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TEMA 2: TEMAEstática del punto material

Departamento de Física Aplicada Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del PozoII. Miguel Galindo del Pozo 1103/11/200803/11/2008

TEMA 2: Estática del punto material

CTE Marzo 2006

•Artículo 10. Exigencias básicas de seguridad g gestructural (SE)•1 El objetivo del requisito básico "Seguridad1. El objetivo del requisito básico Seguridad estructural" consiste en asegurar que el edificio tiene un comportamiento estructural adecuadotiene un comportamiento estructural adecuado frente a las acciones e influencias previsibles a las que pueda estar sometido durante su construcciónque pueda estar sometido durante su construcción y uso previsto.

03/11/2008 Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del Pozo 2


CTE Marzo 2006

•10.1. Exigencia básica SE 1: Resistencia y estabilidadL i t i l t bilid d á l d d•La resistencia y la estabilidad serán las adecuadas para

que no se generen riesgos indebidos, de forma que se mantenga la resistencia y la estabilidad frente a lasmantenga la resistencia y la estabilidad frente a las acciones e influencias previsibles durante las fases de construcción y usos previstos de los edificios, y que un y p , y qevento extraordinario no produzca consecuencias desproporcionadas respecto a la causa original y se facilite l t i i t i tel mantenimiento previsto.



2.1. Introducción

M á i t d l Fí i t di i i t ilib iMecánica: parte de la Física que estudia movimiento, equilibrioy deformación de los cuerpos.

Cinemática: no atiendea las causas (fuerzas)

Mecánicaa las causas (fuerzas).

Dinámica: sí atiende Estáticaa las causas (fuerzas).



2.1. Introducción

S ú l d lSegún el modelo:

Mecánica de los cuerpos rígidos

Mecánica

Mecánica de los cuerpos rígidos

Mecánica de los medios deformables



2.1. Introducción

S ú l l id dSegún las velocidades:

Mecánica Newtoniana

Mecánica

Mecánica Newtonianav << c

Mecánica relativistav ≈ cv ≈ c



2.1. Introducción

D fi i ió i t l did tit ti d l i iDefinición: masa inerte es la medida cuantitativa de la inerciade un cuerpo material, esto es, de su “resistencia” a cambiar deestado de movimiento.estado de movimiento.

Definición: masa gravitatoria es una propiedad que hace queDefinición: masa gravitatoria es una propiedad que hace quelos cuerpos que la poseen se atraigan mutuamente.



2.1. Introducción

Definición: Partícula o punto material es todo cuerpo en elque debido a las circunstancias del problema estudiadoque, debido a las circunstancias del problema estudiado,puedan ignorarse sus dimensiones, estructura y configuracióninterna y que, a efectos mecánicos, no requiera la distinción dey q qpartes. Un punto material queda caracterizado por su masa ysu posición.

10 Km.



2.2. Principios fundamentales de la Dinámica

2.2.1. Ley de adición de fuerzas Fr

Fuerza: interacción que puede modificar el estado de movimiento(reposo) o de deformación.

sobre un punto material se comportan como vectores ligados.

2.2.2. Tipos de fuerzas

di i (F i i l )– a distancia (Fuerzas gravitacionales)– de contacto (Fuerzas sobre un muelle ideal)



2.2. Principios fundamentales de la Dinámica2.2.2. Tipos de fuerzasFuerzas gravitacionales. Ley de la gravitación universal

r1 2 12

12 21 212 12

rm mF F Gr r

= − = −r r

r

gmFT

rr22 =

T

T

T

T

rr

rmGg r

rr

2−=

gmP rr=



2.2. Principios fundamentales de la Dinámica2.2.2. Tipos de fuerzas

Fuerzas ejercidas por muelles ideales. Ley de Hooke

lKF ∆−=r

lKF ∆−=



2.2. Principios fundamentales de la Dinámica2.2.3. Leyes de Newton

La primera ley de Newton ( o ley de inercia)

Una partícula sobre la que no actúe ninguna fuerza o sobrela que actúe un conjunto de fuerzas cuya suma sea nula,

i i ilpermanecerá en reposo, o en movimiento rectilíneo yuniforme (i.e., sin cambiar su velocidad) si no estabainicialmente en reposoinicialmente en reposo.



2.2. Principios fundamentales de la DinámicaL d N2.2.3. Leyes de Newton

La segunda ley de Newton ( o ley fundamental de laLa segunda ley de Newton ( o ley fundamental de laDinámica)

Una partícula sobre la que actúe un conjunto de fuerzasexperimentará una variación por unidad de tiempo de sumomento lineal o cantidad de movimiento igual ag

ldtpdF

N

ii

rr=∑

=1

si la masa permanece constanteamF

N

ii

rr=∑

=1



2.2. Principios fundamentales de la Dinámica2.2.3. Leyes de Newton

La tercera ley de Newton ( o ley de acción y reacción)

Si un cuerpo A ejerce una fuerza (acción) sobre otrocuerpo B, entonces B ejerce a su vez una fuerza (reacción)

b A i l d l di i d idsobre A igual en módulo y dirección pero de sentidocontrario.



CTE Marzo 2006

•Documento básico seguridad estructural (SE)g ( )•3 Análisis estructural y del dimensionado•3 2 Estados límite•3.2 Estados límite•1 Se denominan estados límite aquellas it i l d d dsituaciones para las que, de ser superadas, puede

considerarse que el edificio no cumple alguna de l i it t t l l h idlos requisitos estructurales para las que ha sido concebido.



CTE Marzo 2006

•Documento básico seguridad estructural (SE)g ( )•3 Análisis estructural y del dimensionado•3 2 1 Estados límite últimos•3.2.1 Estados límite últimos•1 Los estados límite últimos son los que, de ser

d tit i lsuperados, constituyen un riesgo para las personas, ya sea porque producen una puesta f d i i d l difi i l l t t lfuera de servicio del edificio o el colapso total o parcial del mismo.



CTE Marzo 2006

•Documento básico seguridad estructural (SE)g ( )•3 Análisis estructural y del dimensionado•3 2 1 Estados límite últimos•3.2.1 Estados límite últimos•2 Como estados límite últimos deben

id l d bidconsiderarse los debidos a:•a) pérdida del equilibrio del edificio, o de una parte estructuralmente independiente, considerado como un cuerpo rígido;



CTE Marzo 2006

•Documento básico seguridad estructural (SE)3 A áli i t t l d l di i d•3 Análisis estructural y del dimensionado

•3.2.1 Estados límite últimos•b) fallo por deformación excesiva, transformación de la estructura o de parte de ella en un mecanismo, rotura de sus elementos estructurales (incluidos los apoyos y lasus elementos estructurales (incluidos los apoyos y la cimentación) o de sus uniones, o inestabilidad de elementos estructurales incluyendo los originados por y g pefectos dependientes del tiempo (corrosión, fatiga).



2.3. Estática del punto material libreC d d l b d l l l b2.3.1. Condiciones de equilibrio del punto material libre

Un sistema de puntos está en equilibrio mecánico ( oUn sistema de puntos está en equilibrio mecánico ( osimplemente equilibrio) si las posiciones respecto de unsistema de referencia inercial permanecen invariables a lolargo del tiempolargo del tiempo.

Un punto material libre es aquel cuyas posibles posicionesU p q y p pen el espacio no están limitadas por restricciones oimpedimentos.



2.3. Estática del punto material libreC d d l b d l l l b2.3.1. Condiciones de equilibrio del punto material libre

• El t t i l té i i i l t t d l• El punto material esté inicialmente en reposo respecto delsistema inercial elegido.

• La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el puntoL q pmaterial sea el vector nulo.

0∑N

F

0rr

=∑N

F ,0

,01

=∑

=∑=

N

i

iix

F

F

01

=∑=i

iF

.0

,0

1

1

=∑

∑

=

=

N

iiz

iiy

F

F



2.4. Principio de liberación. Estática del puntol l dmaterial ligado.

2 4 1 P i i i d lib ió2.4.1. Principio de liberación.

Un punto material ligado es aquel cuyas posiblesUn punto material ligado es aquel cuyas posiblesposiciones en el espacio están limitadas por restricciones oimpedimentos.

Se llama ligadura, vínculo o enlace a cualquier limitación enlas posibles posiciones en el espacio que puede ocupar un

lp p p q p p

sistema material.



2.4. Principio de liberación. Estática del puntomaterial ligadomaterial ligado.

2.4.1. Principio de liberación.P p

Las fuerzas activas son aquéllas que pueden alterar elt d d i i t d i d f i b lestado de movimiento o producir deformaciones sobre el

sistema.

Las fuerzas de reacción vincular o fuerzas de ligadura sonaquellas ejercidas por las ligaduras sobre el sistema, y suefecto mecánico es impedir los movimientos incompatiblesefecto mecánico es impedir los movimientos incompatiblescon las ligaduras.




2 4 1 P i i i d lib ió2.4.1. Principio de liberación.

El principio de liberación, principio de aislamiento o axiomaEl principio de liberación, principio de aislamiento o axiomade las ligaduras, establece que todo sistema mecánicoligado se puede transformar en un sistema virtualmente libre,sustituyendo las ligaduras por sus correspondientes fuerzassustituyendo las ligaduras por sus correspondientes fuerzasde reacción vincular.




2 4 2 C t í ti d l f d ió i l2.4.2. Características de las fuerzas de reacción vincular.

Toda fuerza de reacción vincular debe en cualquier instanteToda fuerza de reacción vincular debe en cualquier instanteproducir el mismo efecto mecánico que la ligadura a la quesustituye.

Las fuerzas de reacción vincular no producen movimiento;sólo lo impiden cuando éste no está permitido por lasl d

p p pligaduras.




2.4.2. Características de las fuerzas de reacción vincular.

El módulo de las fuerzas de reacción vincular es función delas fuerzas activas y se anula cuando éstas se anulan.

En ciertos tipos de vínculos, la dirección de la fuerza dereacción vincular es independiente de las fuerzas activas. Lacc ó c s p s s c s Lpartícula obligada a permanecer sin rozamiento en una líneao sobre una superficie”, se modela como una fuerza dereacción vincular cuya dirección es normal a la línea o

f d d l ly

superficie en cada punto, y su punto de aplicación será elpunto donde se encuentre la partícula.



2.4. Principio de liberación. Estática del puntol l dmaterial ligado

2.4.3. Condiciones de equilibrio del punto material ligado

• El punto material esté inicialmente en reposo respecto delsistema inercial elegido.L d t d l f tú b l t• La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el puntomaterial sea el vector nulo.

0=∑+∑MN

F φ

0rrr

=∑+∑M

j

N

iF φ ,0

,011

=∑+∑

=∑+∑==

M

jy

N

iy

jjx

iix

F

F

φ

φ

11∑∑== j

ji

i φ

.0

,

11

11

=∑+∑

∑∑==

M

jjz

N

iiz

jjy

iiy

F φ

φ


11 == ji


2.4. Principio de liberación. Estática del puntol l dmaterial ligado

2.4.3. Condiciones de equilibrio del punto material ligado

( )1)('fλλφ rr ( )1),(' 0 −== xfn λλφ r



2.5 Estática de los sistemas de puntos materiales2.5.1 Condiciones de equilibrio de los sistemas de puntos materiales

1 211Fr

12Fr 21F

r

22MFr

q p

1 212

11MFr

22Fr

rLas condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de N

N 1NFr

Fr

p q Npuntos materiales esté en equilibrio son:

Los N puntos materiales deben estarNMNFLos N puntos materiales deben estar

inicialmente en reposo.La suma de todas las fuerzas que actúan sobre

d d l N l d b lcada uno de los N puntos materiales debe ser nula.




Las condiciones necesarias y suficientespara que un sistema de N puntos materiales 0

1

1

rr=∑

M

jFesté en equilibrio son:

Los N puntos materiales deben estarinicialmente en reposo.

1=j

02

2

rr=∑

M

jFp

La suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los N puntos materiales debe ser nula.

1=j

0rr

=∑NM

F +01

=∑=j

jNF +

0rr

∑∑N M i

FSi un sistema está en equilibrio 01 1

=∑∑= =i j

ijFSi un sistema está en equilibrio, la suma de todas las fuerzasque actúan sobre él es nula



M


1 211Fr

12Fr

21Fr

22MFr 0

1

11

rr=∑

=

M

jjF

2M2

11MFr

22Fr

Fr +

02

12

rr=∑

=jjF

NM

rr∑∑

N M i

N

F i iexternas rrr

∑ ∑∑∑NN Mi

1NF

Fr

+01

rr=∑

=

N

jjNF

Si n sistema está en eq ilibrio

01 1

=∑∑= =i j

ijFFuerzas exteriores

Fuerzas interiores 01 11 1

==∑ ∑∑∑= == = i j

iji j

ij FF

Las fuerzas interiores aparecen en

NMNF

Si un sistema está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas exteriores

que actúan sobre él es nula

Las fuerzas interiores aparecen en parejas de igual módulo y dirección, pero de sentidos contrarios.




01

1

rr=∑

M

jF

¡ATENCIÓN!

l d l f i

1∑=j

j

02

2

rr=∑

M

jFQue la suma de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema sea nulaes condición necesaria pero no suficiented ilib i +

01

2∑=j

jF

0rr

∑NM

F

0externas rrr

∑ ∑∑∑NN M

FFi

de equilibrio +01

=∑=j

jNF

01 11 1

==∑ ∑∑∑= == = i j

iji j

ij FF




Ejemplo:0

1

1

rr=∑

M

jF1 2 1

1∑=j

j

02 rr

=∑M

F

La suma de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es nula pero sobre cada una +

01

2 =∑=j

jF

0rr

∑NM

F

externas rrr∑ ∑∑∑

NN Mi

sobre el sistema es nula, pero sobre cada unade las partículas la suma de las fuerzas no es nula:

LAS PARTÍCULAS NO ESTÁN EN EQUILIBRIO+0

1=∑

=jjNF

01 11 1

rr==∑ ∑∑∑

= == = i jij

i jij FFCondiciones necesarias y

suficientes de equilibrio



2.6 Configuración. Grados de libertadLa configuración de un sistema de puntos materiales es la posición que ocupan en el espacio cada una de las partículas que lo constituyen.

El número de grados de libertad de un sistema de partículas, G, es el número de magnit des independientes q e determinan la config ración del sistemamagnitudes independientes que determinan la configuración del sistema.

Longitudes, ángulos COORDENADAS O PARÁMETROS

En el planoEn el espacio

Número de grados de libertad de una partícula librepp

z y ),( yx),,( zyxG = 3 G = 2

xy x


x


2.6 Configuración. Grados de libertadLa configuración de un sistema de puntos materiales es la posición que ocupan en el espacio cada una de las partículas que lo constituyen.

El número de grados de libertad de un sistema de partículas, G, es el número de magnit des independientes q e determinan la config ración del sistemamagnitudes independientes que determinan la configuración del sistema.

Longitudes, ángulos COORDENADAS O PARÁMETROS

En el espacio En el plano

Número de grados de libertad de un sistema de N partículas libresp p

Glibre = 3N

Glibre = 2Nz),,( 111 zyx

),,( NNN zyx y),( 11 yx

libre

xy x

),( NN yx


x


2.6 Configuración. Grados de libertad2.6.1 Coacciones. Cálculo de los grados de libertad.

El número de grados de libertad de un sistema de partículas, G, es el número de magnitudes independientes que determinan la configuración del sistema.

Llamamos coordenadas libres o coordenadas independientes a las G d d á t d t i l fi ió d l i tcoordenadas o parámetros que determinan la configuración del sistema.

La elección de estas G coordenadas no es única.

El número de grados de libertad de un sistema coincide con el número de movimientos independientes del sistema compatibles con las ligaduras.U i i i d di d i dUn movimiento es independiente de otros si no se puede expresar comocombinación de ellos.




Punto material libre en el espacio

3 movimientos

z3 movimientosindependientes

El número de grados de libertad

),,( 111 zyxcoincide con el número de

movimientos independientesque puede realizar el sistema.

y

3 coordenadas independientes

x

y

G = 3



2.6 Configuración. Grados de libertad

Li dLigaduras

Llamamos ligadura, vínculo o enlace a cualquier limitación en las posibles g , q pposiciones en el espacio que puede ocupar un sistema material.

En general, las ligaduras se expresan mediante relaciones matemáticas que, en el casoge e a , as gadu as se e p esa ed a te e ac o es ate át cas que, e e casomás general, pueden depender de las coordenadas de las partículas, sus velocidades yel tiempo.

Ligadura holónoma esclerónoma es aquélla que puede describirse mediante ecuaciones que sólo involucran las coordenadas espaciales de las partículas.

( )rrr( ) ( ) 0rrr( ) 0,...,, 21 =Nrrr rrrϕ( ) ( ) 0,,,...,,,,,,,...,, 22211121 == NNNN zyxzyxzyxrrr ϕϕ



2.6 Configuración. Grados de libertadLigadura holónoma esclerónoma es aquélla que puede describirse mediante ecuaciones que sólo involucran las coordenadas espaciales de las partículas.

( ) ( ) 0,,,...,,,,,,,...,, 22211121 == NNNN zyxzyxzyxrrr ϕϕ rrr

Punto ligado a un plano en el espacio

π: A x + B y + C z + D = 0 zPunto ligado a una superficie esférica

z),,( zyx ),,( zyx R

πy

yx 02222 =−++ Rzyx

x


x


Ll ió l i di d i i i d di


Llamamos coacción al impedimento de un movimiento independiente, originado por la ligadura.Por cada ecuación de ligadura existe una coacción. Di h i di t l ió d d d lib t d

El número de grados de libertad de un sistema coincide con el número de grados de libertad que tendría el sistema si no tuviese ligaduras

Dicho impedimento supone la supresión de un grado de libertad.

menos el número de movimientos independientes impedidos por las ligaduras.

3N C ( l i )G = Glibre - C =

3N - C (en el espacio)

2N - C (en el plano)El número de grados de libertad de un sistema coincide con el número de grados de libertad que tendría el sistema si no tuviese ligaduras menos el número de ecuaciones de ligadura.


g



Punto ligado a un plano en el espacio Ecuación de ligadura:

zπ: A x + B y + C z + D = 0

)(

A x1 + B y1 + C z1 + D = 0Puedo despejar una de las coordenadasen función de las otras.

1 coacción:se impide unmovimiento

),,( 111 zyx

Sólo 2 coordenadas

y

π 2 movimientosindependientes

independientes{x, y} ó {x, z} ó {y, z}

xy p

G = 2




r : A x + B y + C z + D = 0A’ + B’ + C’ + D’ 0

Punto ligado a una recta en el espacio

zA’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

A x1 + B y1 + C z1 + D = 0Ecuaciones de ligadura:

2 coacciones: A x1 B y1 C z1 D 0A’ x1 + B’ y1 + C’ z1 + D’ = 0

),,( 111 zyx Puedo despejar dos de las coordenadasf ió d l t

2 coacciones:se impiden dosmovimientosindependientes

rSólo 1 coordenada

en función de la otra.

1 movimientoindependiente

independientes

xy independiente

p

G = 1




Superficie sin rozamiento en el espacio

zπ: A x + B y + C z + D = 0

PlanoSuperficie cualquiera

2 movimientos independientes

z),,( zyx

π ),,( zyx

xy

Superficie esférica0),,( =zyxϕ

)( y

z02222 =−++ Rzyx),,( zyx R Una ecuación de ligadura

Superficie esférica

xy

g

RESTA UN GRADO DE LIBERTAD = UNA COACCIÓN


x



Línea sin rozamiento en el espacio Línea cualquiera

zRecta

1 movimientoindependiente

z

)( zyx),,( zyx

z

r),,( zyx

0),,( =zyxζ y

xy 0),,(

),,(=zyx

yξζx

Dos ecuaciones de ligadurar : A x + B y + C z + D = 0A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

DOS COACCIONES03/11/2008 Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del Pozo 43

RESTA DOS GRADOS DE LIBERTAD = DOS COACCIONES



RectaLínea cualquiera

Línea sin rozamiento en el plano 1 movimientoindependiente

y rRecta

),( yx

yindependiente

),( yx

0)( yxf

)( y

x

x

0),( =yxf

r : y=a+bx Una ecuación de ligadura





fij i i i t


En el espacioEn el planoPunto fijo

z y),( yx

sin movimientosposibles

),,( zyx

x

),( y

xx0

yyxx

==x

y

Dos ecuaciones de ligadura0

0

yyxx

== 0yy =

Tres ecuacionesde ligadura

0zz =RESTA DOS GRADOS DE LIBERTAD

= DOS COACCIONESRESTA TRES GRADOS DE LIBERTAD TRES COACCIONES


= TRES COACCIONES


En el plano2+1 movimientos


En el planoy

),( 22 yxDistancia fija entredos partículas

independientes3+2 movimientos

independientes

En el espacioz ),,( 222 zyx

d )( yx

d

),,( 111 zyxdPP =21 x

),( 11 yx

xy

),,( 111 yx

( ) ( ) 2212

212 dyyxx =−+−

Una ecuación de ligadurax

( ) ( ) ( ) 2212

212

212 dzzyyxx =−+−+−

RESTA UN GRADO DE LIBERTAD UNA COACCIÓN03/11/2008 Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del Pozo 46




¿Cómo determinar el número de grados de libertad d i d i lde un sistema de N puntos materiales?Primer procedimiento:

3N C ( l i )G = Glibre - C =

3N - C (en el espacio)

2N - C (en el plano)

Segundo procedimiento:Segundo procedimiento:

Determinamos el número de movimientos independientes del sistema.




Primer procedimiento:

G = G C =3N - C (en el espacio)

G 3 N CEjemplo:

G 3 N C 3 4 7 5

G = Glibre - C =2N - C (en el plano)

G = 3 N - C

)( yx )( yx

z31

G = 3 N -C = 3 x 4 - 7 = 5

),,( 222 zyx ),,( 444 zyxd1

)( ),,( 333 zyx

xy2

),,( 111 zyx


x



Segundo procedimiento:Determinamos el número de movimientos independientes del sistema.

P ll d i l i i i d di d li

G = 2 + 2 + 1+ 0 = 5

Para ello determinamos los movimientos independientes que puede realizar una partícula, después los que puede realizar otra dejando fija la anterior, y la siguientedejando fijas las anteriores y así sucesivamente.

z),,( 222 zyx

)( yx0

G = 2 + 2 + 1+ 0 = 5

d

)(

),,( 444 zyx2 2

y

),,( 111 zyx ),,( 333 zyx1

03/11/2008 Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del Pozo 49xy



EjemploPrimer procedimiento:Primer procedimiento:

z2 G = 3 N C = 3 x 2 4 = 2),,( 111 zyx

d

2 G = 3 N -C = 3 x 2 - 4 = 2

1

y

d

x

y

),,( 222 zyx1




Ejemplo

Segundo procedimiento:

z1

Segundo procedimiento:

),,( 111 zyx

d

1G = 1 + 1 = 2

y

d

x

y),,( 222 zyx1




EjemploPrimer procedimiento: G = 2 N -C

y G = 2 N -C = 2 x 2 - 2 = 2

x1

En el plano, 2 coordenadas por punto

2 coordenadas

),( 11 yxG = 2 2 coordenadas

independientesx1 , x2y y

θ1 , θ2

θ1

),( 22 yx

1 y1 , y2θ2 Las coordenadas independientes

pueden ser longitudes o también ángulos


),( 22 y p g g

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