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Capıtulo 6

Estatica de fluidos

6.1. Introduccion

La segunda parte del curso esta dedicada al estudio de los fundamentosfısicos de las instalaciones arquitectonicas. Los temas 6 y 7 tienen por objeto,respectivamente, el estudio del comportamiento estatico y dinamico de los flui-dos, que colectivamente se conoce como Mecanica de Fluidos. Las aplicacionesde la Mecanica de Fluidos en el ambito de la construccion son muy variadas.Por ejemplo: redes de tuberıas para el agua o el gas, embalses (de lıquidos eincluso de tierras), piscinas, etc.

6.1.1. Solidos, lıquidos, gases

La materia suele presentarse en uno de los siguientes tres estados, llamadosestados de agregacion: solido, lıquido y gaseoso. Las propiedades fısicas quepresenta la materia en estos estados estan estrechamente ligadas a la intensidadde las interacciones entre las partıculas (atomos o moleculas) que constituyenla materia. Ası, tenemos que:

En un solido, la interaccion entre las partıculas es tan fuerte que estas solido

ocupan posiciones fijas en un retıculo tridimensional (red cristalina) ysolo estan permitidos movimientos oscilatorios de pequena amplitud entorno a sus posiciones de equilibrio. Consecuencia de ello es que los soli-dos tienen forma y volumen propios, siendo este ultimo practicamenteinvariable frente a cambios de presion (incompresible) y de temperatura(no dilatable).

En un lıquido, la interaccion entre las partıculas es mas debil que la lıquido

existente en los solidos, por lo que estas no ocupan posiciones fijas enuna red sino que tienen cierta libertad para moverse. En consecuencia,los lıquidos carecen de forma propia, adoptando la del recipiente que loscontiene. Sin embargo, como los solidos, tienen volumen propio y sonpoco compresibles y dilatables.

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166 Estatica de fluidos

En un gas, por ultimo, la interaccion entre las partıculas es muy debilgas

y puede ignorase habitualmente. Este hecho se traduce en que los gasescarecen de forma y volumen propios (tienden a ocupar todo el volumendisponible) y se comprimen y dilatan con facilidad. A temperatura am-biente y presion atmosferica, los gases son tıpicamente 1000 veces menosdensos que los solidos y los lıquidos.

6.1.2. Concepto de fluido

A los gases y a los lıquidos se les denomina genericamente fluidos. Sin embar-fluidos

go, la clasificacion precisa de una substancia como fluido se efectua en funcionde su respuesta a la aplicacion de un esfuerzo cortante.dF

→n

dF→

da

dF→t

FIGURA 6.1: Componentes normal ytangencial de una fuerza.

Supongamos que sobre una substancia se aplica una fuerza distribuida sobreuna cierta superficie. Sea d~F la fuerza que se ejerce sobre un area infinitesimalda. Dicha fuerza puede descomponerse en una componente normal, d~Fn, y otratangencial, d~Ft (fig. 6.1). Se denomina esfuerzo 1 a la fuerza que actua porunidad de area:

~τ =d~F

da. (6.1)

El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante son, respectivamente, las componentesnormales y tangenciales del vector esfuerzo:

~τn =d~Fn

da, (6.2)

~τc =d~Ft

da. (6.3)

En este contexto, una substancia se clasifica como fluido si se pone en movimien-to, deformandose, bajo la accion de un esfuerzo cortante, sin importar cuanpequeno sea este, y continua deformandose hasta que cesa el esfuerzo cortante.

∆x

y

h

0(a)

→tc

V

(b)

→tc

FIGURA 6.2: Comportamiento de unsolido elastico (a) y de un fluido (b)ante la aplicacion de un esfuerzo cor-tante.

El comportamiento de los fluidos frente a un esfuerzo cortante es, por tanto,completamente distinto al que presentan los solidos. Un solido, como el que semuestra en la fig. 6.2a, puede resistir un esfuerzo cortante mediante una defor-macion estatica, de magnitud ∆x, proporcional al esfuerzo cortante aplicado,siendo

τc ∝∆x

h. (6.4)

Cuando el esfuerzo cortante aplicado cesa, el solido recupera su forma original.Consideremos en cambio un fluido alojado entre dos placas planas paralelas(fig. 6.2b). Segun dicta la experiencia, las partıculas de fluido en contacto conuna superficie solida se adhieren a la misma y se desplazan con la velocidadde esta (condicion de no deslizamiento). Por tanto, si se aplica una fuerzahorizontal sobre la placa superior (y = h) se estara tambien ejerciendo uncierto esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido. De acuerdo con ladefinicion de fluido, este no podra entonces permanecer en reposo y se pondra enmovimiento. Experimentalmente se observa que el esfuerzo cortante aplicado esproporcional a la velocidad V que adquiere la placa y la capa de fluido superior

τc ∝V

h. (6.5)

1En ciertos textos, a la fuerza por unidad de superficie se le denomina tension.

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6.2 Algunas propiedades de los fluidos 167

El fluido continuara moviendose hasta que cese todo esfuerzo cortante. Sinembargo, cuando esto ocurra, el fluido no recuperara su forma original sino quequedara permanentemente deformado.

El comportamiento de los solidos que hemos descrito al principio es el de lossolidos elasticos. Los llamados solidos plasticos tienen un comportamiento in-termedio entre solidos y fluidos. Dichos materiales pueden resistir mediante unadeformacion estatica esfuerzos cortantes que no superen un cierto valor lımitey no esten actuando durante un perıodo de tiempo prolongado. Sin embargo,cuando se supera dicho lımite o el esfuerzo se aplica durante largo tiempo, elsolido plastico fluye deformandose permanentemente.

6.2. Algunas propiedades de los fluidos

El estudio de los fluidos pueden efectuarse desde dos puntos de vista distin-tos: macroscopico o microscopico. El punto de vista que adoptamos aquı es elmacroscopico. Este es el enfoque que adopta la mecanica de los medios continu-os, que considera al fluido como un medio continuo sin espacios vacıos, tal comoaparece a nuestros sentidos, ignorando partıculas materiales (atomos o molecu-las) que los constituyen. Por tanto, cuando hablemos de partıcula de fluido o partıcula de fluido

partıcula fluida nos estaremos refiriendo a una porcion de fluido con dimen-siones infinitesimales comparadas con el volumen total, pero suficientementegrande como para poder asumir un punto de vista macroscopico, es decir, lapartıcula fluida contendra un numero muy elevado de las partıculas materialesque constituyen el fluido. Por el contrario, el enfoque microscopico del estudiode los fluidos considera que la materia esta formada por atomos o moleculas yobtiene las propiedades macroscopicas de los fluidos como promedio sobre ungran numero de estas partıculas materiales. Ası, por ejemplo, la temperaturapuede relacionarse con la energıa cinetica media de los atomos o moleculas.Esta es la forma de proceder de la teorıa cinetico-molecular y de la mecanicaestadıstica.

Presentamos seguidamente algunas de las propiedades mas relevantes de losfluidos desde un enfoque macroscopico.

6.2.1. Densidad

Se define la densidad ρ como densidad

ρ = lım∆V →0

∆m

∆V. (6.6)

donde ∆m es la masa contenida en el volumen ∆V . En el SI la densidad semide en kg/m3. Fısicamente no podemos hacer ∆V → 0, ya que a medidaque ∆V se hace muy pequeno, la masa contenida en ∆V variara de maneradiscontinua dependiendo del numero de atomos o moleculas que haya en ∆V .En realidad, el cero en la definicion de densidad deberıa reemplazarse por uncierto volumen lımite por debajo del cual la hipotesis del continuo falla. Paratodos los lıquidos y gases a presion atmosferica, un valor tıpico de dicho volumenlımite es 10−9mm3. Por ejemplo, 10−9mm3 de aire en condiciones normalescontiene aproximadamente 3 × 107 moleculas, lo cual es suficiente para definiruna densidad constante de acuerdo con la ec. (6.6). Este volumen es, a su vez,el volumen mas pequeno que podemos considerar para una partıcula fluida.

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Tıpicamente, la densidad de los gases es unas mil veces menor que la delos lıquidos. Por ejemplo, la densidad del aire a presion atmosferica y 15◦ C detemperatura es 1,23 kg/m3. La del agua es 103 kg/m3.

La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si ladensidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que eshomogeneo. En caso contrario, se dice que es heterogeneo.

6.2.2. Peso especıfico

Se define el peso especıfico γ comopeso especıfico

γ = lım∆V →0

∆mg

∆V, (6.7)

donde g es el modulo de la aceleracion debida al campo gravitatorio terrestreen la superficie de la tierra (g = 9,8 m/s2). El peso especıfico es pues el pesopor unidad de volumen. Las unidades de peso especıfico en el SI son N/m3. Larelacion entre el peso especıfico y la densidad es γ = ρg.

6.2.3. Viscosidad

En el seno de un fluido en movimiento surgen esfuerzos normales y cortantesentre una partıcula fluida y sus vecinas. Tales esfuerzos frenan o aceleran lapartıcula fluida, de forma que por su accion la partıcula tiende a igualar suvelocidad con la de las partıculas que la rodean. Estos esfuerzos estan rela-cionados con la propiedad del fluido denominada viscosidad. La viscosidad esuna propiedad importantısima en dinamica de fluidos. Como veremos mas ade-lante, la viscosidad controla la cantidad de fluido que puede ser transportadapor una conduccion y las perdidas de energıa que se producen asociadas a estetransporte. Ademas, su valor es decisivo para que en el flujo se produzcan o noturbulencias. En esta seccion centraremos nuestra atencion sobre los esfuerzoscortantes viscosos.

Consideremos nuevamente el fluido confinado entre dos placas paralelasmostrado en la fig. 6.2b. Segun ya se ha visto, la aplicacion de un esfuerzocortante sobre la capa superior de fluido (y = h) pone en movimiento a lamisma con una velocidad V , siendo el esfuerzo cortante proporcional a razonV/h. Debido la viscosidad del fluido, la capa de fluido superior ejerce un esfuerzocortante sobre la capa subyacente, tirando de la misma y poniendola a su vezen movimiento. Este hecho se repite en las capas inferiores consecutivas hastaalcanzar la placa inferior (y = 0). La velocidad del fluido junto a la placainferior es cero, por encontrarse esta en reposo. En las capas intermedias, seobserva que la velocidad del fluido es proporcional a su distancia a la placainferior, de forma que

v(z) =V

hz. (6.8)

Por analogıa con la capa de fluido superior, en las capas de fluido intermediastambien existira un esfuerzo cortante debido a la viscosidad, de valor

τc ∝v(z)

z=V

h. (6.9)

De forma mas general, los esfuerzos cortantes de origen viscoso que surgen entrecapas de fluidos que se mueven a distinta velocidad satisfacen la denominadaley de la viscosidad de Newton,ley de la viscosidad de newton

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6.2 Algunas propiedades de los fluidos 169

τc = ηdv

dz, (6.10)

La constante de proporcionalidad η se denomina coeficiente de viscosidad dina-mica o, simplemente, viscosidad dinamica del fluido. De esta manera, la viscosi- coeficiente de viscosidad dinamica

dad es una propiedad fısica del fluido que caracteriza la resistencia al desliza-miento relativo de capas contiguas del fluido. La magnitud dv/dz representael cambio de velocidad en la direccion normal a la de la propia velocidad y sedenomina gradiente de velocidad o razon de deformacion. Teniendo en cuen-ta la ec. (6.8), la razon de deformacion del fluido en el ejemplo que estamosconsiderando es precisamente dv/dz = V/h.

Las unidades de τc en el SI son N/m2 (o Pa). Las unidades de η son puesPa s. En el sistema cegesimal la unidad empleada es el poise (p), 1 poise =

1 dina s/cm2. El factor de conversion al SI es: 10 poise = 1 Pa s. Relacionada

con la viscosidad dinamica, la viscosidad cinematica se define como ν = η/ρ,donde ρ es la densidad del fluido. Sus dimensiones en el SI son m2/s, mientrasque en el sistema cegesimal es el stoke (st), 1 stoke = 10−4 m2/s.

George Gabriel Stokes (Skreen,1819; Cambridge, 1903):Matematico y fısico irlandesque contribuyo a la ciencia dela hidrodinamica con su ley deviscosidad. Stokes investigo elmovimiento de fluidos incompresi-bles, la friccion en los fluidos y elmovimiento elastico de los solidos.

dilatante

newtoniano

pseudoplástico

plásticoideal

razón de deformaciónes

fuer

zoco

rtan

te

FIGURA 6.3: Dependencia del esfuer-zo cortante con la razon de defor-macion en fluidos newtonianos, no-newtonianos y en plasticos.

La ec. (6.10) es aplicable a los fluidos newtonianos, tales como el agua, elaire o el aceite. Existen otros fluidos (fluidos no-newtonianos) en los cuales elesfuerzo cortante viscoso no es directamente proporcional a la razon de defor-macion, sino que guarda otro tipo de relacion mas compleja (fig. 6.3). Ejemplosde fluidos no newtonianos son los fluidos pseudoplasticos (sangre, leche, cemen-to antes de fraguar) y los fluidos dilatantes (almıbar). Por otro lado, tambienexisten fluidos en los que el esfuerzo cortante que ha de aplicarse para man-tener una razon de deformacion constante (dv/dz = cte) cambia en el tiempo(fig. 6.4). Tales fluidos se clasifican como fluidos tixotropicos (ciertos tipo de pin-turas, cementos y hormigones) o fluidos reopecticos (substancias bituminosas).No obstante, lo que sı es comun para todos los fluidos es que los esfuerzoscortantes debidos a la viscosidad solo aparecen cuando existe un gradiente develocidad. En caso de que la velocidad sea constante o, simplemente, el fluidoeste en reposo, tales esfuerzos no existiran.

reopéctico

newtoniano

tixotrópico

tiempo

esfu

erzo

cort

ante

FIGURA 6.4: Variacion en el tiempodel esfuerzo cortante que ha de apli-carse para mantener una razon de de-formacion constante en el fluido.

La viscosidad de un fluido depende de su temperatura. En los lıquidos laviscosidad disminuye conforme aumenta la temperatura, mientras que en losgases sucede lo contrario. La dependencia con la temperatura es, ademas, muchomas fuerte en lıquidos que en gases. El motivo de este distinto comportamientose debe a que en los lıquidos la viscosidad se ve influenciada principalmentepor las fuerzas de cohesion que existen entre sus moleculas, mientras que enlos gases las fuerzas de cohesion son despreciables y son las colisiones entremoleculas las que provocan los esfuerzos internos de friccion.

En caso de que los efectos de la viscosidad en un fluido puedan despreciarse(matematicamente, cuando la viscosidad tiende a cero) se dice que el fluido esun fluido perfecto. En el seno de un fluido perfecto no hay esfuerzos cortantes

fluido perfecto

de origen viscoso. Si, ademas, la densidad es constante en todos sus puntos, sedice que es un fluido ideal.

fluido ideal

6.2.4. Compresibilidad

El volumen de un fluido depende de la presion y de la temperatura a laque se encuentre. La compresibilidad de un fluido viene caracterizada por su

compresibilidadcoeficiente de compresibilidad, que mide la variacion (por unidad de volumen)del volumen del fluido con la presion a temperatura constante.

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Todos los fluidos se comprimen en cierta medida cuando se ejerce sobre ellosuna presion, y el resultado de dicha compresion se manifiesta como un incre-mento de su densidad. La compresibilidad de los gases es bastante aparente.Por el contrario, las presiones requeridas para cambiar el volumen de un lıquidoson tan elevadas que estos pueden considerarse practicamente incompresibles.Ası, por ejemplo, para causar un cambio del 1% en la densidad del agua serequiere una presion de 21 × 106 Pa (aproximadamente 210 atmosferas).

Sin embargo, pequenos cambios en la densidad de un lıquido pueden sermuy significativos si estan presentes cambios de presion grandes. Por ejemplo,el efecto llamado golpe de ariete se produce al cerrar rapidamente una valvulaen una tuberıa, lo que da lugar a un aumento subito de presion junto a lavalvula. Se genera entonces una onda de presion interna que se propaga aguasarriba a lo largo de la tuberıa, se refleja en el extremo, y retorna de nuevo haciala valvula, repitiendose este movimiento de forma periodica. Como resultado,se produce un sonido de martilleo debido al movimiento de la tuberıa cuandola onda se refleja en la valvula cerrada.

6.2.5. Tension superficial y capilaridad

Las moleculas situadas en la superficie de un lıquido estan sujetas a fuerzasatractivas de cohesion ejercidas por las moleculas vecinas, de forma que la su-perficie se encuentra en un estado de tension similar al que se tiene en unamembrana. Debido a esta tension, la superficie libre de un lıquido tiende a sermınima. Para ilustrar el efecto de esta tension podemos considerar el experi-mento que se muestra en la fig. 6.5. Un alambre en forma de U esta cerradopor otro alambre recto, de longitud d, que puede deslizar sin friccion sobreel primero. Si colocamos una delgada pelıcula de lıquido sobre el alambre, lapelıcula tiende a colapsar a causa de la tension de su superficie. Para evitarlo, esnecesario ejercer sobre el alambre movil una fuerza proporcional a su longitud,tal que

F = σ2d. (6.11)

El coeficiente de proporcionalidad σ recibe el nombre de coeficiente de tensionsuperficial o, simplemente, tension superficial. El factor numerico 2 es debido atension superficial

que la pelıcula de lıquido posee dos caras, por lo que la fuerza ha de ser tambiendoble. La tension superficial depende de la naturaleza del lıquido, del medioque lo rodea y de la temperatura. En general, la tension superficial disminuyecon la temperatura, pues las fuerzas de cohesion disminuyen al aumentar laagitacion termica. La tension superficial tiene dimensiones de fuerza por unidadde longitud y, por tanto, se mide en N/m. Para el agua a 15◦C su valor esσ = 0,0741N/m.

q<π_2 θ

q>π_2

FIGURA 6.6: Angulo de contacto enla interfaz para un lıquido que mojala pared del recipiente (izda.) y otroque no moja dicha pared (dcha.).

Cuando un lıquido entra en contacto con las paredes del recipiente, el lıquidoadopta una forma curva que se denomina menisco (fig. 6.6). La formacion delmenisco se debe a que las moleculas del lıquido no solo interaccionan con elresto del fluido (fuerzas de cohesion) sino tambien con las moleculas de la paredsolida del recipiente (fuerzas de adhesion). La forma final que adopta el meniscosurge de la competencia entre las fuerzas de cohesion y de adhesion. El meniscose caracteriza por el angulo de contacto entre la pared y el lıquido. Ası, si elangulo de contacto es θ < π/2 se dice que el lıquido moja la pared, y si θ > π/2el lıquido no moja la pared. El angulo de contacto entre el agua y el vidriolimpio es θ = 0, lo que corresponde a una mojabilidad perfecta.

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6.3 Presion 171

→F

película de fluido

varilla deslizante

película de fluido

varilla deslizante

d

FIGURA 6.5: Experimento para ilus-trar la existencia de las fuerzasde tension superficial. Si no actuaninguna fuerza, las fuerzas de ten-sion superficial de la pelıcula de flu-ido hacen que la varilla deslizanteeste en la posicion de la izquierda.Solo si actua una fuerza se logra esti-rar la pelıcula de fluido como se ilus-tra a la derecha.

La curvatura que adopta la interfaz lıquido-aire en el equilibrio da origen auna sobrepresion ∆p en el lıquido debido a tension superficial. A consecuenciade esta sobrepresion, el nivel de un lıquido en un tubo capilar (tubo de pequenodiametro) difiere del nivel del mismo lıquido en un vaso ancho comunicantecon aquel. El nivel del lıquido en el tubo capilar es mas alto (mas bajo) queen el vaso comunicante si el lıquido moja (no moja) sus paredes (fig. 6.7). Lamagnitud de la elevacion capilar esta dada por

h =2σ cos θ

γR, (6.12)

donde σ es la tension superficial, γ el peso especıfico y R el radio del capilar.

FIGURA 6.7: Elevacion capilar de unlıquido que moja la pared (izda.) y deotro que no moja la pared (dcha.).

El fenomeno del ascenso capilar del agua es de suma importancia en con-struccion. Ası, los cimientos de las estructuras pueden humedecerse por la ac-cion de la capilaridad sobre las aguas freaticas, provocando la corrosion delacero de refuerzo usado en estos. Cuando los niveles de ascenso capilar sonmuy altos, el agua puede alcanzar las paredes de la edificacion, generandoseproblemas en los ladrillos y los acabados de la edificacion.

6.3. Presion

6.3.1. Concepto y unidades

Segun hemos visto en la seccion anterior, los unicos esfuerzos que pueden es-tar actuando sobre un fluido en reposo son esfuerzos normales. Dichos esfuerzosson de compresion y definen la presion, p, en un punto del fluido segun presion

p = |~τn| =d|~Fn|

da, (6.13)

donde d~Fn es la fuerza normal que actua sobre el area elemental da que contieneal punto. Notese que la presion es una magnitud escalar. Su unidad fundamentalen el SI es el newton por metro cuadrado (N/m2) o pascal (Pa). Como el pascal pascal

es una unidad de presion muy pequena, frecuentemente se expresa la presionen kilopascales (kPa) o megapascales (MPa). Por ejemplo, la presion de laatmosfera a nivel del mar es 101,2 kPa.

Otras unidades de presion habitualmente usadas y sus equivalencias son:

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FIGURA 6.8: Equilibrio de una cunaelemental de fluido en reposo. Porclaridad se omiten las fuerzas de pre-sion paralelas al eje x.

dx

p dxdyz

q

qp dxdzy

p dldxq

dz

dy

dl

x

y

z

dW→

Atmosfera (atm o atmos), es la presion promedio en la atmosfera de laTierra a nivel del mar. 1 atm = 101,325 kPa ≈ 105 Pa.

Baria (ba), es la unidad de presion CGS. 1 baria = 1 dina/cm2 = 0,1 Pa.

Bar (b). 1 bar = 105 Pa ≈ 1 atm.

Milımetro de mercurio (mm Hg o torr, es la presion que ejerce sobre subase una columna de mercurio de un milımetro de altura a nivel del mar.760 mmHg = 1 atm.

Evangelista Torricelli (Faenza,1608; Florencia, 1647): Fısico ital-iano que investigo el vacıo y con-struyo el primer barometro de mer-curio.

Frecuentemente, los valores de la presion suelen darse referidos a la presionatmosferica local. Dicha presion se denomina presion manometrica, pman,presion manometrica

pman = p− patm. (6.14)

y puede adquirir valores tanto positivos como negativos. En contraste, la presionabsoluta, p, siempre es positiva y solo alcanza el cero cuando se logra un vacıopresion absoluta

ideal, esto es, cuando no quedan moleculas o atomos en un espacio.

6.3.2. Presion en un punto

La presion en un punto de un fluido en reposo se ha definido como el modulode la fuerza normal dividida entre el area infinitesimal sobre la que actua. Cabepreguntarse si el valor de la presion ası obtenido se modificarıa al cambiar laorientacion del area infinitesimal.

Para mostrar que esto no sucede, consideremos el elemento de volumen enforma de cuna, que se muestra en la fig. 6.8. Sea pθ la presion que actua sobrela cara de area dx dl, dispuesta con inclinacion θ, y sean py y pz las presionesque actuan sobre las caras vertical y horizontal, de areas respectivas dx dy ydx dz. Por sencillez, supondremos que la unica fuerza de volumen presente esel peso de la cuna, de modulo

dW =1

2dx dy dzρg. (6.15)

Segun vimos en la seccion V-A del capıtulo 2, la nulidad de la resultante delas fuerzas que actuan sobre un sistema material es condicion necesaria de

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6.3 Presion 173

equilibrio para dicho sistema. Si exigimos esta nulidad para las componentes yy z de las fuerzas presentes resulta,

pydx dz − pθdx dl sen θ = 0, (6.16)

pzdx dy − pθdx dl cos θ −1

2dxdydzρg = 0. (6.17)

Teniendo en cuenta que

dz = dl sen θ, (6.18)

dy = dl cos θ, (6.19)

las ecuaciones (6.16) y (6.17) quedan como

py − pθ = 0, (6.20)

pz − pθ −1

2dzρg = 0. (6.21)

El ultimo termino de la segunda ecuacion es un infinitesimo que puede despre-ciarse frente a los otros sumandos. Resulta entonces,

py = pz = pθ, (6.22)

cualquiera que sea el angulo θ. Si la orientacion de la cuna fuese a lo largo deleje x en lugar del eje y, un razonamiento similar conducirıa a

px = pz = pθ. (6.23)

Puesto que la orientacion de los ejes x e y es arbitraria, podemos entoncesconcluir que la presion en un punto es independiente de la orientacion delarea infinitesimal elegida en su definicion. En otras palabras, la presion es unafuncion del punto.

La ec. (6.13) no puede usarse como definicion de presion en un fluido enmovimiento, pues en estos existen esfuerzos normales de naturaleza viscosa quedependen de los gradientes de velocidad, y estos son diferentes en cada direccionde espacio. Por tanto, el valor de la presion que se obtendrıa a partir de (6.13)dependerıa (aunque en general debilmente) de la orientacion elegida para da.Sin embargo, en los flujos incompresibles, que seran los que trataremos aquı,puede demostrarse que el promedio de los esfuerzos normales que actuan segunlas tres direcciones del espacio es independiente de la razon de deformaciondel fluido. Por dicho motivo, en los fluidos en movimiento, se define la presioncomo

p =1

3(|~τnx| + |~τny| + |~τnz|) . (6.24)

En un fluido perfecto, sin viscosidad, los esfuerzos viscosos estan ausentes tantosi el fluido esta en reposo como si esta en movimiento. En tal caso, la definicionde presion segun (6.13) sigue siendo valida.

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FIGURA 6.9: Equilibrio de unapartıcula de fluido en reposo en elseno de un campo gravitatorio. Porclaridad se omiten las fuerzas depresion paralelas al eje x.

dx

x

y

z

p x,y dy,z dxdz( _ )− 12

p x,y,z+ dz dxdy( _ )12

p x,y,z dz dxdy( _ )− 12

dz

dy

( )x,y,zp x,y+ dy,z dxdz( _ )1

2dW

→

6.4. Ecuacion fundamental de la estatica de fluidos

en el campo gravitatorio

Brook Taylor (Edmond, 1685;Londres, 1731): Matematico in-gles. El desarrollo que lleva sunombre era ya conocido por JamesGregory (Drumoak (Aberdeen),1638; Edimburgo, 1675).

Consideremos una partıcula de fluido de forma paralelepipedica centradaen el punto de coordenadas (x, y, z) (fig. 6.9). Si el fluido esta en reposo, lapartıcula estara sometida a la accion de fuerzas normales sobre cada una de susseis caras y, ademas, la fuerza de volumen debida a su propio peso. La presionque actua sobre cada una de las caras de la partıcula puede obtenerse medianteun desarrollo de Taylor. Ası, por ejemplo, la presion en la cara perpendicularal eje z situada a la altura z − 1

2dz se expresara como

p(x, y, z − 12dz) = p(x, y, z) −

∂p

∂z

dz

2, (6.25)

donde se ha limitado el desarrollo hasta terminos infinitesimos de primer orden.Analogamente, la presion del fluido en la cara opuesta valdra

p(x, y, z + 12dz) = p(x, y, z) +

∂p

∂z

dz

2. (6.26)

Expresiones analogas se obtienen para las restantes caras.Puesto que la partıcula fluida esta en equilibrio, la resultante de todas las

fuerzas que actuan sobre ella ha de ser necesariamente nula. El balance defuerzas en la direccion z es entonces

p(x, y, z − 12dz)dxdy

−p(x, y, z + 12dz)dxdy

−ρgdxdydz = 0, (6.27)

y teniendo en cuenta las ecuaciones (6.25)–(6.26) resulta

∂p

∂z+ ρg = 0. (6.28)

En las direcciones x e y del espacio no actua ninguna fuerza de volumen, porlo que los respectivos balances de fuerzas resultan ser

∂p

∂x= 0, (6.29)

∂p

∂y= 0. (6.30)

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6.4 Ecuacion fundamental de la estatica de fluidos en el campo gravitatorio 175

El conjunto de las ecuaciones (6.28)–(6.30) puede escribirse como una unicaecuacion vectorial que recibe el nombre de ecuacion fundamental de la estaticade fluidos en el campo gravitatorio,

~∇p = ρ~g, (6.31)

donde ~g = −g~k es el vector gravedad y ~∇p es el gradiente de la presion,

~∇p =

(

∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)

. (6.32)0

AzA

pA

pB

p = pB' atm

zBH B

B'zB'

z

FIGURA 6.10: Presion en los puntosde un fluido situados a distintas al-turas.

De las ecs. (6.29)–(6.30) se deduce que la presion en el campo gravitatorioes independiente de las coordenadas x e y. Por tanto, las superficies isobaras(lugares geometricos de los puntos de igual presion) son planos horizontales.Por el contrario, como lo muestra la ec. (6.28), la presion sı cambia con lacoordenada z. Puesto que el cambio de presion por unidad de longitud en ladireccion z (∂p/∂z) es negativo (−ρg), la presion en el fluido disminuye conla altura. Teniendo en cuenta que p = p(z), la ec. (6.28) puede integrarsefacilmente entre dos puntos arbitrarios de alturas zA y zB y presiones pA y pB

respectivamente,∫ pB

pA

dp = −

∫ zB

zA

ρgdz. (6.33)

Si la densidad del fluido es constante resulta entonces

pB − pA = −ρg(zB − zA), (6.34)

o bienpA + ρgzA = pB + ρgzB. (6.35)

Claramente, si la presion en el punto B es conocida, la presion en el punto Apuede determinarse en funcion de la presion en el punto B y la diferencia dealturas entre los dos puntos (fig. 6.10). Frecuentemente, el punto B se tomaen la superficie libre del fluido (B′), donde la presion es igual a la presionatmosferica. La presion en el punto A vale entonces

pA = patm + ρgH, (6.36)

donde H = zB − zA es la profundidad del punto A respecto de la superficielibre.

Debido a la baja densidad del aire, la variacion de la presion atmosferica conla altura es mucho mas pequena que en los lıquidos, por lo que su valor puedeconsiderarse practicamente constante. Ası, por ejemplo, para que la presion at-mosferica disminuya en un 10% respecto de su valor a nivel del mar tendrıamosque ascender hasta una alturaH tal que ρairegH = 0,1 atm. Teniendo en cuentaque la densidad del aire es aproximadamente 1,3 kg/m3, resulta

H =0,1 atm

ρaireg∼ 800 m. (6.37)

Evidentemente, tales distancias quedan practicamente fuera del interes arqui-tectonico, por lo que no se comete un error apreciable al suponer patm =cte entodos los puntos. La densidad de los lıquidos, por el contrario, es tıpicamente1000 veces superior a la densidad del aire. En el agua, por ejemplo, la presionse incrementa en aproximadamente 1 atm por cada 10m de profundidad.

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Numerosos experiencias cotidianas referentes al equilibrio de lıquidos en-cuentran su explicacion en la aplicacion de la ec. (6.36). Consideremos, porejemplo, la horizontalidad de la superficie libre de un lıquido en reposo, o laigualdad de los niveles alcanzados por un lıquido en las distintas ramas de unvaso comunicante. El equilibrio de la superficie libre impone la igualdad de lapresion en el lıquido y en el aire para todos y cada uno de los puntos de lasuperficie libre. Sin embargo, segun hemos probado, la presion en el aire esconstante, por lo que la interfaz lıquido-aire debe necesariamente coincidir conuna superficie isobara del lıquido, esto es, una superficie horizontal (H = 0).

La ec. (6.35) se escribe frecuentemente en terminos de alturas en lugar depresiones, para lo cual se divide toda la ecuacion por ρg,

pA

ρg+ zA =

pB

ρg+ zB = constante. (6.38)

Los sumandos reciben los siguientes nombres:

Altura geometrica, z.

Altura de presion, p/ρg.

Altura piezometrica, z + p/ρg.

PROBLEMA RESUELTO 6.1:

En la figura se muestra un deposito de agua conectado a otro de aceite medianteun tubo en U. El deposito de agua esta cerrado por su parte superior, siendo lapresion del aire encerrado pB = 6,4×104 Pa. El deposito de aceite, por el contrario,esta abierto a la atmosfera. Para evitar que aceite y agua entren en contacto, untercer lıquido, de densidad ρ′ = 1,6 × 103 kg/m3, se interpone entre el aceite y elagua en el tubo en U. Para la situacion que se muestra en la figura, determine eldesnivel d entre el aceite y el agua.Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3, ρaceite = 0,8 × 103 kg/m3.

PROBLEMA RESUELTO 6.1

d

6 m agua

aire

aceite

0,5 m

B

C

E

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6.5 Principio de Pascal 177

Solucion:

Mediante la ecuacion fundamental de la estatica de fluidos, la presion en el puntoE (de contacto entre el aceite y el lıquido de densidad ρ′) se puede relacionar conla presion atmosferica a la que se encuentra el aceite que esta en la superficie enel deposito de la derecha (abierto a la atmosfera):

pE = patm + ρaceite g(6,5 − d), (P1.1)

o bien con la presion a la que se encuentra el aire encerrado en el deposito de laizquierda:

pE = pB + ρagua g6 + ρ′ g0,5. (P1.2)

Sustituyendo los datos y despejando la unica incognita llegamos a que

d = 2,5 m. (P1.3)

6.5. Principio de Pascal

Llamado “principio” por razones historicas es, en realidad, una consecuenciaimportante de la variacion lineal de la presion con la profundidad en un lıquidoen reposo. Este principio fue establecido experimentalmente por primera vezpor Pascal y puede enunciarse como sigue: si la presion ejercida en un puntode un fluido incompresible en equilibrio cambia en una cantidad ∆p, entoncesla presion cambia en la misma cantidad ∆p en todos los puntos del fluido.

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,1623; Parıs, 1662): Filosofo,matematico y fısico, destaca porsus contribuciones a la geometrıade conicas, la combinatoria, calcu-lo de probabilidades. Descubrio lautilidad del barometro comoaltımetro y fue el fundador dela estatica de fluidos. En 1642construyo la primera calculadora.

En efecto, sean dos puntos A y B de un fluido incompresible en equilibrio.Como ya sabemos, las presiones en dichos puntos estan relacionadas mediantela ec. (6.35). Supongamos ahora que la presion del fluido se modifica por algunacausa, de forma que en el punto A pasa a ser pA+∆pA y en el punto B pasa a serpB +∆pB. Si el fluido continua en equilibrio, tendra que cumplirse nuevamenteque

pA + ∆pA + ρgzA = pB + ∆pB + ρgzB, (6.39)

y teniendo en cuenta la ec. (6.35) resulta

∆pA = ∆pB. (6.40)

Una de las aplicaciones mas importantes del principio de Pascal es la prensahidraulica. Basicamente, una prensa hidraulica es un recipiente cerrado, dotado prensa hidraulica

de dos embolos de distinta superficie, y que contiene un lıquido incompresible ensu interior. Al aplicar sobre el embolo de menor superficie, SA, una fuerza nor-mal de modulo FA, la presion del fluido situado tras el embolo se modificara enla cantidad ∆pA = FA/SA. Segun el principio de Pascal, dicho incremento depresion se transmite a todos los puntos del fluido y, en particular, a los puntosdel fluido situados bajo el embolo de mayor superficie. Para equilibrar dichoembolo, de superficie SB, debera aplicarse una fuerza normal de modulo FB

tal que

∆pA =FA

SA

=FB

SB

= ∆pB. (6.41)

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Por tanto, si la superficie de los embolos se elige de forma que SA ≪ SB setendra que FA ≪ FB , de donde se desprende la utilidad de este dispositivopara amplificar la fuerza ejercida. El principio del funcionamiento de la prensahidraulica se utiliza en otras muchas aplicaciones practicas, por ejemplo ensistemas de elevacion electro-hidraulicos de cargas o en los frenos de discos delos coches y motocicletas.

6.6. Empuje sobre paredes sumergidas

6.6.1. Empuje sobre una pared horizontal

Sea una pared horizontal, de superficie S, en contacto con un lıquido dedensidad ρ en una de sus caras. Sobre cada punto de dicha cara el lıquido ejerceuna presion de identico de valor, p = patm + ρgH , donde H es la profundidadde la pared respecto de la superficie libre. Por tanto, la pared esta sometidaa una fuerza distribuida homogeneamente por su superficie y el modulo de lafuerza total sera entonces

F =

∫

S

p da

= p

∫

S

da

= pS

= (patm + ρgH)S. (6.42)

La direccion de la fuerza es vertical y su sentido es siempre hacia la pared. Elpunto de aplicacion de dicha fuerza es siempre el del centroide de la superficieS.

Si al otro lado de la pared hay aire, la fuerza neta ejercida sobre la paredsera entonces

Fneta = pS − patmS = ρgHS. (6.43)

6.6.2. Empuje sobre una pared inclinada

FIGURA 6.11: Fuerzas hidrostaticassobre una pared inclinada.

Sea una pared rectangular, inclinada un angulo θ respecto de la horizontal,tal que una de sus caras esta en contacto con un lıquido de densidad ρ y lacara opuesta esta en contacto con la atmosfera (fig. 6.11). Consideremos elelemento de superficie mostrado en la fig. 6.11, de area da = wdl, y situado auna profundidad h respecto de la superficie libre. Siendo la presion constanteen todos los puntos de dicho elemento, la fuerza neta ejercida por el fluido y laatmosfera tendra por valor

dFneta = p da− patm da

= ρghwdl, (6.44)

estara aplicada en el centroide del elemento de area y su direccion sera normala la pared. La fuerza neta por unidad de longitud que actua sobre la pared

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6.6 Empuje sobre paredes sumergidas 179

FIGURA 6.12: Densidad de fuerzashidrostaticas sobre una pared inclina-da (izda.) y fuerza neta equivalente(dcha.).

puede expresarse entonces como

f =dFneta

dl= ρghw. (6.45)

Tal distribucion de fuerzas varıa linealmente con la profundidad, siendo ceroen la superficie libre (h = 0) y adquiriendo su maximo valor, f = ρgHw, enel extremo inferior de la pared (h = H). Se trata pues de una distribuciontriangular de fuerzas (fig. 6.12), analoga a las cargas planas estudiadas en laseccion 3.11 del capıtulo 3. Por tanto, la fuerza neta total sera igual al area dela superficie de carga, esto es

Fneta =1

2ρgw

H2

sen θ, (6.46)

y estara aplicada a una altura 13H respecto del extremo inferior de la pared. El

punto de aplicacion de la fuerza Fneta recibe el nombre de centro de presiones. centro de presiones

En el caso de una pared vertical, θ = π2, y se tiene

Fneta =1

2ρgwH2. (6.47)


El deposito de la figura, abierto a la atmosfera, contiene agua hasta una altura de2m. El tubo en U que sale del deposito esta parcialmente lleno de un fluido (detono mas oscuro) de densidad ρfluido= 1200kg/m3. La pared AB pesa 18× 104 Ny esta empotrada en el suelo. En estas condiciones, calcula:

(a) La altura h que alcanza el fluido oscuro en el tubo en U respecto del fondodel deposito, sabiendo que la interfaz agua-fluido (punto C) esta a una alturade 0,5m respecto del fondo del deposito.

(b) Para la pared vertical AB, los vectores fuerza de reaccion vincular y momentoen el empotramiento B.

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A

B

5 m

3 m2 m

C0,5 m

h

Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3.

Solucion:

(a) La presion en el contacto entre el fluido y el agua se puede relacionar mediantela ecuacion fundamental de la estatica de fluidos con la presion atmosferica a laque se encuentra el agua en el deposito abierto a la atmosfera o bien con la presionatmosferica a la que se encuentran los puntos del fluido en U que distan una alturah respecto del fondo del deposito:

pC = patm + ρfluido g(h− 0,5), (P2.1)

pC = patm + ρagua g(2 − 0,5). (P2.2)

Por tanto, despejandoh = 1,75 m. (P2.3)

(b) La pared vertical AB se puede considerar como un solido rıgido vinculado enel punto B mediante un empotramiento. Para estudiar el equilibrio aplicamos elprincipio de liberacion y sustituimos el empotramiento por dos fuerzas de reaccionvincular ~φBx y ~φBy, que impidan respectivamente las posibles traslaciones hori-

zontal y vertical, y un momento de reaccion vincular ~MB que impida los posiblesgiros alrededor de B.

El diagrama de fuerzas se ilustra en la fig. P2a. Las fuerzas activas son el peso dela pared y la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular debido a lapresencia de los fluidos agua y aire a la izquierda y derecha, respectivamente, dela pared. Este sistema de fuerzas distribuidas puede reducirse a una unica fuerzade componentes las de la resultante y aplicado en el centro de vectores parale-los, que en el caso de una carga triangular se encuentra a h

3desde el punto de

empotramiento, donde h es la altura de la columna de agua (fig. P2a).

2 m

2/3 m

G

B

A

F

fBx

P

fBy

MB

FIGURA P2a: Diagrama de fuerzasdel apartado (b).

Las ecuaciones de equilibrio del solido rıgido en el plano son:∑

Fx = 0, (P2.4)∑

Fx = 0, (P2.5)∑

MOz = 0. (P2.6)

Teniendo en cuenta que la pared es de grosor despreciable, la ecuaciones de equi-librio quedan

F − φBx = 0, (P2.7)

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6.7 Empuje de tierras 181

φBy − P = 0, (P2.8)

MB − Fh

3= 0, (P2.9)

donde la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular es

F =1

2ρgah2, (P2.10)

siendo a = 5m y h = 2m.

Resolviendo el sistema de ecs. (P2.7)–(P2.9) y expresando la solucion en formavectorial obtenemos

~φB = (−105, 18 104)N, (P2.11)

~MB = (0, 0,2

3× 105)Nm. (P2.12)

6.7. Empuje de tierras

Si se deja caer un chorro de arena seca sobre un plano horizontal se forma uncono. Las generatrices de dicho cono forman con el plano horizontal un angulobien definido, llamado angulo de talud natural, de forma que cualquier talud de angulo de talud natural

mayor pendiente serıa inestable. La presencia de humedad en la tierra puedealterar su cohesion, por lo que el angulo de talud natural podrıa verse afectadopor el grado de humedad.

William John Macquorn Rank-

ine (Edimburgo, 1820; Glasgow,1872): Es uno de los fundadoresde la teorıa de las maquinas defuerza termodinamica; investigo lamaquina de vapor y la resistenciapor friccion en los barcos.

Cuando se requiere que un apilamiento de tierras tenga una pendiente su-perior a la de su angulo de talud natural es necesario emplear un muro decontencion o de sostenimiento que impida el deslizamiento de las tierras. La re-sultante de las fuerzas que ejercen las tierras sobre el muro se denomina empujey, en ciertas circunstancias, guarda gran similitud con el empuje hidrostaticosobre una pared sumergida en un fluido.

Existen dos teorıas aceptadas comunmente para el calculo del empuje detierras: la teorıa de Coulomb (1776) y la teorıa de Rankine (1857). Ambasteorıas presuponen que el terreno del suelo es no cohesivo (sin componentesarcillosos), homogeneo (no es una mezcla variable de distintos materiales),isotropico (presenta propiedades similares en todas las direcciones), semi-infinito(el muro de contencion es muy largo y la tierra contenida termina lejos delmuro) y bien drenado (no acumula agua). H/3

H

w

→E

FIGURA 6.13: Densidad de fuerzasque actuan sobre un muro de con-tencion vertical segun la teorıa deRankine.

Tanto en la teorıa de Rankine como en la teorıa de Coulomb se tiene encuenta la friccion interna del terreno, aunque desde enfoques diferentes. En lateorıa de Coulomb, ademas, se considera la friccion entre la pared y la tierraretenida y puede aplicarse a muros de contencion dispuestos con inclinacionarbitraria. Cuando en la teorıa de Coulomb se desprecia la friccion en la paredy se considera que el muro de contencion es vertical, sus resultados coincidencon la teorıa de Rankine si el terraplen tras el muro es horizontal. En lascondiciones expresadas, el empuje que ejerce el muro de contencion (fig. 6.13)esta dado por

E =1

2ρtgw tan2

(

45◦ −ψ

2

)

H2, (6.48)

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donde ρt es la densidad de la tierra, w la longitud del muro, H la altura de latierra contenida y ψ el angulo de talud natural de dichas tierras. La ec. (6.48)es formalmente identica a la correspondiente al empuje hidrostatico ejercidopor un fluido de densidad

ρ′ = ρt tan2

(

45◦ −ψ

2

)

. (6.49)

Ademas, como en dicho caso, el punto de aplicacion del empuje del terrenoesta aplicado a una altura h = H/3 medida desde la base del muro.

FIGURA 6.14: Realizacion practica deun muro de contencion de tierras.

TABLA 6.1: Angulos de talud nat-ural.

Clase de terreno ψ (◦)

Tierra de aluvion seca 40

Tierra de aluvion mojada 30

Tierra colorada compacta 40

Arcilla seca 40

Arcilla mojada 20

Arena seca 31

Arena humeda 40

Arena mojada 29

Gravilla seca 30

Gravilla humeda 25

Piedra partida 45

6.8. Teorema de Arquımedes

Un cuerpo sumergido (parcial o totalmente) en un fluido experimenta unempuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplaza-do.

Aun cuando el teorema de Arquımedes tiene validez general, la demostracionde este teorema la efectuaremos para un paralelepıpedo, de dimensiones a×b×c,completamente sumergido en un fluido de densidad ρ (fig. 6.15). Las fuerzassobre las cuatro caras laterales se anulan dos a dos, pues las fuerzas debida a lapresion son identicas. El empuje que experimenta el paralelepıpedo surge puesde la diferencia de presiones entre la cara inferior y la cara superior,

b

p bcinf

p bcsup

a

c

→E

FIGURA 6.15: El empuje ~E que actuasobre el paralelepıpedo surge de ladiferencia de presiones que actua so-bre las caras inferior y superior.

E = (pinf − psup)bc

= ρgabc

= ρgV = P, (6.50)

donde P es el peso que tendrıa el volumen V del paralelepıpedo si estuvieraocupado por el fluido. El punto de aplicacion de dicho empuje es el centroidedel paralelepıpedo y se le denomina centro de empuje o de carena.centro de empuje

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6.8 Teorema de Arquımedes 183


Una barra cilındrica, de seccion S = 5 cm2 y de longitud L = 1 m, encuentra atadamediante un cable de 25 cm de longitud al techo de un deposito de agua. El aguadel deposito dista 50 cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en elagua segun se muestra en la figura. Determine

(a) Angulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio.

(b) La longitud l de la barra que esta sumergida.

(c) La tension del cable.

Dato adicional: ρbarra/ρagua = 0,84.

B

A


Solucion:

(a) El peso de la barra y el empuje que experimenta la porcion de barra sumergidason fuerzas verticales. Por tanto, la unica posibilidad para que exista equilibrio esque la tension que ejerce el cable sea tambien vertical, luego el angulo que formael cable con la vertical es 0◦.

(b) Dibujamos el diagrama de fuerzas. Hay dos fuerzas activas: el peso ~P de la

barra y el empuje ~E, y una fuerza de reaccion vincular: la tension ~T del cable.

En el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la direccion vertical debe ser elvector nulo. Por tanto,

E − P + T = 0. (P3.1)

Ademas, la suma de los momentos de todas las fuerzas en un punto tambien debeser el vector nulo. Tomando momentos en el punto B obtenemos:

PL

2cosα− E

(

L−l

2

)

cosα = 0. (P3.2)

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Teniendo en cuenta el teorema de Arquımedes, el modulo del empuje vale

E = Slρagua g, (P3.3)

Por otro lado, el modulo del peso vale,

P = SLρbarra g. (P3.4)

Sustituyendo en la ec. (P3.2) y sacando factor comun cosα,

[

PL

2− E

(

L−l

2

)]

cosα = 0. (P3.5)

En este problema cosα 6= 0, puesto que en el enunciado nos dicen que la barraesta parcialmente sumergida (y no totalmente sumergida y horizontal). Por tanto,

SLρbarra gL

2− Slρagua g

(

L−l

2

)

= 0. (P3.6)

Eliminando S g, dividiendo por ρagua y multiplicando por 2,

L2 ρbarra

ρagua

− 2lL+ l2 = 0, (P3.7)

que es una ecuacion de segundo grado en l. Resolviendo llegamos a que

l = L

(

1 ±

√

1 −ρbarra

ρagua

)

. (P3.8)

Como la longitud sumergida l tiene que ser menor que la distancia total L = 1m,la unica solucion valida es

l = 0,6 m. (P3.9)

E

a

P

B

T

lA

FIGURA P3a: Diagrama de fuerzasdel apartado (b).

(c) De la ec. (P3.1) podemos despejar la tension del cable,

T = P − E

= SLρbarra g − Slρagua g

= 1,2 N. (P3.10)

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Problemas propuestos 185

Problemas propuestos

6.1. Un deposito prismatico de base 2 × 2 m y de altura5m esta abierto a la atmosfera y se encuentra parcialmentelleno de aceite de densidad ρaceite = 0,85 × 103 kg/m3. A40 cm del fondo se ha instalado un manometro que marcauna presion manometrica o diferencial de 3 × 104 Pa.

(a) ¿Cual es el peso del lıquido contenido en el recipiente?

(b) ¿Cuanto vale la fuerza que el lıquido ejerce sobre elfondo del recipiente?

(c) ¿Cuanto vale la fuerza neta ejercida sobre una paredlateral por el fluido y el aire?

Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa.

6.2. Dos tubos de igual seccion estan comunicados comose indica en la figura. Al principio la llave L esta cerrada.El tubo de la izquierda contiene agua y el de la derechaaceite de densidad 0,8 g/cm3, estando los dos tubos llenoshasta la misma altura H = 1 m. El volumen del tubo decomunicacion se supone despreciable.

(a) Calcula los niveles alcanzados por los lıquidos despuesde abrir la llave si h0 = 0,2m.

(b) Calcula los niveles alcanzados por los lıquidos si h0 =0,02m.

h0

H

L

PROBLEMA 6.2

6.3. La figura representa la seccion de un deposito, abier-to a la atmosfera, que contiene un lıquido de densidadρ = 1200 kg/m3 y, por encima de este, agua, de densi-dad ρagua = 1000 kg/m3, tal y como se indica en la figura.Del deposito parte una tuberıa de 0,03 m2 de seccion, tam-bien llena del primer lıquido y cerrada mediante una valvulaV , perpendicular a la tuberıa. Una de las paredes lateralesdel deposito consiste en una compuerta rectangular de 9m

de longitud y 1,5 m de anchura, articulada en su extremosuperior O y con un tope T en su parte inferior. Para lasituacion descrita, calcula:

(a) la presion del lıquido en la valvula V .

(b) la fuerza neta ejercida por el lıquido y el aire sobre lavalvula V .

(c) la fuerza neta ejercida por el agua y el aire sobre lacompuerta y la distancia de su punto de aplicacion al pun-to O.

Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa.

O

T

V

3 m

6 m

1 m1 m

4,5 m

PROBLEMA 6.3

6.4. El muro vertical que se muestra en la figura esta em-potrado en el suelo y sirve de contencion de tierra. Sabiendoque el muro posee una masa de 500 kg por metro lineal, queel peso especıfico de la tierra es γ = 4000 kp/m3 y que suangulo de talud natural es de 10◦, determine, de acuerdocon la hipotesis de Rankine,

(a) La fuerza de reaccion (por metro) en el empotramien-to.

(b) El momento (por metro) en el empotramiento.

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2 m

PROBLEMA 6.4

6.5. Una pared vertical de 2m de altura, 0,25m de anchuray 1 m de profundidad, cuyo peso es 104 N, se apoya sobre elsuelo mediante un contacto rugoso, siendo el coeficiente derozamiento estatico suelo-pared µ = 0,1. A ambos lados dela pared hay sendos depositos que contienen agua. El nivelde la izquierda alcanza una altura h1 = 1m, mientras quea la derecha la altura es h2, desconocida. Se sabe que sino hubiese agua en el deposito de la derecha (h2 = 0),la pared no estarıa en equilibrio a causa de las fuerzas depresion que se ejercen desde la izquierda.

¿Que altura mınima deberıa alcanzar el agua del depositode la derecha para garantizar el equilibrio de la pared?

h2h =1 1 m

1 m

0,25 m

PROBLEMA 6.5

6.6. Un deposito de agua de anchura unidad se cierra me-diante una compuerta tal y como la que muestra la figura,con un tramo horizontal de longitud b y un tramo incli-nado 60◦ respecto de la horizontal. La compuerta, que seconsidera un unico solido rıgido plano de peso despreciable,se encuentra apoyada en A y articulada al exterior en O.Determina:

(a) Las fuerzas de reaccion en A y en O en funcion de hy b.

(b) La altura del nivel de agua para la que se abre la com-puerta.

A

h

b

O

60o

PROBLEMA 6.6

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Cuestiones 187

Cuestiones

6.1. La presion en un fluido en equilibrio sometido a uncampo gravitatorio

(a) esta dirigida verticalmente hacia abajo.

(b) esta dirigida normalmente sobre cualquier superficie.

(c) tiene el mismo valor en todos los puntos de una su-perficie vertical.

(d) Todas las otras respuestas son incorrectas.

6.2. Un recipiente de fondo horizontal, abierto a laatmosfera y en el seno de un campo gravitatorio ~g = −g~k,esta lleno de un lıquido incompresible de densidad ρ has-ta una altura h. Si se sustituye ese lıquido por otro cuyadensidad es el doble, ¿hasta que altura hay que llenar elrecipiente para que la presion que el segundo lıquido ejercesobre el fondo sea el doble que la que ejercıa el lıquidoinicial?

(a) h.

(b) h+ patm/ρg.

(c) h+ 2patm/ρg.

(d) h+ patm/2ρg.

6.3. La presion a 40m de profundidad en el mar es aproxi-madamente

(a) 1 atm.

(b) 4 atm.

(c) 5 atm.

(d) 40 atm.

6.4. Se suelta una burbuja de aire a 10m de profundidadbajo el agua. A medida que la burbuja asciende, suponiendotemperatura constante, el volumen que ocupa el aire

(a) aumentara porque la presion del agua disminuye.

(b) permanecera constante.

(c) disminuira porque la presion del agua aumenta.

(d) aumentara aunque la presion del agua es la misma entodos los puntos.

6.5. En una prensa hidraulica, la superficie del embolopequeno es de 25 cm2 y la del embolo mayor 100 cm2.¿Que fuerza debemos aplicar sobre el embolo mayor parasostener un cuerpo de 100 kp de peso colocado sobre elembolo pequeno?

(a) 400 kp.

(b) 25 kp.

(c) 50 kp.

(d) No se puede calcular sin conocer la densidad del fluidoque conecta los embolos.

6.6. En la figura se muestra una alberca de grandes dimen-

siones que se cierra mediante una compuerta articulada ensu parte inferior y dispuesta verticalmente. Para vaciar laalberca, la compuerta se libera y se abate lentamente ha-cia el exterior. Entonces, podemos afirmar que durante laapertura de la compuerta, y en tanto que el agua de laalberca no la rebase, el empuje hidrostatico neto sobre lacompuerta

(a) no cambia.

(b) aumenta.

(c) disminuye.

(d) No puede responderse a esta pregunta sin conocer lasdimensiones de la compuerta.

CUESTION 6.6

6.7. De acuerdo con la hipotesis de Rankine, la fuerza totalejercida por un terreno de densidad ρ0 sobre una pared deun muro de contencion vertical

(a) es equivalente a la que ejercerıa un hipotetico fluidocon la misma densidad ρ0 que la tierra en cuestion.

(b) es equivalente a la de un fluido hipotetico cuya den-sidad se obtendrıa a partir de ρ0 y del angulo de taludnatural del terreno, ψ.

(c) es la misma para terrenos con el mismo angulo detalud natural ψ.

(d) puede calcularse en modulo si se sustituye el terrenopor un fluido hipotetico de densidad adecuada, pero larecta de accion de la fuerza total que ejerce el terreno nocoincidira con la que corresponde al fluido.

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