deg π6n

log |π|

|π|(|π| − 1),

ya que

∑

deg π=l

log |π|

|π|2+

∑

degπ=l

log |π|

|π|3+ · · ·

=

(log |π1|

|π1|2+ · · ·+

log |πql |

|πql |2

)+

(log |π1|

|π1|3+ · · ·+

log |πql |

|πql |3

)+ · · ·

= log |π1|

(1

|π1|2+

1

|π1|3+ · · ·

)+ · · ·+ log |πql |

(1

|πql |2+

1

|πql |3+ · · ·

)


= log |π1|∑

k>2

1

|π1|k+ · · ·+ log |πql |

∑

k>2

1

|πql |k

=∑

degπ=l

log |π|∑

k>2

1

|π|k,

para l > 1, y tambien

∑

k>2

1

|π|k=∑

k>1

1

|π|k−

1

|π|=

1

|π| − 1−

1

|π|=

1

|π|(|π| − 1).

Por consiguiente,

∑

k>2

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|k=

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|(|π| − 1). (2.8)

Para k > 2, note que

1

qk+

2

q2k+ · · ·+

[n/k]

q[n/k]k6

1

qk+

2

q2k+ · · ·+

[n/k]

q[n/k]k+ · · ·+

[n/2]

q[n/2]k.

Por tanto, ∑

kr6n

r

qkr6∑

2r6n

r

qkr.

Entonces, tomando r = deg π y multiplicando ambos lados de la desigualdad anterior por log q, se tiene

∑

k degπ6n

log |π|

|π|k6

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|k, para k > 2.

Lo anterior implica que

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|2+

∑

3 deg π6n

log |π|

|π|3+ · · · 6

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|2+

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|3+ · · ·

Es decir, ∑

k>2

∑

k degπ6n

log |π|

|π|k6∑

k>2

∑

2 deg π6n

log |π|

|π|k.

Luego, de (2.8), tenemos

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

degπ6n

log |π|

|π|6∑

k>2

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|k

=∑

2 deg π6n

log |π|

|π|(|π| − 1).

Por otro lado, como qk > q > 2 para k > 1, entonces 2qk 6 q2k. Por lo tanto,

q2k + 2qk 6 2q2k.

De esta manera q2k 6 2(q2k − qk), o

1

q2k − qk6

2

q2k.


Por consiguiente,k log q

qk(qk − 1)6 2kq−2k log q.

Si k = deg π, tenemos

log |π|

|π|(|π| − 1)6 2(deg π)q−2 degπ log q.

Como consecuencia,

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|(|π| − 1)6 2 log q

∑

2 degπ6n

q−2 deg π deg π

= 2 log q∑

2k6n

∑

deg π=k

q−2 deg π deg π

= 2 log q∑

2k6n

kq−2k∑

degπ=k

1

= 2 log q∑

2k6n

kq−k.

Para q > 2,

∑

k

kq−k6∑

k

k2−k.

Ademas, note que

lımn→∞

(n+ 1)2−(n+1)

n2−n=

1

2lımn→∞

(1 +

1

n

)=

1

2< 1.

Por lo tanto, la serie ∑

k

kq−k

es convergente. Entonces,

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

degπ6n

log |π|

|π|6 2 log q

∑

2k6n

kq−k < 2 log q ·M

Pues, al ser la serie convergente, su sucesion de sumas parciales esta acotada. Es decir, existe M > 0 talque ∑

2k6n

kq−k < M.

De la cual se concluye

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

deg π6n

log |π|

|π|= O(1), o

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=

∑

deg π6n

log |π|

|π|+O(1).

Finalmente, puesto que

∑

deg f6k

Λ(f) =∑

deg f=1

Λ(f) +∑

deg f=2

Λ(f) + · · ·+∑

deg f=k−1

Λ(f) +∑

deg f=k

Λ(f)

=∑

deg f6k−1

Λ(f) +∑

deg f=k

Λ(f),

2.2 Caracteres y Series-L. 22

entonces,

∑

deg f=k

Λ(f) =∑

deg f6k

Λ(f)−∑

deg f6k−1

Λ(f)

= ψ(k)− ψ(k − 1).

De esta manera, se tiene

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=

n∑

k=1

∑

deg f=k

Λ(f)

|f |=

n∑

k=1

q−k∑

deg f=k

Λ(f) =

n∑

k=1

[ψ(k)− ψ(k − 1)]q−k.

Por la prueba del Lema2.3, ψ(k)− ψ(k − 1) = qk log q, cuando k > 1, por tanto,

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=

n∑

k=1

[ψ(k)− ψ(k − 1)]q−k

=

n∑

k=1

qkq−k log q

= log q

n∑

k=1

1

= n log q = log(qn).

Refiriendonos a la primera parte del lema, tenemos

∑

deg π6n

log |π|

|π|= log(qn) +O(1).

�

2.2. Caracteres y Series-L.

Definicion 2.1. Sea s = σ + iγ un numero complejo. Para un caracter no principal χ modulo m(t), conm(t) ∈ Fq[t], definamos

L(s, χ) =∑

f∈M(q;t)

χ(f)

|f |s(2.9)

como la funcion L asociada a χ.

Definicion 2.2. Para un caracter no principal χ modulo m(t), con m(t) ∈ Fq[t], coloquemos

L(χ) =

∞∑

k=0

∑

deg f=k

χ(f)

|f |=

∞∑

k=0

ckqk, (2.10)

donde ck =∑

deg f=k

χ(f).

Aparentemente, la suma anterior es infinita. Sin embargo, mas adelante vamos a demostrar que cuandok > degm, ck = 0, de manera que en la definicion de L(χ) solo necesitamos la suma hasta k = degm− 1.


Proposicion 2.1. Para cualquier caracter χ modulo m sobre Fq[t], la serie

L(s, χ) =∑

f∈M(q;t)

χ(f)

|f |s

es absolutamente convergente para σ = R(s) > 1.

Demostracion. Tomemos σ = R(s) > 1. Como |f | = qk, donde k = deg f , y existen qk polinomiosmonicos de grado k, tenemos, para todo k = 0, 1, 2, · · · , lo siguiente

∣∣∣∣∣∑

f∈M(q;t)deg f=k

χ(f)|f |−s

∣∣∣∣ 6∑

f∈M(q;t)deg f=k

|χ(f)|f |−s|

= q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

|χ(f)||q−ikγ |

6 q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

1

= q−kσqk

= qk(1−σ),

pues |qikγ | = |eikγ log q| = 1. Luego,

∑

deg f6r

|χ(f)|f |−s| =r∑

k=0

∑

f∈M(q;t)k=deg f

|χ(f)|f |−s|

=

r∑

k=0

q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

|χ(f)|

6

r∑

k=0

q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

1

=

r∑

k=0

qk(1−σ)

= 1 +r∑

k=1

qk(1−σ)

= 1 + q1−σ (qr(1−σ) − 1)

q1−σ − 1

=1− q(1−σ)(1+r)

1− q1−σ.

Por lo tanto, ∑

deg f6r

|χ(f)|f |−s| →1

1− q1−σ, cuando r → ∞,

pues σ > 1. �

Proposicion 2.2. Para todo χ 6= χo modulo m(t), con m(t) ∈ Fq[t], se tiene


(i). ck = 0, para todo k > degm, donde ck =∑

deg f=k

χ(f).

(ii). L(s, χ) =

degm−1∑

k=0

ckq−ks.

Demostracion.

( i). Sabemos que hay exactamente qdegm clases modulo m. Estos representantes, r1(t), · · · , rqdeg m(t),pueden tomarse en M(q; t) y todos de grado menor o igual a degm.Si f ∈ M(q; t), existe Q ∈ M(q; t) tal que f = mQ + rn, donde podemos asumir rn = 0 odeg rn < degm. Cuando k > degm, los polinomios f de grado k son exactamente los polinomiosf = mQ+ rn, donde Q ∈M(q; t) es monico de grado deg f − degm, pues

deg f = max{degm+ degQ, deg rn} = degm+ degQ

ya que, deg rn < degm+ degQ.Por tanto, hay qdeg f−degm de tales polinomios para cada clase residual modulo m. Es decir, con-gruentes con cada rn(t) hay exactamente qdeg f−degm polinomios de grado k. En consecuencia,

ck =∑

deg f=k

χ(f) = qdeg f−degm∑

rn(t) mod m(t)

χ(rn(t)) = 0

en virtud del Lema1.2, tomando ψ = χo, porque χ 6= χo.

( ii). Como L(s, χ) es absolutamente convergente, tenemos

L(s, χ) =∞∑

k=0

∑

deg f=k

χ(f)

|f |s

=∞∑

k=0

( ∑

deg f=k

χ(f)

)1

|f |s

=

∞∑

k=0

ck1

|f |s

=

∞∑

k=0

ck1

qs deg f

=

∞∑

k=0

ck1

qks

=

degm−1∑

k=0

ckq−ks.

�

Ahora, podemos establecer la no anulacion de L(χ) para χ real no principal.Considerando que la proxima afirmacion es uno de los pasos mas difıciles de la prueba del teorema deDirichlet sobre Z, aquı se trabaja un argumento bastante sencillo.

Teorema 2.3. Si χ 6= χo es un caracter de Dirichlet real modulo m, entonces L(χ) 6= 0.


Demostracion. Definamos F (f) :=∑

d|f

χ(d) la cual es una funcion multiplicativa, pues χ es una funcion

multiplicativa. Si f = πa11 πa2

2 · · ·πak

k es la factorizacion de f en irreducibles monicos,

F (f) =∏

16j6k

F (πaj

j ).

A saber,

F (f) =∑

d|f

χ(d)

= (χ(1) + χ(π1) + χ(π21) + · · ·+ χ(πa1

1 )) + (χ(π2) + χ(π22) + · · ·+ χ(πa2

2 ))

+ · · ·+ (χ(πk) + χ(π2k) + · · ·+ χ(πak

k ))

+ χ(π1π2) + · · ·+ χ(πk−1πk) + χ(π1π22) + · · ·+ χ(πa1

1 πa22 · · ·πak

k )

= (χ(1) + χ(π1) + · · ·+ χ(πa11 ))(χ(1) + χ(π2) + · · ·+ χ(πa2

2 )) · · ·

(χ(1) + χ(πk) + · · ·+ χ(πak

k ))

=∑

d|πa11

χ(d) ·∑

d|πa22

χ(d) · · ·∑

d|πakk

χ(d)

= F (πa1

1 ) · F (πa2

2 ) · · ·F (πak

k )

=∏

16j6k

F (πaj

j ).

Como χ es real, tenemos: si χ(π) = 0, entonces F (πl) = χ(1) = 1; si χ(π) = 1, entonces

F (πl) =∑

d|πl

χ(d) = χ(1) + χ(π) + χ(π2) + · · ·+ χ(πl)

= 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸l veces

= 1 + l.

Finalmente, sea χ(π) = −1. Como

F (πl) =∑

d|πl

χ(d) = χ(1) + χ(π) + χ(π2) + · · ·+ χ(πl)

= 1 + (−1) + (−1)2 + · · ·+ (−1)l

y, ademas,l∑

i=0

(−1)i =(−1)l + 1

2=

{0, si l es impar

1, si l es par,

concluimos que

F (πl) =

{0, si l es impar

1, si l es par.

Por lo tanto, siempre se tiene F (πl) > 0, con F (πl) > 1 si l es par. Consecuentemente, siempre se tieneF (f) > 0, y en particular, F (f) > 1 si f es un cuadrado (es decir, f es de la forma π2i, con i = 0, 1, · · · ).En la siguiente prueba usaremos la notacion f = � para indicar que f es el cuadrado de un polinomio.


Para un numero natural z, definamos S(z) :=∑

deg f6z

F (f). Entonces,

S(z) =∑

deg f6z

F (f)

=∑

deg f=0

F (f) +∑

deg f=1

F (f) +∑

deg f=2

F (f) + · · ·+∑

deg f=z

F (f)

>∑

deg f=0

F (f) +∑

deg f=2

F (f) + · · ·+∑

deg f=2i

F (f), 0 6 2i 6 z

>∑

deg f=0f=�

F (f) +∑

deg f=2f=�

F (f) + · · ·+∑

deg f=2if=�

F (f), 0 6 2i 6 z

=∑

deg f6zf=�

F (f)

>∑

deg f6zf=g2

F (f)

=∑

2 deg g6z

F (g2)

>∑

deg g6z/2

1 (2.11)

=∑

k6z/2

∑

k=deg g

1 =∑

06k6z/2

qk.

Note que si g es un unitario no irreducible, la relacion (2.11) se cumple, pues g = pa11 p

a22 · · · par

r , entoncesF (g2) = F (p2a1

1 )F (p2a22 ) · · ·F (p2ar

r ) > 1.

Por lo tanto, S(z) >∑

06k6z/2

qk. Lo cual implica que

S(z) → ∞ cuando z → ∞. (2.12)

Por otro lado,

S(z) =∑

deg f6z

F (f) =∑

deg f6z

∑

d|f

χ(d)

=∑

deg f=0

∑

d|f

χ(d) +∑

deg f=1

∑

d|f

χ(d) + · · ·+∑

deg f=z−1

∑

d|f

χ(d) +∑

deg f=z

∑

d|f

χ(d)

=∑

d|fdeg d=0

χ(d)

︸︷︷︸deg f=0

+∑

d|fdeg d=0

χ(d) +∑

d|fdeg d=1

χ(d)

︸︷︷︸deg f=1

+ · · ·

+∑

d|fdeg d=0

χ(d) +∑

d|fdeg d=1

χ(d) + · · ·+∑

d|fdeg d=z−1

χ(d)

︸︷︷︸deg f=z−1


+∑

d|fdeg d=0

χ(d) +∑

d|fdeg d=1

χ(d) + · · ·+∑

d|fdeg d=z−1

χ(d) +∑

d|fdeg d=z

χ(d)

︸︷︷︸deg f=z

=∑

d|fdeg f=0

χ(d) + · · ·+∑

d|fdeg f=z

χ(d)

︸︷︷︸deg d=0, hay z + 1 terminos

+∑

d|fdeg f=1

χ(d) + · · ·+∑

d|fdeg f=z

χ(d)

︸︷︷︸deg d=1, hay z terminos

+ · · ·

+∑

d|fdeg f=z−1

χ(d) +∑

d|fdeg f=z

χ(d)

︸︷︷︸deg d=z−1, hay z − (z − 2) terminos

+∑

d|fdeg f=z

χ(d)

︸︷︷︸deg d=z, hay z − (z − 1) terminos

= χ(d)|deg d=0

∑

d|f06deg f6z

1 + χ(d)|deg d=1

∑

d|f16deg f6z

1 + · · ·

+ χ(d)|deg d=z−1

∑

d|fz−16deg f6z

1 + χ(d)|deg d=z

∑

d|fdeg f=z

1

= χ(d)|deg d=0

∑

Ed=fdegE6z−0

1 + χ(d)|deg d=1

∑

Ed=fdegE6z−1

1 + · · ·

+ χ(d)|deg d=z−1

∑

Ed=fdegE6z−(z−1)

1 + χ(d)|deg d=z

∑

Ed=fdegE6z−z

1

=∑

deg d6z

χ(d)∑

Ed=fdegE6z−deg d

1.

Por consiguiente,

S(z) =∑

deg f6z

F (f) =∑

deg d6z

χ(d)∑

Ed=fdegE6z−deg d

1.

Luego, para z > degm− 1,

S(z) =∑

deg d6z

χ(d)∑

Ed=fdegE6z−deg d

1

=z∑

k=0

∑

k=deg d

χ(d)z−k∑

l=0

∑

l=degE

1

=

z∑

k=0

ck

z−k∑

l=0

ql

=

degm−1∑

k=0

ck

(qz−k+1 − 1

q − 1

)

=qz+1

q − 1L(χ) + c,

donde c = −1

q − 1

degm−1∑

k=0

ck es constante. De esta manera, si L(χ) = 0, S(z) = c para z > degm − 1,


contradiciendo lo probado en (2.12). Esta contradiccion completa la prueba. �

Ahora, estamos listos para movernos al corazon del argumento: Estudiaremos las funciones Aχ(n) :=∑

deg f6n

χ(f)Λ(f)/|f |.

Teorema 2.4. Para n > 0, Aχo(n) = log(qn) +O(1).

Demostracion. Note que, si (gk,m) = 1, para k > 1, con g y m en M(q;T ), entonces (g,m) = 1.Suponga que (g,m) = d 6= 1. Entonces, d|g y d|m. Por lo tanto, g = dh, lo que implica que gk = dhgk−1,es decir, d|gk. Como d es unitario, entonces, deg d > 1. Si (gk,m) = c, entonces, (gk,m) 6= 1, tomandoc = d, de lo contrario, tambien se llega a la misma conclusion, pues 1 6 deg d 6 deg c. De lo anterior, setiene

Aχo(n) =

∑

deg f6n(f,m)=1

Λ(f)

|f |

=∑

k deg π6n

(πk,m)=1

log |π|

|π|k

=∑

k deg π6nπ∤m

log |π|

|π|k

=∑

deg π6nπ∤m

log |π|

|π|+R(n),

donde

R(n) :=∑

2 degπ6nπ∤m

log |π|

|π|2+

∑

3 deg π6nπ∤m

log |π|

|π|3+ · · · .

Por otro lado, como

∑

k deg π6n

log |π|

|π|k=

∑

k degπ6nπ|m

log |π|

|π|k+

∑

k degπ6nπ∤m

log |π|

|π|k>

∑

k deg π6nπ∤m

log |π|

|π|k,

para k > 2, entonces

R(n) 6∑

2 deg π6n

log |π|

|π|2+

∑

3 degπ6n

log |π|

|π|3+ · · ·

=∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

degπ6n

log |π|

|π|≪ 1,

con la ayuda de la prueba del Lema2.4. Por lo tanto,

Aχo(n) =

∑

degπ6nπ∤m

log |π|

|π|+O(1) =

∑

deg π6n

log |π|

|π|+O(1) = log(qn) +O(1),

por las propiedades de O-grande, y por el Lema 2.4. �


El resto de esta seccion esta dedicada a mostrar que para χ 6= χo, Aχ(n) = O(1). El Teorema 2.1 seseguira de este resultado, del Teorema 2.4 y las relaciones de ortogonalidad.

Lema 2.5. Sea χ un caracter no principal. Para n > 0,

L(χ)−

n∑

k=0

ckqk

= O(q−n).

Demostracion. Como se demostro anteriormente, la funcion de la izquierda se anula para k > degm.Tambien se anula para n > degm− 1. A saber,

L(χ) =

degm−1∑

k=0

ckqk

+∞∑

k=degm

ckqk

=

degm−1∑

k=0

ckqk

por la parte ( i) de la Proposicion 2.2, por lo cual, tenemos

L(χ)−

degm−1∑

k=0

ckqk

= 0.

De tal forma que la conclusion es inmediata. Por otro lado, suponga que n 6 degm− 2. Note que

∣∣∣∣∣L(χ)−n∑

k=0

ckqk

∣∣∣∣∣ 6 max06l6degm−2

∣∣∣∣∣L(χ)−l∑

k=0

ckqk

∣∣∣∣∣.

Ademas, 1 = q0 6 qdegm−2−n = qdegm−2q−n. Entonces,

∣∣∣∣∣L(χ)−n∑

k=0

ckqk

∣∣∣∣∣ 6 qdegm−2 max06l6degm−2

∣∣∣∣∣L(χ)−l∑

k=0

ckqk

∣∣∣∣∣q−n.

Por lo tanto, un valor adecuado para la constante implıcita es

qdegm−2 max06l6degm−2

∣∣∣∣∣L(χ)−l∑

k=0

ckqk

∣∣∣∣∣.

por lo que podemos concluir

L(χ)−

n∑

k=0

ckqk

= O(q−n).

�


L(χ)∑

deg f6n

χ(f)Λ(f)

|f |= O(1).

Demostracion. Por el Lema 2.2,

∑

deg f6n

χ(f) log |f |

|f |=

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d).


Ademas,

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d)

=∑

deg f=0

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d) +∑

deg f=1

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d) + · · ·

+∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d) +∑

deg f=n

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d)

=

[ ∑

deg f=0

χ(f)

|f |+

∑

deg f=1

χ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

] ∑

d|fdeg d=0

Λ(d)

+

[ ∑

deg f=1

χ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

] ∑

d|fdeg d=1

Λ(d) + · · ·

+

[ ∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

] ∑

d|fdeg d=n−1

Λ(d) +∑

deg f=n

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=n

Λ(d)

=∑

06deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=0

Λ(d) +∑

16deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=1

Λ(d) + · · ·

+∑

n−16deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=n−1

Λ(d) +∑

deg f=n

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=n

Λ(d)

=∑

deg d=0

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−0

χ(E)

|E|+

∑

deg d=1

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−1

χ(E)

|E|+ · · ·

+∑

deg d=n−1

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−(n−1)

χ(E)

|E|+

∑

deg d=n

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−n

χ(E)

|E|

=∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|,

puesto que, para f = Ed, i 6 j con 0 6 i, j 6 n, se tiene

∑

i6deg f6j

χ(f)

|f |

∑

d|fdeg d=i

Λ(d) =∑

i6deg f6j

∑

d|fdeg d=i

χ(f)

|f |Λ(d)

=∑

degE6j−i

∑

d: deg d=i

χ(E)χ(d)

|E||d|Λ(d)

=∑

d: deg d=i

∑

degE6j−i

χ(d)Λ(d)

|d|

χ(E)

|E|

=∑

d: deg d=i

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6j−i

χ(E)

|E|.


Entonces,

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

Λ(d) =∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|, (2.13)

donde f = Ed.Ahora, por el Lema 2.5,

L(χ)−∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|= O(qdeg d−n),

es decir, ∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|= L(χ)−O(qdeg d−n).

Por lo tanto,χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|= L(χ)

χ(d)Λ(d)

|d|−χ(d)Λ(d)

|d|O(qdeg d−n).

Entonces, ∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|

∑

degE6n−deg d

χ(E)

|E|= L(χ)

∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|+R(n),

donde R(n) := −∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|O(qdeg d−n).

Note que∣∣∣∣∣−

∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|O(qdeg d−n)

∣∣∣∣∣ 6∑

deg d6n

|χ(d)|Λ(d)

|d||O(qdeg d−n)|

6∑

deg d6n

Λ(d)

|d||O(qdeg d−n)|

6Mq−n∑

deg d6n

Λ(d)qdeg d

|d|

=Mq−n∑

deg d6n

Λ(d),

para M > 0. O sea, R(n) = O(q−n∑

deg d6nΛ(d)) = O(q−nqn) = O(1), por Lema2.3.Puesto que, para n > degm, ck = 0, por consiguiente,

∑

deg f6n

χ(f) log |f |

|f |=

∑

06k6n

k log q

qk

∑

deg f=k

χ(f)

=∑

06k6n

k log q

qkck

= log q

degm−1∑

k=0

k

qkck = c,

donde c es una constante.Entonces,

c = L(χ)∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|+O(1).


Luego,

L(χ)∑

deg d6n

χ(d)Λ(d)

|d|= c−O(1) = O(1).

�

De lo anterior, deducimos inmediatamente,

Corolario 2.2. Si L(χ) 6= 0 para el caracter no principal χ, entonces Aχ(n) = O(1).

Demostracion. Del Lema2.6, tenemos, para n > 0,

L(χ)∑

deg f6n

χ(f)Λ(f)

|f |= O(1)

o sea, L(χ)Aχ(n) = O(1). Si L(χ) 6= 0, entonces Aχ(n) =1

L(χ)O(1) = O(1). �


log(qn) +Aχ(n) = L(χ)∑

deg f6n

χ(f)µ(f)

|f |log

qn

|f |+O(1).

En particular, si L(χ) = 0, Aχ(n) = − log(qn) +O(1).

Demostracion. Evaluemos∑

deg f6nχ(f)|f |

∑d|f µ(d) log

qn

|d| de dos maneras diferentes. Note que, por Le-ma 2.2

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|=∑

d|f

µ(d) log(qn)−∑

d|f

µ(d) log |d|

=∑

d|f

µ(d) log(qn) + Λ(f)

= log(qn)∑

d|f

µ(d) + Λ(f),

Por Teorema 1.10, se tiene: Si f = 1,∑

d|f µ(d) = 1. Ademas, Λ(f) = 0. Tambien, Si f 6= 1,∑

d|f µ(d) = 0.Entonces,

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|=

{log(qn), si f = 1

Λ(f), si f 6= 1

Luego, por un lado

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|=χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|

︸︷︷︸deg f=0

+∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|

︸︷︷︸0<deg f6n

= log(qn) +∑

deg f6n

χ(f)

|f |Λ(f),

pues, f = 1 cuando deg f = 0, y f 6= 1 cuando 0 < deg f .Por otro lado, invirtiendo el orden de la suma, tenemos

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|=

∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

deg h6n−deg d

χ(h)

|h|.


A saber,

∑

deg f6n

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|=

∑

deg f=0

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|+

∑

deg f=1

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|+ · · ·

+∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

∑

d|f

µ(d) logqn

|d|

=∑

d|fdeg d=0

µ(d) logqn

|d|

[ ∑

deg f=0

χ(f)

|f |+

∑

deg f=1

χ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

]

+∑

d|fdeg d=1

µ(d) logqn

|d|

[ ∑

deg f=1

χ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

]+ · · ·

+∑

d|fdeg d=n−1

µ(d) logqn

|d|

[ ∑

deg f=n−1

χ(f)

|f |+

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

]+

∑

d|fdeg d=n

µ(d) logqn

|d|

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

=∑

d|fdeg d=0

µ(d) logqn

|d|

∑

06deg f6n

χ(f)

|f |+

∑

d|fdeg d=1

µ(d) logqn

|d|

∑

16deg f6n

χ(f)

|f |+ · · ·

+∑

d|fdeg d=n−1

µ(d) logqn

|d|

∑

n−16deg f6n

χ(f)

|f |+

∑

d|fdeg d=n

µ(d) logqn

|d|

∑

deg f=n

χ(f)

|f |

=∑

deg d=0

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

deg h6n−0

χ(h)

|h|+

∑

deg d=1

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

degh6n−1

χ(h)

|h|+ · · ·

+∑

deg d=n−1

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

degh6n−(n−1)

χ(h)

|h|+

∑

deg d=n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

deg h6n−n

χ(h)

|h|

=∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

deg h6n−deg d

χ(h)

|h|,

donde f = hd (prueba analoga a (2.13)). Ademas, por Lema 2.5,

L(χ)−∑

deg h6n−deg d

χ(h)

|h|= O(qdeg d−n).

Luego, la expresion que esta a la derecha se convierte en

∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|

∑

deg h6n−deg d

χ(h)

|h|=

∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|(L(χ)−O(qdeg d−n))

= L(χ)∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|+R(n),

donde R(n) := −q−n∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|O(qdeg d).


Note que

|R(n)| 6 q−n∑

deg d6n

|χ(d)||µ(d)|

|d|

∣∣∣∣∣ logqn

|d|

∣∣∣∣∣|O(qdeg d)|

6Mq−n∑

deg d6n

(log(qn)− log |d|)

|d|qdeg d

=Mq−n

[ ∑

deg d6n

log(qn)−∑

deg d6n

log |d|

]

=Mq−n

[log(qn)

n∑

k=0

∑

deg d=k

1−∑

deg d6n

log |d|

]

=Mq−n

[log(qn)

n∑

k=0

qk −∑

deg d6n

log |d|

],

para M > 0. Despues, expandiendo la progresion geometrica y restando la expresion obtenida en elLema2.1, vemos

log(qn)

n∑

k=0

qk −∑

deg d6n

log |d|

= log(qn)

[1 +

q(qn − 1)

q − 1

]−

[qn+1

q − 1log(qn)− (log q)

q

q − 1·qn − 1

q − 1

]

= log(qn)

(qn+1 − 1

q − 1

)−qn+1

q − 1log(qn) + (log q)

q

q − 1·qn − 1

q − 1

=−1

q − 1log(qn) + (log q)

q

q − 1·qn − 1

q − 1

61

q − 1log(qn) + 2(log q)qn

6 2(log q) log(qn) + 2(log q)qn,

puesto que,q

q − 1= 1 +

1

q − 16 2 y

qn − 1

q − 1=

qn

q − 1−

1

q − 16

qn

q − 16 qn. Es decir,

log(qn)

n∑

k=0

qk −∑

deg d6n

log |d| ≪ log(qn) + qn ≪ qn.

Entonces, R(n) = O(1), pues |R(n)| ≪ q−nqn = 1.Comparando las dos expresiones obtenidas da la afirmacion del teorema:

log(qn) +∑

deg f6n

χ(f)Λ(f)

|f |= L(χ)

∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|+O(1)

o

log(qn) +Aχ(n) = L(χ)∑

deg d6n

χ(d)µ(d)

|d|log

qn

|d|+O(1).

�

Colocando juntos este resultado con el del Corolario 2.2, vemos que hemos demostrado


Lema 2.8. Sea χ un caracter no principal. Entonces, para n > 0

Aχ(n) = O(1) + log(qn)

{0, si L(χ) 6= 0

−1, si L(χ) = 0

Demostracion. Del Lema2.7 tenemos, para n > 0

Aχ(n) = L(χ)∑

deg f6n

χ(f)µ(f)

|f |log

qn

|f |+O(1) − log(qn).

Si L(χ) = 0, entoncesAχ(n) = O(1) + log(qn)(−1).

Por otro lado, del Corolario 2.2 tenemos, si L(χ) 6= 0

Aχ(n) = O(1) + log(qn)(0).

De esta forma concluimos la afirmacion del lema. �

Corolario 2.3 (No anulacion de L(χ) para χ no real). Si χ es un caracter que toma al menos un valorno real, L(χ) 6= 0.

Demostracion. Por Lema1.1, si f ≡ 1 mod m, entonces∑

χ χ(f) = ϕ(m). Ademas,

∑

χ

Aχ(n) = Aχo(n) +Aχ1 (n) + · · ·+Aχk−1

(n)

=∑

deg f6n

χo(f)Λ(f)

|f |+

∑

deg f6n

χ1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f6n

χk−1(f)Λ(f)

|f |,

pues G ∼= G, tomando o(G) = k. Por otra parte,(∑

χ

χ(f)

) ∑

f≡1 mod mdeg f6n

Λ(f)

|f |

=

(∑

χ

χ(f)

)[ ∑

deg f=0

Λ(f)

|f |+

∑

deg f=1

Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n

Λ(f)

|f |

]

=∑

deg f=0

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f) +∑

deg f=1

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f) + · · ·+∑

deg f=n

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f)

=∑

deg f=0

Λ(f)

|f |[χo(f) + χ1(f) + · · ·+ χk−1(f)]

+∑

deg f=1

Λ(f)

|f |[χo(f) + χ1(f) + · · ·+ χk−1(f)] + · · ·

+∑

deg f=n

Λ(f)

|f |[χo(f) + χ1(f) + · · ·+ χk−1(f)]

=∑

deg f=0

χo(f)Λ(f)

|f |+

∑

deg f=1

χo(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n

χo(f)Λ(f)

|f |

+∑

deg f=0

χ1(f)Λ(f)

|f |+

∑

deg f=1

χ1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n

χ1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·

2.3 Prueba del Teorema. 36

+∑

deg f=0

χk−1(f)Λ(f)

|f |+

∑

deg f=1

χk−1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n

χk−1(f)Λ(f)

|f |

=∑

deg f6n

χo(f)Λ(f)

|f |+

∑

deg f6n

χ1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f6n

χk−1(f)Λ(f)

|f |

=∑

χ

Aχ(n).

Entonces,

ϕ(m)∑

f≡1 mod mdeg f6n

Λ(f)

|f |=∑

χ

Aχ(n). (2.14)

Por otro lado, del Teorema 2.4 y del Lema 2.8, tenemos

∑

χ

Aχ(n) = Aχo(n) +Aχ1(n) + · · ·+Aχk−1

(n)

= log(qn) +O(1)− V log(qn) +O(1) + · · ·+O(1)︸︷︷︸k−1 veces

= (1− V ) log(qn) +O(1),

donde V es el numero de caracteres χ tales que L(χ) = 0, es decir, 1 6 V 6 k − 1.Note que log |π| = deg π log q > 0, pues log q > log 2 y deg π > 1. Entonces,

∑

f≡1 mod mdeg f6n

Λ(f)

|f |> 0.

Ya que el lado izquierdo de (2.14) es no negativo para todo n, debemos tener 1− V > 0 o V 6 1.Pero si L(χ1) = 0 para un caracter no real χ1, entonces 0 = L(χ1) = L(χ1). Ya que χ1 toma, al menos, unvalor no real, χ1 6= χ1 y, por tanto, V > 2 o V > 1, pues, al menos hay dos caracteres χ diferentes talesque L(χ) = 0, contradiciendo lo anterior. �

Puesto que por el Corolario 2.3 y el Teorema 2.3, L(χ) 6= 0 para cada χ no principal, el Corolario 2.2implica lo presagiado

Corolario 2.4. Si χ es un caracter no principal, Aχ(n) = O(1).

2.3. Prueba del Teorema.

Demostracion del Teorema 2.1. Por Lema1.1, Teorema 2.4, y Corolario 2.4, tenemos:

ϕ(m)∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |=

(∑

χ

χ(f)χ(a)

) ∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |.


Como G ∼= G, tomando o(G) = k, se tiene

(∑

χ

χ(f)χ(a)

) ∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |

=

(∑

χ

χ(f)χ(a)

)[ ∑

deg f=0

Λ(f)

|f |+

∑

deg f=1

Λ(f)

|f |+ · · ·+

∑

deg f=n

Λ(f)

|f |

]

=∑

deg f=0

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f)χ(a) +∑

deg f=1

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f)χ(a) + · · ·+∑

deg f=n

Λ(f)

|f |

∑

χ

χ(f)χ(a)

=∑

deg f=0

Λ(f)

|f |[χo(f)χo(a) + χ1(f)χ1(a) + · · ·+ χk−1(f)χk−1(a)]

+∑

deg f=1

Λ(f)

|f |[χo(f)χo(a) + χ1(f)χ1(a) + · · ·+ χk−1(f)χk−1(a)] + · · ·

+∑

deg f=n

Λ(f)

|f |[χo(f)χo(a) + χ1(f)χ1(a) + · · ·+ χk−1(f)χk−1(a)]

= χo(a)∑

deg f6n

χo(f)Λ(f)

|f |+ χ1(a)

∑

deg f6n

χ1(f)Λ(f)

|f |+ · · ·+ χk−1(f)

∑

deg f6n

χk−1(f)Λ(f)

|f |

= χo(a)Aχo(n) + χ1(a)Aχ1 (n) + · · ·+ χk−1(a)Aχk−1

(n)

=∑

χ

χ(a)Aχ(n).

Por otro lado,

∑

χ

χ(a)Aχ(n)

= χo(a)Aχo(n) + χ1(a)Aχ1 (n) + · · ·+ χk−1(a)Aχk−1

(n)

= χo(a) log(qn) + χo(a)O(1) + χ1(a)O(1) + · · ·+ χk−1(a)O(1)

= χo(a) log(qn) +O(1)

= log(qn) +O(1),

pues (a,m) = 1. Por lo tanto,

ϕ(m)∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |=∑

χ

χ(a)Aχ(n) = log(qn) +O(1).

Ahora, ∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |=

∑

k deg π6n

πk≡a mod m

log |π|

|π|k=

∑

degπ6nπ≡a mod m

log |π|

|π|+R(n),

donde

R(n) :=∑

2 degπ6nπ2≡a mod m

log |π|

|π|2+

∑

3 degπ6nπ3≡a mod m

log |π|

|π|3+ · · ·


Como

∑

deg f6n

Λ(f)

|f |=

∑

k deg π6n

log |π|

|π|k

=∑

deg π6n

log |π|

|π|+

∑

2 degπ6n

log |π|

|π|2+

∑

3 deg π6n

log |π|

|π|3+ · · ·

=∑

deg π6n

log |π|

|π|+R(n) +

∑

2 deg π6nπ2 6≡a mod m

log |π|

|π|2+

∑

3 deg π6nπ3 6≡a mod m

log |π|

|π|3+ · · ·

>∑

deg π6n

log |π|

|π|+R(n),

entonces ∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

deg π6n

log |π|

|π|> R(n) > 0.

Por consiguiente,

R(n) = O

( ∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

degπ6n

log |π|

|π|

).

Por tanto, como m 6= 0,

1

ϕ(m)log(qn) +O(1) =

1

ϕ(m)log(qn) +

1

ϕ(m)O(1)

=∑

deg f6nf≡a mod m

Λ(f)

|f |

=∑

degπ6nπ≡a mod m

log |π|

|π|+O

( ∑

deg f6n

Λ(f)

|f |−

∑

degπ6n

log |π|

|π|

)

=∑

degπ6nπ≡a mod m

log |π|

|π|+O(1),

por Lema 2.4. Reorganizando da el teorema. �

Capıtulo 3Teorema de Dirichlet en Fq[t] segunKornblum.

Dirichlet demostro el siguiente teorema para las progresiones aritmeticas de numeros enteros positivos:Si (a,m) = 1 con a, m enteros mayores o iguales que uno, entonces existe una cantidad infinita de numerosprimos p tales que p ≡ a mod m. En este capıtulo daremos una demostracion de su analogo en Fq[t], vease[5].

Teorema 3.1. Si a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1 y m 6= 0, entonces existe una cantidad infinita de polinomiosp ∈ P (q; t) tales que p ≡ a mod m.

3.1. Resultados Preliminares: Productos de Euler.

Proposicion 3.1. Sea R(an) > 0 para todo n > 0. Entonces, un producto infinito∏

n

(1+ an) de numeros

complejos converge (absolutamente) si, y solo si, la serie∑

n

an converge (absolutamente). En tal caso, la

serie∑

n

log(1 + an) converge a un logaritmo del producto.

Estaremos interesados en productos inducidos por el conjunto P (q; t). Estos productos son llamadosproductos de Euler.

Definicion 3.1. Sea s = σ+iγ un numero complejo. Si colocamos χ = χo en la ecuacion (2.9), obtenemosla funcion

ζ(s) =∑

f∈M(q;t)

1

|f |s(3.1)

llamada la serie o funcion zeta de Riemann asociada con M(q; t).

Proposicion 3.2. La funcion ζ(s) satisface las siguientes propiedades:

(i). La suma ζ(s) es absolutamente convergente para σ = R(s) > 1.

(ii). Para σ > 1, ζ(s) =

∞∑

d=0

1

qd(s−1).

3.1 Resultados Preliminares: Productos de Euler. 40

(iii). Para σ > 1, ζ(s) =1

1− 1/qs−1.

Demostracion.

( i). Tomemos σ = R(s) > 1. Como |f | = qk, donde k = deg f , y existen qk polinomios monicos degrado k, tenemos, para todo k = 0, 1, 2, · · · , lo siguiente

∣∣∣∣∣∑

f∈M(q;t)deg f=k

|f |−s

∣∣∣∣ 6∑

f∈M(q;t)deg f=k

||f |−s|

= q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

1

= q−kσqk

= qk(1−σ).

Luego,

∑

deg f6r

||f |−s| =

r∑

k=0

∑

f∈M(q;t)k=deg f

||f |−s|

=r∑

k=0

q−kσ∑

f∈M(q;t)deg f=k

1

=

r∑

k=0

qk(1−σ)

= 1 +r∑

k=1

qk(1−σ)

= 1 + q1−σ (qr(1−σ) − 1)

q1−σ − 1

=1− q(1−σ)(1+r)

1− q1−σ.

Por lo tanto, ∑

deg f6r

||f |−s| →1

1− q1−σ, cuando r → ∞,

pues σ > 1.

( ii). Como ζ(s) es absolutamente convergente, por (i), tenemos

ζ(s) =∑

f∈M(q;t)

1

|f |s=

1

|f |s+ · · ·+

1

|f |s︸︷︷︸deg f=0

+1

|f |s+ · · ·+

1

|f |s︸︷︷︸deg f=1

+ · · ·

= #(deg f)1

|f |s

∣∣∣∣deg f=0

+#(deg f)1

|f |s

∣∣∣∣deg f=1

+ · · ·

=

∞∑

deg f=0

#(deg f)

|f |s


=∞∑

d=0

#(d)

qds

=

∞∑

d=0

qd

qds

=∞∑

d=0

1

qd(s−1),

tomando deg f = d, y donde #(d) = qd es el numero de polinomios unitarios de grado d en Fq[t].Por lo tanto,

ζ(s) =∞∑

deg d=0

1

qd(s−1).

( iii). Por (i) y (ii), tenemos

ζ(s) =

∞∑

deg d=0

1

qd(s−1)= lım

n→∞

n∑

d=0

1

qd(s−1)

= lımn→∞

[1

q(n+1)(s−1) − 1

1qs−1 − 1

]

=1

1− 1qs−1

.

�

Teorema 3.2. Para cada σ > 1 se cumple

ζ(s) =∏

p∈P (q;t)

(1− |p|−s)−1.

Ademas, la convergencia del producto es absoluta.

Demostracion. Para probar que el producto converge absolutamente, notemos que

∏

p∈P (q;t)

(1− |p|−s)−1 =∏

p∈P (q;t)

1

1− 1|p|s

=∏

p∈P (q;t)

|p|s

|p|s − 1=

∏

p∈P (q;t)

(1 +

1

|p|s − 1

)

y, ademas, que la serie∑

p∈P (q;t)

1

|p|s − 1converge absolutamente. A saber,

∑

p∈P (q;t)

∣∣∣∣1

|p|s − 1

∣∣∣∣ =∑

p∈P (q;t)

1

||p|s − 1|6

∑

p∈P (q;t)

1

|p|σ − 1<∞,

ya que |p|σ − 1 = ||p|s| − 1 6 ||p|s − 1| y

lım|p|→∞

1|p|σ−1

1|p|σ

= lım|p|→∞

1

1− 1|p|σ

= 1,

donde la serie∑

p∈P (q;t)

1

|p|σes convergente para σ > 1.

Por otro lado, para cada p ∈ P (q; t) se cumple

1

1− 1|p|s

=

∞∑

k=0

1

|p|ks(3.2)


donde deg p > 1, y teniendo en cuenta que la serie es geometrica.Sea N ∈ N y sean p1, p2, · · · , pr ∈ P (q; t) tales que |pi| 6 N . Entonces, de (3.2) y por el teorema de lafactorizacion unica, tenemos

P (N) :=∏

|p|6N

1

1− 1|p|s

=∏

|p|6N

∞∑

k=0

1

|p|ks

=

∞∑

k=0

1

|p1|ks

∞∑

k=0

1

|p2|ks· · ·

∞∑

k=0

1

|pr|ks

=

(1 +

1

|p1|s+

1

|p1|2s+ · · ·

)(1 +

1

|p2|s+

1

|p2|2s+ · · ·

)· · ·

(1 +

1

|pr|s+

1

|pr|2s+ · · ·

)

=

(1 +

1

|p1|s+

1

|p21|s+ · · ·

)(1 +

1

|p2|s+

1

|p22|s+ · · ·

)· · ·

(1 +

1

|pr|s+

1

|p2r|s+ · · ·

)

=

∞∑

k1,k2,··· ,kr=0

1

|pk11 p

k22 · · · pkr

r |s

=∑

f∈A

1

|f |s,

donde A ⊂ M(q; t) es el conjunto de los f tales que todos sus factores primos tienen valor absoluto 6 N .Ademas, como

ζ(s) =∑

f∈A

1

|f |s+∑

f∈B

1

|f |s= P (N) + S(N) o ζ(s) − P (N) = S(N)

donde B ⊂ M(q; t) es el conjunto de los f tales que al menos uno de sus factores primos tiene valorabsoluto > N , entonces

|ζ(s)− P (N)| = |S(N)| 6∑

f∈B

1

|f |σ→ 0

cuando N → ∞, ya que,∑

f∈M(q;t)

1

|f |ses convergente. Por lo tanto,

ζ(s) =∏

p∈P (q;t)

(1− |p|−s)−1.

�

Proposicion 3.3. Sea χ un caracter modulo m(t). Entonces, para σ > 1,

L(s, χ) =∏

p∈P (q;t)

(1−

χ(p)

|p|s

)−1

.

En particular,

L(s, χo) = ζ(s)∏

p∈P (q;t)p|m

(1−

1

|p|s

).


Demostracion. Para probar que el producto converge absolutamente, es suficiente probar que la serie∑

p∈P (q;t)

χ(p)

|p|s − χ(p)converge absolutamente. A saber,

∑

p∈P (q;t)

∣∣∣∣χ(p)

|p|s − χ(p)

∣∣∣∣ 6∑

p∈P (q;t)

1

||p|s − χ(p)|6

∑

p∈P (q;t)

1

|p|σ − 1<∞,

ya que |p|σ − 1 6 ||p|s| − |χ(p)| 6 ||p|s − χ(p)| y

lım|p|→∞

1|p|σ−1

1|p|σ

= lım|p|→∞

1

1− 1|p|σ

= 1,

donde la serie∑

p∈P (q;t)

1

|p|σes convergente para σ > 1.

Por otro lado, para cada p ∈ P (q; t), con deg p > 0, se cumple

1

1− χ(p)|p|s

=

∞∑

k=0

χ(pk)

|p|ks(3.3)

ya que,

∣∣∣∣χ(p)

|p|s

∣∣∣∣ < 1 y χ es completamente multiplicativa.

Sea N ∈ N y sean p1, p2, · · · , pr ∈ P (q; t) tales que |pi| 6 N . Entonces, de (3.3), y por el teorema de lafactorizacion unica, tenemos

P (N) :=∏

|p|6N

1

1− χ(p)|p|s

=∏

|p|6N

∞∑

k=0

χ(pk)

|p|ks

=

∞∑

k=0

χ(pk1)

|p1|ks

∞∑

k=0

χ(pk2)

|p2|ks· · ·

∞∑

k=0

χ(pkr )

|pr|ks

=

(1 +

χ(p1)

|p1|s+χ(p21)

|p21|s+ · · ·

)(1 +

χ(p2)

|p2|s+χ(p22)

|p22|s+ · · ·

)· · ·

(1 +

χ(pr)

|pr|s+χ(p2r)

|p2r |s+ · · ·

)

=∞∑

k1,k2,··· ,kr=0

χ(pk11 p

k22 · · · pkr

r )

|pk11 p

k22 · · · pkr

r |s

=∑

f∈A

χ(f)

|f |s,

donde A ⊂ M(q; t) es el conjunto de los f tales que todos sus factores primos tienen valor absoluto 6 N .Ademas, como

L(s, χ)− P (N) =∑

f∈B

χ(f)

|f |s

donde B ⊂ M(q; t) es el conjunto de los f tales que al menos uno de sus factores primos tiene valorabsoluto > N , entonces

|L(s, χ)− P (N)| 6∑

f∈B

1

|f |σ→ 0


cuando N → ∞, ya que,∑

f∈M(q;t)

1

|f |ses convergente. Por lo tanto,

L(s, χ) =∏

p∈P (q;t)

(1−

χ(p)

|p|s

)−1

.

Por otro lado, notemos que

L(s, χo) =∏

p∈P (q;t)

(1− χo(p)|p|−s)−1

=∏

p∈P (q;t)(p,m)=1

(1− χo(p)|p|−s)−1

∏

p∈P (q;t)(p,m) 6=1

(1− χo(p)|p|−s)−1

=∏

p∈P (q;t)(p,m)=1

(1− |p|−s)−1

=∏

p∈P (q;t)p∤m

(1− |p|−s)−1.

Ademas,

∏

p∈P (q;t)

(1− |p|−s)−1∏

p∈P (q;t)p|m

(1− |p|−s)

=∏

p∈P (q;t)p∤m

(1 − |p|−s)−1∏

p∈P (q;t)p|m

(1− |p|−s)−1∏

p∈P (q;t)p|m

(1− |p|−s)

=∏

p∈P (q;t)p∤m

(1 − |p|−s)−1.

Entonces, del Teorema 3.2, se tiene

L(s, χo) =∏

p∈P (q;t)

(1 − |p|−s)−1∏

p∈P (q;t)p|m

(1− |p|−s)

= ζ(s)∏

p∈P (q;t)p|m

(1− |p|−s).

�

Corolario 3.1. Si χ es un caracter modulo m(t), entonces, para σ > 1, tenemos

L(s, χ) = exp

{∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk)

k|p|ks

}.

Demostracion. Como L(s, χ) es analıtica para σ > 1, entonces, de la Proposicion 3.3, tenemos

logL(s, χ) = log∏

p∈P (q;t)

(1−

χ(p)

|p|s

)−1

= −∑

p∈P (q;t)

log(1− χ(p)|p|−s).


Como ∣∣∣∣−χ(p)

|p|s

∣∣∣∣ =|χ(p)|

|p|σ6

1

|p|σ< 1,

pues, |p|σ = qσ deg p > 2σ deg p > 2deg p > 1, entonces, usando el desarrollo de Taylor

log(1 + x) =

∞∑

k=1

(−1)k−1xk

k, para |x| < 1,

obtenemos,

log(1− χ(p)|p|−s) = log[1 + (−χ(p)|p|−s)]

=

∞∑

k=1

(−1)k−1

k

(−χ(p)

|p|s

)k

=

∞∑

k=1

(−1)k−1(−1)k

k

(χ(p))k

|p|ks

= −

∞∑

k=1

χ(pk)

k|p|ks,

pues χ es completamente multiplicativa. Por lo tanto,

logL(s, χ) =∑

p∈P (q;t)

∞∑

k=1

χ(pk)

k|p|ks

=

∞∑

k=1

χ(pk1)

k|p1|ks+

∞∑

k=1

χ(pk2)

k|p2|ks+ · · ·

=

(χ(p1)

|p1|s+

χ(p21)

2|p1|2s+ · · ·

)+

(χ(p2)

|p2|s+

χ(p22)

2|p2|2s+ · · ·

)+ · · ·

=

(χ(p1)

|p1|s+χ(p2)

|p2|s+ · · ·

)+

(χ(p21)

2|p1|2s+

χ(p22)

2|p2|2s+ · · ·

)+ · · ·

=∑

p∈P (q;t)

χ(p)

|p|s+

∑

p∈P (q;t)

χ(p2)

2|p|2s+ · · ·

=

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk)

k|p|ks.

De esta forma se concluye la afirmacion. �

Corolario 3.2. El caracter principal χo cumple las siguientes propiedades:

(i). lıms→1+

(s− 1)L(s, χo) =a(m)

log q, donde a(m) ∈ C es una constante.

(ii). lıms→1+

L′(s, χo)

L(s, χo)= ∞.

Demostracion.

( i). Puesto que ζ(s) = (1− q1−s)−1 cuando σ > 1, entonces, aplicando l’Hopital, tenemos

lıms→1+

(s− 1)ζ(s) = lıms→1+

s− 1

1− q1−s= lım

s→1+

1

q1−s log q=

1

log q.


Ademas,

lıms→1+

∏

p|m

(1−

1

|p|s

)=∏

p|m

(1−

1

|p|

)=: a(m) ∈ C.

Por consiguiente, de la Proposicion 3.3, se concluye que

lıms→1+

(s− 1)L(s, χo) = lıms→1+

(s− 1)ζ(s) lıms→1+

∏

p|m

(1−

1

|p|s

)

=1

log qa(m)

=a(m)

log q.

( ii). Aplicando la derivada de un producto a la igualdad L(s, χo) = ζ(s)∏

p|m

(1−

1

|p|s

), llegamos a

L′(s, χo) = ζ′(s)∏

p|m

(1− |p|−s) + ζ(s)

(∏

p|m

(1− |p|−s)

)′

.

Entonces,

lıms→1+

L′(s, χo)

L(s, χo)= lım

s→1+

[ζ′(s)

ζ(s)+

(∏p|m(1 − |p|−s)

)′∏

p|m(1− |p|−s)

]

= lıms→1+

ζ′(s)

ζ(s)+a′(m)

a(m).

Comoζ′(s)

ζ(s)=

(q1−s log q)/(1− q1−s)2

(1− q1−s)−1=q1−s log q

1− q1−s,

la cual tiende a ∞ cuando s→ 1+, se verifica ası la afirmacion.

�

3.2. Prueba del Teorema.

Demostracion del Teorema 3.1. Del Corolario 3.1 tenemos

logL(s, χ) =

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk)

k|p|ks,

pues L(s, χ) 6= 0 para cualquier caracter χ, y R(s) = σ > 1. Al tomar la derivada logarıtmica de L(s, χ)para σ > 1, tenemos

d

dslogL(s, χ) =

d

ds

(∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk)

k|p|ks

)

=

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

d

ds

(χ(pk)

k|p|ks

)


=∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

(−χ(pk) log |p|

|p|ks

)

= −

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk) log |p|

|p|ks.

Entonces,

L′(s, χ)

L(s, χ)= −

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk) log |p|

|p|ks. (3.4)

Si multiplicamos ambos miembros de (3.4) por χ(a) y sumamos sobre todos los χ, obtenemos

−∑

χ

χ(a)L′(s, χ)

L(s, χ)=∑

χ

χ(a)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk) log |p|

|p|ks.

Ademas, si o(G) = r, entonces

∑

χ

χ(a)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ(pk) log |p|

|p|ks

= χ0(a)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χo(pk) log |p|

|p|ks+ χ1(a)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χ1(pk) log |p|

|p|ks+ · · ·

+ χr−1(a)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

χr−1(pk) log |p|

|p|ks

= χ0(a)

[ ∑

p∈P (q;t)

χo(p) log |p|

|p|s+

∑

p∈P (q;t)

χo(p2) log |p|

|p|2s+ · · ·

]

+ χ1(a)

[ ∑

p∈P (q;t)

χ1(p) log |p|

|p|s+

∑

p∈P (q;t)

χ1(p2) log |p|

|p|2s+ · · ·

]+ · · ·

+ χr−1(a)

[ ∑

p∈P (q;t)

χr−1(p) log |p|

|p|s+

∑

p∈P (q;t)

χr−1(p2) log |p|

|p|2s+ · · ·

]

= χ0(a)

[(χo(p1) log |p1|

|p1|s+χo(p2) log |p2|

|p2|s+ · · ·

)

+

(χo(p

21) log |p1|

|p1|2s+χo(p

22) log |p2|

|p2|2s+ · · ·

)+ · · ·

]

+ χ1(a)

[(χ1(p1) log |p1|

|p1|s+χ1(p2) log |p2|

|p2|s+ · · ·

)

+

(χ1(p

21) log |p1|

|p1|2s+χ1(p

22) log |p2|

|p2|2s+ · · ·

)+ · · ·

]+ · · ·

+ χr−1(a)

[(χr−1(p1) log |p1|

|p1|s+χr−1(p2) log |p2|

|p2|s+ · · ·

)

+

(χr−1(p

21) log |p1|

|p1|2s+χr−1(p

22) log |p2|

|p2|2s+ · · ·

)+ · · ·

]


=

[log |p1|

|p1|s(χ0(a)χ0(p1) + χ1(a)χ1(p1) + · · ·+ χr−1(a)χr(p1)

)

+log |p2|

|p2|s(χ0(a)χ0(p2) + χ1(a)χ1(p2) + · · ·+ χr−1(a)χr−1(p2)

)+ · · ·

]

+

[log |p1|

|p1|2s(χ0(a)χ0(p

21) + χ1(a)χ1(p

21) + · · ·+ χr−1(a)χr(p

21))

+log |p2|

|p2|2s(χ0(a)χ0(p

22) + χ1(a)χ1(p

22) + · · ·+ χr−1(a)χr−1(p

22))+ · · ·

]+ · · ·

=

(log |p1|

|p1|s

∑

χ

χ(a)χ(p1) +log |p2|

|p2|s

∑

χ

χ(a)χ(p2) + · · ·

)

+

(log |p1|

|p1|2s

∑

χ

χ(a)χ(p21) +log |p2|

|p2|2s

∑

χ

χ(a)χ(p22) + · · ·

)+ · · ·

=∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|s

∑

χ

χ(a)χ(p) +∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|2s

∑

χ

χ(a)χ(p2) + · · ·

=∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|ks

∑

χ

χ(a)χ(pk).

Ası,

−∑

χ

χ(a)L′(s, χ)

L(s, χ)=

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|ks

∑

χ

χ(a)χ(pk),

de donde, usando el Lema1.1,

−∑

χ

χ(a)L′(s, χ)

L(s, χ)= ϕ(m)

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks. (3.5)

Como L(1, χ) 6= 0 para todo χ 6= χo (por Corolario 2.3 y Teorema 2.3), usando el Corolario 3.2, parte ( ii),y teniendo en cuenta que L(s, χo) 6= 0, vemos que el lado izquierdo de (3.5) tiende a ∞ cuando s→ 1+, esdecir,

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks→ ∞ si s→ 1+. (3.6)

Como s > 1, |p|ks > |p|k, para k > 2, por consiguiente1

|p|k>

1

|p|ks, para k > 2. Por lo tanto,

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks<

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|k.

Por otro lado,

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|k=

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|k+

∑

p∈P (q;t)

pk 6≡a mod m

log |p|

|p|k>

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|k.


Es decir,∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks<

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|k.

Entonces,

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks<

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|k

=∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|2+

∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|3+ · · ·

=

(log |p1|

|p1|2+

log |p2|

|p2|2+ · · ·

)+

(log |p1|

|p1|3+

log |p2|

|p2|3+ · · ·

)+ · · ·

=

(log |p1|

|p1|2+

log |p1|

|p1|3+ · · ·

)+

(log |p2|

|p2|2+

log |p2|

|p2|3+ · · ·

)+ · · ·

= log |p1|

∞∑

k=2

1

|p1|k+ log |p2|

∞∑

k=2

1

|p2|k+ · · ·

=∑

p∈P (q;t)

log |p|∞∑

k=2

1

|p|k

=∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|(|p| − 1),

ya que,

1

|p|+

∞∑

k=2

1

|p|k=

∞∑

k=1

1

|p|k= lım

n→∞

n∑

k=1

1

|p|k

= lımn→∞

1|p|

(1− 1

|p|n

)

1− 1|p|

=

1|p|

1− 1|p|

=1

|p| − 1,

o∞∑

k=2

1

|p|k=

1

|p| − 1−

1

|p|=

1

|p|(|p| − 1).

De (3.6), de la igualdad

∞∑

k=1

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks=

∑


log |p|

|p|s+

∞∑

k=2

∑

p∈P (q;t)

pk≡a mod m

log |p|

|p|ks,

y como la serie a la derecha de la desigualdad probada anteriormente es absolutamente convergente, usandola serie ∑

p∈P (q;t)

log |p|

|p|2


que es convergente por el criterio de la integral, entonces, por fuerza,

∑


log |p|

|p|s→ ∞ cuando s→ 1+,

lo cual indica que el numero de elementos p ∈ P (q; t) que cumplen p ≡ a mod m es infinito. �

Bibliografıa

[1] Vıctor S. Albis, Lecciones sobre la Aritmetica de Polinomios, Policopiado, Universidad Nacional deColombia, 2002.

[2] Paul Pollack, An Elementary Proof of Dirichlet’s Theorem in the Polynomial Setting, Preimpreso.

[3] Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, New York,1998.

[4] Kenneth Ireland and Michel Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, New York, 1991.

[5] Heinrich Kornblum, Uber Die Primfunktionen in Einer Arithmetischen Progression, MathematischeZeitschrift, 1919.

[6] Michael Rosen, Number Theory in Function Fields, Springer-Verlag, New York, New York, 2002.

[7] Harold N. Shapiro, On Primes in Arithmetic Progression, II, Annals of Mathematics, 1950.

[8] Dirichlet, P. G. Lejeune (1837) Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression,deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschlaftichen Factor sind, unendliche vielePrimzahlen enthglt. Abhand. Ak. Wiss. Berlin: 45-81. [Werke, 1: 315-342].

[9] Carlos Ivorra Castillo, Teorıa de Numeros, se encuentra en la paginahttp://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf

[10] Ramanujachary Kumandury, Cristina Romero, Number Theory With Computer Applications, PrenticeHall, 1998.

[11] Thomas W. Hungerford, Abstract Algebra An Introduction, Saunders College Publishing, 1996.

[12] I. N. Herstein, Topics in Algebra, New York, Blaisdell 1964.

[13] J. Rotman, Advanced Algebra, Second Printing, Prentice Hall, 2003.

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