INS ERNEST LLUCH I MARTIDepartament de Matemàtiques

DOSSIER D'ESTIU MATEMÀTIQUES. PREPARACIÓ BATXILLERAT.

TREBALL D’ESTIU

El treball d’estiu que proposa el departament de Matemàtiques està pensat per consolidar les destreses bàsiques que es necessiten per tal d’afrontar amb èxit els primers temes de matemàtiques i de matemàtiques aplicades a les ciències socials de primer de batxillerat.

El primer dia de classe s’han de presentar els exercicis següents. Els lliuraràs al professor, que els corregirà i qualificarà amb una nota que comptarà per a la nota de la primera avaluació.

NOMBRES

1.

2.

2. Una pastilla conté un 20% d’aspirina, un 40% de vitamina C i la resta és excipient. Si pesa 2,5 grams, quants mil·ligrams conté cada component?

3. Es venen el 2/3 d’una peça de roba i després, la meitat del que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina fracció en queda encara per vendre?

4. Les accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5% dilluns i un 4,8% dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa costava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de 10000€?.

5. Calcula:

6. Expressa en forma d'una sola potència:

7. Simplifica al màxim:

8. Escriu com una única potència:

9. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:

10. Justifica aquestes igualtats:

1232 =·a)

b )12

· √ 3=√ 34

c ) 5 · √ 2=√ 50

d )a2 · n√ a=n√ a( 2n+ 1 )

11. Racionalitza:

12.

13. Calcula i expressa el resultat de la forma més simple possible sense decimals:

14. Fes les següents operacions, racionalitzant primer els denominadors:

EQUACIONS I POLINOMIS

15.

16. Resol les equacions següents:

17. Factoritza els següents polinomis, tenint en compte que si es tracta d'una equació de 4t

grau has de fer el canvi x2 =t

:

18. Troba la solució d’aquestes equacions, tenint en compte que per treure l'arrel quadrada has de aïllar-la i elevar-la al quadrat :

19. Troba la solució dels següents sistemes:

20. Calcula, utilitzant les identitats notables:

21. Determina el valor de k per tal que la divisió (x3 – 3x2 + 5x + k) : (x + 3) sigui exacta.

22. Troba el residu de la divisió

(x9 + 1) : (x + 1)

Pots obtenir-lo sense fer la divisió

23. Comprova que p(x) = x3 – 3x2 - 6x + 8 és divisible per x + 2. Expressa el polinomi p(x) com a producte de dos polinomis.

24. Troba el valor de k perquè el polinomi

x4 + k

sigui divisible per x + 1.

25. Factoritza aquests polinomis:

26. Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització:

27. Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i -1/3 i el coeficient de segon grau és 6. Quin és aquest polinomi?

28.Simplifica aquestes fraccions algebraiques, factoritzant primer cada un dels polinomis:

29. Resol les equacions següents:

30. Resol els següents sistemes, utilitzant el mètode que vulguis:

a)

b)

c)

d)

e)

31. Sabent que sin α =

23 , troba x i y:

32. Troba βcos i cosα

en el triangle rectangle de la figura:

33. Un individu observa amb un angle de 38 º la cornisa d'un edifici, a una distància de 56 metres.

34.Calculeu l'alçada d'una torre si des d'un punt situat a 50 metres del seu peu, l'angle d'elevació del punt més alt de la torre és de 70º.

35. Des d’un punt de terra veiem que el cim

d’una torre forma un angle de 30º amb la línia horitzontal. Si ens apropem 75 m cap al peu de la torre, aquest angle es fa de 60º. Busqueu l’altura de la torre.

36. Un observador veu un edifici amb galeries comercials i pisos sota un angle de 30º, Si mira cap al penúltim balcó aquest angle es fa de 25º. Sabent que la distància entre el penúltim balcó i la part més alta de l’edifici és de 10 m. Calculeu:

a) l’altura de l’edifici b) la distància de l’observador a l’edifici

37. Un bus baixa al fons d’un llac per recollir un objecte seguint la trajectòria rectilínia d’inclinació 30º. Compleix el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del mateix pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d’inclinació 35º. Si la distància en la

superfície entre el punt d’entrada i el de sortida és de 100 m, esbrina la profunditat del llac.

VECTORS I RECTES AL PLA

38. Indica les components dels vectors dibuixats al pla. Has de determinar el desplaçament horitzontal i vertical que cal fer per passar del punt origen al punt extrem.

39. Troba les coordenades del punt B sabent que el vector A⃗B té com a components A⃗B = (3, -2) , i que el punt origen és A = (5, 6).

40. Fes les operacions indicades amb els vectors següents :

41. Fes les operacions indicades amb els vectors donats:

42. Dóna les components dels vectors dibuixats i calcula els seus mòduls:

43. Quant ha de valer la segona component n del vector u⃗ = ( 2, n), perquè tingui la mateixa direcció w⃗ = (1, -3).

44. Tenen la mateixa direcció els vectors de components ( -4, -3) i ( 12, 9) ? Tenen el mateix sentit?

45. Indica per a cada recta el pendent i les coordenades d’un punt:

46. Indica a quines rectes pertany el punt B = (-2, 5)

47. L’equació vectorial d’una recta és:

(x,y) = ( 3, 4 ) + k·(2, 5)

Expressa-la en l'equació explícita.

48. Troba dos punts de cada recta:

49. Escriu l'equació explícita de cada una de

les rectes:

50. Escriu en cada cas un vector director de la recta:

51.Observa aquest plànol de Barcelona:

a) Considerant els carrers com a rectes, dóna el nom de dos carrers que siguin paral·lels, dos que siguin secants no perpendicular, i dos que siguin perpendiculars.

b) Hi pot haver dos carrers coincidents?

52. Troba la posició relativa de les rectes següents:

FUNCIONS

53. A partir de la gràfica de la següent funció:

Determina:

a. Dom f

b. Imatges: f(0), f(5), f(-2)

c. Antiimatges: f −1 ( 2 ) ,f −1( 0 )

d. Quin és el punt o puts on s'assoleix el valor màxim.

e. En quin interval la funció és creixent.

d. En quins punts la funció NO és contínua.

54.Estudia les funcions següents( taula de valors, representació gràfica, domini, recorregut, creixement i decreixement, màxims i mínims, punts de tall amb els eixos ). Utilitza la calculadora wiris per verificar les teves gràfiques.

55. Calcula el domini de les següents funcions:

56. Considerem una funció que té aquesta gràfica:

a) Indica els intervals de creixement i decreixement.

b) Quin augment de valors de la variable independent es produeix de x=-11 a x = -5 ?

57. La taula recull els intervals de creixement

i decreixement d'una funció. Fes un esbòs de la seva gràfica.

58. La gràfica mostra l'evolució de la temperatura mitjana actual:

a) Perquè hi ha quatre dínies de diferents colors ?

b) quins anys la temperatura mitjana anual de l'aigua a la superfície va ser de 17º o superior?

c) Quina va ser la temperatura mitjana a 20 m de profunditat l'any 1974 ? i l'any 2001 ?

d) Quina any la temperatura mitjana de l'aigua a 50 m de profunditat va ser màxima ? I mínima ?

e) Com varia la temperatura en augmentar la profunditat ?

f) Quina any creus que la temperatura mitjana de l'aigua del mar en conjunt ha estat superior ?

59. En un dossier d'arquitectura trobem la següent gràfica:

a) Quina és la variable independent de la funció representada ?

b) Quina és la variable dependent ?

c) Quina és la resistència del formigó als tres dies d'haver-se fargat ?

d) Quina setmana s'assoleix una resistència de 30 N per mil·límetre quadrat ?

e) En quin període augmenta més ràpidament la resistència del formigó ?

ESTADÍSTICA

60. Un equip de bàsquet ha anotat en 20 partits els punts següents: 80, 101, 92, 80, 110, 83, 101, 75, 80, 107, 75, 85, 80, 110, 101, 92, 85, 110, 85, 80. Construeix la taula de freqüències corresponent.

61. S’ha preguntat als 24 alumnes d’una classe el nombre de vegades que han anat al cinema durant el darrer mes. Les respostes han estat: 2, 0, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 0, 2, 4, 0, 5, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 2. Elabora la taula de freqüències corresponent.

62. En una enquesta feta a 300 persones es demanava si se seguia amb freqüència un conegut programa de TV3. La freqüència relativa de la resposta sí va ser 0,36. Quantes persones entrevistades van contestar sí?

63. El nombre de faltes d’ortografia comeses per 40 alumnes de 1r de Batxillerat en un dictat es mosta en la taula següent: Faltes 0

1 2 3 4 5 6

Alumnes

7

9 13 6 3 1 1

Calcula la moda, la mitjana aritmètica i la mediana

64. En la taula següent hi apareix el pes (en grams) de 100 comprimits d’un determinat medicament.

Pes (g) Nombre de vegades

[4,45, 4,55) [4,55, 4,65) [4,65, 4,75) [4,75, 4,85) [4,85, 4,95) [4,95, 5,05) [5,05, 5,15) [5,15, 5,25) [5,25, 5,35)

1 2 10 21 33 18 9 4 2

a) Construeix l’histograma i el polígon de freqüències. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació estàndard. c) Calcula el primer i el tercer quartils i el percentil 15 d) Quin percentatge de comprimits pesa menys de 4,87 g?

65. Aquestes són les temperatures mínimes i màximes mitjanes obtingudes en 40 estacions meteorològiques repartides per tot Catalunya al llarg de l’any 2005

a) Calcula la mitjana de les màximes i la mitjana de les mínimes b) Calcula la desviació típica de les màximes i de les mínimes.