[ebook] Edicions UPC - Cálculo en rotura de losas fungiformes - Spanish Español

Cálculo en roturaDe losas fungiformes

Jordi Maristany Carreras

Primera edición: septiembre de 1993Segunda edición: septiembre de 1994

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

© Jordi Maristany Carreras, 1993© Edicions UPC, 1993

Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado, 31, 08034 Barcelonae-mail: [email protected]

Producción: Servei de Publicacions de la UPCY Copisteria Carlos SaldañaAv. Diagonal, 649, ETSAB, 08028 Barcelona

Depósito Legal: B-24.896-94ISBN: 84-7653-430-2

Agradecimientos 5555

AgradecimientosAgradecimientosAgradecimientosAgradecimientos

En la confección del trabajo que aquí se expone han colaborado el ingeniero D. RafaelCasals Bohigas con sus consejos y experiencia en el tema, D. Antoni Griera, becariodel Departamento, que ha confeccionado los dibujos y dedicado un especial interés encompatibilizar las distintas normativas empleadas, Ana Mª Sánchez "Myriam",secretaria del Departamento, con su inestimable paciencia en corregir los cuantiososborradores que ha sido preciso realizar antes de obtener el trabajo definitivo, y AlbertoCallizo, en la composición del texto y revisión de las figuras.

Indice 77

IndiceIndice

AgradecimientosAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IntroducciónIntroducción

I Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II Planteo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12III Breve referencia histórica de los métodos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13IV Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14V Ámbito de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Capítulo 1 ForjadosCapítulo 1 Forjados

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Estudio de la rotura de un forjado con alternancia de cargas . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2 Paneles interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.3 Paneles de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Estudio de la rotura de un forjado con carga uniformemente distribuida . . . . . 431.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3.2 Paneles interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.3 Paneles de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Cálculo en rotura de losas fungiformes88

Capítulo 2 CapitelesCapítulo 2 Capiteles

2.1 Comprobación de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 Dimensiones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Capítulo 3 PilaresCapítulo 3 Pilares

3.1 Hipótesis de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Caso de pilares centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Caso de pilares de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1 Caso de pilares de borde con semicapiteles y/o viga perimetral . . . . . . 673.3.2 Caso de pilares junto a voladizos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5 Pilares con suficiente rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Capítulo 4 Criterios de armadoCapítulo 4 Criterios de armado

4.1 Cantos útiles y brazos elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Distribución de la armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1 Distribución de la armadura en apoyos y vano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.2 Distribución de la armadura entre bandas central y soportes . . . . . . . . 79

4.3 Longitudes de las armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.1 Paneles intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.2 Paneles de borde y zonas de voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Capítulo 5 Fisuración y deformacionesCapítulo 5 Fisuración y deformaciones

5.1 Fisuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.1 Caso de losa sin fisurar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.2 Caso de losa fisurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Ambiente corrosivo y oxidante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Indice 99

Capítulo 6 PunzonamientoCapítulo 6 Punzonamiento

6.1 Punzonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capítulo 7 Efecto arcoCapítulo 7 Efecto arco

7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 Cálculo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3 Cálculo alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capítulo 8 Ejemplo desarrolladoCapítulo 8 Ejemplo desarrollado

8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Mayoración de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3 Dimensionado de los capiteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.4 Comprobación del punzonamiento en los capiteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 Comprobación del punzonamiento sobre el perímetro de los capiteles . . . . . . 1038.6 Cálculo de la sección total necesaria de las armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.7 Reparto de las armaduras entre positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.8 Grado de rigidez del empotramiento de los pilares de borde con los pilares . . 1068.9 Sección de armaduras de un panel de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.10 Flecha de un panel interior cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Capítulo 9 EnsayosCapítulo 9 Ensayos

9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.2 Características geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.3 Características de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4 Fisuras observadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

SimbologíaSimbología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice de figurasIndice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


BibliografíaBibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Introducción 1111

IntroducciónIntroducción

I PrólogoI Prólogo

Tradicionalmente en nuestro país —y así está contemplado en la normativa oficialEH-91— viene aceptándose como sistema habitual de cálculo de los forjadosbidireccionales el método de los pórticos virtuales (o pórticos de sustitución), más porsimplicidad de utilización e influencia de otras normativas —como las americanasA.C.I.— que estrictamente por motivos puros de economía y/o racionalidad.

Últimamente, y gracias a los avances en materia informática (tanto del hardware ocapacidad de trabajo del ordenador, como del software o documentación de programasde cálculo), se han empezado a utilizar otros métodos que permiten aprovechar mejorlas características del hormigón al poderse plantear la estructura como un sistema realbidimensional.

De ahí, aparece primero la discretización de las losas como si se tratase de emparrilla-dos y más tarde el análisis mediante elementos finitos, este último de imposibleejecución sin un soporte informático adecuado.

Aun así, estos últimos métodos tienen —aún en la actualidad— el grave problema detener que acertar en la elección de una discretización correcta de los elementos quepermita una lectura de resultados suficientemente fiable. Esto se traduce muchas vecesen unas laboriosas entradas de datos, no siempre exentas de errores.

Por eso, el poder utilizar un método de cálculo que aproveche las prestaciones queofrecen los materiales en estado plástico nos permite conocer mejor el funcionamientoreal de la estructura, y por tanto, la carga última que ésta puede soportar.

El método de cálculo a partir de las líneas de rotura, muy extendido en el cálculo desistemas simples de losas, no es, a pesar de ello, un nuevo método de análisis. Ya en

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.


1940, en la Unión Soviética, con larga tradición en construcción de sistemasindustrializados, y a partir de unos ensayos que corroboraron los planteos teóricos delcálculo, se popularizó el método en rotura para calcular forjados de edificiosindustriales.

Sea por la exigencia de unos ciertos condicionantes iniciales —como son la alineaciónde pilares, los tipos de carga, la simetría de paneles, etc.— muy difíciles de cumplir ensu totalidad, sea, porque no, por razones de moda y costumbres, su aplicación real enoccidente se ha visto relegada a casos aislados, no por ello, menos interesantes a nivelteórico.

A pesar de ello, su estudio —aunque sea sólo a nivel teórico— nos permitirá conocermejor el comportamiento real de la estructura analizada y ahorrarnos muchos kilos dearmadura. Aunque sólo fuera por eso, creo sinceramente que vale la pena la lectura deesta publicación.

II Planteo del trabajoII Planteo del trabajo

En la confección del libro se han seguido fielmente las indicaciones de las Instruccionessoviéticas TsNIPS del año 1940 intentando explicar de forma detallada aquellosaspectos que parecían de más difícil interpretación, acompañando continuamente eltexto con gráficos explicativos y/o ampliando la información de aquellos aspectos quelas instrucciones no desarrollaban suficientemente, como sería el caso del capítulo 4,que analiza los criterios de armado.

Igualmente, se han contrastado las conclusiones a que llega la normativa rusa con lasde otras normativas que a nosotros nos resultan más familiares como son la propiaEH-91, la europea C.E.B. o la americana A.C.I.

Todo ello ha representado un esfuerzo de síntesis, descartando aquellos matices querepresentaban una desviación en los objetivos de la presente publicación y dificultabansu lectura.

Al final, y como resultado de la aplicación de la teoría que anteriormente se describe, seha creído conveniente —se ha echado de menos en numerosas publicaciones técnicas derelieve— introducir un ejemplo práctico, en nuestro caso, inspirado en el Boletín nº 28 delC.E.B.

Espero que esta publicación pueda ser de gran utilidad y que se encuentre en la misma laayuda que se ha pretendido ofrecer en el momento de su confección.


Introducción 1313

III Breve referencia histórica de los métodos utilizadosIII Breve referencia histórica de los métodos utilizados

Al principio, en el proyecto de forjados sin vigas se usaban "métodos osadamenteaproximados" de cálculo. Posteriormente las investigaciones teóricas que se llevarona cabo permitieron conocer mejor el comportamiento de estos forjados.

Como resultado de estas investigaciones aparecieron los llamados "métodos exactos",basados en la Teoría de la elasticidad, que asimilan el comportamiento del forjado al deuna membrana apoyada sobre capiteles.

Sin embargo, y a pesar de su rigurosidad matemática, dichos métodos, además de serde muy difícil aplicación práctica, no pueden llamarse "exactos" en el sentido literal dela palabra, ya que, para un planteo riguroso, se deben aceptar una serie de hipótesissimplificativas que no siempre concuerdan con la manera real de trabajar de estos forjados.

Ello dio lugar a la aparición de los "métodos simplificados" de cálculo, que consideranlos forjados como un sistema de vigas anchas ortogonales trabajando en ambossentidos y que han dado resultados comparativamente buenos.

Es a este nivel que en 1933 el TsNIPS (Instituto Central para la Investigación Científica delas Construcciones Industriales de la U.R.S.S.) realiza una serie de ensayos experimentalesque corroboran que la capacidad portante real de los forjados formados por losas macizases notablemente superior a los valores obtenidos por medio de los métodos tradicionalesde cálculo.

Producto de ello el TsNIPS elabora en ese mismo año un proyecto de norma con el objetivode apurar la capacidad portante de los forjados.

Aprovechando gran parte de la normativa anterior, en 1937, M.I. Shtaerman yA.M. Iviansky publicaron un primer tratado dedicado exclusivamente a este tipoestructural y que se concreta en la realización práctica de un depósito para productoslácteos en Moscú en 1908 y un edificio en Suiza, probablemente de Maillart, en 1910.

Finalmente, la dificultad que entraña delimitar el reparto de los esfuerzos en capiteles,el hecho de despreciar la contribución de los esfuerzos torsores, así como la voluntadde querer apurar el dimensionado, dan paso en algunos países a la aparición denormativas basadas en la rotura del material.

Así, justo antes de la 2ª Guerra Mundial, los candidatos a profesores en cienciastécnicas, A.S. Shchepotiev y V.S. Bulgakov, realizan en el TsNIPS, bajo la dirección delprofesor A.A. Gvozdev, una larga serie de trabajos de investigación con el fin deposibilitar el cálculo de los entrepisos sin vigas por el método del cálculo en rotura; en



base a estos trabajos el TsNIPS sintetizó, en el año 1940, un proyecto de Nuevasnormas para el cálculo de entrepisos sin vigas.

En nuestro país, las primeras noticias que se tienen del cálculo en rotura para forjadosbidireccionales provienen de las citas que Jiménez Montoya realiza en las primerasediciones de su Hormigón armado en las que se hace referencia expresa a la normativa rusaantes mencionada (ver Bibl. 10).

Como realizaciones prácticas podríamos citar como ejemplos el cálculo y dimensionadode la losa de cimentación de los edificios de Semolerias de El Carpio en Córdoba (1984)y el cálculo ya más reciente del sótano del parking del Hotel Hilton en Barcelona(1989), este último utilizando capiteles de forma octagonal, todos ellos realizados porel Dr. ingeniero Rafael Casals Bohigas.

De todas formas, y aunque últimamente vuelve a utilizarse la placa maciza de hormigón—debido a la modificación en los precios de la mano de obra y de los materiales— ennuestro país tradicionalmente se viene utilizando mucho más un sistema intermedio deconstrucción que consiste en aligerar los centros de los vanos con bovedillas cerámicaso de hormigón que, al reducir el peso propio, permite un mejor aprovechamiento enedificación, lo que se conoce popularmente como "forjados reticulares", y el métodode cálculo que la propia normativa contempla (EH-91) es la susodicha de "pórticosvirtuales", de cálculo en régimen elástico.

IV Consideraciones previasIV Consideraciones previas

La mayoría de los actuales sistemas de cálculo de estructuras de hormigón arrastran unatremenda incoherencia entre los planteamientos de cálculo a nivel de esfuerzo y eldimensionado definitivo a nivel de sección.1

Efectivamente, mientras en los primeros se parte del principio de linealidad entre causasy efectos: cargas exteriores y esfuerzos producidos (métodos matriciales, Cross, etc.),el dimensionado definitivo se realiza por un proceso más acorde con la realidad, basadoen métodos semiprobabilísticos de los estados límites (parábola-rectángulo, momentotope, etc.). Lógicamente, en este último caso, el diagrama representativo de tensiones-deformaciones ya no tiene por que ser lineal.

Por si ello fuera poco, la incoherencia aumenta al querer aplicar el método de cálculoa estructuras hiperestáticas obteniendo unos esfuerzos que no tienen por qué coincidircon los que de verdad llegan a las secciones. Estos se mayoran y son utilizados en el


Introducción 1515

cálculo de secciones a la rotura con la consecuente pérdida de sentido en laintroducción del término de seguridad (ver Bibl. 14).

ProcesoProceso de formación de las líneas de de formación de las líneas de roturarotura. Cuando se somete una losa a una intensidadde carga creciente la distribución de esfuerzos que tiene lugar en la misma obedece a losprincipios de un cálculo lineal, siempre que esta esté trabajando en estado de servicio.

Conforme aumenta el valor de las cargas aplicadas aumenta proporcionalmente el valor de losesfuerzos provocados hasta que las tensiones en algunos lugares de la placa alcanzan el valorde fluencia originándose fisuraciones y alterando el valor de las inercias, con lo que se provocainmediatamente un cambio en la forma de redistribución de los esfuerzos.

A partir de este punto puede considerarse que dicha sección gira indefinidamente amomento constante. Podemos considerar en este instante que se ha formado una"línea de rotura", es decir, se ha plastificado una sección de la losa.

Mediante sucesivos incrementos de carga van alcanzando la plastificación una serie desecciones que forman unas líneas que van progresando hasta convertir la estructura en unmecanismo. Al valor de la carga aplicada en este último instante se le denomina carga derotura y a las líneas así formadas líneas de rotura. Estas últimas tienen la particularidad deque a igual cuantía de armado tienen el mismo valor de momento flector en todas ellas(ver Bibl. 13).

Resumiendo, en construcciones continuas, cuando en una de las secciones lastensiones en la armadura alcanzan el límite de fluencia, la capacidad portante de laestructura todavía no se agota debido a la redistribución de los esfuerzos. La estructuracontinua sigue trabajando soportando el aumento de cargas hasta el momento en quefluya la armadura en otras secciones, convirtiéndola finalmente de estáticamenteindeterminada en estáticamente determinada.

LimitaciLimitaciones en la aplicación del métodoones en la aplicación del método. Pero de todo ello sería falso llegar a la conclusiónde que se puede fijar arbitrariamente la armadura en el tramo y en el apoyo con tal de quela suma de las secciones transversales sea igual a la sección necesaria total. El empleo deesta forma de armado llevaría consigo la aparición anticipada de fisuras indeseadas, loscoeficientes de seguridad de las distintas secciones serían demasiado diferentes entre síy disminuiría la rigidez de la estructura.

El armado de la losa debe ser tal que asegure el agotamiento de una sección porplastificación de sus armaduras. Esto se consigue imponiendo una limitación de lacuantía de las armaduras empleadas. En concreto, podemos considerar que el valor dela T límite estará comprendido como máximo entre el valor de 0,16, que correspondea un recubrimiento de r/h igual a 0,05 y del valor 0,15 para un recubrimiento de 0,15.



Estos valores han sido calculados suponiendo estados de agotamiento en los que elhormigón más comprimido no ha alcanzado aún su deformación máxima admisible del0,35%.

Por otra parte, el mecanismo de rotura depende de la disposición de los apoyos delforjado, además de la disposición de las sobrecargas y su naturaleza. Por tanto, si laintersección de los ejes de los apoyos con la losa no forma una figura geométricasimple, el número de mecanismos posibles a priori es elevado. Es más, la definiciónanalítica de cada uno de los mecanismos exige para su empleo la introducción denumerosos parámetros que complican considerablemente los cálculos. Por tanto, noserá posible encontrar un procedimiento general de resolución más que para aquellosforjados de forma extremadamente simple. Esta es la razón más clara por la que eldominio de aplicación del método que más adelante se expone está limitado al caso deforjados de malla rectangular y paneles cuadrados o rectangulares en que la relaciónde lados se encuentra próxima a la unidad. En efecto, para este tipo de forjados, elnúmero de mecanismos a analizar se reduce a 2, y se trata de mecanismos simples enlos que la determinación analítica exige pocos parámetros.

V Ámbito de aplicaciónV Ámbito de aplicación

El método de cálculo que se desarrolla a continuación tiene por objeto el dimensionadode forjados fungiformes, en el que los pilares marquen una trama cuadrada de ladosiguales; o bien rectangular de lados desiguales pero que observen una relación entrelado mayor y lado menor entre 1 y 3/2, y una relación entre vanos adyacentescomprendida entre 1 y 4/3, en función de las solicitaciones a que está solicitada la losaen estado límite de "flexión".

Estas instrucciones analizan diversos casos tipológicos de soporte en los extremos dela losa según se trate de:

a) Un voladizo rebasando la fila de columnas de borde.b) Unos semicapiteles con corte neto de losa, en el paramento exterior de las columnas.c) Una viga dintel, que una los pilares de borde.d) Un apoyo de la losa sobre muro corrido, que sustituya a la viga de borde.

Este trabajo sólo contempla el caso de sobrecargas uniformemente repartidas, totaleso parciales, sobre la totalidad o parte del forjado. Igualmente permite calcular los forjadosfungiformes armándolos de forma tradicional, ya sea con redondos o con mallaelectrosoldada, con la condición de respetar las direcciones marcadas por los ejes queunen los centros de pilares.


Introducción 1717

Fig. A Ambito geométrico de validez aplicable

Los forjados así calculados deberán :

a) verificarse a la roturaa.1) de una banda ficticia cortada entre dos filas de pilares adyacentes (ver Cap. 1 § 2)a.2) de dos paneles adyacentes de una y otra parte del pilar (ver Cap. 1 § 3)

b) limitando la fisuración de las seccionesc) asegurando la rigidez del conjuntod) y comprobando siempre el punzonamiento.

En cambio, no será necesaria la comprobación a la rotura de un único panel. En efecto,aunque parezca lo más lógico contemplar la posibilidad de que en un mismo panel seproduzca una coincidencia de situaciones desfavorables como podrían ser un defectode los materiales, una deficiente puesta en obra y una desfavorable concentración desobrecargas sobre un solo panel, la rotura de un panel único no es el caso más peligroso,debido al monolitismo del techo que acude en su ayuda, por decirlo así, en dicha situación.Por si esto fuera poco, el efecto arco que normalmente se produce, y que comentaremosmás adelante, aumenta también y notablemente su seguridad.



1. Es interesante la comparación que realiza F. Regalado entre efectuar el cálculo de una estructura adoptandoun diagrama momento-curvatura lineal o efectuar un cálculo no lineal con todas sus consecuencias (ver Bibl. 15cap. 13).

Fig. B Condiciones de borde de las losas

Finalmente, y aunque el trabajo trata del estudio de losas macizas sobre pies derechoscon capiteles es también posible —y se realizan continuas anotaciones en el escrito—extrapolar sus resultados no solo para el caso de que los pilares no tengan capitel sinotambién para aquellos forjados como los comúnmente llamados reticulares, siempre quese adopten una serie de precauciones para compatibilizar el funcionamiento de ambossistemas como sería introducir un factor de cambio de rigidez de la losa aligerada (delorden de 0,70 del de la losa maciza) o acotar la separación entre nervios a una medidaque no sea excesiva, y desde luego menos que la que permite la actual normativa españolaEH-91.

NotasNotas


Forjados 1919

Capítulo 1 ForjadosCapítulo 1 Forjados

1.1 Introducción1.1 Introducción

Para el cálculo de la capacidad portante de las losas, las normas TsNIPS de 1940 aconsejantomar las siguientes hipótesis de partida:

1) La losa de hormigón armado, al llegar al estado de rotura, se convierte en un sistemavariable formado por eslabones rígidos, unidos entre sí por medio de articulacioneslineales plásticas.

2) Las tensiones de la armadura en las articulaciones plásticas, en el instante de la rotura,alcanzan el límite de fluencia.1

3) Los desplazamientos del sistema, en el instante de tiempo inmediatamente anterior alde rotura, son despreciables en relación a las dimensiones de la estructura.

Además, y a diferencia de los métodos comunes de cálculo en los cuales las secciones delas fajas de apoyos y central son iguales, aquí dimensionaremos suponiendo una secciónrectangular en el centro de vano. En cambio, en la sección del apoyo supondremos unasección en forma de T, en todo el ancho de la losa. En este caso la armadura, dispuestaen todo el ancho de la losa, trabaja, según la opinión de los autores del proyecto de lanorma, con un brazo de palanca cuyo valor sobrepasa aproximadamente de 1½ a 2 vecesal espesor de la losa. Las tracciones, en toda la armadura del apoyo, se equilibran con lastensiones de compresión en el borde de poco ancho del nervio de la sección de apoyo(ver Cap. 4 § 1).

Para poder determinar la capacidad portante de la losa, es imprescindible, previamente,poner en claro el esquema de la rotura y ubicar la posible disposición de las líneas de lasarticulaciones plásticas, que lógicamente deberán corresponder al valor mínimo de la cargade rotura.



En calidad de estados de mayor peligrosidad, seleccionados en base a ensayos previamenterealizados, existirán dos esquemas de disposición de las sobrecargas: según actúen soloen los tramos alternos o actuando sobre todos los tramos.

A continuación damos un corto resumen de las condiciones básicas del proyecto de normasdel TsNIPS del año 1940.

1.2 Estudio de la rotura de un forjado con alternancia de cargas1.2 Estudio de la rotura de un forjado con alternancia de cargas

1.2.1 Introducción1.2.1 Introducción

En la fig. 1.2 se representa la ubicación de las líneas de articulación plástica en el estadode rotura de la losa de forjado para la hipótesis de que la sobrecarga actúe solamente entramos alternos, tal como se aprecia en la fig. 1.1:

Fig. 1.1 Esquema de cargas en vanos alternos

El cálculo a la rotura se efectúa tomando como hipótesis que, en los tramos considerados(rayados en la figura 1.3), se forman unas rótulas plásticas lineales, paralelas al ejelongitudinal de dicha banda:


Forjados 2121

Fig. 1.2 Esquema de rotura de una banda longitudinal



Fig. 1.3 Esquema de las líneas de las articulaciones plásticas de una losa

con sobrecarga dispuesta en tramos alternos


b 'Lx& 2cx

2'

Lx

2& cx '

lx2

Forjados 2323

(1.1)

- Una rótula plástica lineal (línea de rotura) M en el vano con abertura de una fisura inferior.- Una rótula plástica lineal M´, cerca de cada apoyo, con abertura de fisura superior.

Fig. 1.4 Esquema de la zona comprimida en las rótulas plásticas sobre los apoyos

En función de la posición de las rótulas plásticas en los apoyos, la zona comprimida podráencontrarse dentro de alguna sección de la losa o incluso parcial o completamente dentrode los capiteles (ver Fig. 1.4).

1.2.2 Paneles interiores1.2.2 Paneles interiores

1.2.2.1 Caso general1.2.2.1 Caso general

En los paneles interiores, siempre que se cumplan las condiciones de proporción de lucesindicadas en la introducción, apartado 5 (ámbito de aplicación), podrá considerarse que seproduce un caso de simetría pura en la rotura de los paneles, con lo que la línea dearticulación central debida a los momentos positivos se producirá en el eje del panelconsiderado y las líneas de articulaciones laterales debidas a los momentos negativos seproducirán a una distancia c de los ejes de las columnas adyacentes (c respecto al eje xx,x

y c respecto al eje yy) (ver Fig. 1.3).y

En condiciones de simetría (ver Fig. 1.5), deberá ser igual el ancho de los dos eslabonesy su valor será:


M ' A z Fye

Qx ' 0


(1.2)

(1.3)

Fig. 1.5 Nomenclatura

Analicemos el equilibrio de un eslabón en la zona limitada por un panel de largo L (very

Fig. 1.6). En los bordes de este elemento actúan las siguientes fuerzas internas:

En la línea de la articulación central:


Forjados 2525

Fig. 1.6 Resolución por el método de equilibrio de un panel interior

y tensiones en las líneas de rotura


M´ ' A´ z´ Fye

Qx ' P Ly

(Lx& 2cx)

2' P Ly

lx2


(1.4)

(1.5)

Y en la línea de la articulación sobre los apoyos:

siendo:

M momento flector positivo en el centro del vano y que produce la articu-lación plástica central.

M' momento flector negativo en la articulación plástica.Q esfuerzo cortante en la dirección xx.x

A sección total de la armadura en la articulación plástica central (M) para unalongitud de tramo L .y

A' sección total de la armadura sobre la articulación plástica lateral para unalongitud de tramo L .y

z brazo del par de las fuerzas internas correspondiente al armado A.z' brazo del par de las fuerzas internas en la sección de la articulación

plástica, para lo cual ésta se considera como una T cuya ala en general esigual al ancho del tramo y cuyo nervio es la parte del capitel comprendidaentre la intersección de las secciones del apoyo —articulación plástica—,del tipo de capitel utilizado (ver Cap. 4 § 1 y Fig. 1.19).

F tensión de la armadura.ye

P carga total superficial uniformemente repartida sobre la losa.L , L distancias entre ejes de columnas en ambas direcciones.x y

c distancia entre la articulación de los apoyos y el eje de la columna másx

cercana; esta distancia depende de la forma y dimensiones de los capitelesy debe corresponder a la carga mínima de rotura.

Los momentos, que aparecen a lo largo de las líneas que limitan la zona analizada, notienen componente según el eje de momentos, con lo que no influyen en las ecuacionesde equilibrio y por tanto no intervendrán en el cálculo. A su vez las fuerzas transversalessegún esas líneas valen, por razones de simetría, cero.

Las condiciones de equilibrio de los momentos de todas las fuerzas, pertenecientes al trozode elemento rígido considerado, de largo L y ancho (L — 2c ) / 2, respecto al ejey x x

dispuesto en el plano de la sección de apoyo que pasa por el centro de gravedad de la zonacomprimida del nervio de dicha sección de apoyos, dan las siguientes relaciones (verFig. 1.2):


P (Lx& 2cx)2

8# Fye ( A z % A´ z´)

P Ly (Lx& 2cx)2

8# Fye At z (2´ z´

z% 2 )

P Ly l 2x

8 At z Fye

'

2´ z´z

% 2

1& 2cx

lx

2

MT 'q l 2

8' M % M´

Forjados 2727

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

de donde:

Que lo podemos poner en la forma:

siendo:

A = A + A' suma total de las secciones de armadura en las secciones det

apoyos —rótulas plásticas— (A') y de tramo (A), en la banda delargo Ly

2' = A'/ A relación entre la armadura del apoyo y la total.t

2 = A / A relación entre la armadura de vano y la total.t

La ecuación deducida sirve para la resolución de todos los problemas de verificación de laestabilidad, y para el cálculo y proyecto en el caso de sobrecargas dispuestas en tramosalternos sobre la losa.

1.2.2.2 Extrapolación en el caso de ausencia de capiteles1.2.2.2 Extrapolación en el caso de ausencia de capiteles

Podemos observar cómo la parte izquierda de la fórmula 1.8 expresa la relación entre elmomento de la viga P L l / 8, analizada bajo la carga de rotura, y la suma de losy x

2

momentos internos de las secciones de apoyos y central, en la hipótesis de ausencia decapiteles. A su vez, la parte de la derecha de la igualdad expresa, numéricamente, lainfluencia de los capiteles sobre la estabilidad de la losa. Para el caso de ausencia decapiteles z' / z = 1 y c = 0 y la parte derecha de la igualdad valdrá 1 (dado quex

2´ + 2 = 1).

Y, colocando q = P L , la fórmula anterior quedaría en la forma que todos conocemos:y



1.2.3 Paneles de borde1.2.3 Paneles de borde


En cambio, cuando se trata de analizar la rotura de los paneles de borde, en algunos casosno podremos suponer que exista simetría en la formación de las articulaciones plásticas.

Al analizar la rotura de una fila de paneles de borde en el sentido del perímetro de borde,se forman dos eslabones rígidos, paralelos al borde de la losa. En este caso la articulaciónplástica central M, que corresponde a la carga mínima de rotura, se forma, a diferencia dela de los paneles interiores, no en el eje central del panel, sino desplazada hacia el bordedel forjado, tal como puede contemplarse en la figura 1.7.2

Fig. 1.7 Esquema de rotura en el tramo de borde de una losa

Para simplificar la resolución del problema, supongamos que esta línea tiene una ubicaciónfija que depende únicamente del tipo de apoyo perimetral; (según los autores de la normaTsNIPS de 1940 el error que se comete con esta hipótesis es, como máximo, del orden del1,5% al 2%).

Si nos fijamos en la figura 1.8 cuando había simetría, el momento isostático total eraM = P L l ² / 8; en cambio ahora será M = P L (l -x)² / 2, por lo que la fórmula 1.7y x y x

quedará de la siguiente forma:


P Ly x (lx& x)

2# Fye AÍ zÍ

lx& x

lx% A z % AÉ zÉ

xlx

Forjados 2929

(1.10)

Fig. 1.8 Esquema de solicitaciones a flexión de una losa en tramo central y de borde

siendo:

l la longitud del tramo de cálculo en la dirección xx.x

L la longitud del tramo de cálculo en la dirección yy.y

x la distancia entre la articulación plástica correspondiente al pilar interior yla rótula central.

A' la sección de la armadura superior correspondiente a la rótula plásticaI

interior.


2Í 'AÍ

At

; 2 'AAt

; 2É 'AÉ

At

P Ly x (lx& x)

2# Fye At 2Í zÍ

lx& x

lx% 2 z % 2É zÉ

xlx

x ' 0,50 lx

x ' 0,55 lx


(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

A' la sección de la armadura superior correspondiente a la rótula plásticaE

exterior.2' la relación entre la armadura superior interior respecto al total AI t

2' la relación entre la armadura superior exterior respecto al total AE t

z' el brazo elástico de la articulación plástica interior.I

z' el brazo elástico de la articulación plástica exterior.E

Si ponemos:

se puede escribir 1.10 de la forma:

Analizaremos a continuación varios tipos de paneles de borde según se trate de soportescon viga perimetral con o sin semicapiteles, con apoyo libre sobre muro exterior y envoladizo.3

1.2.3.2 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles1.2.3.2 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles

Para el cálculo de la armadura paralela al borde de la losa (ver Fig. 1.9) podrá aplicarsedirectamente la fórmula 1.8. En lo referente al cálculo y dimensionado de la armadura enla dirección perpendicular al perímetro de borde, las instrucciones soviéticas distinguensegún se trate de apoyos de borde con pilares con "suficiente rigidez" (ver Cap. 4§ 2.1.2.2), en que tomaremos como medida entre la rótula plástica del apoyo interior y ladel tramo el valor:

con lo cual se podrá aplicar directamente la fórmula 1.8 correspondiente al caso simétricoya comentado, o con pilares de borde que no cumplan la condición anterior en que seaconseja tomar el siguiente valor de x:


Forjados 3131

Fig. 1.9 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel exterior sustentado por

semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura


P l 2x Ly

8 At z Fye

'

z´z

(2´ % 1,22 2´) % 2,22 2

2,20 1& 2cx

lx

2

P lx Ly

2'

j M1

x%

j M2

lx& x


(1.15)

(1.16)

En tal caso bastará con sustituir dicho valor en 1.12, con lo que una vez realizadas lasoperaciones correspondientes, nos queda la fórmula final:

Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. 7) llegan a la misma conclusión aplicando el principio de lostrabajos virtuales. Por su indudable interés y sencillez de planteo, veamos el proceso dededucción de la fórmula anterior aplicando este principio:

Los dos eslabones rígidos que se forman al producirse la rotura del panel de borde formanel sistema variable para el cual se formulan las relaciones del trabajo de las fuerzas internasy externas. Como carga exterior figura la carga distribuida sobre la superficie de la fajaanalizada, y como fuerzas interiores figuran los máximos momentos que actúan en laslíneas de las articulaciones plásticas de apoyos y central, en el instante de la rotura.

El desplazamiento virtual, que responde al esquema de rotura adoptado, puede observarseen la figura 1.7. En base a lo dicho anteriormente, expresaremos la condición de igualdaddel trabajo realizado por las fuerzas internas y externas, que actúan en el fragmento de fajade largo L :y

siendo:

P carga total por m de forjado.2

l distancia entre las articulaciones próximas a los apoyos.x

c distancia de la línea de articulación plástica de apoyos a los pilaresx

contiguos.x ancho de la faja comprendida entre la línea de articulación central y la de

apoyos más cercanos a la primera fila interior de columnas (ver Fig. 1.5).EM , EM suma de los máximos momentos que actúan en las líneas de 1 2

articulación plástica de las fajas rígidas —eslabones— interior y exterior.L distancia entre ejes de columnas en la dirección yy.y


lx ' Lx& 2cx

x ' 0,55 lx

j M1 ' AÍ Fye zÍ % A Fye z

j M2 ' AÉ Fye zÉ % A Fye z

Forjados 3333

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

Por lo general la forma del capitel adosado al muro perimetral es igual a la de los capitelesinteriores, por lo que las articulaciones plásticas de los apoyos interior y exterior sedispondrán a distancias iguales c de los respectivos ejes de columnas. El ancho de ambosx

eslabones rígidos será, por lo tanto:

Si suponemos el caso de pilares de borde de "poca rigidez" (ver Cap. 3 § 6), la distanciadesde la articulación plástica central a la articulación plástica de los apoyos interiores,según hemos visto, será:

La suma de los momentos que actúan en las articulaciones del eslabón más cercano a lafila interior de columnas es:

y en las articulaciones del eslabón más cercano a la fila exterior de columnas

siendo:

A' la sección de la armadura superior, que es cortada por la articulaciónI

plástica de apoyos más cercana a la fila interior de columnas.A la sección de la armadura inferior, cortada por la articulación plástica

central.A' la sección de la armadura superior, cortada por la articulación plástica deE

apoyos más cercana a la fila exterior de columnas.


12

P l 2x Ly 1& 2

cx

lx

2

'AÍ Fye zÍ % A Fye z

0,55%

AÉ Fye zÉ % A Fye z

1& 0,55

At 'AÍ % AÉ

2% A ; 2É '

AÉ

At

; 2 'AAt

; 2Í 'AÍ

At

P Ly (Lx& 2cx)2

8# Fye (A´ z´ % A z % A´j z´j % Aj zj )


(1.21)

(1.22)

(1.23)

Y sustituyendo, en la ecuación general de equilibrio, los valores l , x, EM y EM :x 1 2

Introduciendo, por analogía con el tramo interior, los valores:

y, haciendo algunas simplificaciones, obtendremos la fórmula 1.15.

Finalmente, no deberá olvidarse que, al determinar el brazo elástico correspondiente a laarmadura superior paralela al borde de la losa, la zona comprimida de la viga de borde,relativa a dicha armadura, puede encontrarse completamente fuera de la losa (en el capitel).

1.2.3.31.2.3.3 TipTipologíaología de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y co de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y connviga perimetralviga perimetral

1.2.3.3.1 Cálculo de armadura en la dirección paralela al borde1.2.3.3.1 Cálculo de armadura en la dirección paralela al borde

Para el cálculo de la armadura en la dirección paralela al borde se pueden presentar doscasos, que deben analizarse independientemente:

a) Rotura simultánea de losa y jácena de borde.b) Rotura únicamente de la losa.

En ambos casos son de aplicación las fórmulas 1.8 y 1.12.

Para el primer caso será de aplicación la fórmula:

Y para el segundo será de aplicación la fórmula:


Forjados 3535

Fig. 1.10 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico perimetral sin

semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura


P (Ly& b) (Lx& 2cx)2

24(2 % 8) #

# Fye A´ z´% z2

% A z %(Aý % Ay) zý (Lx& 2cx)

4 (1& 8 ) (Ly& b)

Mtor # Fye Aý zý

Lx

2

8 'y

Ly& b

8 ' 0,50


(1.24)

(1.25)

con

siendo:

b ancho de la jácena de borde.y distancia entre el punto de corte de las líneas de rotura positivas y el eje

de la primera línea de pilares.A' sección de la armadura superior a lo largo de L cortada por la articulacióny

plástica perpendicular al borde.A sección de la armadura inferior a lo largo de L cortada por la articulacióny

plástica perpendicular al borde.A' sección de la armadura superior de la viga de borde. j

A sección de la armadura inferior de la viga de borde.j

A' sección de la armadura superior a lo largo de L cortada por la articulacióny x

plástica paralela al borde.A sección de la armadura inferior a lo largo de L cortada por la articulacióny x

plástica inclinada.z' brazo elástico correspondiente a A'

z brazo elástico correspondiente a Az' brazo elástico correspondiente a A'j j

z brazo elástico correspondiente a Aj j

z brazo elástico correspondiente a Ay y

z' brazo elástico correspondiente a A'y y

(En el presente caso se aconseja tomar un valor de ).

Para poder aplicar con garantías la fórmula anterior, lógicamente, la armadura A de lay

fórmula 1.24 estará limitada por la condición de que la viga de borde pueda absorber unmomento torsor M tal que:tor


Forjados 3737

Fig. 1.11 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior

con pórtico perimetral sin capiteles


P l 2x Ly

8 At Fye z'

2Éz´z

% 1,22 2Í % 2,22 2

2,20 1&cx

lx

2

lx ' Lx & cx

x ' 0,55 lx

j M1 ' AÍ Fye zI % A Fye z

j M2 ' AÉ Fye zE % A Fye z

12

P Ly l 2x 1&

cx

lx

2

'AÉ Fye zÉ % A Fye z

0,55%

AÍ Fye zÍ % A Fye z

1& 0,55


(1.26)

(1.27)

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

1.2.3.3.2 Cálculo de armadura en la dirección perpendicular al borde1.2.3.3.2 Cálculo de armadura en la dirección perpendicular al borde

En la otra dirección se aplicará la fórmula 1.12, que considera que se produce asimetría enla formación de la articulación plástica central dando a x el valor de 0,55 L , o que dax

como resultado la siguiente fórmula de recurrencia:

A igual resultado se habría llegado al aplicar el método de los trabajos virtuales. Veamos:

Como en este caso la articulación de apoyo se dispone en el límite interior de la vigaperimetral, o según el borde de la pared, la separación entre las articulaciones plásticas deapoyos vale:

La separación entre la articulación plástica central M, que corresponde a la carga mínimade rotura, y la articulación plástica de apoyos adyacente a la primera fila interior decolumnas se toma constante e igual a:

Y procediendo de la misma forma que en el caso anterior:

Y operando, obtendríamos la fórmula 1.26.


lx ' Lx & cx

x ' 0,65 lx

j M1 ' A Fye z % AÍ Fye zÍ

j M2 ' A Fye z

12

P Ly l 2x 1&

cx

lx

2

'AÍ Fye zÍ % A Fye z

0,65%

A Fye z

1& 0,65

P l 2x Ly

8 At Fye z'

2Íz´z

% 2,55 2

2,60 1&cx

lx

2

8 ' 0,60

Forjados 3939

(1.32)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

1.2.3.4 Tipología de losa de forjado apoyada en el perímetro sobre muros macizos1.2.3.4 Tipología de losa de forjado apoyada en el perímetro sobre muros macizos

Cuando el borde de la losa se apoye en un muro macizo deberá utilizarse la fórmula 1.11para el esquema en el que aparece una articulación plástica paralela al muro.

Tendremos, en este caso:

que sustituyendo en 1.12, o empleando el método de los trabajos virtuales, y teniendo encuenta que por ser un simple apoyo la entrega entre la losa y muro no habrá momentonegativo en la losa:

que nos daría la fórmula final:

Si se trata de la rotura de una banda perpendicular al borde (Fig. 1.9 caso B), deberáutilizarse la fórmula 1.24, teniendo presente la inexistencia de la viga de borde y de laausencia de barras del tipo A´ (armadura de negativos saliendo del muro).E

En este caso se aconseja tomar un valor de .



Fig. 1.12 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel sustentado

por un muro macizo de borde


x' 0,50 lx

Forjados 4141

1.2.3.5 Tipología de losa de forjado en voladizo1.2.3.5 Tipología de losa de forjado en voladizo

Se deben analizar por separado:

a) Las armaduras perpendiculares al borde del voladizo que corresponden a la hipótesisde formación de una articulación plástica paralela al borde en el arranque del voladizo(Fig. 1.12 caso A).4

b) Las armaduras paralelas al borde del voladizo que corresponden a la hipótesis deformación de articulaciones plásticas perpendiculares al borde en la dirección del voladizo(Fig. 1.12 caso B).

Por simetría la articulación positiva se ubica en el centro del panel y se

resuelve, en esta dirección, como un panel interior siendo aplicable la fórmula 1.8.



Fig. 1.13 Resolución por el método del equilibrio de un panel de borde en voladizo

y tensiones en las líneas de rotura


Forjados 4343

1.3. Estudio de la rotura de un forjado con carga uniformemente distribuida1.3. Estudio de la rotura de un forjado con carga uniformemente distribuida

1.3.1. Introducción1.3.1. Introducción

En la figura 1.15 se representa la ubicación de las líneas de articulación plástica, en elestado de rotura de la losa del forjado, para la hipótesis de que la sobrecarga actúe porigual en toda la superficie del forjado.

Siempre que se cumplan las recomendaciones de ámbito geométrico de las TsNIPS antesapuntadas en este trabajo, no será necesario llevar a cabo la comprobación de roturasimultánea de dos bandas adyacentes paralelas.

Fig. 1.14 Esquema de sobrecargas en todos los tramos

Cuando se calcula, con carga uniforme en todo el forjado, en base a la hipótesis de cargauniforme en todos los paneles del forjado, se admite que en los paneles intermedios seforman articulaciones plásticas (unas paralelas y otras perpendiculares a las filas decolumnas que recuadran las bandas en cuestión). Cada panel queda dividido por dichasarticulaciones plásticas M en cuatro eslabones, que tienden a girar alrededor de lasarticulaciones plásticas oblicuas de los apoyos M´, cuyos ejes de rotación se hallan en lazona de los capiteles, y oblicuamente en relación a los ejes ortogonales de la losa.



Fig. 1.15 Esquemas de las líneas de articulaciones plásticas de una losa

con sobrecarga en todos los tramos

La ubicación de las articulaciones plásticas de los apoyos M´ coincide con las líneas de loscentros de las columnas. Las articulaciones plásticas centrales M no dependen, porsimetría, de la forma y dimensiones de los capiteles.

La línea de articulación plástica oblicua es la única que puede variar su ubicación en funciónde las dimensiones y formas de los capiteles. Su ubicación definitiva estará en función dela carga mínima de rotura.

En la configuración de la rotura, de acuerdo con la figura 1.16, se observa la división deun panel en cuatro eslabones cuyos ejes de rotación son las líneas de rotura oblicuas.


Ay

Ax

'lylx

' $

Forjados 4545

(1.38)

Fig. 1.16 Esquema de rotura de un panel en el caso de colapso simultáneo de dos paneles

adyacentes

1.3.2. Paneles interiores1.3.2. Paneles interiores


Para el caso de capiteles cuadrados o rectangulares y una relación entre las armaduras,respecto a los ejes coordenados, de:


P l 2x Ly

8 A Fye z#

2´x % 2´y

2· z´

z%

2x % 2y

2Lx % Ly

2& 2C %

43

· C 3

Lx Ly

c ' cx% cy


(1.39)

La dirección de la línea de articulaciones plásticas tendrá una inclinación de 45º cuandopasa cerca de los ejes de los pilares.

Y se podrá utilizar la fórmula de uso general:

siendo:

C es el cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el eje de rotura porencima del capitel

2' es el coeficiente que relaciona la armadura superior A' en el apoyox x

respecto a la total A en la dirección xx.tx

2' ídem respecto al eje yy.y

2 es el coeficiente que relaciona la armadura inferior A en el centro del vanox x

respecto a la total A en la dirección xx.tx

2 ídem respecto al eje yy.y

Fig. 1.17 Esquema de las líneas de rotura negativas en un panel rectangular


M1& 2 'Fye 2 ATx z

2

M1& 5 'Fye 2 ATy z

2

R´y 'Fye 2´ A´Ty

2

R´x 'Fye 2´ A´Tx

2

Forjados 4747

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Para obtener dicha fórmula, plantearemos las ecuaciones de equilibrio de uno de loseslabones rígidos de un panel interior:

1) En la línea 1-2 de la figura 1.15 y a lo largo del eslabón cuya longitud vale 1/2 L , actúay

el momento de rotura:

2) En la línea 1-5, sobre un largo del eslabón de valor 1/2 L , actúa por simetría, el mismox

momento de rotura:

3) En la línea 2-3, en la cara superior de la losa, actúa una fuerza de tracción que es iguala la sección de la armadura multiplicada por la tensión de fluencia:

y, en forma similar, en la línea 4-5:

Según la opinión de los autores de la norma, en estas secciones de hormigón (2-3 y 4-5),tal como puede verse en la figura 1.15, no existen fuerzas de compresión, pues todas ellasestán concentradas en la parte inferior de la sección 3-4, equilibrando a las fuerzas detensión en 3-4, en la intersección del ángulo del capitel (nervio de la T para el alaextendida). El brazo del par de fuerzas interiores valdrá, en este caso, z .c

En las zonas 1-2, 2-3, 1-5 y 4-5, en razón de la simetría, no hay fuerzas transversales, porlo que la carga exterior se deberá equilibrar con las fuerzas transversales concentradas enla zona comprimida de la sección 3-4 (ver Fig. 1.16)

Para expresar las ecuaciones de equilibrio igualaremos a cero la suma de todos losmomentos que actúan sobre el eslabón analizado, para lo que, tomando como eje dereferencia el eje 0-0 que se encuentra en el plano de la sección 3-4 y que pasa por elcentro de gravedad de la zona del hormigón comprimido, tenemos:


0,71 l 2x Ly

8P 0,5 (1% $) & 2

cx

Lx

(1% $ ) %4c 3

x

3l 3x

(1% $)3

$&

& 0,71Fye´ At z

2(2´ z´

z% 2 ) (1% $) ' 0

P l 2x Ly

8 At Fye z#

2´ z´z

% 2

1& 4 cx

Lx

% 2,67c 3

x

L 3x

(1% $)2

$


(1.44)

(1.45)

o simplificando:

Fig. 1.18 Esquema de equilibrio de momentos respecto al eje de rotación 3-4, para un panel

interior de una losa totalmente cargada


2,67c 3

x

L 3x

(1% $ )2

$

(1% $ )2

$' 4

P l 2x Ly

8 At Fye z#

2´ z´z

% 2

1& 5cx

Lx

% 10,7c 3

x

L 3x

P L 3

8 At Fye z#

2´ z´z

% 2

1& 2 CL

%43

C 3

L 3

Forjados 4949

(1.46)

(1.47)

(1.48)

(1.49)

Como el valor de c / L varía entre 0.10 y 0.12 (ver Cap. 2, § 2) el término:x x

Es pequeño frente a la unidad por lo que, a fin de simplificar, supondremos que:

independientemente del valor de $, pues supone un error del 0,1% al 0,3%.

Y la ecuación anterior tomará la siguiente forma:

Que, sustituyendo C por c + c , nos da la ecuación general 1.39.x y

La ecuación, en su forma final, es formalmente igual a la ecuación 1.8 correspondiente asobrecargas sobre tramos alternos.

Comparando ambas ecuaciones, las diferencias más notables se encuentran en eldenominador de la parte derecha de la igualdad y en el valor del brazo elástico en el apoyoz , antes se trataba de calcular el brazo elástico de una sección trapezoidal mientras quec

ahora se trata de una sección triangular (ver Fig. 1.19).

1.3.2.2 Caso particular de paneles de forma cuadrada1.3.2.2 Caso particular de paneles de forma cuadrada

Cuando los paneles son cuadrados L = L = L , la sección de las armaduras deberá serx y

la misma en los dos sentidos 2' = 2' =2' y 2 = 2 = 2 y la fórmula 1.39 se simplificax y x y

notablemente quedando reducida a:



Fig. 1.19 Esquema de diferentes capiteles con y sin alternancia de cargas

1.3.2.3 Extrapolación para el caso de ausencia de capiteles1.3.2.3 Extrapolación para el caso de ausencia de capiteles

Es interesante observar como, en el caso de ausencia de capiteles, debería contemplarsela posibilidad de aparición de líneas de rotura curvas, además de las líneas de rotura rectasaquí contempladas.


Forjados 5151

La solución que puede contemplarse en la figura 1.22, debida a K.W. Johansen (verBibl. 4), corresponde al caso "extremo" en el que las reacciones producidas por los pilarespuedan considerarse concentradas en un punto.

Fig. 1.20 Líneas de rotura de losa sin capiteles en el caso de carga uniforme distribuida



Fig. 1.21 Líneas de rotura de losa con capiteles en el caso de carga en alternancia en ambas

direcciones y en todos los vanos alternativamente


Forjados 5353

Fig. 1.22 Esquemas generales de los mecanismos de rotura de losa en ausencia de capiteles

(hipótesis de reacciones puntuales en pilares)




1.3.3.1 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles1.3.3.1 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles

En los paneles de borde, apoyados sobre semicapiteles soportados por columnas, elesquema de rotura es el mismo que el de los paneles interiores (ver Fig. 1.23).

Fig. 1.23 Esquema de rotura en paneles de borde con semicapiteles

1.3.3.21.3.3.2 TipTipologíaología de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y co de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y connviga perimetralviga perimetral

Si el extremo de la losa lleva jácena de borde, es conveniente efectuar el cálculo a roturacon el mismo esquema que en el caso de semicapiteles indicados en el párrafo anterior,suponiendo que puede producirse cualquiera de las dos situaciones siguientes:

a) rotura de la jácena de borde

b) la jácena de borde no se rompe, por lo que las líneas de rotura en las semibandas deborde quedarán ubicadas tal como indica la figura 1.24. Al mismo tiempo, serán deaplicación las condiciones establecidas en el caso Sobrecargas sobre tramos alternoSobrecargas sobre tramos alternoss(§ 2.3.3.1), para las armaduras superiores de enlace entre la losa y la jácena de borde.


Forjados 5555

Fig. 1.24 Esquema de rotura en paneles de borde con vigas perimetrales

1.3.3.3 Tipología de losa de forjado apoyado en muro perimetral1.3.3.3 Tipología de losa de forjado apoyado en muro perimetral

Cuando la losa apoya su borde contra un muro, el cálculo se efectúa suponiendo que elesquema de rotura es el de la figura 1.25:



Fig. 1.25 Esquema de rotura en paneles de borde con apoyo perimetral

1.3.3.4 Tipología de losa de forjado en voladizo1.3.3.4 Tipología de losa de forjado en voladizo

Fig. 1.26 Esquema de rotura en paneles de borde de losa en voladizo


Forjados 5757

1. Más acorde con la nomenclatura actual de cálculo a flexión de losas, a partir de ahora, prescindiremos delescalón de relajamiento, y emplearemos el término de límite elástico para definir indistintamente este valor comoel de límite de fluencia.

2. La asimetría en la configuración de rotura se produce por la mayor absorción de momento negativo del pilarinterior respecto al exterior. Por equilibrio le corresponde a este un eslabón de menor superficie y por tanto demenor ancho.

3. De todas formas, es conveniente efectuar los cálculos para diversas posiciones de las articulaciones plásticas,tanto en la zona de capiteles (para tener un mayor conocimiento de la cantidad de armadura del empotramientos),como en las losas propiamente dichas, para conocer donde deberán anclarse las armaduras traccionadas.

4. Según Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. 7) la distancia entre el eje de la línea de pilares y la articulación plásticaen la figura 1.8 caso A no sobrepasará el valor de 0,125 de la luz de cálculo del tramo considerado.

En el caso de existir una ménsula después de la fila de los pilares de borde, el esquema derotura de los paneles de borde tiene las mismas características que la de los panelesinteriores.

NotasNotas


Capiteles 5959

Capítulo 2 CapitelesCapítulo 2 Capiteles

2.1 Comprobación de tensiones2.1 Comprobación de tensiones

El comportamiento de una losa con capiteles respecto a la misma losa sin capitelespresenta las siguientes diferencias:1

con capiteles sin capiteles

- Luz de cálculo a rotura menor l =L -2c Lx x x x

- Mayor capacidad de absorción a momento M > MF F

- Brazo mecánico mayor h > hc l

- Mayor capacidad a punzonamiento Q > Q'punz punz

- Mayor rigidez del conjunto K > K'

Evidentemente funcionan como bielas de compresión. En tal caso se armará solamenteteniendo en cuenta consideraciones constructivas, principalmente para absorber losesfuerzos de contracción y dilatación. En concreto, Baykov (ver Bibl. 8) propone elarmado de capiteles indicado en la figura 2.1.

De todas formas, deberán comprobarse siempre las tensiones que se producen en lasuniones del perímetro del capitel con la losa y el pilar: en concreto, se propone, paralas distintas tipologías representadas en la figura 2.2, analizar los siguientes casos:

Para el caso A: En el perímetro superior ABCD y en el del perímetro de la columna IJKL.

Para el caso B: En el perímetro superior ABCD, en el perímetro puntos de quiebre EFGHy en el perímetro de la columna IJKL.

Para el caso C: En el perímetro del ábaco ABCD, en el del capitel EFGH y en el de lacolumna IJKL.



Fig. 2.1 Esquema de armado de capiteles

Fig. 2.2 Tipología de capiteles considerados


0,10 #cL

# 0,12

2,00 #hc

hl

# 2,50

r $ c % 0,09 lhc& hl

hl

" $ 45E

Capiteles 6161

(2.1)

(3.1)

(4.1)

(5.1)

2.2 Dimensiones básicas2.2 Dimensiones básicas

Cuando se proyectan capiteles cuadrados o rectangulares del tipo representado en lafigura 2.3, las instrucciones soviéticas recomiendan aplicar las proporciones siguientes,confirmadas empíricamente:

2

Fig. 2.3 Principales parámetros en capiteles con quiebre



1. Al respecto, es interesante la publicación de la bibliografía nº 7 en la que se estudian en profundidad la inciden-cia de la forma de los capiteles en la absorción de esfuerzos de la losa.

2. Normalmente, se podrá tomar un valor para c =c , del orden de la décima parte de la luz entre ejes de pilares.x y

Jiménez Montoya, en cambio, apuesta por un valor de c =c igual al 12,5% de la luz entre pilares.x y

En la figura 2.1, tanto para el caso I como para el caso II las medidas de la parte superior del capitel deben ser,en todo caso, no menores de 0,35 de la luz del tramo correspondiente y para capiteles sin ábaco no menores de0,20 (ver Bibl. 7).

Siendo L la luz genérica del intereje de pilares y los otros parámetros de acuerdo conla figura 2.3.

Estas proporciones deberán comprobarse en las dos direcciones xx e yy de la estructura.Si se respetan las anteriores recomendaciones, así como las propias del capítulo deforjados, es admisible no efectuar la comprobación a la rotura de dos bandasadyacentes, calculando solamente el caso de una banda tipo y suponiendo que lasarticulaciones plásticas se forman exactamente en el límite del quiebre del capitel (a ladistancia c del eje del pilar).

NotasNotas


Pilares 6363

Capítulo 3 PilaresCapítulo 3 Pilares

3.1 Hipótesis de carga3.1 Hipótesis de carga

Se deberá tener en cuenta, para el cálculo, el efecto de la alternancia de cargas, es decir,la posibilidad de que mientras que a un lado del pilar A actúe solo la carga permanente delforjado, en el lado opuesto B actúe la totalidad de la carga (permanente más sobrecarga).

En este supuesto B y junto al pilar se producirá, en el cálculo a rotura, una articulaciónplástica (ver Fig. 3.1).

Fig. 3.1 Formación de rotura plástica en pilar central con alternanciade carga en vanos continuos


j M ' Fye Ax 1&p

p% q·

l 2a

l 2b

(m% n)

m '2´2 z´2 (Lb& c1 ) (Lb& c1%c2) % 2 z 4 (Lb& c1) c2

(Lb& c1& c2 )2


(3.1)

(3.2)

Este proceso deberá efectuarse, lógicamente, tanto para las bandas longitudinales comopara las transversales.

3.2 Caso de pilares centrales3.2 Caso de pilares centrales (ver Fig. 3.2)

Para encontrar el valor del momento flector que se transmite al conjunto (columna-capitel)aplicaremos la fórmula:

Que recuerda a la ecuación 1.6 con:

Fig. 3.2 Esquema de cálculo de pilar central con alternancia de cargas


n '2´1 z´1 (Lb& c1% c2) c1

(Lb& c1& c2 )2

At ' A%A´1% A´2

2; 2´1 '

A´1

A t

; 2 'AA t

; 2´2 'A´2

A t

c1' c2 ' c ; 2´1 z1 ' 2´2 z2 ' 2´ z´

Pilares 6565

(3.3)

(3.4)

siendo:

F la resistencia de cálculo a tracción de las armaduras.ye

p el peso propio del vano descargado.p+q el peso propio más la sobrecarga del vano.L la luz de cálculo del vano cargado.b

L la luz de cálculo del vano descargado.a

c la distancia de la rótula plástica del vano L al eje del pilar 2 considerado.2 b

c ídem de la rótula plástica al pilar 1 enfrentado.1

z' el brazo del par de fuerzas interiores en la sección del apoyo junto al pilar2

considerado.z' el brazo del par de fuerzas interiores en la sección del apoyo enfrentado al1

pilar considerado. z el brazo del par de fuerza interior de la sección en el centro del vano.A sección de la armadura en el centro del vano.A' sección de la armadura de la losa en el apoyo junto al pilar 2.2

A' sección de la armadura de la losa en el apoyo enfrentado al pilar 1.1

A sección total de la armadura en el centro del vano.t

Los términos m y n representan el momento flector del panel cargado sobre el apoyomaterializado por las columnas; este momento se expresa en función de los momentosflectores de rotura que se producen en las tres articulaciones plásticas del panelconsiderado M' , M' y M.1 2

El término 1 — p/(p+q) · L ²/L ² representa la influencia favorable aportada por el vanoa b

contiguo.1

En el caso de construcción simétrica tendremos:


j M ' Fye A t 1&p

p% q

L 2a

L 2b

2´ z ´ L 2b % 2 z 4 (L b&c) c

(L b& 2c)2

Mpie ' j MK s

K s% K i% K losa

Mcab ' j MK i

K s% K i% K losa

Mlosa ' j MK losa

K s% K i% K losa


(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

y la fórmula anterior se convertirá en:

Dicho momento EM se repartirá proporcionalmente a las rigideces lineales de los elementosque coinciden en el nudo analizado (ver Fig. 3.3). Así:

a) El momento en pie del pilar superior será:

b) El momento en la cabeza del pilar inferior será:

c) El momento resultante en la losa será:

siendo:

K la rigidez del elemento, igual a 4EI / L para barras biempotradas.K la rigidez del pilar superior, igual a 4EI / (H-h)s s

K la rigidez del pilar inferior igual a 4EI / (H-h)i i

K la rigidez del vano descargado igual a 4EI / (L-c c )losa losa 1- 2

H la distancia inter-plantas.h la altura total del capitel.I el momento de inercia del pilar superior del nudo considerado.s

I ídem del pilar inferior.i

I ídem de la losa del vano cargado teniendo en cuenta su posible reducciónlosa

por huecos en el forjado.


j M ' Fye A xm%n

(L x& c1& c2)2

Pilares 6767

(3.9)

Fig. 3.3 Equilibrio de momentos en nudo losa-pilar

3.3 Caso de pilares de borde3.3 Caso de pilares de borde

El proceso de cálculo de los pilares de borde es análogo al anterior:

3.3.1 Caso de pilares de borde con semicapiteles y/o viga perimetral3.3.1 Caso de pilares de borde con semicapiteles y/o viga perimetral

El momento resultante será igual a:


Mpie' j MKs

Ks% Ki

Mcab ' j MK i

K s% K i


(3.10)

(3.11)

Fig. 3.4 Cálculo de pilar de borde con semicapitel

Dicho momento EM se repartirá proporcionalmente a las rigideces lineales de los elementosque coinciden en el nudo analizado. Así:

a) El momento en pie del pilar superior será:

b) El momento en la cabeza del pilar inferior será:


j M ' Fye A t m &p Ly L 2

v

2

j M ' Fye A t

2´ z ´ L 2x % 2 z 4 (L x& c) c

(L x& 2 c)2&

p Ly L 2v

2

Pilares 6969

(3.12)

(3.13)

3.3.2 Caso de pilares junto a voladizos3.3.2 Caso de pilares junto a voladizos (ver Fig. 3.5)

El momento resultante será igual a:

Que, para el caso de construcciones simétricas y una banda cargada, quedará en:

Fig. 3.5 Esquema de cálculo de pilar de borde con voladizo


Q ' 1,5M max

H& h


(3.14)

3.4 Cortante3.4 Cortante

Según Bondarenko (ver Bibl. 5), el esfuerzo cortante en la cabeza del pilar se determinarápor la fórmula:

Siendo M el mayor valor entre M y M (ver Fig. 3.6).max pie cab

Fig. 3.6 Equilibrio de cortantes en pilar


(K s% K i)

K losa

$ 4

Pilares 7171

1. Así, si para el dimensionado de los pilares fuese necesario contemplar la hipótesis de carga total (permanentemás sobrecargas) en todos los vanos, el término anterior quedaría reducido a 1 — (L / L ) con lo que el axila b

2 2

aumentaría y disminuiría el momento flector total (N. B.).

(3.15)

3.5 Pilares con suficiente rigidez3.5 Pilares con suficiente rigidez

Cuando se cumpla la condición:

siendo:

K rigidez del pilar superior al nudo considerado.s

K ídem inferior.i

K rigidez de la losa concurrente al nudo (ver Cap. 3).losa

diremos que la rigidez del apoyo (pilares de borde) es suficiente. En caso contrario setratará de un apoyo con rigidez insuficiente.

Evidentemente este sistema es un método empírico aproximado para determinar la rigidezdel nudo en cuestión.

NotasNotas


hL ' ht & Øu & 1cm

Criterios de armado 7373

(4.1)

Capítulo 4 Criterios de armadoCapítulo 4 Criterios de armado

4.1 Cantos útiles y brazos elásticos4.1 Cantos útiles y brazos elásticos

Se tomará como canto útil, tanto de la losa h como del capitel h , el siguiente valor:L c1

siendo:h altura total de la sección.t

Ø diámetro de los redondos.u

Fig. 4.1 Esquema de cantos útiles en cada dirección


zL ' 0,96 hL

zc ' hc 1 &P L 2

x

6 h 2c Fcd

M 'P Ly ( 0,8 Lx )2

8

R 'Mz

'P Ly L 2

x 0,82 · 0,75

8 · 0,9 hc

'P Ly L 2

x

15 hc


(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

El brazo mecánico del par resistente podrá tomarse:2

para la losa igual a:

y para el capitel:

siendo:

L luz de cálculo entre apoyos.x

F resistencia a compresión del hormigón.cd

P carga superficial que gravita sobre el forjado igual a p + q

Veamos cómo se deduce esta última fórmula (4.3) aproximada:

Admitiendo que la distancia entre las articulaciones plásticas que limitan una banda es de0,8 L , el momento total que actúa sobre la faja central será igual a:x

del cual, las tres cuartas partes aproximadamente, se transmitirán sobre el apoyo(ver Fig. 4.2).

En primera aproximación, y admitiendo que el brazo mecánico del capitel es de 0,9 h , lac

fuerza de compresión del par en el capitel será igual a:


x 'P Ly L 2

x

15 hc· 0,2 Ly Fye

'P L 2

x

3 hc Fye


(4.6)

Si podemos considerar que la anchura del capitel en la sección de rotura es de 0,2 L , lay

altura de la zona comprimida x será igual a:

Deduciendo la mitad de la altura de la zona comprimida del hormigón de la altura total delcapitel, se obtiene la fórmula 4.3.

Fig. 4.2 Esquema de sección de cálculo a rotura de una losa intermedia, una vez producidas lasrótulas plásticas

4.2 Distribución de la armadura4.2 Distribución de la armadura

4.2.1 Distribución de la armadura en apoyos y vano4.2.1 Distribución de la armadura en apoyos y vano

Para poder calcular la armadura de la losa a partir de las fórmulas planteadas en elcapítulo 1 (forjados), será necesario prefijar qué proporción de la armadura total en cada


" 'M ´

sI

M ´sE


(4.7)

dirección A o A se deberá colocar en los apoyos (zona de negativos) y qué proporciónx y

restará para la armadura de tramo (zona de positivos).

Analizemos qué ocurre en los siguientes casos:

4.2.1.1 Paneles intermedios4.2.1.1 Paneles intermedios

En los vanos intermedios y siempre según la norma TsNIPS se recomienda que 2' y 2oscilen entre los valores siguientes:

0,50 < 2' < 0,67 de la sección total0,33 < 2 < 0,50 de la sección total3

4.2.1.2 Paneles de borde4.2.1.2 Paneles de borde

Al igual que en el caso de los paneles interiores, es importante adaptar los valores 2' , 2'I E

y 2 en función de cómo se distribuyan los momentos en el comportamiento elástico de lalosa, para evitar la aparición de fisuras prematuras.

A su vez, la distribución de estos momentos dependerá del grado de empotramientoelástico de la losa con los apoyos perimetrales, o sea, de la relación entre el momento linealde inercia de la losa, del tramo de borde y de la suma de los momentos lineales de inerciade los apoyos perimetrales, superiores e inferiores.

A consecuencia de ello, los coeficientes de distribución de la armadura del tramo de borde,2' , 2' y 2, también podrían obtenerse empleando cualquier método elástico de cálculo deI E

esfuerzos.4

Al respecto, es interesante la tabla 1, propuesta por Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. 7), queobtiene los valores 2' , 2' y 2, en función del coeficiente n , que relaciona los momentosI E

de inercia de pilares y losa. Implícitamente se deduce el coeficiente " , que relaciona losmomentos negativos interior y exterior entre sí:


n 'Is% I iI losa

4


Tabla 4.1 Coeficientes de distribución de la armadura (2' , 2' y 2) y de los momentos en elI E

tramo de borde (M y M )sE sI

Forma del coefi-ciente

0,0 0,0 - 0,5 0,5 - 2,0 2,0 - 8,0 8,0 -

2' = A' / A 0,77 0,715 0,67 0,65 0,60I I t

2 = A / A 0,615 0,57 0,53 0,44 0,40t

2' = A' / A 0,00 0,143 0,27 0,45 0,60E E t

" = M' / M' 0,00 0,20 0,40 0,70 1,00sI sE

siendo (ver Fig. 4.3):

M' momento negativo interior de la losa (correspondiente a 2' )sI I

M' momento negativo exterior de la losa (correspondiente a 2' )sE E

2' coeficiente que relaciona la cuantía de armadura superior correspondienteI

al pilar interior (A' ) respecto a la total (A ) en la R.P. interior.I t

2' coeficiente que relaciona la armadura superior correspondiente al pilarE

exterior (A' ) respecto a la total (A ) en la R.P. exterior.E t

2 coeficiente que relaciona la armadura inferior correspondiente al centro delvano (A) respecto a la total en la R. P. central.

I momento de inercia del pilar superior.s

I momento de inercia del pilar inferior.i

I momento de inercia de la losa.losa

n coeficiente que indica el grado de empotramiento elástico losa-pilar en elnudo exterior obtenido a partir de la relación de inercias.



Fig. 4.3 Cálculo de pilar de borde con semicapitel

Veamos lo que nos aconsejan las Instrucciones soviéticas TsNIPS:

A) Caso voladizosA) Caso voladizos

En los paneles de borde con voladizos se recomienda mantener la misma distribución dearmadura 2' y 2 que en los paneles interiores.

B) Caso de pilares con semicapitelesB) Caso de pilares con semicapiteles

Cuando los paneles de borde se apoyan en una hilera de semi-capiteles soportados porunos pilares con suficiente rigidez (ver Cap. 3 § 5), conviene armar los paneles de bordeexactamente igual que los paneles interiores.


2Í '23

; 2 ' 0,5 ; 2É '13

2Í '23

; 2 ' 0,5 ; 2É '13

2Í ' 0,8 ; 2 ' 0,6 ; 2É ' 0


(4.8)

(4.9)

(4.10)

Cuando la rigidez de los pilares de borde no cumpla el punto anterior, se recomienda dejarla misma armadura paralela a la línea de borde que en los vanos interiores, y colocarperpendicularmente al borde una armadura que cumpla:

C) Caso de pilares con viga de bordeC) Caso de pilares con viga de borde

Cuando el borde de la losa está soportado por una viga perimetral exterior se recomienda,5

independientemente de la rigidez de los pilares, admitir para las armaduras perpendicularesal borde los siguientes coeficientes:

Paralelamente al borde, las armaduras se dispondrán exactamente como en el caso de unvano intermedio.

D) Caso de apoyo sobre muro macizoD) Caso de apoyo sobre muro macizo

Cuando el borde se apoya sobre un muro macizo, las armaduras perpendiculares alparamento exterior deberán seguir las siguientes proporciones:

6

2' toma este valor por estar la losa apoyada sobre el muro de borde.E

Paralelamente al borde, las armaduras se dispondrán exactamente como en el caso de unvano intermedio.

4.2.2 Distribución de las armaduras entre bandas central y soportes4.2.2 Distribución de las armaduras entre bandas central y soportes

4.2.2.1 Paneles intermedios4.2.2.1 Paneles intermedios

Determinada la cantidad necesaria de armadura en el tramo y en los apoyos, correspondedistribuir cada una de ellas entre las bandas central y de soporte.



No hay soluciones prácticas definitivas para esta cuestión, aunque estudios realizados porel TsNIPS en 1940 permiten suponer que el carácter de la distribución de la armadura enel ancho de la sección no influye de manera significativa sobre las condiciones cualitativasde los forjados.

Las Instrucciones soviéticas recomiendan armar uniformemente todos los paneles, tantolos positivos como los negativos.

En cambio, Ivianski distingue en los negativos según se trate de bandas de soporte o bandacentral: aconseja colocar en dos tercios de la armadura en la zona de pilares, y el terciorestante en la banda central. Los positivos, al igual que las TsNIPS, aconseja distribuirlosuniformemente a lo largo de todo el tramo.

4.2.2.2 Paneles de borde4.2.2.2 Paneles de borde7

a) a) Caso voladizos.Caso voladizos. Se recomienda mantener la misma distribución de armadura que en lospaneles interiores, con la única salvedad de que en la dirección perpendicular al borde delos voladizos, se recomienda concentrar los dos tercios de la armadura total en las bandasde soportes y, por tanto, colocar el tercio restante de la armadura en las bandas centrales,entendiendo como tales la banda que ocupa la zona central de anchura la mitad de ladistancia entre ejes de pilares.8

En lo referente a las armaduras inferiores de la banda de borde y a las armaduras superiorescolocadas encima de la primera línea interior de pilares, conviene efectuar una distribuciónlo más uniforme posible.

b)b) Caso semicapiteles. Caso semicapiteles. Cuando los pilares de borde que soportan la losa puedanconsiderarse de rigidez suficiente (ver 4.2.1.2 B), conviene emplear la misma distribuciónde armadura que en los paneles interiores, con la única diferencia de que, cerca del borde,toda la armadura que se necesitaba en una banda en el cálculo deberá colocarse en elarranque de cada capitel, entendiendo como tal una zona de la losa enmarcada en uncuadrado cuyos extremos están situados a un cuarto de la luz de cada lado del eje de unahilera de pilares (banda soporte).

Cuando la rigidez de los pilares de borde no cumpla el punto anterior se recomienda dejarla misma armadura paralela a la línea de borde que en los vanos interiores.

c)c) Caso pilares Caso pilares con viga de borde.con viga de borde. En la unión de la losa con la jácena perimetral, seránecesario colocar al menos dos tercios de las armaduras superiores en las zonas dearranque de los capiteles.


e1 ' 0,5L & (0,5L& c) 0,5 2´% 2

z´z

2´% 2

% lanc

e2 ' 0,5L & (0,5L& c) 2

z´z

2´% 2

% lanc


(4.11)

(4.12)

En lo referente a las armaduras paralelas al borde de la losa, se recomienda distribuirlasentre las secciones de apoyo y centrales de forma idéntica a los paneles intermedios.

En cuanto a las armaduras de distribución en las bandas centrales de los vanos (semilongi-tud de inter-ejes de pilares), se le adjudicarán un tercio de la armadura total. Los dos terciosrestantes se colocarán junto a las zonas de capiteles (bandas soportes).

d)d) Ca Caso apoyo sobre muro macizo.so apoyo sobre muro macizo. Paralelamente al borde, las armaduras se dispondránexactamente como si hubiese una viga perimetral.

4.3. Longitudes de las armaduras4.3. Longitudes de las armaduras

En los techos fungiformes, proyectados y calculados según las indicaciones anteriores, sedeberán respetar las siguientes disposiciones relativas a la posición del extremo de lasarmaduras.

4.3.1 Paneles intermedios4.3.1 Paneles intermedios

4.3.1.1 Armadura superior4.3.1.1 Armadura superior

La armadura superior, cuya sección hemos calculado anteriormente (A'), debe cubrir almenos una distancia e a uno y otro lado de cada fila de apoyos fijada por:1

si bien, como mínimo la mitad de esta armadura deberá alcanzar a uno y otro lado del ejede cada fila de apoyos, la distancia e :2

9


e3 ' (0,5L& c) 0,5 2

z´z

2´% 2

% lanc


(4.13)

4.3.1.2 Armadura inferior4.3.1.2 Armadura inferior

Por lo que respecta a la armadura inferior del vano del panel, la armadura deberá cubrir, almenos, a uno y otro lado del eje que pasa por el centro del panel, una longitud e , tal que:3

si bien, al menos la mitad de dicha armadura debe prolongarse más alla del borde delcapitel, en una longitud no menor a la longitud de anclaje normalizado para los acerosestirados.10

En las fórmulas anteriores:

L distancia entre ejes de pilares (L y L en las direcciones xx e yy respectiva-x y

mente).l longitud de anclaje para los aceros estirados.anc

11

c distancia del eje de una columna a la arista que define la transición entrelos dos cuerpos del capitel.

Fig. 4.4 Esquema de longitudes de armado de una losa


Mz0' 2Í zÍ % 2 z M´z0

' 2É zÉ % 2 z

M´zI'

1

22Í zÍ % 2 z M´zE

'1

22É zÉ % 2 z

M' 2 z

e1 $ c % lxMz0

& MzI

Mz0% M´z0

% lanc

e2 $ c % lxMz0

& M

Mz0% M´z0

% lanc

e´1 $ c % lxM´z0

& M´zE

Mz0% M´z0

% lanc


(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)


Las armaduras paralelas al borde se pueden interrumpir siguiendo las mismas reglas quepara los paneles intermedios.

Las armaduras perpendiculares al borde presentarán idéntica posición de sus extremos alas de los paneles intermedios, en el caso de semicapiteles sobre columnas suficientementerígidas (ver Cap. 3 § 5).

En los demás casos (columnas que no son suficientemente rígidas) las longitudes de anclajeestarán en función de:

4.3.2.1 Armadura superior4.3.2.1 Armadura superior

La sección total A', en una hilera corriente, deberá prolongarse una cantidad e :1

La mitad de la sección A'/2 deberá prolongarse como mínimo la cantidad e :2

La sección total A' sobre la hilera de borde deberá prolongarse una cantidad e' :E 1


e´2 $ c % lxM´z0

& M

Mz0% M´z0

% lanc

e3 # c % lx

Mz0&

M

2Mz0

% M´z0

& lanc

e´3 # c % lx

M´z0&

M

2Mz0

% M´z0

& lanc


(4.18)

(4.19)

(4.20)

La mitad, al menos, de la sección A' deberá prolongarse una cantidad e' :E 2

4.3.2.2 Armadura inferior4.3.2.2 Armadura inferior

La sección total A deberá disponerse desde el centro del vano hasta una distancia de losejes de los pilares exteriores igual a e :3

La sección total A deberá disponerse desde el centro hasta una distancia de los ejes de lospilares exteriores igual a e' :3

En el caso de voladizo, la mitad de A/2 deberá prolongarse más alla de la fila de borde, enuna longitud igual al anclaje recto de la armadura, según las normas.

En cambio, en el caso de viga de borde, la mitad de A/2 deberá prolongarse hasta estaviga.

Las fórmulas 4.11. a 4.20. se deducen del estudio de diversos esquemas de rotura, en losque las articulaciones plásticas se forman no precisamente en las zonas de momentosflectores máximos positivos o negativos, sino en la línea que forma la terminación de todauna capa de barras (superiores o inferiores), o de una semi-capa (A'/2 o A/2).

En dichos esquemas debería satisfacerse la condición de rotura, es decir, que la capacidadportante de la losa no podrá ser inferior a la que se deduce de los esquemas básicos,admitidos para el cálculo de los momentos.


P Ly (Lx& 2 e2 )2

8' Fye At z 2

(Lx& 2e2)2

(Lx& 2cx)2'

M2

M2zo

'2 z

2´ z´ % 2 z


(4.21)

(4.22)

Así, por ejemplo, al formarse las articulaciones plásticas de apoyo a una distancia e de una2

fila de columnas, la ecuación del trabajo elástico provocado por el momento flector será:

Que se forma en la sección B-B' de la figura:

Fig. 4.5 Localización de la sección de la rótula plástica

Podemos apreciar la similitud de la ecuación 4.21 (momento que se produce en B) con laanterior ecuación 1.7 (momento plástico que se produce en la rótula A).

Dividiendo una por la otra nos da:

Y resolviendo el sistema respecto a e se obtiene la fórmula 4.12, una vez sumado el2

término l correspondiente a la longitud de anclaje.anc12



1. La normativa soviética es muy arriesgada tomando sólo un centímetro de recubrimiento. Dos centímetros seríamejor aunque se aconseja, fundamentalmente para losas de pequeño espesor, distinguir entre el canto útil en elsentido del eje x y el canto útil en el sentido del eje y colocar el recubrimiento en función del grosor de la armaduraempleada. La figura 4.1 indica los valores reales considerando la hipótesis anterior que, como puede apreciarse,incluso para valores bajos de recubrimiento, normalmente da resultados más conservadores que la fórmula 4.1entresacada de las instrucciones soviéticas TsNIPS (N. B.).

2. Jiménez Montoya 23.13 (ver Bibl. 10), recomienda para el cálculo del brazo mecánico un valor másconservador de 0.85 veces (aprox. 7/8) del canto útil de la losa (N. B.).

3. Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. 7), aconsejan adoptar directamente los valores intermedios 2 = 0,6 y 2 = 0,4s

válidos para los casos más habituales que se encuentran en la edificación.

4. Como podría ser nuestro método de los pórticos virtuales adoptado por la normativa EH-91.

5. El código ACI, así como nuestra normativa, distingue en función de la relación entre el canto de la jácena deborde (h ) y el canto de la losa (h ):j L

- Se considera vano de borde si h < hj L

- Se considera vano interior si h > hj L

Obviamente la jácena ha de tener suficiente capacidad a torsión.

6. Por consideraciones constructivas y prácticas, los valores de los coeficientes 2 pueden variar, en más o enmenos, del orden de un 10%, pero deberán cumplir siempre la condición: (2' +2' ) / 2 + 2 = 1I E

7. En este apartado se hace referencia a banda soporte y banda central definidas con igual criterio que la EH-92.

8. Parece deducirse comparando el método de los pórticos virtuales preconizado por la norma EH-91 con loanterior (con todas las salvedades que ello conlleva), que en este último caso se arman menos las bandas desoporte: 66 % frente al 80 % y se arman más las bandas centrales 33 % contra el 20 % que indica la EH-91(N. B.).

9. Jiménez Montoya (ver Bibl. 10) propone un valor fijo de e y e : e = e = 0,25 L (siendo L la luz de cálculo).1 2 1 2

En cambio, la EH-91, (ver Bibl. 6) cuando realiza el cálculo mediante el sistema de los pórticos virtuales adoptaun valor de e , y e entre 0,35 y 0,25 L.1 2

10. Jiménez Montoya (ver Bibl. 10) propone un valor fijo de e : e = 0,20 L (siendo L la luz de cálculo). La3 3

EH–91 así como el código ACI americano distingue según se trate de vanos normales en que adopta el valor e3

= 0,125 L o cerca del borde en el que obliga a pasar toda la armadura e = 0.3

11. Según la EH-91 para barras corrugadas en posición II, este valor se tomará igual al mayor de los dos valoressiguientes: 1,4 m Ø o f Ø / 140, siendo m un valor variable en función del tipo de hormigón empleado, Ø el2

yk

diámetro de la barra empleada y f la resistencia característica a compresión del hormigón (N. B.).yk

12. Es interesante observar la gran diferencia existente en la obtención de los valores de las longitudes de anclajede las armaduras en función de la normativa empleada. Igualmente, la normativa española de hormigón armadoEH-91, en el art. 55.4, propone unos valores que complementan y modifican lo aquí expuesto. A. Guerrin en suTraité de Béton Armé tomo nº 4 (ver Bibl. 12), presenta unas tablas muy interesantes que relacionan loscoeficientes de reparto propuestos por distintas normativas y sistemas de cálculo.

NotasNotas


/H

)EVM

J�

E

�

SH

�� /H

. �E��

(KUWTCEKÎP [ FGHQTOCEKQPGU ��

��

��

%CRÈVWNQ � (KUWTCEKÎP [ FGHQTOCEKQPGU

�� (KUWTCEKÎP

2CTC GNGIKT GP WPC GUVTWEVWTC C DCUG FG VGEJQ HWPIKHQTOG GN GUVCFKQ FG VTCDCLQ FQPFG

XGTKHKECT NC EQORCVKDKNKFCF FG FGHQTOCEKQPGU� GU PGEGUCTKQ EQORTQDCT NCU EQPFKEKQPGU FG

HQTOCEKÎP FG HKUWTCU GP NQU RCPGNGU FGN HQTLCFQ�

.QU OQOGPVQU HNGEVQTGU� RQT WPKFCF FG NQPIKVWF FG NC UGEEKÎP GUVWFKCFC� RWGFGP

FGVGTOKPCTUG GP WPC RTKOGTC KPUVCPEKC RQT NQU OÃVQFQU DCUCFQU GP NC VGQTÈC FG NC

GNCUVKEKFCF�

'P GN ECUQ EQPETGVQ GP SWG GN HQTLCFQ UG JC[C FKUGÌCFQ UKIWKGPFQ NCU TGEQOGPFCEKQPGU

EQPVGORNCFCU GP NQU ECRÈVWNQU CPVGTKQTGU� NC UGEEKÎP O¶U RGNKITQUC GU CSWGNNC UKVWCFC

GPEKOC FGN ECRKVGN [ SWG GUV¶ QTKGPVCFC �� TGURGEVQ C NQU GLGU IGPGTCNGU FG NQU RKNCTGU

XGT (KI� ��

5G EWCPVKHKEC GN OQOGPVQ FG HKUWTCEKÎP / � RQT WPKFCF FG NQPIKVWF OGFKCPVG NC HÎTOWNCH

UKIWKGPVG��

; NC UQDTGECTIC VQVCN FG HKUWTCEKÎP S � SWGFCT¶ FGHKPKFC RQT��

H


siendo:

F la resistencia del hormigón a la tracción.ctk

h el canto útil de la losa.c

q la sobrecarga correspondiente al momento en que se empiezan a formar lasf

fisuras.

Fig. 5.1 Esquema de rotura de tramo central de losa con capiteles

Si la sobrecarga total aplicada (q) es inferior a q , puede llevarse a cabo el cálculo de lasf

flechas admitiendo que no existe fisuración. En este caso, la determinación de la aberturaexacta de tales fisuras pierde toda su utilidad.


f ' 0,018q (L 4

x% L 4y )

Ec h 3t

21.000 fck

Fisuración y deformaciones 8989

(5.3)

5.2 Deformaciones5.2 Deformaciones

5.2.1 Caso de losa sin fisurar5.2.1 Caso de losa sin fisurar

Las flechas de los techos fungiformes, en el caso de no existir fisuración, pueden calcularsepor los métodos y procedimientos clásicos de la teoría de la elasticidad.

Si se han atendido las indicaciones anteriores, el valor de la flecha en el centro de un panel(sin fisuración), se podrá determinar a través de la fórmula siguiente:

siendo:

L , L los interejes de pilares en las dos direcciones perpendiculares.x y

E el módulo elástico tangente del hormigón que, según Jiménez Montoyac

(ver Bibl. 10), tiene un valor aproximado de (aplicable paracargas instantáneas).

h el canto total de la losa.t3

En cualquier caso, según consta en las susodichas instrucciones soviéticas, en los techosfungiformes diseñados para ser utilizados como talleres o almacenes (esta última aplicaciónes la más frecuente), la flecha instantánea, sin fisuración, no deberá sobrepasar el 1/1000de la luz.

5.2.2 Caso de losa fisurada5.2.2 Caso de losa fisurada

En el caso de que la sobrecarga total q sea superior a la de fisuración q , la flecha deberáf

calcularse teniendo en cuenta la fisuración, y en el cálculo podrán utilizarse las fórmulas5.1 y 5.2 anteriores.

Para el caso de forjados fisurados, se recomienda calcular la flecha máxima a través de unmétodo aproximado de interpolación lineal.


f ' f f % ( fu& f f )p & pf

pu& p


(5.3a)

siendo:

f la flecha máxima total.f la flecha correspondiente a la aparición de la primera fisura y teniendo enf

cuenta la fluencia del material.f la flecha límite correspondiente al instante previo a la rotura.u

p la sobrecarga normalp la sobrecarga correspondiente a la aparición de la primera fisura.f

p la sobrecarga última en el instante previo a la rotura.u

Fig. 5.2 Esquema de rotura de un panel cuadrado de un techo fungiforme

Si al calcular la sección de las armaduras se ha tenido en cuenta el efecto arco, este factordeberá también tenerse presente al calcular la sobrecarga límite en el agotamiento de lacapacidad portante de la losa.


fu '0,10 l1 Fye ( 0,5L& c)

Ey (ht& xm)

Fisuración y deformaciones 9191

(5.4)

La flecha límite f , que precede inmediatamente a la rotura, se determinará suponiendo queu

se realiza el esquema de rotura citado en el apartado 1.3.

A título de ejemplo, cuando la ordenación de las columnas forme una malla cuadrada yconsecuentemente la geometría de los capiteles sea también cuadrada (ver Fig. 5.2), laflecha f podrá determinarse por la fórmula:u

siendo:

l luz entre extremos de capiteles.1

L distancia entre ejes de pilares.F tensión admisible para las armaduras a tracción.ye

E módulo de elasticidad del acero.Y

x altura media de la zona comprimida del hormigón que corresponde alm

estado en el que se calcula la flecha del elemento.4

Fig. 5.3 Altura media de la zona comprimida

5.3 Ambiente corrosivo y oxidante5.3 Ambiente corrosivo y oxidante

Siempre según las normas soviéticas, en el caso de que la construcción esté sometida ala acción de un ambiente corrosivo y oxidante (humedad, vapores ácidos, cloro, etc.), ysiendo inevitable la presencia de fisuras, será necesario comprobar la abertura exacta dedichas fisuras, que deberán ser tan estrechas como sea posible y, en todo caso, inferioresa 0,20 milímetros.


F´f 'Mf

h &Xm

2

A´a

Mf 'Fctk h 2

L

3,5

Xm ' &"

2%

"2

4%" ho

"'A n

b ho R (

21.000 fck

fu 'm

M 1p(x)

dx

1p(x)

'Ra F´a

Ea ( ho& xm )


La comprobación a fisuración se efectuará fundamentalmente en las secciones sobre elcapitel, en base a F correspondiente a la tensión del acero.ye

NotasNotas

1. La fórmula anterior se deduce de las antiguas instrucciones soviéticas NyTU 123-55 en las que el momento de fisuraciónse deducía de aplicar la fórmula:

(5.5)

En el caso de sección rectangular sin capiteles y carga uniforme la fórmula anterior toma el conocido valor de

(5.6)

2. A partir de este instante, parece que la instrucción esté hablando de sobrecarga cuando en verdad se refiere a la cargatotal que deberá soportar la losa.

3. Parece más lógico utilizar el canto útil de la losa que el canto total que indica la bibliografia nº 1 (N. B.).

4. Según las normas N y TU 123-155, (capítulo VII, art. 113 y 114), para los elementos de sección rectangular simplementearmados, sometidos a flexión, el valor de X puede calcularse mediante la fórmula:m

(5.7)

(5.8)

Siendo:b anchura de la sección.h canto útil de la sección (h para losa, h para capitel).o l c

A área de la armadura de la sección longitudinal.x

n relación entre los módulos de elasticidad del acero —E — y del hormigón a la compresión —E —. Estey c

último para cargas de poca duración se puede tomar igual a R relación entre la parte elástica de la deformación del hormigón y la deformación total correspondiente

al estado en el que se determina la flecha del elemento de la estructura.( es un coeficiente que tiene en cuenta el trabajo del hormigón que se encuentra entre las fisuras de la

zona traccionada.

El producto de los dos términos anteriores se puede tomar igual a 0,33 cuando se trate de cargas de poca duración.

Igualmente para calcular la flecha última en función del radio de curvatura será (ver Bibl. 9):

(5.9)

(5.10)


Ppunz # 0,75 Fctk h0 R

Punzonamiento 9393

(6.1)

Capítulo 6 PunzonamientoCapítulo 6 Punzonamiento

6.1 Punzonamiento6.1 Punzonamiento

El cálculo de la losa a punzonamiento se efectuará, normalmente, sobre el contorno de uncapitel.

Hay que elegir, además, aquel lugar donde se prevea la acción más desfavorable cerca deun hueco o de un ángulo entrante del borde del forjado y en la zona de sobrecarga másprobable y/o más concentrada.

Los esquemas de la figura 6.1 resumen los casos más comunes de posible punzonamientode este sistema estructural.

Según las Instrucciones soviéticas, se admitirá que se produce la rotura siguiendo lasuperficie de un tronco de pirámide o de un cono, cuyas generatrices tengan unainclinación de 45º respecto a la vertical.

Deberá, por tanto, comprobarse que:

siendo:

P sobrecarga de punzonamiento admitida por los cálculos.punz

F resistencia a tracción del hormigón.ctk

h altura útil de la sección a verificar.0

R media aritmética de los perímetros de las dos bases (superior e inferior) dela pirámide formada de igual altura al canto útil de la losa.



Fig. 6.1 Punzonamiento en losa y capitel

En el cálculo del punzonamiento en los capiteles (o semicapiteles de borde), el valor de lafuerza P se tomará igual a la suma de las cargas que llegan al capitel exceptuando lascargas aplicadas en el interior de la base mayor de la pirámide de punzonamiento (o másexactamente del tronco de pirámide).1

En particular, para el caso de la figura 6.1, cuando se trate de un tronco de pirámide en elque la base pequeña tenga por dimensiones 2x y 2y (pilar rectangular) y luces a cubrir L yx

L y que tenga que soportar una carga uniformemente repartida de densidad P, la carga quey

deberá tenerse en cuenta para el cálculo del punzonamiento es:


Ppunz ' P ( lx ly & 4 ( x % h0) ( y % h0))

R ' 4 ( x % y % h0)

Punzonamiento 9595

1. La fórmula 6.1 recuerda el antiguo planteamiento de la norma española que, a cambio de no considerar elefecto de los momentos flectores, minoraba la resistencia real a punzonamiento del elemento estudiado.

Asimismo es curioso observar como a diferencia de la norma española EH-91 art. 55.5 que pone la resistenciaa punzonamiento en función de la resistencia virtual a esfuerzo cortante (que a su vez es función de la raízcuadrada de la resistencia característica a compresión), la norma soviética coincide con el articulado del Eurocodeaptdo. 4.3.4 y fija dicha resistencia en función de la de tracción.

Evidentemente el valor de cálculo de la carga de punzonamiento coincide con la EH-91, aunque ésta prevea máscasos (pilares de borde, agujeros, etc.) (N. B.).

(6.2)

(6.3)

NotasNotas


Efecto arco 9797

Capítulo 7 Efecto arcoCapítulo 7 Efecto arco


La consideración del efecto arco permite aumentar considerablemente la capacidad portante deun forjado de losa maciza. Lamentablemente, el establecimiento de una teoría completa quepermita cuantificar el efecto arco se encuentra con enormes dificultades de concreción práctica.

En el laboratorio del Instituto de Hormigón y del Hormigón Armado de la U.R.S.S. serealizaron una serie de ensayos en vigas con la intención de verificar los resultados teóricos(ver Cap. 9). La concordancia de los resultados previstos con los datos experimentales nofue lo buena que cabría esperar debido, primordialmente, a la influencia de fisuras oblicuasproducidas por el esfuerzo cortante. Para un forjado de losa, la influencia del esfuerzocortante será probablemente más modesta. Los ensayos demostraron claramente que elempuje, que nacía al principio de fisurarse la losa, ejercía una gran influencia sobre lafisuración posterior y sobre el reparto de momentos en la construcción hiperestática (verBibl. 3).

Todo ello obliga a ser muy cauteloso al intentar beneficiarse del efecto-arco en eldimensionado de las armaduras. A título de comentario, reproducimos las observacionesque el profesor Franz expone (ver Bibl. 4):

a) Es necesario señalar los peligros que entraña el tener en cuenta el efecto arco, dandopor sentado que la absorción de los esfuerzos horizontales que se producen no estácompletamente asegurada.

b) El efecto arco no se ha demostrado experimentalmente más que para cargas casiinstantáneas. Para las cargas de más larga duración, la retracción del hormigón provocauna disminución sensible de la flecha del arco; el cizallamiento entonces aumenta y elresultado es un aumento de peligrosidad del punzonamiento.



c) El ahorro de armadura que comporta el tener en cuenta el efecto arco es frecuentemen-te ilusorio. El empuje producido por el efecto arco debe ser absorbido por las armadurasde los vanos contiguos, que pueden estar simultáneamente solicitados de la mismaforma. Como luego se indica, es la suma de los empujes que deberá ser equilibrada porlas armaduras.

Fig. 7.1 Comportamiento del efecto arco

Según las instrucciones soviéticas, cuando se desea efectuar el cálculo a rotura de dosbandas adyacentes, se podrá tener en cuenta el efecto arco, tanto para la banda de laizquierda como para la banda de la derecha.

Este concepto será aplicable tanto para las columnas que reciben el forjado como para lascolumnas que, en su caso, continúen hacia las plantas superiores.


H 'Mmax

23

hpilar

Ma ' H za

Efecto arco 9999

(7.1)

(7.2)

7.2 Cálculo general7.2 Cálculo general

El valor del empuje debido a la presencia de cada columna se acepta igual al mayormomento flector que puede absorber la sección de la columna, dividido por los dos terciosde su altura. Para calcular este momento, que llamaremos M , la sección deberámax

considerarse, evidentemente, siguiendo un eje perpendicular a la dirección del borde.

El valor del empuje, tendrá pues el valor:

siendo:

H empuje debido al efecto arco contra el pilar analizado.M momento flector máximo que es capaz de soportar una sección típica delmax

pilar, bajo la acción simultánea de una carga vertical N, derivada de lascargas transmitidas a través de dicho pilar.

h altura del pilar, medida entre el nivel superior del forjado y el arranque delpilar

capitel que soporta el forjado superior.

Para encontrar el valor de M deberán analizarse las dos hipótesis extremas de carga Nmax max

y N , y coger el valor más pequeño de ambos.min

En los paneles de borde el valor del empuje H se calculará en las bandas interiores (las máspróximas al pilar contiguo al borde) y será igual a la suma de los efectos arco del pilarinferior y del pilar superior del nudo considerado.

En los paneles interiores, este valor es igual a la suma de los efectos arco de los cuatropilares que enmarcan el panel.

Si se quiere considerar el efecto arco en los paneles, deberá añadirse a la derecha y en elnumerador de las fórmulas 1.38 y 1.48 el término M , de valor:a

en que z es el brazo elástico debido al empuje de valor:a


za ' hc& xs& xi&xs´% xi´

2&

Lx% Ly

1000


(7.3)

siendo:

h el canto útil del capitel.C

L , L las distancias inter-ejes de pilares.x y

x la altura de la zona comprimida del hormigón en la sección de la rótulas

plástica superior del apoyo sin tener en cuenta el efecto-arco.x ídem en la sección de la rótula plástica inferior de centro de vano.i

x' ídem x teniendo en cuenta el efecto arco (x' >x ).s s s s

x' ídem x teniendo en cuenta el efecto arco (x'>x).i i i i

7.3 Cálculo alternativo7.3 Cálculo alternativo

Deberemos tener en cuenta que la influencia del efecto arco sobre un panel de la estructuradisminuye en función de su distancia al borde del forjado.

Así, en el caso en que se desprecie la colaboración del efecto arco antes citado, se podránreducir en un 10% las secciones de la armadura (calculadas según las reglasNyTU 123-55), siempre que haya al menos dos filas de columnas entre el panelconsiderado y el borde de la losa. Esta reducción será de solo un 5%, si no hay más queuna fila de columnas entre el panel considerado y el borde de la losa. Y finalmente, cuandose trate de ménsulas o de apoyos sobre muros de borde, los tramos en cuestión no podránbeneficiarse del efecto arco analizado.


Ejemplo desarrollado 101101

Capítulo 8 Ejemplo desarrolladoCapítulo 8 Ejemplo desarrollado


Dada la importancia que se le ha querido dar al presente capítulo, se ha preferido reproducirliteralmente el ejemplo presentado en la bibliografía 1, en el que se aplica para eldimensionado las normas rusas TsNIPS, corrigiendo los errores de transcripción, ampliandoaquellas partes de difícil interpretación y haciendo continuas referencias a lo publicado encapítulos anteriores.

Se desea diseñar una placa fungiforme con una distancia interejes de pilares deL = L = 5 m con las siguientes características:x y

a) Sobrecarga útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1300 Kg/m2

b) Altura interforjados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 m

c) Espesor total de la losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h = 14 cmL

d) Coeficiente de seguridad para las sobrecargas . . . . . . . . . . . . . . . . r = 1.4 2(1)

e) Hormigón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tipo M200 (2)

f) Acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tipo 25 G25 (3)



Fig. 8.1 Esquema en planta

8.2 Mayoración de cargas8.2 Mayoración de cargas

Peso propio: 0,14 × 2500 × 1.1 = 385 Kg/m2

Aislamiento y chapa: 130 × 1.2 = 160 Kg/m2

Sobrecarga útil: 1300 × 1.4 = 1820 Kg/m2

Total P = 2365 Kg/m2 (4)


c ' 0,1 L ' 0,1× 500 ' 50 cm

r ' 0,2 L ' 0,2× 500 ' 100 cm

hc' 2,1 hl ' 2,1× 14 ' 30 cm

hutil vano' 14& 1& 1 ' 12 cm

hutil apoyos' 30& 1& 1 ' 28 cm

0,75 Fctd hutil apoyo 4 ( 2 c % hutil apoyo) '

' 0,75× 162,5

× 28× 4 ( 2× 50 % 28 ) ' 68.800 Kg

Ppunz' P ( L2& 4 ( c % hutil apoyo)2 ) '

2.365× ( 5,002 & 4 ( 1% 0,12 )2) ' 53.000 Kg < 68.800 Kg

0,75 Fctd hutilvano 4 (2 r % hutilvano) ' 0,75× 6,4 × 12 × 4 (2× 100% 12) ' 48.850 Kg

Ppunz' P (L 2 & 4 (r% hutilvano) 2 ) ' 2.365 × (5,00 2 & 4 (1% 0,12) 2) ' 47.300 Kg < 48.850 Kg


8.3 Dimensionado de los capiteles8.3 Dimensionado de los capiteles

De acuerdo con el capítulo 2:

8.4 Comprobación del punzonamiento en los capiteles8.4 Comprobación del punzonamiento en los capiteles

De acuerdo con el capítulo 6:

8.5 Comprobación del punzonamiento sobre el perímetro de los capiteles8.5 Comprobación del punzonamiento sobre el perímetro de los capiteles


z´ ' hutil apoyos 1&P L 2

6 h 2util apoyos Fcd

' 28 1&0,2365 × 5002

6 × 90 × 282' 24 cm

z ' 0,96 hutil tramo' 0,96 × 12 ' 11,5 cm

2´' 0,6 ; 2 ' 0,4

P Ly ( Lx& 2cx)2

8# Fye At z ( 2 z´

z% 2 )


8.6 Cálculo de la sección total necesaria de las armaduras8.6 Cálculo de la sección total necesaria de las armaduras

(Siguiendo uno de los ejes coordenados)

Según la ecuación 4.3:

Aceptando como válidos los coeficientes de reparto de armaduras:

Fig. 8.2 Esquema en sección

y, aplicando la fórmula 1.7:

de donde


At #P Ly (Lx& 2cx)2

8 Fye z ( 2´ z´z

% 2 )'

0,2365× 500 × (500& 2 × 50)2

8 × 3400 × 11,5 × (0,6 × 2,1 % 0,4)' 36,4 cm 2

A´' 0,6 × 36,4 ' 21,9 cm2

A´'21,9

5' 4,38 cm 2/m

9 Ø 8 pml – 4,5 cm2 > 4,35 cm2

A' 0,4 × 36,4 ' 14,5 cm2

A'14,5

5' 2,9 cm 2/m

6 Ø 8 pml – 3 cm2 > 2,9 cm2


8.7 Reparto de las armaduras entre positivos y negativos8.7 Reparto de las armaduras entre positivos y negativos

- Sección de armaduras negativas sobre todo un panel:

y sobre un metro lineal

lo que da

- Sección de armaduras inferiores en todo un panel:

y en un metro lineal

lo que da


Kpil' 2

b h 3

12L

' 2 0,44

12× 4' 0,00107 m 3

Klosa'JL

'5× 0,143

12× 5' 0,00023 m 3

Kpil

Klosa

'0,00670,00023

' 4,66 > 4

Mf 'Fctk h 2

c

5'

16× 282

5' 2.500 Kg cm/cm


8.8 Grado de rigidez del empotramiento de los pilares de borde con los pilares8.8 Grado de rigidez del empotramiento de los pilares de borde con los pilares

- Rigidez del conjunto formado por dos pilares de borde, el uno encima del otro:

- Rigidez de un panel del forjado:

- Relación de rigideces:

y, por lo tanto, según se estipula en 3.5 los pilares de borde tienen "suficiente" rigidez.

8.9 Sección de armaduras de un panel de borde8.9 Sección de armaduras de un panel de borde

Como la rigidez de los pilares de borde es "suficiente", los paneles de borde se armarán dela misma forma que los paneles interiores, aunque perpendicularmente al borde; la armadurasuperior traccionada que se necesitaba en una banda se colocará en el arranque del capitel(ver cap. 4 § 2.2.2.2).

8.10 Flecha en el centro de un panel interior cualquiera8.10 Flecha en el centro de un panel interior cualquiera

- Momento de fisuración, según 5.1:

- De donde, la sobrecarga total de fisuración por m será:2


qf '10 Mf

(L& 2 c)2'

10 × 2.500

(5& 2× 0,5)2'

25.00016

' 1.570 Kg/m 2

f ' 0,018qf 2 L 4

Ec h 3t

'0,018 × 0,1570 × 2 × 5004

290.000 × 143' 0,44 cm

" 'A n

b h0 R ('

3 × 2,1× 106× 3290.000

100 × 12 × 13

' 0,054

xm' &"

2%

"2

4% " h0 ' &

0,0542

%0,0542

4% 0,054 12 ' 2,4 cm

fu '0,10 l1 Fye (0,5 L& c)

Ey (h0& xm)'

0,10× 300× 3.400 (0,5× 500& 50)

2,1× 106 (12& 2,4)' 1,1 cm

finstantánea' f % ( fu& f)p´& qf

p& qf

' 0,44 % (1,10 & 0,44) 0,1780& 0,15700,2365& 0,1570

'

' 0,44% 0,17 ' 0,61 cm

p´' 0,14× 2.500 % 130 % 1.300 ' 1.780 Kg/m2


- Flecha en el momento de aparición de las fisuras:

- Para calcular la flecha límite f que precede inmediatamente a la rotura, por la fórmulau

5.4, será necesario evaluar X . Para ello, partamos de las armaduras reales: A = 3 cm /mlm i2

(ver cap. 5 nota 38):

En cuanto a la flecha en el centro del panel, para una sobrecarga que actúa solamente enun corto período de tiempo (fluencia despreciable), se podrá utilizar la fórmula 5.3a:

siendo p' las solicitaciones totales sin mayorar por m , es decir:2

y p las solicitaciones totales mayoradas.

En cuanto a la flecha debido al proceso de fluencia se puede calcular como:(5)


Fck '2001,7

• 115 Kg/cm 2 Fcd '1151,3

• 90 Kg/cm 2

Fctk ' 16 Kg/cm 2 Fctd '162,5

' 6,4 Kg/cm 2

Fye' 3.400 Kg/cm 2

K1 ' K2p´

g 2 % p´´

f ´´ ' finstantánea1.630× 2% 150

1.780' 1,15 cm


1. Corresponde al caso de losas con apoyos de borde sobre semicapiteles.

2. Haciendo una traslación a nuestra forma habitual de calcular, las características del hormigón M200 son:

Resistencia característica Resistencia de diseño

3. El acero 25 G25 tiene un límite elástico

4. Para estudiar mejor como se utilizan los coeficientes de ponderación de cargas, consultar la bibliografía 12.

5. Parece ser que la fórmula anterior se deduce de la propuesta por la norma soviética (ver Bibl. 11 párrafo 112y apéndice II):

siendo:

K la rigidez del elemento para cargas permanentes.1

K la rigidez en la hipótesis de que toda la carga normal actúa poco tiempo (sobrecarga).2

p' la carga total sin mayorar (en nuestro caso 1.780 Kg/m ).2

p'' el resto de la sobrecarga no contabilizada en el valor de g.2 un coeficiente de disminución de la rigidez debido a la carga permanente y que para secciones

rectangulares se puede tomar igual a 2.g la carga permanente más una proporción de la sobrecarga que se considere actúa durante un

largo período de tiempo.

colocando las deformaciones directamente proporcionales a sus rigideces respectivas.

6. También aquí es necesario aclarar que las normas soviéticas estipulan estos condicionantes tan mínimos deL/200 porque se comparan con la flecha TOTAL producida.

En la normativa española EP-88 se controla el valor de la flecha máxima a través del menor de los valores L/250o L/500 + 1cm (lo que daría valores parecidos a la soviética) y también al valor de la flecha activa (ver Bibl. 16y 17).

que representa el 1/430 de la luz, inferior al que marca la normativa del 1/200.(6)

NotasNotas


Ensayos 109109

Capítulo 9 EnsayosCapítulo 9 Ensayos

9.1 Presentación9.1 Presentación

Se han realizado gran cantidad de ensayos para conocer mejor el comportamiento real deuna placa fungiforme.

Como ejemplos que hemos considerado más representativos figuran unos ensayosrealizados por el TsNIPS en Bakú en 1932, en los que, con algunas excepciones, secorroboran la localización teórica de las líneas de rotura antes apuntadas.

También en Europa, más adelante, en 1940 el C.E.B. avaló unos ensayos a rotura dirigidospor el profesor Jager que comentamos a continuación (ver Bibl. 2):

9.2 Características geométricas9.2 Características geométricas

Se trata de cargar un forjado fungiforme formado por nueve paneles de 1,525 × 1,525 deluces entre pilares apoyado sobre capiteles de 50,8 cm de base y en sus extremos porvigas rígidas en las caras norte y oeste y por vigas flexibles en los otros dos lados este ysur. El espesor de la losa es de 4,45 cm, y está calculada para una carga de servicio de1.370 Kg/m².

9.3 Características de los materiales9.3 Características de los materiales

Hormigón resistencia cilíndrica a los 28 días: 194 Kg/cm².

Acero acero estirado en frío de límite elástico 2.950 Kg/cm². La armadura totalde la losa consistía en armaduras de sección cuadradas de 3,2 mm de lado.



9.4 Fisuras9.4 Fisuras

Las cargas consideradas en este ejemplo han sido:

carga de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . q = 1.370 K/m²peso propio + ½ carga útil . . . . . . . . . . q = 1.950 K/m²carga de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . q = 2.690 K/m²m

En las páginas siguientes puede verse la gradación de la aparición de las líneas de roturade un forjado fungiforme encargado por C.P. SIESS en la universidad de Illinois (verBibl. 2).


Ensayos 111111

Fig. 9.1 Tipología de la losa del ensayo



Fig. 9.2 Trazado de fisuras cara superiorq = 1.370 Kg/m2


Ensayos 113113




Fig. 9.4 Trazado de fisuras cara inferiorq = 1.950 Kg/m2


Ensayos 115115




Fig. 9.6 Trazado de fisuras cara inferiorq = 2.690 Kg/m2


A (1)(2)

Simbología 117117

SimbologíaSimbología

Para una mejor comprensión de la formulación empleada, y aunque se ha intentado respetaren lo posible la nomenclatura general, en las variables usadas se han utilizado superíndicey/o subíndice para su diferenciación. Así:

(1) Superíndices. Situación de las tracciones: con apóstrofe superior parámetros debidosa los momentos negativos y sin apóstrofe superior parámetros debidos a los momentospositivos.

(2) Subíndices:I . . . . . . . . . . . . . . . . . interior (inferior para pilares)E . . . . . . . . . . . . . . . . exteriorx . . . . . . . . . . . . . . . . dirección Xy . . . . . . . . . . . . . . . . dirección YT . . . . . . . . . . . . . . . . total

A Sección total de la armadura en la articulación plástica central para una longitud detramo L.

A Armadura total para un panel en la dirección x.Tx

A Armadura total para un panel en la dirección y.Ty

A Sección de acero correspondiente a M.j j

A' Sección de acero correspondiente a M' .j j

A Armadura total de un panel para una longitud de tramo L .t y

A Sección total de la armadura inferior.y

A' Sección total de la armadura para una articulación plástica junto al apoyo para unalongitud de tramo L.

A' Sección total de la armadura correspondiente a la articulación plástica del apoyoE

exterior en un tramo de borde.



A' Sección total de la armadura correspondiente a la articulación plástica del apoyoI

interior en un tramo de borde.A Sección total de la armadura superior a lo largo de L en una articulación plásticaX y

producida por un M .+

A' Sección total de la armadura superior a lo largo de L en una articulación plásticaX y

producida por un M . -

A Sección total de la armadura superior a lo largo de L en una articulación plásticaY x

producida por un M .+

A' Sección total de la armadura superior a lo largo de L en una articulación plásticaY x

negativa.A' Sección total de la armadura superior de la jácena de borde.y

b Ancho de la jácena de borde.C Cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa concuerda con la línea de rotura

oblicua ubicada sobre el capitel.c Distancia entre el eje del pilar y el punto de quiebre del capitel.c Distancia entre el eje del pilar y la articulación plástica de los apoyos en la dirección x.x

c Distancia entre el eje del pilar y la articulación plástica de los apoyos en la dirección y.y

E Módulo elástico del hormigón.c

E Módulo elástico del acero.y

H Altura libre entre piezas.h Altura del capitel desde el arranque de la columna hasta la entrega inferior de la

losa.h Canto total de cálculo del capitel.c

h Canto total de la losa.L

h Canto total de una sección.t

I Momento de inercia de una sección.I Momento de inercia del pilar inferior.i

I Momento de inercia de una losa.losa

I Momento de inercia del pilar superior.s

K Rigidez de un elemento.K Rigidez del pilar inferior.i

K Rigidez de una losa.losa

K Rigidez del pilar superior.s

l Longitud de anclaje.anc

L Intereje de pilares en la dirección x.x

l Distancia entre articulaciones plásticas en los apoyos en la dirección x.x

L Intereje de pilares en la dirección y.y

l Distancia entre articulaciones plásticas en los apoyos en la dirección y.y

m, n Términos que representan el momento flector del panel cargado sobre el apoyo queestá en función del momento de las articulaciones plásticas del panel.


Simbología 119119

M' Línea de rotura negativa o articulación plástica producida por el momento negativo;dada la causa-efecto se menciona indistintamente por M' línea de rotura negativao M que la produce. -

M Línea de rotura positiva o articulación plástica producida por el momento positivo;dada la causa-efecto se menciona indistintamente por M línea de rotura positiva oM que la produce.+

M' Ídem M', para un tramo de borde correspondiente al pilar exterior.e

M' Ídem M', para un tramo de borde correspondiente al pilar interior.i

M Momento positivo en jácena de borde.j

M' Momento negativo en jácena de borde.j

M Momento torsor.tor

n Coeficiente de equivalencia entre los módulos elásticos del hormigón y del acero.P Carga total.P Solicitación máxima admisible de punzonamiento.punz

p Carga permanente.q Sobrecarga.Q Esfuerzo cortante en la dirección x.x

Q Esfuerzo cortante en la dirección y.y

R Resultante inferior de las tensiones internas en una sección.R' Resultante superior de las tensiones internas en una sección.R Resultante inferior de las tensiones internas en una sección en la dirección x.x

R Resultante inferior de las tensiones internas en una sección en la dirección y.y

R' Resultante superior de las tensiones internas en una sección en la dirección x.x

R' Resultante superior de las tensiones internas en una sección en la dirección y.y

x Altura media de la zona comprimida de hormigón.m

x Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica en vano sin efectoi

arco.x' Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica en vano con efectoi

arco.x Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica de apoyo sin efectos

arco.x' Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica de apoyo cons

efecto arco.z Brazo mecánico del par de fuerzas internas en las articulaciones plásticas centrales

producidas por M .+

z' Brazo mecánico del par de fuerzas internas en las articulaciones plásticas de losapoyos producidas por M . -

z' Brazo mecánico del par de fuerzas internas en la articulación plástica exterior.E

z' Brazo mecánico del par de fuerzas internas en la articulación plástica interior.I

z Brazo mecánico del par de fuerzas internas para una jácena de borde sometidaj

a M .+


M


z' Brazo mecánico del par de fuerzas internas para una jácena de borde sometida a Mj -

." Coeficiente que relaciona M' con M' de una losa de borde.I E

$ Coeficiente que relaciona luces o armados en la dirección y respecto a ladirección x.

2 Coeficiente que relaciona la armadura del vano (A) respecto a la total (A ).t

2 Coeficiente que relaciona la armadura del vano (A ) respecto a la total (A ) en lax x Tx

dirección x.2 Coeficiente que relaciona la armadura del vano (A ) respecto a la total (A ) en lay y Ty

dirección y.2' Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo (A') respecto a la total (A ).t

2' Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo exterior (A' ) respecto a la totalE E

(A ) en los tramos de borde.t

2' Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo interior (A' ) respecto a la totalI I

(A ) en los tramos de borde.t

2' Coeficiente que relaciona la armadura superior de un apoyo (A' ) respecto a la totalX X

(A ) en la dirección x.Tx

2' Coeficiente que relaciona la armadura superior de un apoyo (A' ) respecto a la totalY Y

(A ) en la dirección y.Ty

F Límite elástico del acero. ye

F Tensión de cálculo del hormigón a compresión.cd

F Tensión del hormigón a tracción.ctk

Coeficiente que está en función de 2 y z para cada caso.


Indice de figuras 121121

Indice de figurasIndice de figuras

A Ambito geométrico de validez aplicable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17B Condiciones de borde de las losas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1 Esquema de cargas en vanos alternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Esquema de rotura de una banda longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Esquema de las líneas de las articulaciones plásticas de una losa con

sobrecarga dispuesta en tramos alternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Esquema de la zona comprimida en las rótulas plásticas sobre los apoyos . . . 231.5 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Resolución por el método de equilibrio de un panel interior y tensiones en

las líneas de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Esquema de rotura en el tramo de borde de una losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 Esquema de solicitaciones a flexión de una losa en tramo central y de borde . . 291.9 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel exterior

sustentado por semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura . . . . . . . . . . 311.10 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico

perimetral sin semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura . . . . . . . . . . . 351.11 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico

perimetral sin semicapiteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.12 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel sustentado

por un muro macizo de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.13 Resolución por el método del equilibrio de un panel de borde en voladizo

y tensiones en las líneas de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.14 Esquema de sobrecargas en todos los tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.15 Esquemas de las líneas de articulaciones plásticas de una losa con

sobrecarga en todos los tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.16 Esquema de rotura de un panel en el caso de colapso simultáneo de dos

paneles adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.17 Esquema de las líneas de rotura negativas en un panel rectangular . . . . . . . . 46


1.18 Esquema de equilibrio de momentos respecto al eje de rotación 3-4, para unpanel interior de una losa totalmente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.19 Esquema de diferentes capiteles con y sin alternancia de cargas . . . . . . . . . . 501.20 Líneas de rotura de losa sin capiteles en el caso de carga

uniformemente distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.21 Líneas de rotura de losa con capiteles en el caso de carga en alternancia en

ambas direcciones y en todos los vanos alternativamente . . . . . . . . . . . . . . . 521.22 Esquemas generales de los mecanismos de rotura de losa en ausencia

de capiteles (Hipótesis de reacciones puntuales en pilares) . . . . . . . . . . . . . . 531.23 Esquema de rotura en paneles de borde con semicapiteles . . . . . . . . . . . . . . 541.24 Esquema de rotura en paneles de borde con vigas perimetrales . . . . . . . . . . . 551.25 Esquema de rotura en paneles de borde con apoyo perimetral . . . . . . . . . . . . 561.26 Esquema de rotura en paneles de borde de losa en voladizo . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Esquema de armado de capiteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2 Tipología de capiteles considerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3 Principales parámetros en capiteles con quiebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 Formación de rotura plástica en pilar central con alternancia decarga en vanos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Esquema de cálculo de pilar central con alternancia de cargas . . . . . . . . . . . . 643.3 Equilibrio de momentos en nudo losa-pilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Cálculo de pilar de borde con semicapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5 Esquema de cálculo de pilar de borde con voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Equilibrio de cortantes en pilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Esquema de cantos útiles en cada dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Esquema de sección de cálculo a rotura de una losa intermedia,

una vez producidas las rótulas plásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Cálculo de pilar de borde con semicapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Esquema de longitudes de armado de una losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Localización de la sección de la rótula plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Esquema de rotura de tramo central de losa con capiteles . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Esquema de rotura de un panel cuadrado de un techo fungiforme . . . . . . . . . 905.3 Altura media de la zona comprimida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1 Punzonamiento en losa y capitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1 Comportamiento del efecto arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Indice de figuras 123123

8.1 Esquema en planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2 Esquema de cantos útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.1 Tipología de la losa del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2 Trazado de fisuras cara superior (q=1.370 Kg/m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

9.3 Trazado de fisuras cara superior (q=1.950 Kg/m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132

9.4 Trazado de fisuras cara inferior (q=1.370 Kg/m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142

9.5 Trazado de fisuras cara superior (q=2.690 Kg/m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152

9.6 Trazado de fisuras cara inferior (q=2.690 Kg/m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162

Bibliografía 125125

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