DSP 2552 6 - WordPress.com · The Fast Fourier Transform (()FFT)...

DSP 6DSP 6 The Fast Fourier Transform (FFT)( )

การแปลงฟรเยรแบบเรว

ผศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท

ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส

EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

DSP6-1

ปเปาหมาย

• นศ รจกความหมายของ การแปลงฟรเยรแบบเรว (Fast Fourier

T f FFT) ป ใ โTransform :FFT) และผลการแปลงจากสญญาณในโดเมนเวลา

• นศ รจก FFT แบบ Decimation in time (DIT) หรอ DIT-FFT นศ รจก FFT แบบ Decimation in time (DIT) หรอ DIT FFT


DSP6-2

DFT คานวณชา...เพราะการคณของเลขเชงซอน

• จากเรองของ DFT1

( ) ( ) 0 1 1N

nkX k x n W k N−

= = −∑0

( ) ( ) , 0,1,..., 1Nn

X k x n W k N=

= = −∑2j π

−โดย

jN

NW e−

เลขเชงซอน

• สงเกตวา แตละคาของ X(k) นน ตองทาการคณจานวนเชงซอน

• ถง N คา คอ x(0) ถง x(N-1)

• และ ถาตองการ X(k), โดยท k=0 ถง N-1 กตองคณจานวนเชงซอน อก N ครง กลายเปน NxN

• ซงเปนการกนกาลงงานของโปรเซสเซอรอยางมาก !!!


DSP6-3

จานวนการคณและบวกเลขจรงตอ การคณเลขเชงซอนหนงครง

ตวอยาง จงหาจานวนการคณและบวก สาหรบการเลขเชงซอนขางลาง

X a jb= +XY โ

วธทา

1 1

2 2

X a jbY a jb

= += +

XY โดยท

วธทา

1 1 2 2 1 1( ).( )a jb a jb c jd+ + = +

2 2j

1 1 2 2 1 1

มการคณ สครง

( ) ( ) ( )a jb a jb a a b b j b a a b+ + + +1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ).( ) ( )a jb a jb a a b b j b a a b+ + = − + +

มการบวกสามครงEEET0485 Digital Signal Processing

Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP6-4

มการบวกสามครง

จานวนการคณเลขเชงซอนสาหรบ 2-point pDFT

0 0

2 2(0) (0)X xW W⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

กรณ N=2

0 12 2(1) (1)X xW W

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

0 02 2(0) (0) (1)X x W x W= +0 1

2 2(1) (0) (1)X x W x W= + มการคณเลขเชงซอน 4 ครง


DSP6-5

จานวนการคณเลขเชงซอนสาหรบ 4-point pDFT0 0 0 0(0) (0)X xW W W W⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 4 4 4

0 1 2 34 4 4 40 2 4 6

(0) (0)(1) (1)

X xW W W WX xW W W W

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

กรณ N=4

0 2 4 64 4 4 40 3 6 9

4 4 4 4

(2) (2)(3) (3)

X xW W W WX xW W W W

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦4 4 4 4( ) ( )⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

0 0 0 0(0) (0) (1) (2) (3)X x W x W x W x W+ + +4 4 4 40 1 2 3

4 4 4 4

(0) (0) (1) (2) (3)

(1) (0) (1) (2) (3)

X x W x W x W x W

X x W x W x W x W

= + + +

= + + +4 4 4 40 2 4 6

4 4 4 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(2) (0) (1) (2) (3)X x W x W x W x W= + + +0 3 6 9

4 4 4 4(3) (0) (1) (2) (3)X x W x W x W x W= + + +มการคณเลขเชงซอน 16 ครง


DSP6-6มการคณเลขเชงซอน 16 ครง

ช ซวธลดจานวนการคณเลขเชงซอน

ลองมาดวากรณ N=2 เราได

22N W= →เราได

10. 1.

2 2 2( ) ( ) (0) (1) , 0,1nk k kX k x n W x W x W k= = + =∑เราได

2 2 20

( ) ( ) (0) (1) , 0,1n

X k x n W x W x W k=

+∑นนคอ 0นนคอ 0

21

(0) (0).1 (1)X x x W= +1

2(1) (0).1 (1)X x x W= +


DSP6-7

วธลดจานวนการคณเลขเชงซอน (ตอ)วธลดจานวนการคณเลขเชงซอน (ตอ)2

แตเนองจาก22

22 1j jN W e eπ

π− −= → = = −

02 1W =ซงเปนเลขจานวนจรง ดงนน 21

2 1W = −(0) (0) (1)X x x= +

2

หรอ

(1) (0) (1)X x x= −

โดยการคานวณ WN ไวกอน จะทาใหลดการคณเลขลง

ซงอาจจะทาใหไมมการคณเลขเชงซอนเลย!!! EEET0485 Digital Signal Processing


ซงอาจจะทาใหไมมการคณเลขเชงซอนเลย!!!

The Fast Fourier Transform (FFT)( )เรว...เพราะการสลบลาดบขอมล

• Radix-2 DIT-FFT

• FFT เปนชอเรยกโดยรวมๆของ อลกอรธมใดๆ ทมการแปลง DFT อยาง

เรว เรว

• วธ“แบงแยกแลวปกครอง (Divide and conquer)” กเปนหนงวธทจะลด

จานวนการคณเลขเชงซอนลง

ใช การแบงทางเวลา (D i ti i ti ) กบ N สญญาณโดเมนเวลา • ใช การแบงทางเวลา (Decimation in time) กบ N สญญาณโดเมนเวลา

โดยท N เปนเลขกาลงของ 2 หรอเรยกวา Radix-2 ดงนนชอเตมเรยกวา

Radix-2 DIT-FFT


DSP6-9

บตเตอรฟลาย B flบตเตอรฟลาย Butterfly

ป ฟ ไ

1

เปนชอเรยก ของ กราฟการไหลของสญญาณ (signal flow graph)

โดยหนง บตเตอรฟลาย มการคณเลขเชงซอน สอง ครง1

(0)x (0)X

( )0

2 1W =

1

(1)x (1)X1

( )

Note: จรงๆแลวแมวา =1 สวน = 1 แตตอนนเราจะนบไป

12 1W = −

1W0WNote: จรงๆแลวแมวา =1 สวน = -1, แตตอนนเราจะนบไป

กอนวาเปนเลขเชงซอน2W2W


DSP6-10

กรณ N 4 DIT FFTกรณ N=4 DIT-FFT2j jπ πกรณ N =4 4 2

44j j

N W e e j− −

= → = = −33

4( ) ( ) , 0,1, 2,3nkX k x n W k= =∑0

0. 1. 2. 3.4 4 4 4(0) (1) (2) (3) ,

n

k k k kx W x W x W x W=

= + + +โ 4 4 4 4(0) (1) (2) (3) ,x W x W x W x W+ + +

2 nj kπ⎛ ⎞

โดยท

44 , 0,1, 2,3

j knkW e n−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

เราใชการ”สลบ”ตาแหนงของขอมลแลว ”รวม” (recomposite)


DSP6-11

การสลบตาแหนงและการรวม(recomposite)

0. 1. 1. 3.2 4 2 40 1 1 3

( ) (0) (1) (2) (3) ,

(0) (2) (1) (3)

k k k k

k k k k

X k x W x W x W x W

W W W W

= + + +0. 1. 1. 3.

2 2 4 4

0. 1. 1. 0. 1.

(0) (2) (1) (3) ,

(0) (2) (1) (3)

k k k k

k k k k k

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

= + + +

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦2 2 4 2 2(0) (2) (1) (3) ,x W x W W x W x W⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

( )X k ( )X k1( )X k 2( )X kซงเปนการแยกออกเปน DFT แบบ 2 จดสองชด ดงนน

1 4 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3kX k X k W X k k= + =

DFT แบบ 4 จด = DFT แบบ 2 จด + Wk x DFT แบบ 2 จดEEET0485 Digital Signal Processing


DFT แบบ 4 จด = DFT แบบ 2 จด + W 4 x DFT แบบ 2 จด

0(0) (0) (0)X X W Xเรา “ลดรป” สมการลงไดอกในขน Recomposite

01 4 2

1

(0) (0) (0)

(1) (1) (1)

X X W X

X X W X

= +

+1 4 22

1 4 2

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

X X W X

X X W X

= +

= +1 4 22

1 4 2

(2) (2) (2)

(0) (0)

X X W X

X W X

+

= +1 4 23

1 4 2

( ) ( )

(3) (3) (3)X X W X= +3

1 4 2(1) (1)X W X= +• เราจะสราง “บตเตอรฟลาย” เพอแสดงการสรางสญญาณ X(k) สาหรบญญ ( )

• แตละคาของ k


DSP6-13

0(0) (0) (0)X X W X+ การรวม Recompositeหา 01 4 2(0) (0) (0)X X W X= +

1(0)X

การรวม Recomposite

(0)x (0)X1(0)X

0W

(2)x (1)X1(1)X

04W

( ) ( )

2 (0)X(1)x (2)X

(3)x (3)X2 (1)X

หมายเหต: ลกศรทไมเขยนคากากบไว จะเทากบการคณดวย “1”EEET0485 Digital Signal Processing


1(1) (1) (1)X X W X+หา 11 4 2(1) (1) (1)X X W X= +

1(0)X(0)x (0)X1(0)X

0W

(2)x (1)X1(1)X

04W

( ) ( )

2 (0)X 14W(1)x (2)X4W

(3)x (3)X2 (1)X

การรวม RecompositeEEET0485 Digital Signal Processing


2 2(2) (2) (2) (0) (0)X X W X X W X= + = +หา 1(0)X

1 4 2 1 4 2(2) (2) (2) (0) (0)X X W X X W X= + = +

(0)x (0)X1( )

(2)x (1)X1(1)X 0

4 1W =( ) ( )

(2)X2 (0)X

14W

(1)x (2)X24W

(3)x (3)X2 (1)X



3 3(3) (3) (3) (1) (1)X X W X X W Xหา 1(0)X

3 31 4 2 1 4 2(3) (3) (3) (1) (1)X X W X X W X= + = +

(0)x (0)X1( )

(2)x (1)X1(1)X 0

4 1W =( ) ( )

(2)X2 (0)X

14W

(1)x (2)X24W

(3)x (3)X2 (1)X3W 3

4W



ผลลพททายสดคอ 4 i DIT FFTผลลพททายสดคอ 4-point DIT-FFT1(0)X1

(0)x (0)X1( )1

04W

(2)x (1)X1(1)X

04 1W =4W

(2)x ( )

( ) (2)X2 (0)X 1

4W2

4W1

(1)x (2)X24W0

4W

(3)x (3)X2 (1)X

32W 34W2

4W

การรวม Recomposite2 point DFT x 2EEET0485 Digital Signal Processing


การรวม Recomposite2-point DFT x 2

8 i DIT FFT8-point DIT-FFT2j jπ π8 4

88 2 2j j

N W e e j− −

= → = = −7

( ) ( ) 0 7nkX k W k∑ 80

( ) ( ) , 0,...,7nk

n

X k x n W k=

= =∑0. 1. 2. 3.

8 8 8 84 5 6 7

(0) (1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

k k k k

k k k k

x W x W x W x W

W W W W

= + + +4. 5. 6. 7.

8 8 8 8(4) (5) (6) (7)k k k kx W x W x W x W+ + + +

จดรปแบบใหม0. 2. 4. 6.

8 8 8 8( ) (0) (2) (4) (6)k k k kX k x W x W x W x W= + + +จดรปแบบใหม

1. 3. 5. 7.8 8 8 8(1) (3) (5) (7)k k k kx W x W x W x W+ + + +


DSP6-19

8 i DIT FFT (ตอ)8-point DIT-FFT (ตอ)0. 2. 4. 6.( ) (0) (2) (4) (6)k k k kX k x W x W x W x W+ + +8 8 8 8

1. 0. 2. 4. 6.8 8 8 8 8

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)k k k k k

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

= + + +

⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦2

2 .2 j Nj

ππจาก

8 8 8 8 8( ) ( ) ( ) ( )⎣ ⎦

2 2/ 2

jN

N NW e e W= = =1( )X k

0. 2. 3.4 4 4 4( ) (0) (2) (4) (6)k k k kX k x W x W x W x W= + + +

1( )X k

1. 0. 2. 3.8 4 4 4 4(1) (3) (5) (7)k k k k kW x W x W x W x W⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦

สงเกตวา เหลอเพยงการคานวณสาหรบ 4-point DFT เทานน2 ( )X k


DSP6-20

p

ลดรปลงไดอกไหม?ลดรปลงไดอกไหม?

ไดใชประโยชนจากความเปนคาบของสญญาณ

1 1( ) ( 4)X k X k= + 2 2( ) ( 4)X k X k= +

01 8 2

1

(0) (0) (0)X X W X= + 41 8 2

5

(4) (0) (0)X X W X= +1

1 8 22

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

X X W X

X X W X

= +

+

51 8 2

6

(5) (1) (1)

(6) (2) (2)

X X W X

X X W X

= +

+1 8 23

1 8 2

(2) (2) (2)

(3) (3) (3)

X X W X

X X W X

= +

= +

61 8 2

71 8 2

(6) (2) (2)

(7) (3) (3)

X X W X

X X W X

= +

= +1 8 2(3) (3) (3)X X W X+ 1 8 2(7) (3) (3)X X W X+


DSP6-21

8 i บตเตอรฟลาย8-point บตเตอรฟลาย(0)x (0)X1(0)X

การรวม Recomposite(0)x

(2)x

(0)

(1)X

08W

4-point1(1)X

(2)X

18W

2W

p

DFT(4)x 1(2)X

(3)X8W

38W

(6)x 1(3)X

(0)X(4)X(1)x

(3)

2 (0)X

2 (1)X

48W

(5)X

(6)X

4-point

DFT

(3)x

(5)x

2

2 (2)X

58W

(6)X

(7)X

(5)x

(7)x 2 (3)X

68W

7WEEET0485 Digital Signal Processing


( )78W

ปไ แตเรายงลดรปไดอกจาก สมการ 8-point DFT ทถกลดลงเหลอ 4-point DFTx2

1.1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k= + =

0. 2. 3.1 4 4 4 4

0. 2. 3.

( ) (0) (2) (4) (6)

(0) (4) (2) (6)

k k k k

k k k k

X k x W x W x W x W

W W W W

= + + +

+ + +0. 2. 3.4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.

(0) (4) (2) (6)

(0) (4) (2) (6)

k k k k

k k k k k

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

= + + +

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦4 4 4 4 4(0) (4) (2) (6)x W x W W x W x W⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

1 ( )X k 1 ( )bX k

2-point DFT1 ( )aX k 1 ( )b

2-point DFT

ซงกคอ การแบง 4-point DFT ออกเปน 2-point DFTx2


DSP6-23

แยก 4-point DFT ออกเปน 2-point DFT p pสาหรบ x(0),x(2),x(4) และ x(6)

(0)x 1(0)X11(0)x

1(1)X

1(0)X(0)x 1(0)X

04 1W =

04W

(2)x 4-point

DFT(4)x1(2)X

(4)x 1(1)X

(2)X

14W

24W

(2)(4)x

(6)x 1(3)X

1(2)X24W0

4W(2)x

1(3)X34W2

4W(6)x


DSP6-24

สาหรบ (1) (3) (5) แล (7)สาหรบ x(1),x(3),x(5) และ x(7)

1.1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k= + =

0. 2. 3.2 4 4 4 4

0. 2. 3.

( ) (1) (3) (5) (7)

(1) (5) (3) (7)

k k k k

k k k k

X k x W x W x W x W

W W W W

= + + +

+ + +0. 2. 3.4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.

(1) (5) (3) (7)

(1) (5) (3) (7)

k k k k

k k k k k

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

= + + +

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦4 4 4 4 4(1) (5) (3) (7)x W x W W x W x W⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

( )X k 2 ( )bX k2-point DFT

2 ( )aX k 2 ( )bX k2-point DFT

ซงกคอ การแบง 4-point DFT ออกเปน 2-point DFTx2


DSP6-25

แยก 4-point DFT ออกเปน 2-point DFT p p สาหรบ x(1),x(3),x(5) และ x(7)

(1)x 112 (0)X

(1)x(1)x

04 1W =

04W

2 (0)X

2 (1)X

2 ( )

(3)x 4-point

DFT(5)x

(5)x14W

24W

(3)

2(1)X

2 (2)X

2 (1)X

(5)x

(7)x

24W0

4W(3)x

2 (3)X

2 (2)X

34W2

4W(7)x 2 (3)X


DSP6-26

DIT FFT สาหรบ N 8DIT-FFT สาหรบ N=8 (0)X(0)x (0)

(1)X

(0)x

(4)x

08W

4W

08W 0

8W

(2)X(2)x

48W

0

28W

48W

18W

(3)X(6)x0

8W

48W

8

68W

28W

38W

(1)x0

8W 08W

8W

48W

(4)X

(3)x

(5)x4

8W 28W

58W

(5)X

(6)X(3)x

(7)x0

8W

4W

48W

6

68W

7W

(6)X

(7)X


DSP6-27

48W 6

8W7

8W

สรป 8 i DFT แตกตวออกไดจนเหลอ 2 i8-point DFT แตกตวออกไดจนเหลอ 2-point

DFTDFT

8-point DFT8 point DFT

k4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT

2-point DFT + W4k x 2-point DFT 2-point DFT + W4

k x 2-point DFT4 4


DSP6-28

กรณ 8 i DIT FFTกรณ 8-point DIT-FFT(0)x (0)X1(0)X(0)x (0)

(1)X(4)x 1(1)X

2 point DFT−

ตวรวม

(2)x (2)X1(2)X

ตวรวม2 point−

4-point DFT

(3)X(6)x 1(3)X

(0)X

ตวรวม

8-point DFT

p DFT

(1)x2 (0)X

2 (1)X

(Recomposition to

8-point DFT)2 pointDFT−

(4)X

(3)x

(5)x2

2 (2)X

DFT ตวรวม

4-point DFT

(5)X

(6)X(3)x

(7)x 2 (3)X2 point DFT−

(6)X

(7)X


DSP6-29

กรณ N i DIT FFT2-point DFT

Recompositionกรณ N-point DIT-FFT2 point DFT

2-point DFT/ 4N/ 4N

p

/ 4N

/ 2N/ 4N

/ 2N

2-point DFT/ 4N/ 4N

N

2 i DFT/ 4N/ 4N

2-point DFT/ 2N/ 2N

2-point DFT / 4N/ 4N


DSP6-30

ทาไม FFT ใชการคานวณเพยง N l 2N ?ทาไม FFT ใชการคานวณเพยง N log2N ?

ใ ป ไ

2RNเมอเราให R เปน จานวนขน (stage) ทมการรวม เราจะไดวา

22

R=

log log 2 log 2RN2 2 2log log 2 log 2N − =

l 1N Rจงได

2

2

log 1log 1

N RR N

− == −2g

สาหรบ 4–point DFT, R=1

สาหรบ 8–point DFT, R=2


DSP6-31

จานวนขนการรวม (R)จานวนขนการรวม (R)

2

4-point DFT

2

8-point DFT

42

2 8

42

2จานวนครง

การรวม (R)= 1

8

42

( )2

จานวนครง

การรวม (R)= 1 2


DSP6-32

จานวนบตเตอรฟลายตอคอลมน (B)จานวนบตเตอรฟลายตอคอลมน (B)4-point DFT 8-point DFT

2

p

2

p

42

28

42

28

42จานวนบตเตอร

2 2 2

จานวนคอลมน 2 จานวนฟลาย (B)= 2 2

จานวนคอลมน 2บตเตอรฟลาย (B)= 4 4 4

จานวนคอลมน 3


DSP6-33

ช ซจานวนการคณเลขเชงซอน

= จ.น.บตเตอรฟลายตอคอลมนX จ.น.คอลมน X มการคณ 2 ครง

ฟ

( / 2) l 2N N

ตอบตเตอรฟลาย

2

2

( / 2) log 2(log )

N NN N

= × ×= 2(log )N N


DSP6-34

เปรยบเทยบจานวนครงการคณเลขเชงซอนของ DFT และ FFT

2เราลดการคานวณ จาก เหลอ2N 2logN NN DFT FFTN DFT

N2

FFT

(N log2N)

2

4

4

16

2

8

8

:

64

:

24

:

256

512

65,536

262 144

2,048

4 608512

1,024

262,144

1,048,576

4,608

10,240


DSP6-35

ป ป ฟปรบปรงบตเตอรฟลายจาก

rNW

r= เลขใดๆ

/ 2r NW +เราทราบวา /2 1NW

ๆ

NWเราทราบวา / 1NW = −ดงนน

1

r-1

rNW

ทาใหเหลอ จ น การคณเลขเชงซอนเปน (N/2)log NEEET0485 Digital Signal Processing


ทาใหเหลอ จ.น.การคณเลขเชงซอนเปน (N/2)log2N

บตเตอรฟลาย 4 i DFT ทถกลดรป11(0)X1

บตเตอรฟลาย 4-point DFT ทถกลดรป

(0)x (0)X11( )

1

1

(2)x (1)X1(1)X

1

11

1

1

( ) ( )

2 (0)X 11-1

1

1

(1)x (2)X1

-104W

1

1(3)x (3)X

2 (1)X

-1 -114W

เหลอจ.น. การคณเลขเชงซอนเพยง (N/2)log2N= 4EEET0485 Digital Signal Processing


( ) g2

ส ปสรป

• FFT กคอ DFT แตเปนการสลบตาแหนงขอมลและเทคนกการรวม

ใ ป ป สญญาณ เพอยอยใหจานวนการแปลงลดรปลง วธการน เรยกวา

Decimation in Time (DIT) และเรยก การแปลงฟรเยรแบบเรวนวา

DIT-FFT

ป ฟ ใ • การแปลงฟรเยรแบบเรว (FFT) แบบจะทาใหเหลอการคณเลขเชงซอน

เหลอเพยง Nlog2N ครง จาก N2 ครง เมอใช DFT g

• หรออาจจะลดการคณเลขเชงซอนลงไดอกเปน (N/2) log2N หากใชการ

ปรบปรงบตเตอรฟลาย


DSP6-38

DSP 2552 6 - WordPress.com · The Fast Fourier Transform (()FFT)...

Documents

Transcript of DSP 2552 6 - WordPress.com · The Fast Fourier Transform (()FFT)...