Funcin Cuadrtica y Ecuacin de Segundo GradoProf. Isaas Correa M.

OBJETIVOS:Conocer y aplicar los conceptos matemticos asociados al estudio de la funcin cuadrtica.Graficar una funcin cuadrtica, determinando vrtice, eje de simetra y concavidad.Indicar las caractersticas grficas de una parbola a travs del anlisis del discriminante.Determinar las intersecciones de la parbola con los ejes cartesianos.Determinar las races de una ecuacin de 2 grado.

ContenidosFuncin cuadrtica2.Ecuacin de 2 grado1.1 Interseccin con el eje Y1.2 Concavidad 1.3 Eje de simetra y vrtice2.1 Races de una ecuacin cuadrtica2.2 Propiedades de las races2.3 Discriminante1.4 Discriminante

1. Funcin Cuadrtica Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + cEjemplos: y su grfica es una parbola.a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2a = 2, b = 3 y c = 1a = 4, b = -5 y c = -2

1.1. Interseccin con eje YEn la funcin cuadrtica, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parbola intersecta al eje Y.

1.2. ConcavidadEn la funcin cuadrtica, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parbola es cncava hacia arriba o hacia abajo.Si a > 0,es cncava hacia arribaSi a < 0,es cncava hacia abajo

El valor de b en la funcin: f(x) = ax2 + bx + c permite saber el movimiento horizontal de la parbola ( 0 )ba+-+-1.3 Orientacin:

Luego, la parbola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4), es cncava hacia arriba y est orientada hacia la derecha respecto al eje Y.Ejemplo:En la funcin f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 ; b=-3 y c = - 4.

1.4. Eje de simetra y vrticeEl eje de simetra es la recta que pasa por el vrtice de la parbola, y es paralela al eje Y.Eje de simetraVrticeEl vrtice de una parbola es el punto ms alto o ms bajo de la curva, segn sea su concavidad.

Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: b) Su vrtice es:a) Su eje de simetra es:

Ejemplo:En la funcin f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces:V = ( -1, f(-1) )a) Su eje de simetra es:x = -1b) Su vrtice es:V = ( -1, -9 )

f(x)V = ( -1, -9 )x = -1Eje de simetra:Vrtice:

Si la parbola es abierta hacia arriba, el vrtice es un mnimo y si la parbola es abierta hacia abajo, el vrtice es un mximo.

y =a(x-h) significa que la funcin se movi a la derecha, h unidadesSi y=ax una funcin cuadrtica cualquiera.ii) y =a(x+h) significa que la funcin se movi a la izquierda, h unidades.iii) y=a(x-h) + k significa que la funcin se movi a la derecha y k unidades hacia arribaiv) y=a(x + h) - k significa que la funcin se movi a la izquierda y k unidades hacia abajo.Obs: h y k corresponden a las coordenadas del vrtice V(h,k)1.5 Traslacin de una Funcin Cuadrtica:

Por ejemplo:Cul es el grfico de la funcin:a) f(x)= (x 1)2 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2-12V(-1,2)-61V(1,-6)

El discriminante se define como:a) Si el discriminante es positivo, entonces la parbola intersecta en dos puntos al eje X. > 0 1.6. Discriminante

b) Si el discriminante es negativo, entonces la parbola NO intersecta al eje X. < 0

x2x1Ejemplo:En la funcin, f(x)=x2 - 3x - 4 = 0 la ecuacin asociada es : x2 - 3x - 4 = 0 , y tiene races -1 y 4. Luego, la parbola intersepta al eje X en esos puntos.

c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parbola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a l. = 0

1.7 DOMINIO Y RECORRIDO:Dominio:El dominio de cualquier funcin cuadrtica siempre ser IR.Dom f = IRRecorrido:Depender de la concavidad de la parbola:S es cncava hacia arriba, (a>0) es:S es cncava hacia abajo, (a

x2x11.8 La intercepcin con eje X y la Ecuacin CuadrticaCuando se quiere hacer interceptar la funcin cuadrtica con el eje X, debemos hacer f(x)=0. Por lo tanto la funcin se transforma en una ecuacin cuadrtica o de segundo grado que es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a 0Y como toda ecuacin de segundo grado tiene 2 soluciones o races, significa que la funcin posee dos ceros. Si stas son reales, corresponden a los puntos de interseccin de la parbola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.

Tipos de Ecuaciones cuadrticas:- Incompleta Pura: ax2 + c = 0 ,con b=0

Sus soluciones son:Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin 4x2 - 36 = 04x2 = 36/:4x2 = 36/4/x2 = 9x =3x1 = 3x2 = -3 2.1. Tipos de Ecuaciones de 2 Grado y sus races:

-Incompleta Binomia:ax2 + bx = 0 ,con c=0Sus soluciones son:x1 = 0x2 = 5/2x1 =0x2 = -b/aEjemplo:Resolver la siguiente ecuacin 6x2 - 15x = 0De acuerdo a la ecuacin tenemos que a=6 y b=-15x = -(-15)/6Simplificamos por /:3x =5/2

Frmula para determinar sus soluciones (races) es: Ejemplo:Determinar las races de la ecuacin: x2 - 3x - 4 = 0-Completa general:ax2 + bx +c = 0Se obtiene el valor de: a=1, b=-3 y c=-4 y se reemplazanen la frmula dada:

x1 = 4x2 = -1Tambin se puede obtener las races de la ecuacin factorizando como producto de binomios:x2 - 3x - 4 = 0(x - 4)(x + 1) = 0(x - 4)= 0 (x + 1)= 0x1 = 4x2 = -1

2.2. Propiedades de las racesSi x1 y x2 son las races de una ecuacin de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces:1)2)3)Dadas las races o soluciones de una ecuacin de segundo grado, se puede determinar la ecuacin asociada a ellas.

(x x1)(x x2) = 04)

En una ecuacin de segundo grado, el discriminantea) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuacin cuadrtica tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.La parbola intersecta en dos puntos al eje X. > 0 2.3. Discriminantepermite conocer la naturaleza de las races.x1, x2 son reales y x1 x2x2x1

Si el discriminante es negativo, entonces la ecuacin cuadrtica no tiene solucin real, es decir, sus races son imaginarias.La parbola NO intersecta al eje X. < 0

c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuacin cuadrtica tiene dos races reales e iguales.La parbola intersecta en un solo punto al eje X. = 0x1, x2 son reales y x1 = x2x2x1=