DUALIDAD

Universidad Autónoma del Caribe

Programa de Ingeniería Industrial

Investigación de Operaciones I

RELACIÓN ENTRE EL PROBLEMA DUAL Y

EL PRIMAL

RELACIÓN ENTRE EL PROBLEMA DUAL Y

EL PRIMAL

RELACIÓN ENTRE EL PROBLEMA DUAL Y

EL PRIMAL

Algoritmo

• Paso 0: Estandarizar el modelo. Agregar variables de holgura o exceso según el caso. Para restricciones ≥ 𝑜 = se deberá multiplicar por (-1) para obtener una base inicial, los valores del lado derecho se convertirían en negativos.

• Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable. Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales.

• Paso 2: Prueba de factibilidad, Si todas las variables básicas son no negativas, la actual solución es la óptima. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida, a aquella con el Bi más negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

• Paso 3: Prueba de inmejorabilidad Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima factible. Se termina el proceso. Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo, se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente coeficiente de intercambio negativo.

𝑐𝑗−𝑧𝑗

𝑠𝑗; para todos los 𝑠𝑗 ≤ 0

Se toma como variable de entrada ( llamémosla Xe ) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto, El empate se puede romper arbitrariamente.

Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s

Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

Ejemplo 1 Maximizar Z= -2X1 -2X2 -3X3

Sujeto a : 2X1 +4X2 +2X3 > 10

3X1 -3X2 +9X3 > 12

X1, X2, X3 > 0

Maximizar Z= -2X1 -2X2 -3X3

Sujeto a : 2X1 +4X2 +2X3 -S1 = 10

3X1 -3X2 +9X3 -S2 = 12

Expresemos el modelo en formato estándar

Multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones, para formar los

vectores unitarios, requeridos para contar con una base inicial unitaria.

Maximizar Z= -2X1 -2X2 -3X3

Sujeto a : -2X1 -4X2 -2X3 +S1 = -10

-3X1 +3X2 -9X3 +S2 = -12

Cj -2 -2 -3 0 0

Ci VB Bi X1 X2 X3 E1 E2

0 S1 -10 -2 -4 -2 1 0

0 S2 -12 -3 3 -9 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 0 -2 -2 -3 0 0

Paso 1: Tomando las variables básicas iniciales hacemos lo siguiente:

Paso 2 : Sale S2

Paso 3: Xe= Variable de Entrada = X3

Cj XB -2 -2 -3 0 0

CB VB Bi X1 X2 X3 E1 E2

0 E1 -22/3 -4/3 -14/3 0 1 -2/9

-3 X3 4/3 1/3 -1/3 1 0 -1/9

Zj -4 -1 1 -3 0 1/3

Cj - Zj -1 -3 0 0 -1/3

•Efectuando el pivoteo obtenemos la tabla siguiente:

Tabla 1 (maximizar)

Cj XB -2 -2 -3 0 0

CB VB Bi X1 X2 X3 S1 S2

-2 X2 11/7 2/7 1 0 -3/14 1/21

-3 X3 13/7 3/7 0 1 -1/14 -2/21

Zj -61/7 -13/7 1 -3 -9/14 4/21

Cj-Zj -1/7 0 0 -9/14 -4/21

•Repitiendo el algoritmo desde el paso 1, obtenemos: sale S1 y entra X2 por lo cual obtenemos:

Tabla 2

Ahora estamos en el óptimo=

X2* = 11/7, X3* = 13/7, Z* = - 61/7

Ejemplo 2 Minimizar Z= 2X1 + X2

Sujeto a : 3X1 +X2 > 3

4X1 +3X2 > 6

X1 +2X < 3

con X1, X2 > 0

Expresando el modelo en formato estándar y ajustándolo para que

las variables básicas sean las variables de holgura tenemos:

Minimizar Z= 2X1 + X2

Sujeto a : -3X1 -X2 +S1 = -3

-4X1 -3X2 +S2 = -6

X1 +2X +S3 = 3

Usando el método Dual Simplex obtenemos, sucesivamente:

CI 2 1 0 0 0

CJ Basicas Bi X1 X2 S1 S2 S3

0 S1 -3 -3 -1 1 0 0

0 S2 -6 -4 -3 0 1 0

0 S3 3 1 2 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj- Zj - 2 1 0 0 0

Cj 2 1 0 0 0

Ci VB Bi X1 X2 S1 S2 S3

0 s1 -1 -5/3 0 1 -1/3 0

1 x2 2 4/3 1 0 -1/3 0

0 s3 -1 -5/3 0 0 2/3 1

Zj 2 4/3 1 0 -1/3 0

Cj - Zj --- 2/3 0 0 1/3 0

Sale S2. Entonces el valor absoluto de los cocientes son

Sale S1. Los cocientes son:

Cj 2 1 0 0 0

Ci VB Bi X1 X2 S1 S2 S3

2 x1 3/5 1 0 -3/5 1/5 0

1 x2 6/5 0 1 4/5 -3/5 0

0 S3 0 0 0 -1 1 1

Zj 12/5 2 1 -2/5 -1/5 0

Cj - Zj --- 0 0 2/5 1/5 0

La solución óptima es X1 = 3/5, X2 = 6/5 ; Z = 12/5

Actividades Complementarias

• Resolver los anteriores ejemplos a través del método

simplex y comparar los resultados obtenidos.