INTRODUCCIN

1. Aplicar un modelo, validar y verificar un modelo de ecuacin diferencial, aplicando a un problema prctico.

Demostracin del modelo matemtico para un drenado de un tanque cnico

a) Partiendo de la ecuacin diferencial de la gravedad estndar

Esto nos conduce a la conclusin de que un si objeto cae desde una altura h, este aterrizara con una velocidad de

Demostracin:

Reduciendo trminos semejantes tenemos la ecuacin diferencial:

Comprobando la conclusin, tenemos que:

Tomando en cuenta reemplazamos en (a)

Resolviendo la ecuacin

Procedemos a integrar tomando en cuenta que: La altura inicial es h (0). La velocidad inicial es 0 debido que el agua est en reposo. La altura final es 0 debido a que el agua ya se dreno por completo. La velocidad final es v, debido a que el agua desciende por la gravedad.

Despejamos la y comprobamos la conclusin Ley de Torricelli

b) Sean A (h) el rea de la seccin transversal del agua en el tanque a la atura h y a el rea del agujero de drenado. La razn con que el agua sale del tanque en el instante t se puede expresar como l rea de la seccin transversal a la altura h por la razn de cambio de la altura del agua. En forma alternativa, la razn con la que el agua sale por el agujero se puede expresar como el rea del agujero por la velocidad del agua drenada.

Comprobacin: Relacionamos el descenso del agua h (t) con el flujo de salida.

1. El volumen del flujo de salida durante un tiempo es: (a)

= rea del agujero de drenado velocidad de drenado

2. El nivel del descenso de agua es: (b)

A (h)= rea transversal del tanque, el signo negativo es debido a que el volumen disminuye. es el decrecimiento de la altura del agua.

3. Igualamos las ecuaciones (a) y (b)

(c)

4. Expresamos conforme a la ley de Torricelli, reemplazando en (c) tenemos:

5. Haciendo obtenemos la ecuacin diferencial deducida tenemos:

DESARROLLO ANALTICO

Datos:

radio cono Altura Radio del orificio

(a)

Aplicamos la condicin inicial (1)

Aplicamos la condicin inicial (2)

DESARROLLO GRFICOUtilizando la herramienta MATLAB:

DESARROLLO EXPERIMENTALAl llenar el recipiente en forma de cono con una medida de 0.175cm de agua calculamos el tiempo de vaciado con la ayuda de un cronmetro, debemos tener en cuenta que en la dedicin podemos tener un ligero error despreciable.

RESULTADOSRESULTADOSANALTICOEXPERIMENTALGRAFICO

1.85 (segundos)1.91 (Segundos)1.835(segundos)

CONCLUIONESUna vez que hemos demostrado el modelo matemtico que utilizamos para representar el drenado de tanques, en nuestro caso de un cono. Aplicamos dicho modelo con las diferentes dimensiones de nuestro recipiente, teniendo como resultado un tiempo de 1.85 segundos, representamos los diferentes resultados teniendo una variacin mnima en cuanto al resultado grfico ya que MATLAB usa todos los decimales para graficar, y comparando con el resultado del cronmetro descartamos el error de medicin por parte nuestra.

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFA[1] Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, novena edicin.[2] Dennis G. Zill, Mc Graw-Hill. Matemticas avanzada para ingeniera, cuarta edicin.