DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT -...

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Capıtulo 7

Dinamica de fluidos

7.1. Introduccion

En el estudio de la mecanica de los sistemas de puntos materiales la aten-cion de centra en las partıculas individuales que constituyen el sistema, cuyomovimiento se observa como una funcion del tiempo. Su posicion, ~r(t), ve-locidad, ~v(t), y aceleracion, ~a(t), son las magnitudes de interes que deben sercalculadas. En el estudio de la dinamica de los fluidos este enfoque es a menudoimpracticable, pues la descripcion de la mayorıa de los flujos de interes practi-co requerirıa considerar un numero extremadamente grande de partıculas defluido.

Una descripcion alternativa consiste en considerar puntos fijos del espacioy registrar la velocidad de las partıculas que pasan por dichos puntos. La ve-locidad del fluido se describira ası mediante un campo vectorial, conocido comocampo de velocidades, que asigna a cada punto del espacio (x, y, z) y a cadainstante de tiempo t un vector velocidad,

~v = ~v(x, y, z, t). (7.1)

En un punto dado, la velocidad del fluido cambiara, en general, de un instantede tiempo a otro. El ritmo de cambio de la velocidad del fluido en el tiempoviene dado por ∂~v/∂t. Ademas, si en un instante de tiempo dado comparamosla velocidad que tiene el fluido en puntos diferentes, esta no sera en general lamisma. El ritmo de cambio de la velocidad del fluido cuando nos desplazamossegun los ejes coordenados esta dado por ∂~v/∂x, ∂~v/∂y, ∂~v/∂z.

7.2. Clasificacion de los flujos

Existen muchas formas distintas de clasificar los flujos, i. e., el movimientode los fluidos, segun se atienda a un aspecto u otro del mismo. Presentamosseguidamente algunas de las clasificaciones mas frecuentes:

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190 Dinamica de fluidos

Flujos estacionarios y no estacionarios. Un flujo se dice estacionario cuan-do las magnitudes de interes, tales como la presion, velocidad y densidad, nodependen del tiempo, esto es

~v = ~v(x, y, z), p = p(x, y, z), ρ = ρ(x, y, z). (7.2)

Por el contrario, cuando alguna de las magnitudes de interes y, en particu-lar, el campo de velocidades, dependen del tiempo, el flujo se denomina no

estacionario o variable. En este capıtulo, nuestra atencion se centrara prefer-entemente en los flujos estacionarios.

Flujos uniformes y no uniformes. De forma analoga, un flujo se dice uniforme

cuando las magnitudes de interes no cambian de un punto a otro en el fluido,siendo estas funcion del tiempo exclusivamente,

~v = ~v(t), p = p(t), ρ = ρ(t). (7.3)

Cuando tal circunstancia no se cumple, el flujo sera no uniforme.

Flujos viscosos y no viscosos. Un flujo no viscoso es aquel en el que los efectosde la viscosidad no afectan de forma significativa al flujo y, por tanto, puedenser ignorados. En un flujo viscoso, por el contrario, los efectos de la viscosidadson determinantes en el flujo.

Matematicamente, el modelo de fluido no viscoso se obtiene haciendo cerola viscosidad, con lo que los efectos viscosos desaparecen. Sin embargo, talrequisito no se cumple en la practica pues todos los fluidos de interes, tales comoel agua o el aire, poseen cierta viscosidad. La cuestion que entonces se planteaes: ¿existen flujos en los que los efectos de la viscosidad sean despreciables? Larespuesta es sı, siempre que los esfuerzos cortantes en el fluido sean pequenosy actuen sobre areas reducidas, de forma que no afecten de forma importanteal flujo del fluido. Evidentemente, esta afirmacion es muy general y se requiereun analisis mas profundo para justificar la suposicion de flujo no viscoso.

Sin embargo, de acuerdo con la experiencia, existe una clase primaria deflujos que pueden ser modelados como fluidos no viscosos: los flujos externos, esdecir, los flujos que tienen lugar en el exterior o alrededor de un cuerpo, comopor ejemplo el flujo del aire alrededor del ala de un avion o de un edificio. Losefectos viscosos que pudieran existir estan confinados dentro de una capa muydelgada, denominada capa lımite viscosa, que se encuentra adherida a la pareddel cuerpo (fig. 7.1). Para muchos flujos, la capa lımite es tan delgada que puedesimplemente ignorarse cuando se estudian las caracterısticas generales del flujo.Ası, para el caso ya mencionado del flujo del aire alrededor de un ala, el modelode fluido no viscoso proporciona excelentes predicciones, exceptuando quizaslas proximidades del borde de fuga del ala.

En el lımite opuesto de flujos viscosos podemos citar los denominados flujos

internos, tales como los flujos en tuberıas y conductos. En estos flujos, losefectos viscosos causan perdidas de presion muy importantes que explican laenorme cantidad de energıa que debe usarse para transportar agua, petroleo ogas a traves de las redes de tuberıas.

Flujos laminares y turbulentos. Los flujos viscosos pueden ser a su vez dividi-dos en flujos laminares y flujos turbulentos. En un flujo laminar, el fluido fluye

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7.2 Clasificacion de los flujos 191

FIGURA 7.1: Flujo alrededor de unala.

sin que exista una mezcla significativa entre partıculas de fluido vecinas. Si seinyectara tinta en el fluido, esta solo se mezclarıa con el fluido circundante porla accion de la difusion molecular, por lo que retendrıa su identidad durante unperıodo largo de tiempo. Los esfuerzos cortantes viscosos son determinantes enel flujo laminar.

En un flujo turbulento, los movimientos del fluido varıan irregularmente,de forma que magnitudes tales como la velocidad y la presion presentan unavariacion azarosa con el tiempo y las coordenadas espaciales. Por ello, las mag-nitudes fısicas son frecuentemente descritas mediante su promedio estadıstico.En este sentido podemos definir un flujo estacionario turbulento como aquelen el que las magnitudes fısicas promediadas temporalmente no cambian en eltiempo (fig. 7.2). Al contrario que en el flujo laminar, si se inyectara tinta en unflujo turbulento, esta se mezclarıa inmediatamente por la accion del movimien-to azaroso de las partıculas de fluido, perdiendo muy rapidamente su identidaden este proceso de mezcla.

El motivo por el cual un flujo es laminar o turbulento debe buscarse en laestabilidad del flujo frente a pequenas perturbaciones. Si las perturbaciones dela velocidad, presion, etc., crecen en el tiempo, el flujo original es inestable ypuede cambiar a un flujo turbulento o bien a otro flujo laminar con caracterısti-cas diferentes al de partida.

FIGURA 7.2: Velocidad como funciondel tiempo en un flujo turbulento: (a)flujo no estacionario, (b) flujo “esta-cionario”.

El que el flujo sea laminar o turbulento depende de cuatro parametros fısicosque describen las condiciones de flujo. El primer parametro es una longitudcaracterıstica, L, como por ejemplo el diametro de la tuberıa por la que circulael fluido. El segundo parametro es una velocidad caracterıstica del flujo, U ,como por ejemplo el promedio espacio-temporal de la velocidad del fluido enuna seccion de la tuberıa. Los dos restantes parametros son la densidad delfluido, ρ, y su viscosidad dinamica, η. Estos cuatro parametros se combinan enun unico parametro adimensional que se denomina numero de Reynolds, y quese define como

Re =LUρ

η. (7.4)

Cuando el numero de Reynolds es relativamente pequeno el flujo es laminary, por el contrario, a elevados numeros de Reynolds el flujo se vuelve turbu-lento. Por tanto, valores elevados de L, U y ρ favorecen la existencia de flujoturbulento, mientras que valores elevados de η favorecen el flujo laminar. Latransicion de flujo laminar a turbulento define un numero crıtico de Reynolds,Recrit, de forma que el flujo es laminar si Re < Recrit. Por ejemplo, para elflujo en el interior de una tuberıa rugosa de seccion circular se encuentra que

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FIGURA 7.3: Perfiles de velocidadpara flujos en conductos.

Recrit ≈ 2000 1.Osborne Reynolds [Belfast, 1842;Watchet (Somerset), 1912]: Hi-zo sus mayores contribuciones endinamica de fluidos: estudio latransicion entre el regimen laminary el turbulento, formulo una teorıade la lubricacion, y desarrollo unmodelo teorico del flujo turbulentoque se ha convertido en standarden el estudio de turbulencias.

En el regimen turbulento, las fluctuaciones de la velocidad son causa deintercambio de cantidad de movimiento entre regiones contiguas del fluido, porlo que tienen un efecto similar, aunque de magnitud diferente, a los esfuerzoscortantes viscosos. Estos “esfuerzos cortantes” de naturaleza turbulenta recibenel nombre de esfuerzos de Reynolds y dominan completamente a los correspon-dientes esfuerzos viscosos en la mayor parte del fluido, excepto en las regionesmuy proximas a la pared donde se encuentra la capa lımite viscosa y el flujoes laminar. El espesor de esta capa lımite depende fuertemente del numero deReynolds, disminuyendo a medida que este crece. Debido a los esfuerzos deReynolds, el perfil de velocidades de los flujos turbulentos es siempre muchomas uniforme que los correspondiente a los flujos laminares (fig. 7.3).

7.3. Caudal o gasto

Se define el caudal, gasto volumetrico o, simplemente, gasto, como el volu-men de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo.

Consideremos un elemento de superficie infinitesimal, da, en el que la veloci-dad del fluido forma un angulo θ con el vector unitario normal ~n al elementode superficie (fig. 7.4). Al cabo de un tiempo dt, el volumen de fluido dVque haya atravesado da estara contenido en un cilindro de base da y alturadh = |~v|dt cos θ,

dV = da dh

= da|~v|dt cos θ

= ~v · ~n dadt. (7.5)

Por tanto, de acuerdo con la definicion de gasto, el gasto elemental a traves deda sera

| |dv t

dhv

n θ

da

FIGURA 7.4: Elemento de superficiepara evaluar el gasto.

1Si la tuberıa es muy lisa, el numero crıtico de Reynolds crece, ya que la magnitud de las

perturbaciones en el flujo decrecen. En condiciones muy controladas, se han medido numeros

crıticos de Reynolds por encima de 40000.

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7.4 Ecuaciones basicas 193

dG =dV

dt= ~v · ~nda. (7.6)

El gasto a traves de una superficie A de dimensiones finitas se obtiene comosuma de los gastos elementales,

G =

∫

A

~v · ~n da. (7.7)

A partir de la medida del gasto puede determinarse facilmente la velocidadmedia del fluido a traves de la superficie pues, de acuerdo con la definicion develocidad media,

v =1

A

∫

A

~v · ~n da, (7.8)

resulta

v =G

A. (7.9)

El gasto masico se define como la cantidad de masa que atraviesa una su-perficie por unidad de tiempo. Teniendo en cuenta la definicion de densidad, elgasto masico a traves de la superficie A se escribira entonces como

GM =

∫

A

ρ~v · ~n da. (7.10)

Si la densidad del fluido es constante, el gasto masico puede escribirse como

GM = ρG = ρvA. (7.11)

7.4. Ecuaciones basicas

En esta seccion estudiaremos dos de las ecuaciones basicas que gobiernanel flujo de los fluidos: la ecuacion de continuidad, y la ecuacion de la energıa.Estas ecuaciones basicas derivan respectivamente de las leyes de conservacionde la masa y de la energıa, que pueden enunciarse como sigue:

Ley de conservacion de la masa.

La masa total, M, de un sistema fısico permanece constante en el tiempo.

dMdt

= 0. (7.12)

Ley conservacion de la energıa. El enunciado de esta ley viene dado por elPrimer Principio de la Termodinamica,

El calor transferido por unidad de tiempo a un sistema, Q, menos el

trabajo realizado por unidad de tiempo por ese sistema, W , es igual al

ritmo de variacion temporal de la energıa contenida en dicho sistema, E.

E = Q − W . (7.13)

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FIGURA 7.5: Ejemplo de un volumen de control fijo y de un sistema en dos instantes de tiempo.

Las leyes de conservacion ası enunciadas hacen referencia a un sistema fısico

cerrado, esto es, una coleccion fija de partıculas materiales. En el estudio de ladinamica de los fluidos, tal sistema fısico podrıa ser, por ejemplo, una ciertaparcela de fluido que es arrastrada por el flujo. Sin embargo, en la mayorıa delos casos nuestro interes se centrara en el fluido contenido dentro de un ciertodispositivo o una region del espacio, de la que el fluido puede entrar y salir. Atal region se le denomina volumen de control (fig. 7.5). En particular, de ahoraen adelante consideraremos un volumen de control fijo en el espacio, en el queel fluido entra a traves de una superficie A1 y sale a traves de una superficieA2 (fig. 7.6). Por conveniencia, las superficies de entrada y salida se tomaransiempre normales a la velocidad del fluido. Tal volumen de control podrıa ser,por ejemplo, el comprendido entre dos secciones y las paredes laterales de unatuberıa por la que circula un fluido. Evidentemente, entre las dos seccionespuede existir distintos dispositivos, tales valvulas, bombas, turbinas, etc, queseran determinantes para el flujo. Como veremos seguidamente, cuando lasecuaciones de conservacion se formulan para la masa y la energıa contenidasdentro del volumen de control, y no para un sistema fısico, la masa y la energıaque entran y salen del volumen de control debido al flujo del fluido debenincluirse en el balance total.

FIGURA 7.6: Volumen de control tipoque consideraremos en nuestro estu-dio.

7.4.1. Ecuacion de continuidad

La ley de conservacion de la masa, aplicada sobre el volumen de control,establece que,

La variacion temporal de la masa M contenida en el volumen de control

es igual a la diferencia entre la masa que entra y sale por unidad de

tiempo de dicho volumen.

Matematicamente,dM

dt= GM 1 − GM 2. (7.14)

Esta ecuacion, que se conoce con el nombre de ecuacion de continuidad, puedesimplificarse bajo ciertas condiciones. En primer lugar, si el fluido circula enregimen estacionario, la masa contenida en el volumen de control no cam-biara en el tiempo y se cumplira que

GM 1 = GM 2. (7.15)

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Si la densidad del fluido es uniforme en las secciones de entrada y de salida setendra ademas que

GM 1 = ρ1v1A1 = ρ2v2A2 = GM 2. (7.16)

Frecuentemente, la densidad del fluido puede suponerse constante, de formaque ρ = ρ1 = ρ2, y por tanto

G1 = v1A1 = v2A2 = G2. (7.17)

Finalmente, si el flujo a la entrada y la salida tiene velocidad uniforme

G1 = v1A1 = v2A2 = G2. (7.18)

Esta ultima forma de la ecuacion de continuidad se usa ampliamente, en par- ecuacion de continuidad

ticular en lıquidos y en gases que se mueven a baja velocidad.

7.4.2. Ecuacion de la energıa

La ley de conservacion de la energıa, aplicada al sistema fısico que en uninstante de tiempo dado ocupa un cierto volumen de control, establece que

El calor transferido por unidad de tiempo al sistema, menos el trabajo

realizado por unidad de tiempo por el sistema, mas la diferencia entre la

energıa que entra y sale por unidad de tiempo debido al flujo del fluido

a traves de las paredes que rodean al volumen de control, es igual a la

variacion temporal de la energıa contenida en dicho volumen de control.

Si denotamos por E a la variacion por unidad de tiempo de la energıa delvolumen de control, y por F1 y F2 a la energıa que entra y sale, respectivamente,del volumen de control por el flujo del fluido, la ley de conservacion de la energıase expresa matematicamente como

E = Q − W + F1 −F2. (7.19)

Discutimos seguidamente las contribuciones de W y F1 − F2 al balance totalde energıa.

Trabajo realizado por el sistema. El trabajo que por unidad de tiempo realizaun punto del fluido se expresa como

W = −~F · d~r/dt

= −~F · ~v, (7.20)

donde ~F es la fuerza que actua sobre el punto, d~r su desplazamiento elementaly ~v su velocidad. El signo negativo indica que hemos considerando la fuerzaque se ejerce sobre el punto, en lugar de la ejercida por el punto del fluido.Las fuerzas que actuan en el fluido pueden ser de muy distinta naturaleza. Sinembargo, nuestra atencion se centrara aquı en las fuerzas normales de presion,las fuerzas cortantes de origen viscoso y las fuerzas ejercidas por elementosmoviles de maquinas, tales como bombas y turbinas.

Las fuerzas normales de presion y las fuerzas cortantes de origen viscosopodran realizar un trabajo no nulo unicamente sobre las paredes que rodean

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al volumen de control, pues en el interior del fluido sus resultantes son siemprenulas. Ademas, la condicion de no deslizamiento sobre las paredes laterales(~v = ~0) asegura que sobre dicha superficie no se realizara trabajo alguno. Porotro lado, puesto que las superficies de entrada y salida del volumen de controlse han tomado normales a la velocidad del fluido, las fuerzas cortantes tampocorealizaran trabajo sobre estas (~τc · ~v = 0). En cambio, las fuerzas normales depresion son paralelas a la velocidad del fluido en las superficies de entrada ysalida, por lo que sı realizan trabajo. Si admitimos que la presion no varıasignificativamente en las superficies de entrada y salida, el trabajo realizadopor unidad de tiempo se escribira como

Wp = −∫

A1

pv da +

∫

A2

pv da

= −p1v1A1 + p2v2A2. (7.21)

El trabajo realizado por unidad de tiempo sobre los alabes moviles de bombasy turbinas que puedan existir en el interior del volumen de control se desig-nara como Wm. El valor numerico de Wm sera igual a la potencia que sea capazde desarrollar la bomba o turbina, siendo Wm < 0 para la bomba y Wm > 0para la turbina.

El trabajo total que por unidad de tiempo realiza el sistema se escribira en-tonces como

W = −p1v1A1 + p2v2A2 + Wm. (7.22)

Energıa transportada por el flujo. La energıa contenida dentro de un ele-mento de volumen de fluido, dV , tiene tres contribuciones distintas: energıacinetica, energıa potencial gravitatoria y energıa interna,

dE = 12dm v2 + dm gz + dm u

= (12v2 + gz + u)ρdV, (7.23)

donde u representa la energıa interna especıfica. En los fluidos, la energıa in-terna especıfica depende, principalmente, de la temperatura. Otros tipos deenergıa, tales como aquellas debidas a la presencia de campos electricos omagneticos, o la existencia de reacciones quımicas, no seran tenidas en cuentaaquı.

A partir de los resultados de la seccion 7.3, el volumen de fluido que atraviesaun elemento da de la superficie de entrada del volumen de control esta dadopor

dV = ~v · ~nda dt

= v da dt. (7.24)

La energıa que entra al volumen de control por unidad de tiempo a traves dedicho elemento se escribira entonces como

dF1 = (12v2 + gz + u)ρv da, (7.25)

y la suma de estas contribuciones elementales nos da el total

F1 =

∫

A1

(12v2 + gz + u)ρv da. (7.26)

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Una expresion analoga se obtiene para la energıa que por unidad de tiemposale del volumen de control a traves de la superficie A2.

Si admitimos que la densidad del fluido y la energıa interna especıfica sonuniformes en las superficies de entrada y de salida, y que la coordenada z nocambia de forma significativa en ellas, la energıa neta que atraviesa por unidadde tiempo las superficies de entrada y salida del volumen de control puedeescribirse como

F = F1 −F2

= (12α1v

21 + gz1 + u1)ρ1v1A1

−(12α2v

22 + gz2 + u2)ρ2v2A2, (7.27)

donde el coeficiente α se denomina factor de correccion de la energıa cinetica,y se define como

α =

∫

v3 da

v3A. (7.28)

Este factor da cuenta de la no uniformidad de la velocidad del fluido a la en-trada y a la salida del volumen de control. Para un flujo laminar y estacionarioque circule por el interior de una tuberıa de seccion circular, puede demostrarseque α = 2. Si, por el contrario, el flujo es turbulento, α ≈ 1,05. Puesto que lamayorıa de los flujos que trataremos seran turbulentos, generalmente se aprox-imara el valor de este coeficiente por la unidad.

Balance total de energıa. Teniendo en cuenta los resultados anteriores, la leyde conservacion de la energıa se expresa finalmente como

E = Q − Wm+

(

1

2α1v

21 + gz1 +

p1

ρ1

+ u1

)

ρ1v1A1

−(

1

2α2v

22 + gz2 +

p2

ρ2

+ u2

)

ρ2v2A2. (7.29)

Si el regimen de flujo es estacionario, la energıa contenida en el volumen decontrol no cambia en el tiempo (E = 0). Ademas, segun se ha visto en laseccion 7.4.1, en dicho regimen se cumple que GM = ρ1v1A1 = ρ2v2A2, dondeGM es el gasto masico. La ecuacion de la energıa puede entonces escribirsecomo

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρ1g= α2

v22

2g+ z2 +

p2

ρ2g+

Wm

GMg+

perdidas

GMg, (7.30)

dondeperdidas = −Q − GM (u1 − u2). (7.31)

En muchos flujos, las formas aprovechables de la energıa (cinetica y potencial) yel trabajo realizado por el sistema se transforman en formas de energıa no utiles(transferencia de calor y energıa interna). Esta energıa no aprovechable se haagrupado bajo la denominacion “perdidas”. Las perdidas de energıa se debenprincipalmente a la viscosidad del fluido. La friccion interna producida por laviscosidad se manifiesta como un aumento de la energıa interna del fluido, ypor tanto de su temperatura, y mediante la transferencia de calor.

Los sumandos de la ec. (7.30) tienen dimensiones de longitud o, equivalen-temente, de energıa por unidad de peso, y se les denomina genericamente como

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alturas. Ası, αv2/2g se conoce como altura de velocidad, p/ρg como altura de

presion, z como altura geometrica, y a la suma de las tres como altura total.El trabajo realizado por el sistema puede tener distintos orıgenes. Si es

realizado por una bomba, llamaremos altura de bomba a

HB = − WB

GMg

= − WB

Gρg, (7.32)

donde WB = −Wm es la potencia de la bomba. Si el trabajo es realizado poruna turbina, llamaremos altura de turbina a

HT =WT

GMg

=WT

Gρg, (7.33)

donde WT = Wm es la potencia de la turbina. En general, ambos elementos,bomba y turbina, podrıan estar presentes en una misma instalacion hidraulica.

Finalmente, el sumando que engloba las perdidas de energıa se le denominagenericamente como perdida de altura y se designa como h,

h =perdidas

GMg

=−Q − GM (u1 − u2)

GMg. (7.34)

A la cantidad ρgh, con dimensiones de presion, se le denomina perdida de carga.perdida de carga

Tras estas consideraciones, la ecuacion de la energıa puede expresarse comoecuacion de la energıa

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρg= α2

v22

2g+ z2 +

p2

ρg+ HB + HT + h, (7.35)

o como

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρg= α2

v22

2g+ z2 +

p2

ρg− WB

Gρg+

WT

Gρg+ h, (7.36)

donde todos los sumandos tienen dimensiones de longitud. Multiplicando laec. (7.36) por ρg obtendrıamos una ecuacion equivalente en la que todos lossumandos tendrıan dimensiones de presion. Ası, por ejemplo, la perdida de

presion debida a la presencia de una turbina de potencia WT serıa ∆P = WT

G.

La ecuacion de Bernoulli. Si ademas de ser el flujo estacionario, las perdidasde altura son despreciables (h = 0), no existen bombas o turbinas que realicentrabajo (H = 0), la densidad del fluido es constante (ρ1 = ρ2) y la distribucionde velocidades es uniforme en la entrada y salida del volumen de control (α1 =α2 = 1), la ecuacion de la energıa adquiere la forma

v21

2g+ z1 +

p1

ρg=

v22

2g+ z2 +

p2

ρg. (7.37)

El resultado ası obtenido coincide con la denominada ecuacion de Bernoulli,que se obtiene al aplicar la segunda ley de Newton a una partıcula de fluido, y

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7.5 Perdida de altura por viscosidad en tuberıas 199

se cumple entre dos puntos cualesquiera de una misma lınea de corriente2. Laecuacion de Bernoulli es probablemente la ecuacion de mas usada en mecanicade fluidos, aunque no siempre correctamente. Por ello, es importante compren-der sus limitaciones, que surgen de las aproximaciones que se realizan en suderivacion:

- Flujo estacionario.

- Fluido no viscoso y de densidad constante (fluido ideal).

Daniel Bernoulli (Groningen,1700; Basilea, 1782) hijo de Jo-hann, hermano menor de Nicolaus(II) y sobrino de Jacob (la familiaBernoulli es famosa por sus con-tribuciones a la Matematica y a laFısica). Entre sus aportaciones ala Fısica, ademas del descubrim-iento de que el movimiento delas cuerdas de los instrumentosmusicales se compone de unnumero infinito de vibracionesarmonicas, destaca la publicacionen 1738 de Hydrodinamica, obraen la que sienta las bases de lateorıa cinetica de los gases, lahidrodinamica y la aerodinamicamoderna.

La validez de esta ecuacion esta condicionada a que los efectos viscosossean despreciables. Los esfuerzos cortantes son habitualmente muy pequenoscomparados con los esfuerzos normales o de presion. Localmente, estos efectostienen poca influencia en el campo de velocidades y la aproximacion esta justi-ficada. Sin embargo, en largas distancias o en regiones con elevados gradientesde la velocidad, los efectos viscosos pueden afectar al flujo y debe tenerse encuenta el termino de perdidas viscosas.

7.5. Perdida de altura por viscosidad en tuberıas

En esta seccion determinaremos la perdida altura que se produce en un flujoestacionario a traves de una tuberıa de seccion circular constante (fig. 7.7). Sila densidad del fluido es constante, la ecuacion de continuidad (7.17) estableceque

v1 = v2, (7.38)

donde los subındices 1 y 2 se refieren a las dos secciones normales a la tuberıaque limitan el volumen de control, estando situada la segunda aguas abajorespecto de la primera. Ademas, si el flujo esta completamente desarrollado, estoes, el perfil de velocidades no cambia en la direccion del flujo se cumplira que

α1 = α2. (7.39)

La ecuacion de la energıa se escribe entonces como

p1

ρg+ z1 =

p2

ρg+ z2 + h, (7.40)

y la perdida de altura sera igual a la suma de las variaciones de la altura depresion y de posicion,

h =p1 − p2

ρg+ z1 − z2 =

∆p

ρg+ ∆z. (7.41)

Estudiemos seguidamente el balance de fuerzas que actua sobre el fluidoencerrado en el volumen de control. Teniendo en cuenta que las fuerzas apli-cadas son las de presion, la de la gravedad y la de friccion con la pared resulta,para el regimen estacionario y a lo largo del eje x,

∆pπR2 + ρgπR2L senφ − τw2πRL = 0, (7.42)

2Una lınea de corriente satisface que la velocidad del fluido es tangente a la lınea en todos

sus puntos. En el regimen estacionario de flujo, las trayectorias que recorren las partıculas

de fluido se superponen a las lıneas de corriente.

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FIGURA 7.7: Volumen de controlpara la determinacion de la perdidade altura en una tuberıa de seccioncircular.

donde R = D/2 es el radio del conducto circular y τw es el modulo del esfuerzocortante que actua sobre el fluido en contacto con la pared. Dividiendo cadasumando de la ecuacion entre ρg y teniendo en cuenta que ∆z = L senφ,obtenemos finalmente la siguiente expresion para la perdida de altura,

h =∆p

ρg+ ∆z

=2τw

ρg

L

R. (7.43)

Hasta este momento no se ha hecho hipotesis alguna sobre la naturaleza delflujo, siendo este resultado igualmente valido para flujos laminares y turbulen-tos. Si fuera posible correlacionar τw con las condiciones del flujo el problemade la perdida de altura en tubos quedarıa resuelto.

Henry Philibert Gaspard Darcy

(Dijon, 1803; Parıs, 1858): Fue elprimero en sospechar la existen-cia de la capa lımite viscosa, con-tribuyo al desarrollo de la ecuacionde Darcy-Weisbach, hizo impor-tantes contribuciones a la investi-gacion del flujo en canales abier-tos, y desarrollo la ley de Darcyde los medios porosos, de gran im-portancia en hidrologıa e ingenierıapetrolıfera.

Funcionalmente, es plausible suponer que el esfuerzo cortante en la pareddependa de los siguientes magnitudes:

τw = F (ρ, v, η, D, ǫ), (7.44)

siendo ǫ la altura caracterıstica de la rugosidad de la pared. Un simple anali-sis dimensional revela que la combinacion ρv2 posee dimensiones de esfuerzo.Por tanto, la dependencia de τw con los restantes parametros sera mediante

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7.5 Perdida de altura por viscosidad en tuberıas 201

combinaciones adimensionales de todos ellos, como por ejemplo

τw =1

8ρv2f(Re, ǫ/D), (7.45)

donde el numero de Reynolds se ha definido como numero de reynolds

Re =ρvD

η, (7.46)

y el factor numerico 18

se ha introducido por conveniencia. El parametro adi-mensional f se denomina coeficiente de friccion de Darcy, en honor a Henry coeficiente de friccion de darcy

Darcy.Combinando las ecs. (7.43) y (7.45) obtenemos la expresion adecuada para

calcular las perdidas de altura,

h = fL

D

v2

2g. (7.47)

Esta es la ecuacion de Darcy-Weisbach , valida tanto para flujos laminares como ecuacion de darcy-weisbach

turbulentos, y que tambien es aplicable en conductos de seccion transversalno circular. Haciendo uso de la relacion entre la velocidad media y el gasto(ec. (7.9)), para un conducto de seccion circular la ecuacion de Darcy-Weisbachse puede escribir como:

h = f8G2L

gπ2D5. (7.48)

Diagrama de Moody. La perdida de altura en un conducto es quizas la magni-tud mas calculada en el analisis de flujos por tuberıas. Los datos experimentalesque relacionan el factor de friccion con el numero de Reynolds se han registradopara una enorme variedad de rugosidades relativas y se conoce habitualmentecon el nombre de diagrama de Moody 3. En este diagrama pueden observarse diagrama de moody

las caracterısticas que discutimos seguidamente (fig. 7.8):Julius Ludwig Weisbach [Mit-telschmiedeberg (cerca deAnnaberg), 1806; Freiberg,1871]: trabajo en mecanica ymatematicas, pero sus contribu-ciones mas influyentes tienen quever con la hidraulica. Propuso laecuacion que lleva su nombre en1845.

Para numeros de Reynolds por debajo de 2000 el factor de friccion esindependiente de la rugosidad, siendo el flujo completamente laminar.Como se mostrara en 7.8, el factor de friccion que corresponde a esteregimen esta dado por

f =64

Re. (7.49)

La transicion entre el flujo laminar y el flujo turbulento define una region

crıtica en la que el flujo puede presentar de forma oscilante caracterısticasregion crıtica

tanto laminares como turbulentas. Dicha region se extiende hasta Re ≈4000, y no existen valores bien definidos del factor de friccion en estaregion.

Superado el numero de Reynolds crıtico, el flujo se vuelve turbulento.El factor de friccion correspondiente a una tuberıa lisa puede obtenersecomo la solucion de la ecuacion implıcita semiempırica

1√f≈ 2 logRe

√

f − 0,8. (7.50)

3L. F. Moody propuso el diagrama que lleva su nombre en 1944.

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FIGURA 7.8: Diagrama de Moody.

Como ya se ha indicado anteriormente, el espesor caracterıstico de lacapa lımite viscosa decrece al aumentar el numero de Reynolds. Cuandolas paredes de la tuberıa no son perfectamente lisas, el espesor de lacapa viscosa puede ser muy inferior al tamano tıpico de la rugosidad siel numero de Reynolds es suficientemente elevado (fig. 7.9b). En estasituacion, la turbulencia se genera en las irregularidades de la pared y laperdida de altura se vuelve independiente de la viscosidad y, por tanto,del numero de Reynolds. Estas son las circunstancias que caracterizan eldenominado flujo completamente turbulento en el diagrama de Moody. Elfactor de friccion es practicamente constante y esta dado por la relacionempırica

1√f≈ −2 log

ǫ

3,7D. (7.51)

FIGURA 7.9: Magnitud relativa de lacapa lımite viscosa y las asperezas delconducto para numeros de Reynoldsbajos (a) y altos (b).

Entre la curva correspondiente al factor de friccion para una tuberıa lisay la region de flujo completamente turbulento se extiende una zona, de-nominada de transicion en el diagrama de Moody, donde el factor de

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7.6 Perdidas localizadas en tuberıas 203

friccion depende tanto del numero de Reynolds como de la rugosidad rel-ativa. Puede observarse que las curvas de rugosidad relativa ǫ/D = 10−3

y mas pequenas se acercan a la curva de tubo liso al disminuir el numerode Reynolds. Nuevamente, este comportamiento puede explicarse con lapresencia de una capa lımite cuyo grosor aumenta con la disminucion deRe, pudiendo llegar a ser muy superior al tamano caracterıstico de larugosidad (fig. 7.9a). En tales circunstancias, el factor de friccion debeasemejarse al de una tuberıa perfectamente lisa. En esta zona de transi-cion, el factor de friccion puede evaluarse a partir de la siguiente relacionempırica,

1√f≈ −2 log

(

ǫ

3,7D+

2,51

Re√

f

)

. (7.52)

El diagrama de Moody es fiable si se aceptan errores inferiores al 10% enlos calculos de diseno sobre el rango de valores mostrado en el diagrama. Noexisten coeficientes de friccion fiables en el rango 2000 < Re < 4000.

Se distinguen habitualmente tres categorıas en los problemas de flujo tur-bulento en conductos:

Categorıa Datos conocidos Incognita

1 G, D, L, ǫ, η, ρ h

2 D, L, ǫ, η, ρ, h G

3 G, L, ǫ, η, ρ, h D

TABLA 7.1: Problemas tıpicos quese resuelven usando el diagrama deMoody.

Los problemas englobados en la categorıa 1 son inmediatos a partir del dia-grama de Moody. Sin embargo, los problemas mas frecuentemente encontradosen la practica pertenecen a las categorıas 2 y 3, siendo habitual que, por ejem-plo, la perdida de altura no deba exceder un cierto valor en funcion del cualdebe determinarse el gasto que se dispondrıa o el diametro de la tuberıa queserıa necesario para garantizar un cierto gasto.

7.6. Perdidas localizadas en tuberıas

En cualquier sistema de tuberıas, ademas de la perdida de altura por viscosi-dad, existen tambien perdidas localizadas o menores debidas a valvulas, codos, perdidas localizadas

ensanchamientos, contracciones, entrada o salida de tuberıas en depositos, etc.Cada uno de estos elementos produce un cambio en la magnitud y/o en la di-reccion de la velocidad del flujo, lo que suele traducirse en perdidas de altura.

El calificativo de perdidas menores es quizas desafortunado, pues en muchassituaciones las perdidas localizadas pueden ser muy superiores a las perdidasdebidas a la friccion. Por lo general, en redes de tuberıas que implican longi-tudes intermedias entre los emplazamientos de las perdidas localizadas (∼ 50veces el diametro del tubo) estas perdidas menores pueden ser del mismo or-den de magnitud que las perdidas de friccion. Para longitudes mas cortas, lasperdidas localizadas pueden ser substancialmente mayores que las debidas a lafriccion. Por el contrario, si los tramos de tuberıa entre los emplazamientos delas perdidas localizadas son suficientemente largos (∼ 1000 veces el diametrodel tubo) las perdidas menores suelen despreciarse.

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La configuracion del flujo en los distintos elementos que dan lugar a perdi-das localizadas es muy compleja y la teorıa existente es pobre. Estas perdidaspueden medirse experimentalmente considerando un volumen de control ajus-tado que contenga al elemento que las ocasiona, de forma que las perdidaspor viscosidad sean depreciables en comparacion con la perdida localizada. Laperdida de altura se correlaciona entonces con los parametros del flujo segun

hL = Kv2

2g. (7.53)

donde el numero adimensional K recibe el nombre de coeficiente de perdida ycoeficiente de perdida

la velocidad v se refiere generalmente, aunque no siempre, a la seccion de salidadel volumen de control.

A veces, la perdida de altura localizada se expresa en forma de longitudequivalente de tuberıa, a traves de la ecuacion de Darcy-Weisbach

h = fLeq

D

v2

2g

= Kv2

2g, (7.54)

en donde K puede referirse a una unica perdida localizada o a la suma de variasperdidas. Al despejar Leq se tiene

Leq =KD

f. (7.55)

Quiza la unica excepcion en la que el coeficiente de perdida puede predecirseteoricamente es en el caso del ensanchamiento brusco, donde un conducto deensanchamiento brusco

seccion recta A1 desemboca en otro mas ancho, de seccion A2 (fig. 7.10). Losfiletes de fluido comienzan a diverger a partir de la region del ensanchamien-to brusco y no ocupan enteramente la seccion del nuevo conducto hasta algoentrado en el. Inmediatamente despues de la zona de expansion existen zonasdonde el fluido recircula intensamente. La perdida de energıa mecanica oca-sionada por el ensanchamiento brusco se debe a la transferencia continua deenergıa entre el fluido principal y la region de fluido recirculante, necesaria paramantener esta recirculacion.

FIGURA 7.10: Representacion es-quematica del flujo en un ensan-chamiento brusco.

De la ecuacion de la energıa entre las secciones A1 y A2 de la fig. 7.10 seobtiene

hL =p1 − p2

ρg+ z1 − z2 +

v21 − v2

2

2g. (7.56)

Se puede demostrar que, de la aplicacion de la segunda ley de Newton al volu-men de control entre las secciones A1 y A2, se obtiene

p1 − p2 + ρg(z1 − z2) = −ρv1v2 + ρv22 . (7.57)

Sustituyendo la ec. (7.57) en la ec. (7.56) queda

hL =(v1 − v2)

2

2g. (7.58)

Comparando la ec. (7.58) con la ec. (7.53), se obtiene que el coeficiente deperdidas, construido sobre la velocidad de entrada del volumen de control, vale

K =

(

1 − A1

A2

)2

. (7.59)

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7.6 Perdidas localizadas en tuberıas 205

En el caso particular en que la seccion A2 es mucho mayor que A1 el coeficientede perdida vale K = 1. Esta situacion corresponde a la terminacion de unatuberıa en un gran deposito. En dicho caso, la velocidad v2 puede considerarseigual a cero, y la perdida de altura por el ensanchamiento sera

hL =v21

2g. (7.60)

Es decir, se pierde toda la energıa cinetica de la cual dispone el lıquido.

PROBLEMA RESUELTO 7.1:

En la figura se muestra esquematicamente la instalacion de suministro de agua delmar para una piscifactorıa. La instalacion consta de una tuberıa cilındrica de radioR = 2 cm y longitud total L = 20m, en la que se ha instalado una bomba paraimpulsar el agua. El agua extraıda del mar se vierte en una alberca de 10m3 decapacidad.

(a) ¿Con que velocidad circulara el agua por la tuberıa para que la alberca sellene en 2,21 horas?

(b) ¿Cual sera el numero de Reynolds correspondiente al flujo del agua?

(c) ¿Cuanto vale la perdida de altura por viscosidad? ¿Y el total de las perdidasde altura localizadas?

(d) ¿Que potencia debe suministrar la bomba para llevar a cabo su cometido?

Datos adicionales: Viscosidad del agua: η = 10−3 Pa s. Densidad del agua: 103 kg/m3.Coeficientes de perdidas localizadas: (a) entrada de la tuberıa: KA = 0,8, (b) codode 90◦: KB = 1,2, (c) llave de control: KC = 2. Rugosidad de la tuberıa: 0,4 mm.Tomese g = 10m/s2.

50 cm

A

B C

Bomba

PROBLEMA RESUELTO 7.1

Solucion:

(a) Teniendo en cuenta que el tiempo de llenado de la alberca es tllenado =2,21 horas = 7956 s, podemos calcular el gasto en la salida de la tuberıa como

G =Valberca

tllenado

=10

7956= 1,26 × 10−3 m3/s. (P1.1)

Por otro lado, la ecuacion de continuidad nos dice que el gasto es constante a lolargo de toda la tuberıa, por lo que para cualquier seccion S de la misma

G = vS = 1,26 × 10−3 m3/s, (P1.2)

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de donde obtenemos que la velocidad media de circulacion del agua en la tuberıaes

v =G

S=

G

πR2= 1 m/s. (P1.3)

(b) El numero de Reynolds se calcula de la siguiente manera

Re =ρvD

η

=103 × 1 × 4 × 10−2

10−3

= 4 × 104. (P1.4)

Como Re > 2000, concluimos que el regimen es turbulento.

(c) La perdida de altura por viscosidad se obtiene mediante la ecuacion de Darcy-

Weisbach,

h = fL

D

v2

2g. (P1.5)

Teniendo en cuenta que Re = 4 × 104 y que ǫ/D = 4 × 10−4/4 × 10−2 = 0,01,en el diagrama de Moody encontramos que el factor de friccion vale f = 0,04.Sustituyendo en la ec. (P1.5),

h = 0,0420

4 × 10−2

12

2 10= 1 m. (P1.6)

La suma de las perdidas de altura localizadas son

hL = hA + hB + hC

= (KA + KB + KC)v2

2g

= (0,8 + 1,2 + 2)12

2 10= 0,2 m. (P1.7)

(d) Para calcular la potencia suministrada por la bomba WB planteamos la ecuacion

de la energıa para un volumen de control cuya seccion de entrada (e) es la superficielibre del mar y su seccion de salida es la salida de la tuberıa s

αe

v2e

2g+ ze +

pe

ρg= αs

v2s

2g+ zs +

ps

ρg+ h + hL − WB

Gρg. (P1.8)

Teniendo en cuenta que el nivel del mar no cambia aunque estemos tomandoagua de el, debido a sus grandes dimensiones, la velocidad media del agua en susuperficie libre es nula (ve = 0), mientras que en la seccion de salida la velocidadmedia es la de circulacion del agua en la tuberıa vs = v = 1 m/s, al ser la tuberıade seccion constante. Por ser el regimen turbulento, αs = 1. Tanto en la seccionde entrada como en la de salida, el agua esta en contacto con la atmosfera porlo que pe = ps = 1 atm. Como zs − ze = 0,5m, despejando WB y sustituyendoobtenemos que

WB = 22,05 W. (P1.9)

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7.7 Sistemas de tuberıas 207

FIGURA 7.11: Ejemplo de aso-ciacion en serie de tuberıas.

7.7. Sistemas de tuberıas

Generalmente, los sistemas de tuberıas reales constan de tramos rectos,de igual o diferente diametro, conectados entre sı mediante valvulas, codos,conexiones en T, reductores, etc. Las perdidas de altura se dividen por tantoen dos categorıas: (a) aquellas que actuan sobre los tramos rectos de tuberıasy (b) aquellas que actuan en los elementos de conexion o terminacion de lastuberıas. En esta seccion trataremos de correlacionar la perdida de altura deun sistema de tuberıas con la que se produce en cada uno de los elementos queconstituyen dicho sistema. En particular, trataremos dos sistemas de tuberıassimples: las asociaciones en serie y en paralelo.

7.7.1. Asociaciones en serie

Un conjunto de tuberıas se dice que esta conectado en serie cuando el fluido en serie

discurre a traves de ellas sin ramificaciones. Un ejemplo de tal asociacion semuestra en la fig. 7.11, que consta de los siguiente tres elementos:

1. Una tuberıa recta, A, de secciones de entrada y salida identicas (A1 = A2)y de longitud LA.

2. Un ensanchamiento brusco, B, que transforma la seccion A2 en la seccionA3.

3. Otra tuberıa recta, C, de secciones de entrada y salida tambien identicas(A3 = A4) y longitud LC .

Si un fluido de densidad constante discurre por el sistema de tuberıas enregimen estacionario, la ecuacion de continuidad y la ecuacion de conservacionde la energıa para el volumen de control comprendido entre las secciones 1 y 4se escribira como

G1 = A1v1 = A4v4 = G4, (7.61)

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρg= α4

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ h, (7.62)

donde h representa la perdida total de altura en el sistema de tuberıas.Sin embargo, el volumen control que se ha considerado antes puede de-

scomponerse en tres volumenes de control mas simples, A, B y C, coincidentes

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con los elementos que constituyen el sistema de tuberıas. Las ecuaciones deconservacion de la masa para estos volumenes son, respectivamente,

G1 = A1v1 = A2v2 = G2, (7.63)

G2 = A2v2 = A3v3 = G3, (7.64)

G3 = A3v3 = A4v4 = G4. (7.65)

Por tanto, el gasto a traves de cualquier seccion del sistema de tuberıas asoci-adas en serie es identico,

G1 = G2 = G3 = G4. (7.66)

Por otro lado, las ecuaciones de conservacion de la energıa aplicadas a losvolumenes de control A, B y C se expresan como

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρg= α2

v22

2g+ z2 +

p2

ρg+ hA, (7.67)

α2

v22

2g+ z2 +

p2

ρg= α3

v23

2g+ z3 +

p3

ρg+ hB, (7.68)

α3

v23

2g+ z3 +

p3

ρg= α4

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ hC , (7.69)

donde hA, hC , hB son las perdidas de altura en cada uno de los volumenes decontrol. Al sumar estas tres igualdades obtenemos

α1

v21

2g+ z1 +

p1

ρg= α4

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ hA + hB + hC . (7.70)

Esta es la ecuacion de conservacion de la energıa para el conjunto de los tresvolumenes de control (cf. (7.62)), donde la perdida de altura total queda iden-tificada como

h = hA + hB + hC , (7.71)

esto es, la suma de las perdidas en cada volumen de control.Gracias a la division del sistema de tuberıas en volumenes de control simples,

las perdidas de altura que se originan en cada uno de ellos tienen una caracterbien definido. Por un lado, A y C son tramos rectos de tuberıa, por lo que hA

y hC son perdidas de origen viscoso y su valor estara dado por la ecuacion deDarcy-Weisbach (ec. (7.47))

hA = fA

LA

DA

v2A

2g

= fA

8G2LA

gπ2D5A

, (7.72)

hC = fC

LC

DC

v2C

2g

= fC

8G2LC

gπ2D5C

, (7.73)

donde vA = v1 = v2 y vC = v3 = v4. Por otro lado, la perdida de altura en elvolumen de control B sera esencialmente de tipo localizado, pues se trata se

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FIGURA 7.12: Ejemplo de aso-ciacion en paralelo de tuberıas.

un cambio puntual de la geometrıa del conducto. Se tendra entonces,

hB = KB

v2A

2g

= KB

8G2

π2D4A

. (7.74)

Los resultados obtenidos en este ejemplo son generalizables a un numeroarbitrario de tuberıas, de secciones constantes pero diferentes, conectadas entresı mediante elementos puntuales (ensanchamientos, estrechamientos, codos, di-fusores, terminaciones, etc.). Podemos establecer entonces que, para cualquiersistema de tuberıas conectado en serie, se cumple que:

El gasto a traves de cualquier seccion transversal es identico,

La perdida de altura total es igual a la suma de las perdidas de alturaque tiene lugar en el sistema de tuberıas.

7.7.2. Asociaciones en paralelo

Un conjunto de tuberıas se dice que esta conectado en paralelo cuando el en paralelo

fluido que discurre a traves de ellas se ramifica en dos o mas lıneas. La fig. 7.12muestra un ejemplo de asociacion en paralelo de tuberıas, en el que puedendistinguirse los siguientes elementos:

1. Una bifurcacion AA′ en forma de T, con seccion de entrada A1 y seccionesde salida A2 y A2′ .

2. Una tuberıa recta, B, de secciones de entrada y salida identicas (A2 = A3)y de longitud LB.

3. Otra tuberıa recta, B′, de secciones de entrada y salida tambien identicas(A2′ = A3′) y longitud LB′ .

4. Otra bifurcacion CC′ en forma de T, con secciones de entrada A3 y A3′ ,y seccion de salida A4.

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Si, como antes, consideramos un fluido de densidad constante que discurrepor el sistema de tuberıas en regimen estacionario, la ecuacion de continuidady la ecuacion de conservacion de la energıa para el volumen de control com-prendido entre las secciones 1 y 4 se escribira como

G1 = A1v1 = A4v4 = G4, (7.75)

v21

2g+ z1 +

p1

ρg=

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ h, (7.76)

donde h representa la perdida total de altura en el sistema de tuberıas. Alescribir las ecs. (7.75)–(7.76), se ha supuesto que la velocidad a la entrada y ala salida del volumen de control son uniformes. Esta simplificacion no restringeseveramente la validez de dichas ecuaciones pues, en la mayorıa de los casospracticos, el flujo es turbulento, por lo que la velocidad en cada seccion de latuberıa es muy aproximadamente uniforme.

El anterior volumen de control puede dividirse en dos volumenes de controlindependientes,

ABC, formado por la asociacion en serie de los volumenes de control A,B y C, de seccion de entrada A1+ y de salida A4+.

A′B′C′, formado por la asociacion en serie de los volumenes de controlA′, B′ y C′, de seccion de entrada A1− y de salida A4−.

A fin de que los volumenes de control ABC y A′B′C′ posean unicamente unaseccion de entrada y una seccion de salida, la separacion entre los volumenesde control A–A′ y C–C′ (lınea punteada) se elige de tal forma que sea tambienla frontera entre el fluido que discurre por la rama superior y el que discurrepor la rama inferior.

Segun vimos en el apartado anterior, el caudal que circula por una asociacionen serie de tuberıas es el mismo en cualquier seccion de esta. Por ello, deno-taremos simplemente como GB y G′

B los gastos que circulan por los volumenesde control ABC y A′B′C′, respectivamente. Teniendo en cuenta este hecho,la ecuacion de conservacion de la masa (ec. 7.75) para el volumen de controlcompleto puede escribirse como

G1 = G1+ + G1− = GB + GB′ = G4+ + G4− = G4. (7.77)

Es decir, el gasto total que circula por la asociacion de tuberıas en paralelo esigual a la suma de los gastos que circulan por cada rama.

Por otro lado, la ecuacion de conservacion de la energıa aplicada al volumende control ABC se escribe como 4

v21

2g+ z1 +

p1

ρg=

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ hA + hB + hC , (7.78)

donde hA, hB, hC son las perdidas de altura en cada uno de los volumenes decontrol que integran ABC. Como antes, las perdidas de altura que se originan

4Se desprecia el trabajo que los esfuerzos cortantes realizan sobre la frontera entre los

volumenes de control A–A′ y C–C′, ya que estos actuan sobre una superficie de dimensiones

reducidas.

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en cada uno de ellos tienen una naturaleza bien definida, siendo hA y hC perdi-das localizadas y hB perdidas de caracter viscoso. De forma analoga, para elvolumen de control A′B′C′ podemos escribir

v21

2g+ z1 +

p1

ρg=

v24

2g+ z4 +

p4

ρg+ hA′ + hB′ + hC′ . (7.79)

La perdida de altura en el sistema de tuberıas completo queda tambien identi-ficada al comparar estas ecuaciones con la ec. (7.76). Resulta entonces que

h = hA + hB + hC = hA′ + hB′ + hC′ . (7.80)

Esto es, las sumas de las perdidas de altura en cada rama del sistema de tuberıasen paralelo son iguales entre sı e identicas a las que caracteriza el conjunto delsistema de tuberıa.

Como en el sistema de tuberıas en serie, los resultados obtenidos en esteejemplo son generalizables a un numero arbitrario de ramificaciones, no nece-sariamente dispuestas de forma paralela. Podemos establecer entonces que, paracualquier sistema de tuberıas conectado en paralelo, se cumple que:

El gasto que circula por el sistema de tuberıas es igual a la suma de losgastos que circula por cada rama.

La perdida de altura total del sistema de tuberıas es igual a la perdidade altura de cualquiera de las ramas.

7.7.3. Tuberıas equivalentes

El concepto de tuberıa equivalente resulta util cuando se comparan las car- tuberıa equivalente

acterısticas hidraulicas de tuberıas o asociaciones de tuberıas entre sı.Un sistema de tuberıas se dice equivalente a una tuberıa dada cuando pre-

senta la misma perdida de altura que la tuberıa cuando por el circula un gastoidentico al que circula por la tuberıa.

La tuberıa equivalente no tiene porque tener igual longitud o seccion quela red de tuberıas original. Ademas, la equivalencia del sistema de tuberıas seestablece para un caudal dado, por lo que los parametros que definen la tuberıaequivalente pueden ser distintos para otros caudales.

A modo de ejemplo, la tuberıa equivalente a la asociacion de tuberıas enserie mostrada en la fig. 7.11 debera satisfacer,

Geq = G1 = G2 = G3, (7.81)

heq = hA + hB + hC , (7.82)

mientras que la tuberıa equivalente a la asociacion en paralelo mostrada en lafig. 7.12 viene definida por las ecuaciones,

Geq = GB + G′

B , (7.83)

heq = hA + hB + hC = hA′ + hB′ + hC′ . (7.84)

Estas ecuaciones establecen las relaciones que deben existir entre el diametro,Deq, y la longitud, Leq, de la tuberıa a fin de que resulte equivalente al sistemade tuberıas original. En el caso de la asociacion en serie de la fig. 7.11, teniendo

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en cuenta las ecs. (7.63)–(7.65) y (7.72)–(7.74), dicha relacion puede expresarsecomo

feq

Leq

D5eq

= fA

LA

D5A

+KB

D4C

+ fC

LC

D5C

. (7.85)

En el caso de la asociacion en paralelo de la fig. 7.12, si despreciamos lasperdidas de altura localizadas y tenemos en cuenta la ec. (7.77) y la relacionentre la perdida de altura y el gasto dada por la ec. (7.48), resulta

√

D5eq

feqLeq

=

√

D5B

fBLB

+

√

D5B′

fB′LB′

. (7.86)

PROBLEMA RESUELTO 7.2:

El sistema hidraulico de la figura eleva agua desde un deposito hasta 20m porencima del nivel del agua en el deposito, siendo el gasto a la salida del deposito0,5 m3/s. Para ello dispone de una bomba B y de una tuberıa de 100m de longi-tud, 0,075m2 de seccion y 0,2mm de rugosidad. La tuberıa tiene intercalada unabifurcacion cuyos ramales miden 35m cada uno, tienen 0,2 mm de rugosidad y sussecciones respectivas son 0,05 y 0,025m2. Halla:

(a) El gasto que circula por cada ramal de la bifurcacion.

(b) La potencia que debe tener la bomba para garantizar dicho gasto.

(c) El diametro que deberıa tener una tuberıa de 35m de longitud y 0,2mm derugosidad que sustituyera a la bifurcacion para conseguir el mismo gasto conla misma bomba.

Datos adicionales: El deposito es lo suficientemente grande como para suponer queel nivel del agua de la superficie no desciende durante el proceso. Todas las tuberıasson de seccion circular. Las perdidas localizadas pueden considerarse despreciables.Supon que el regimen de flujo es completamente turbulento en todos los casos.Supon tambien que el factor de friccion de la tuberıa equivalente que se pide en elapartado (c) coincide con el de la tuberıa 1.

PROBLEMA RESUELTO 7.2

A

20 m

C

(1)(3)

(2)

B

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

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UAT


Solucion:

(a) Llamemos Gi al gasto que circula por el ramal i. La primera ley de las tuberıas

en paralelo dice queG1 + G2 = G3. (P2.1)

La segunda ley de las tuberıas en paralelo dice que

h1 = h2. (P2.2)

De donde, usando la ecuacion de Darcy-Weisbach, obtenemos:

f1

L1

D1

v12

2g= f2

L2

D2

v22

2g. (P2.3)

Teniendo en cuenta que al ser tuberıas de seccion circular,

vi =4Gi

πD2i

. (P2.4)

Sustituyendo (P2.4) en (P2.3) obtenemos

f1

8G21L1

gπ2D51

= f2

8G22L2

gπ2D52

. (P2.5)

Sustituyendo los datos, podemos despejar

G1 = G2

√

f2D51

f1D52

. (P2.6)

Nos dicen que el regimen es completamente turbulento (el numero de Reynoldses del orden de 108) en todas las ramas. En regimen completamente turbulento elfactor de friccion es practicamente constante, depende solo de la rugosidad relativaǫi

Di

y se puede obtener consultando el diagrama de Moody. Para las ramas 1 y 2:

ǫ1D1

≈ 0,0008 ⇒ f1 ≈ 0,019, (P2.7)

ǫ2D2

≈ 0,001 ⇒ f2 ≈ 0,02. (P2.8)

Sustituyendo y resolviendo el sistema que forman las ecs. (P2.1) y (P2.6), obten-emos

G1 = 0,352 m3/s, (P2.9)

G2 = 0,148 m3/s. (P2.10)

Observese que el hecho de que la seccion de la rama 1 sea el doble que la de larama 2 no implica que G1 sea el doble que G2.

(b) Teniendo en cuenta que la perdida de altura por viscosidad entre los extremosde las dos ramas es h = h1 = h2, la ecuacion de la energıa para un volumen decontrol entre los puntos A y C es

αA

v2A

2g+ zA +

pA

ρg= αC

v2s

2g+ zC +

pC

ρg+ h1 + h3 −

WB

Gρg. (P2.11)

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Ademas, vA = 0 m/s, zC − zA = 20m, pA = pC = patm y αC = 1 (por serregimen turbulento). La perdida de altura por viscosidad en el ramal 1 es

h1 = f1

8 G21L1

g π2D51

= 6,71 m. (P2.12)

Para calcular h3 necesitamos conocer el correspondiente factor de friccion. Tenien-do en cuenta que el regimen es completamente turbulento, consultado el diagramade Moody encontramos

ǫ3D3

≈ 0,00065 ⇒ f3 ≈ 0,018. (P2.13)

Entonces, la perdida de altura por viscosidad en el ramal 3 es

h3 = f3

8 G23L3

g π2D53

= 13 m. (P2.14)

Despejando de la ec. (P2.11),

WB = 205,7 KW. (P2.15)

(c) En la tuberıa equivalente, a la que vamos a llamar 4, debe cumplirse:

G4 = G1 + G2 = G3, (P2.16)

h4 = h1 = h2. (P2.17)

Teniendo en cuenta que l4 = l1 y que nos dicen que supongamos que f4 = f1, laexpresion h4 = h1 se puede escribir como

f1

8 G23l1

g π2D54

= f1

8 G21l1

g π2D51

. (P2.18)

Despejando,D4 = 0,29 m. (P2.19)

7.8. Apendice: Factor de friccion para el regimen

laminar

Segun se ha visto, la determinacion del coeficiente de friccion requiere cono-cer el esfuerzo cortante que actua sobre la pared del conducto y la velocidadmedia del flujo a traves de la seccion. Esto ultimo exige determinar el perfil develocidades del fluido.

Para conseguir este objetivo, consideremos un elemento de volumen comoel que se muestra en la fig. 7.13. El balance de las fuerzas aplicadas sobre esteelemento de volumen da

−πr2dp + πr2ρg dx sen φ + 2πrτc(r)dx = 0, (7.87)

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7.8 Apendice: Factor de friccion para el regimen laminar 215

que puede simplificarse como

τc(r) =r

2

d

dx(p + ρgz), (7.88)

donde dz = −dx senφ. Si la tuberıa es de seccion e inclinacion constantes yel flujo esta completamente desarrollado, la derivada d(p + ρgz)/dx es unaconstante y puede sustituirse por incrementos finitos evaluados a partir de dossecciones del conducto,

d

dx(p + ρgz) = −∆p + ρg∆z

L, (7.89)

donde, como antes, ∆p = p1 − p2 y ∆z = z1 − z2, estando la segunda seccionaguas abajo respecto de la primera.

Si admitimos que las fuerzas cortantes que actuan alrededor del elementode fluido verifican la ley de viscosidad de Newton, se tendra

τc(r) = ηdv

dr

= −∆p + ρg∆z

2Lr, (7.90)

e integrando

v(r) = −∆p + ρg∆z

4ηL(r2 − R2)

= vmax

(

1 − r2

R2

)

, (7.91)

donde la constante de integracion se ha determinado imponiendo la condicionde no deslizamiento sobre las paredes del conducto, v(R) = 0. El maximo develocidad se alcanza sobre el eje y vale

vmax =∆p + ρg∆z

4ηLR2. (7.92)

FIGURA 7.13: Elemento de fluido infinitesimal para el calculo del perfil de velocidades de un flujo laminar en un conducto deseccion circular.

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La distribucion de velocidades parabolica dada por (7.91) se conoce con elnombre de flujo de Hagen-Poiseuille, en memoria de los trabajos experimentalesque desarrollaron estos autores y que permitieron establecer la ley de variacionde la presion.

Gotthilf Heinrich Ludwig Ha-

gen (Konigsberg, 1797; Berlın1884): Obtuvo en 1839 la llama-da ecuacion de Hagen-Poiseuille.

Jean Louis Poiseuille (1799;1869): Medico frances que desar-rollo un metodo mejorado paramedir la presion sanguınea, obtuvola ecuacion de Hagen-Poiseuille demanera independiente. La unidadde viscosidad en el S. I., el poise,toma este nombre en su honor.

A partir del perfil de velocidades se obtiene inmediatamente otros resulta-dos. El gasto es

G =

∫

A

v da

=

∫ R

0

vmax

(

1 − r2

R2

)

2πr dr

= 12vmaxπR2. (7.93)

La velocidad media en regimen laminar es por tanto la mitad de la velocidadmaxima,

v =G

A

=1

2vmax. (7.94)

El modulo del esfuerzo cortante que ejerce la pared puede entonces calcularsea partir del gradiente de la velocidad, resultando

τw = η

∣

∣

∣

∣

dv

dr

∣

∣

∣

∣

r=R

=4ηv

R. (7.95)

Teniendo en cuenta las ecs. (7.43) y (7.47), el coeficiente de friccion correspon-diente al flujo laminar vale

f =8τw

ρv2

=64η

ρvd

=64

Re. (7.96)

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Problemas propuestos 217

Problemas propuestos

7.1. La toma de agua de una boca de riego se encuen-tra a 1,05m bajo la calle y tiene 15,2 cm de diametro.La presion en la red de distribucion de agua potable esde 6,55 × 105 Pa. Un bombero conecta a la boca de riegouna manguera, cuya boquilla de salida es de 2,54 cm dediametro, y la sube por una escalera. Si se necesita unmınimo de velocidad de 2m/s en la boquilla de salida de lamanguera, calcula:

(a) la altura maxima respecto del nivel de la calle a la quepuede usar la manguera, suponiendo que las perdidas dealtura son despreciables.

(b) la altura maxima a la que puede usar la manguera,sabiendo que el diametro interior de la manguera es 5 cm,la longitud de la manguera es 100m y suponiendo que lasperdidas de altura debidas a la viscosidad entre la toma deagua y la boca de riego, ası como las perdidas de alturalocalizadas, son despreciables, pero no lo son las perdidasde altura debidas a la viscosidad en la manguera.

Dato adicional: Rugosidad de la manguera: ǫ = 0,4mm.

7.2. En la figura se muestra parte de la instalacion de sum-inistro de agua de una casa de campo. Para elevar el aguadesde el pozo a la casa se dispone de una bomba flotante,que aumenta la presion del agua en una cantidad que de-notaremos por ∆p (es decir, la diferencia entre la presiondel agua a la salida de la bomba y la presion a la entradaes ∆p), y que esta conectada a una tuberıa de 5 cm2 deseccion. La alcachofa de la ducha consta de 100 agujerosde 2/

√π mm de diametro.

Se quiere que el caudal en D sea de 0,1 l/s, una vez al-canzado el regimen estacionario. Si consideramos el aguacomo un fluido ideal y suponemos que el nivel de agua enel pozo se mantiene siempre constante,

(a) ¿con que velocidad debe entrar el agua en la tuberıa(B)?

(b) ¿cual debe ser la presion del agua a la entrada de latuberıa (B)?

(c) ¿cual debe ser entonces el incremento de presion ∆pque produzca la bomba?

Si la bomba fuera sumergible y se instalara en el fondo delpozo (B′),

(d) ¿cual deberıa ser entonces el incremento de presion∆p′ que produzca la bomba?

(e) ¿y la presion del agua a la salida de la bomba?

Datos adicionales: Usar los siguientes valores: 1 atm =105 Pa, ρg = 103 kp/m3.

Bomba

B

B'

D

4 m

2 m

2 m

PROBLEMA 7.2

7.3. El abastecimiento de agua de un edificio se realiza me-diante una tuberıa vertical de 20mm de diametro y 20mde longitud. Por el extremo superior de la tuberıa el aguasale en regimen estacionario a la atmosfera con un gastode 5,5 × 10−4 m3/s.

(a) Suponiendo que el agua se comporta como un fluidoideal, calcula la presion que debe tener el agua a la entradade la tuberıa.

Suponiendo que el agua se comporta como un fluido viscosocalcula:

(b) El numero de Reynolds e indica si el regimen es lami-nar o turbulento.

(c) La perdida de altura debida a la viscosidad.

(d) La presion que debe tener el agua a la entrada de latuberıa.

Datos adicionales: Presion atmosferica: patm = 105 Pa.Densidad del agua: ρ = 103 kg/m3. Viscosidad del agua:η = 10−3 Pa s. Rugosidad del interior de la tuberıa: ǫ =0,2mm.

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7.4. La figura representa el sistema de riego de una finca.El agua se toma de una alberca mediante de una bombasumergida en el fondo, que la impulsa por una tuberıa dediametro constante D = 5 cm hasta la zona de huerta.Para un riego eficiente se recomienda inundar la parcelacon 1 litro de agua cada 0,5 segundos.

¿Cuales deben ser el incremento de presion ∆p y la po-tencia que suministre la bomba si queremos mantener elcaudal al valor recomendado y superar ademas las perdidasde altura por viscosidad y localizadas en el codo indicado yen el grifo de la instalacion?

Datos adicionales: ρagua = 103 kg/m3, ηagua = 10−3 Pa s,ǫtuberia = 0,1mm, Kcodo = 0,9, Kgrifo = 2,7. Tomeseg = 10m/s2.

Grifo37 m

10 m

2 m 3 m

10°

Codo

Bomba

PROBLEMA 7.4

7.5. Del pozo de la figura se extrae agua mediante unabomba B y una tuberıa de diametro D1 = 6 cm, longitudL1 = 12m, y rugosidad ǫ1 = 0,5mm. A esta tuberıa se leconecta en su extremo C otra horizontal mas estrecha, dediametro D2 = 2,5 cm, longitud L2 = 15m, y rugosidadǫ2 = 0,1 mm. Sabiendo que el nivel de agua en el pozo semantiene constante a una profundidad d = 9m y que lavelocidad de salida del agua es de 8 m/s, calcula:

(a) la perdida de altura total debida a la viscosidad.

(b) el total de las perdidas de altura localizadas.

(c) la potencia que debe suministrar la bomba.

Datos adicionales: ρ agua = 103 kg/m3, η agua = 10−3 Pa s,1 atm= 105 Pa, g = 9,8m/s2, K entrada = 0,8, K codo =1,2, K estrechamiento = 0,35 (referida a la seccion de salida).

PROBLEMA 7.5

7.6. La figura muestra un gran deposito de agua cerrado

del que parte una tuberıa cilındrica recta, BC, de 60m delongitud y 3 cm de diametro. En C hay un estrechamientobrusco que conecta la tuberıa BC con una boquilla CS,de 1,5 cm de diametro y longitud despreciable, por la queel agua se vierte a la atmosfera con una velocidad de 4 m/s.El nivel del agua en el deposito se mantiene constante entodo momento. Calcula:

(a) La velocidad media del agua en la tuberıa BC.

(b) El numero de Reynolds correspondiente a la tu-berıa BC en la situacion descrita, y el tipo de regimende flujo.

(c) La perdida de altura debida a la viscosidad en la tu-berıa BC.

(d) Las perdidas de altura localizadas en B y C.

(e) La presion del aire encerrado en el deposito.

Si se perfora el deposito por arriba, de manera que la presiondel aire pasa a ser la presion atmosferica, y se despreciantodas las perdidas de altura. Calcula:

(f) La velocidad con la que el agua se vierte a laatmosfera.

Datos adicionales: Rugosidad de la tuberıa, ǫ = 0,12mm.Coeficiente de perdida de altura local en la entrada B,KB = 2. Coeficiente de perdida de altura local en el es-trechamiento C, KC = 4 (referido a la velocidad de en-

trada). Densidad del agua, ρ = 103 kg/m3. Viscosidad delagua, η = 10−3 Pa s. Presion atmosferica, patm = 105 Pa.Toma g = 10m/s2.

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Problemas propuestos 219

PROBLEMA 7.6

7.7. En la figura se muestran dos grandes depositos de aguaconectados mediante una tuberıa de hierro forjado de 16 cmde diametro. Se necesita bombear agua desde el deposito in-ferior al deposito superior con un gasto de 0,113m3/s, paralo cual se ha instalado una bomba en uno de los tramos dela tuberıa. Determina:

(a) El numero de Reynolds correspondiente al flujo en latuberıa.

(b) La perdida total de altura debida a la viscosidad.

(c) La perdida total de altura de caracter localizado.

(d) La potencia que debe tener la bomba para llevar acabo su cometido.

Datos adicionales: Densidad del agua: ρ = 103 kg/m3.Viscosidad del agua: η = 10−3 Pa s. Rugosidad de la tu-berıa: ǫ = 0,032mm. Coeficientes de perdidas localizdas:Kentrada = 0,5, Ksalida = 1, Kcodo = 0,64.

B

10 m 10 m

8 m10 m

20 m

Agua

Agua

25 m

PROBLEMA 7.7

7.8. Del fondo de un gran estanque de agua abierto a laatmosfera, cuyo nivel libre A tiene una cota constante, saleuna tuberıa cilındrica rectilınea BC de longitud L = 100my diametro constante D = 0,5 m. El extremo C vierte elagua a la atmosfera, 80 metros por debajo del nivel A.La tuberıa esta hecha de hierro galvanizado de rugosidadǫ = 0,20mm. En el trayecto de la tuberıa se ha instaladouna turbina T para extraer energıa del agua que fluye. Comoreguladora del caudal se emplea una valvula de esfera semi-abierta Q, cuyo coeficiente de perdida de altura localizadaes KQ = 9. Se observa que en estado estacionario el gastode agua por el extremo C de la tuberıa es G = 0,5m3/s.Calcula:

(a) La velocidad media del agua en la tuberıa.

(b) El numero de Reynolds correspondiente a la situaciondescrita, y el tipo de regimen de flujo.

(c) La perdida de altura debida a la viscosidad en todo eltrayecto de la tuberıa.

(d) La perdida de altura localizada en la valvula Q.

(e) La altura de turbina y la potencia generada por laturbina T , si se supone que su rendimiento es del 100%.

Datos adicionales: El estanque es lo suficientemente grandecomo para suponer que el nivel del agua de la superfi-cie no desciende durante el proceso. Densidad del agua,ρ = 103 kg/m3. Viscosidad del agua, η = 10−3 Pa s.

80 m T

Q

A

B

C

PROBLEMA 7.8

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Cuestiones

7.1. Considere un fluido viscoso circulando en regimen lam-inar y estacionario por una tuberıa. Sea τp el esfuerzo cor-tante que actua sobre el fluido en el contacto con la paredy sea vp la velocidad del fluido en el contacto con la pared.Se tendra entonces que

(a) τp = 0, vp = 0.

(b) τp 6= 0, vp = 0.

(c) τp 6= 0, vp 6= 0.

(d) τp = 0, vp 6= 0.

7.2. Sea un fluido que circula por una tuberıa de seccionconstante en regimen estacionario. El espesor de la capalımite viscosa

(a) va aumentando conforme avanza el fluido en la tu-berıa.

(b) es menor cuanto mayor es el numero de Reynolds.

(c) es mayor cuanto mas rugosa es la tuberıa.

(d) es independiente de la velocidad media del fluido.

7.3. Por una tuberıa cilındrica de 3 cm de radio circula enregimen estacionario un fluido incompresible con veloci-dad v. En un punto la tuberıa se estrecha y a partir deahı tiene una seccion circular de 1 cm de radio. Entoncespodemos afirmar que la velocidad del fluido en el tramo demenor seccion es

(a) v.

(b) 6v.

(c) 9v.

(d) 3v.

7.4. Una tuberıa rectilınea horizontal de longitud 100m yseccion constante transporta agua con un gasto constantede 20 l/s segundo, y la vierte a la atmosfera. La modifi-cacion del diseno inicial de la instalacion requiere inclinarla tuberıa 10◦, elevando la salida pero manteniendo el nivelde la entrada. Si se desea que el gasto siga siendo el mismo,la presion del agua a la entrada de la tuberıa

(a) debe aumentarse para compensar unas mayores perdi-das de carga.

(b) no debe cambiarse, pues la nueva instalacion no con-lleva unas mayores perdidas de altura.

(c) debe aumentarse, aun cuando la modificacion de la in-stalacion no conlleva unas mayores perdidas de altura porviscosidad.

(d) debe disminuirse para compensar el desnivel entre laentrada y la salida de la tuberıa.

7.5. Consideremos un fluido incompresible que circula poruna tuberıa cilındrica de seccion constante en regimen esta-cionario. La perdida de altura que se produce entre dossecciones dadas de la tuberıa no depende

(a) de la velocidad media, si el regimen es completamenteturbulento.

(b) de la rugosidad de la tuberıa, si el regimen es laminar.

(c) del diametro de la tuberıa, tanto en regimen laminarcomo turbulento.

(d) de la longitud de tuberıa entre ambas secciones, tantoen regimen laminar como turbulento.

7.6. Por el tramo de tuberıa de la figura circula un fluidode densidad ρ en el sentido indicado por las flechas y enregimen estacionario, siendo las secciones A y C identicas.Si llamamos pA, pB y pC a las presiones en los puntos A,B y C, respectivamente, podemos afirmar que

(a) pB = pC = pA + ρgd.

(b) pA = pC > pB.

(c) pA > pB > pC .

(d) no es posible establecer en que punto (A, B o C) lapresion es mayor sin conocer la distancia d ni las perdidasde altura que se producen en dicho tramo.

CUESTION 7.6

7.7. Sea HB la altura de bomba, ρ la densidad, ǫ/D larugosidad (o aspereza) relativa de una tuberıa cilındrica,Re el numero de Reynolds y f el coeficiente o factor defriccion. De estos parametros, son adimensionales

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Cuestiones 221

(a) HB, ρ y ǫ/D.

(b) HB, Re y f .

(c) ǫ/D, Re y f .

(d) HB, ǫ/D y f .

7.8. Sea una valvula acoplada a una tuberıa horizontal deseccion constante que, cuando esta semiabierta, tiene uncoeficiente de perdida de altura localizada K, siendo enese momento la velocidad del fluido por la tuberıa v y lacaıda de presion en la valvula ∆p. Al abrir por completo lavalvula se observa que la caıda de presion disminuye a 2

3∆p

y la velocidad aumenta a 2v. ¿Cual es entonces el nuevocoeficiente de perdida de altura local, K ′, para la valvulacompletamente abierta?

(a) K ′ = K/6.

(b) K ′ = K/3.

(c) K ′ = 3K/4.

(d) K ′ = 3K/2.

7.9. Sea un sistema de dos tuberıas de diametros fijos enparalelo, por el que circula un fluido en regimen estacionarioy completamente turbulento en ambas tuberıas. Teniendoen cuenta las leyes de la asociacion en paralelo y despre-ciando las perdidas de altura localizadas, ¿que ocurrirıa siel gasto en una de las tuberıas se hiciera el doble del quetenıa originalmente?

(a) El gasto en la otra tendrıa que hacerse la mitad.

(b) Por la otra podrıa seguir circulando el mismo gasto.

(c) El gasto en la otra se harıa mayor, pero no necesaria-mente el doble.

(d) El gasto tendrıa que hacerse tambien doble en la otra.

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