Formas cuadr aticas. Matrices sim etricas

Algebra CURSO 2018-19

Formas cuadraticas. Matrices simetricas

J. Illan

– Typeset by FoilTEX –

Cuestiones fundamentales sobre formas cuadraticas

a. Cuestiones basicas:

• Formas cuadraticas y su relacion con las matrices simetricas.• Congruencias y matrices congruentes• Clasificacion de formas cuadraticas o matrices simetricas• Aplicaciones.

b. Caracterısticas de los autovalores y los autovectores de matricessimetricas

c. Diagonalizacion ortogonal de matrices simetricas

Motivacion:

La simetrıa en la naturaleza.

La importancia de la simetrıa en las matematicas y la ingenierıa.

– Typeset by FoilTEX – 1

Autovalores... ¿complejos o reales?

La matriz

A =

2 −1 21 0 00 1 0

tiene polinomio caracterıstico PA(λ) = λ3 − 2λ2 + λ− 2, cuyas raıcesson:

λ = 2, i, −iEsto significa que A no es diagonalizable en R, aunque sı lo es en C.

Las matrices simetricas tienen todos sus autovalores reales, y no soloeso, son siempre diagonalizables.

Pero,...¿que significa que una matriz sea simetrica? Es muy simple, A essimetrica si AT = A.

Para apreciar claramente que es una matriz simetrica necesitamos vervarios ejemplos.


Matrices simetricas

Una matriz A, simetrica y de orden 3× 3, es de la forma

A =

d1 α βα d2 γβ γ d3

Lo que significa que A = AT , y que es cuadrada.

Tal como ya se menciono, si A ∈Mn×n, la definicion general de matrizsimetrica se establece en terminos de la igualdad

A = AT .

Ejemplos de matrices simetricas:7 9 −42 19 12 3 5

−42 3 23 01 5 0 103

, 2 1 0

1 −1 −40 −4 6

, ( 5 33 12

)


Matrices simetricas

Para visualizar mejor la presencia o ausencia de simetrıa es conveniente cuadricular la

matriz, por ejemplo 7 9 −42 1

9 12 3 5

−42 3 23 0

1 5 0 103

Uno de los resultados mas importante, que ya fue mencionado, es el siguiente:

Todas las matrices simetricas son diagonalizables.

Es decir, si A ∈ Mn es simetrica, entonces existen P,D ∈ Mn, D diagonal y P

invertible, tales que

PAP−1

= D.

Quizas ahora no nos impresione mucho pero otro resultado importante es que P puede

escogerse de modo tal que P−1 = P T , es decir, P puede ser una matriz ortogonal(∗)

y entonces escribimos PAP T = D.

Tener en cuenta que en la anterior factorizacion D tiene a los autovalores de A en la

diagonal.

(*) Una matriz cuadrada P se dice que es ortogonal si P−1 = PT .


Recordemos que:

(I) A y B de orden n×m son matrices equivalentes si existenP ∈Mn y Q ∈Mm, ambas invertibles y tales que A = PBQ.

Si A = PB, entonces A y B son equivalentes por fila.

Si A = BQ, entonces A y B son equivalentes por columna.

(II) A y B de orden n× n son matrices semejantes si existeP ∈Mn, invertible y tal que PAP−1 = B

Agregamos la siguiente relacion entre matrices:

(III) A y B de orden n× n son matrices congruentes si existeP ∈Mn, invertible y tal que PAP T = B, o bien A = P TBP

Tenemos que:

Si A ∈Mn es simetrica entonces A es congruente a una matrizdiagonal A = PDP T .

Ademas, puede hallarse P ortogonal, es decir, P T = P−1. En talcaso D tiene en su diagonal principal a los autovalores de A.


Matrices simetricas congruentes

Sea A ∈Mn,n simetrica. Lo interesante de las congruencias es quepuede obtenerse PAP T = D, siendo D una matriz diagonal, sin ser Portogonal y sin tener autovalores de A en la diagonal principal de D.

Los autovalores no se conservan al aplicar congruencias.

¿Que informacion se mantiene intacta al pasar de una matriz A a otra Bque es congruente a la primera?

Se conservan la simetrıa y el signo de los autovalores de A. Lo cuales suficiente para ciertos propositos.

¿Como producir congruencias en la practica?

Cada vez que hagamos una operacion por fila en la matriz simetrica A,hacemos la misma operacion pero por columna.

Ejemplo 1. Si hacemos µF1 + F2 → F2, despues hacemosµC1 + C2 → C2. Si hacemos F1 ↔ F3, despues hacemos C1 ↔ C3, yfinalmente, si λFi→ Fi, entonces tambien λCi→ Ci.


¿Como hallar P y D tales que PAP T = D?

Ensamblamos una matriz simetrica A con la matriz unitaria, es decir, seunen los bloques A e In, donde In es la matriz unitaria de orden n, ensımbolos: [A, In], y aplicamos congruencias a dicha matriz hasta que elprimer bloque sea una matriz diagonal D

[A, In](c)∼ [D,P ].

La matriz P que aparece en el bloque de la derecha es la matriz queestamos buscando.

Estas matrices P y D no son unicas, pero en cualquier caso

a. cumplen la relacion PAP T = D, y

b. los signos de los numeros en la diagonal principal de D coinciden conlos de los autovalores de A.

c. P representa el cambio de variables que transforma a la formacuadratica q(X) = XTAX en suma de cuadrados.


¿Como hallar P y D tales que PAP T = D y P T = P−1?

En este caso A y D son semejantes, luego, D tiene en su diagonalprincipal a los autovalores de A.

Esta es una tarea mas ardua que la anterior pues requiere calcularexactamente los autovalores de A. Ademas, tal como hemos hecho hastaahora, debemos calcular una base para cada subespacio propio V(λ),λ ∈ σ(A).

Un resultado general establece que en esta situacion dos autovectores dediferentes subespacios propios son ortogonales... Sin embargo, siocurriese que dim(V(λ)) > 1 entonces los autovectores dentro delmismo subespacio propio V(λ) no tiene que ser ortogonales. En ese casotenemos que aplicar Gram-Schmidt para obtener una base de V(λ) quesea ortogonal. Una vez calculada dicha base ortogonal procedemos a sunormalizacion, es decir, dividimos cada vector de esa base por su normapara obtener una base ortonormal. Con esa base ortonormal construimos lamatriz P poniendo a los vectores como columnas en el mismo orden queestan los autovalores en D. Esa matriz P que acabamos de calcular esortogonal.


Problemas

Ejercicio 1. I- Decir el signo de los autovalores de las siguientes matrices y

clasificarlas.

II- Para la matriz A del apartado (a) hallar una factorizacion A = PDP T , con D

diagonal y P ortogonal.(∗)

a. A =

1 0 1

0 3 0

1 0 1

b. B =

1 1 1

1 2 0

1 0 0

c. C =

−1 0 2

0 −3 0

2 0 3

d. D =

1 0 1

0 5 0

1 0 3

(*) Las matrices B, C y D tienen autovalores reales y diferentes, y por tanto son diagonalizables (algo

previsible pues todas son simetricas), pero algunos de estos autovalores no son enteros. Es por ello que no

se pide la factorizacion ortogonal en estos casos aunque realmente se puede obtener.


Respuestas del Ejercicio 1, apartado I)

a. A =

1 0 1

0 3 0

1 0 1

(2, 0) (dos positivos y cero negativos)

b. B =

1 1 1

1 2 0

1 0 0

, (2, 1) (dos positivos y uno negativo)

c. C =

−1 0 2

0 −3 0

2 0 3

(1, 2) (uno positivo y dos negativos)

d. D =

1 0 1

0 5 0

1 0 3

(3, 0) (tres positivos y cero negativos)

El par (p, n) es la signatura de la matriz e indica que esta tiene p autovalores positivos

y n autovalores negativos.


Respuestas del Ejercicio 1, apartado II-a)

Mediante un calculo relativamente sencillo obtenemos que σ(A) = {0, 2, 3}, y que

V(0) = Gen

1

0

−1

, V(2) = Gen

1

0

1

,

V(3) = Gen

0

1

0

Notar que los vectores base que hemos hallado para cada autovalor son ortogonales dos a

dos, algo que en general ocurre y ya habıamos mencionado, a saber, si A es simetrica

entonces todos sus autovalores son reales, es diagonalizable, y dos autovectores dediferentes subespacios propios son ortogonales. En cambio, si uno de los subespacios

propios tiene dimension mayor que uno, entonces la base que obtenemos de primera

intencion no tiene que ser ortogonal, lo cual nos obliga a utilizar el metodo de

Gram-Schmidt.

D =

0 0 0

0 2 0

0 0 3

, P =

1/√

2 1/√

2 0

0 0 1

−1/√

2 1/√

2 0


Clasificacion de matrices simetricas

Sea A ∈ Mn simetrica. Entonces A es diagonalizable, es decir, tiene n autovalores

λ1,...,λn, contando sus multiplicidades (algebraicas).

Antes de seguir recordemos como se clasifican las matrices simetricas de acuerdo con los

signos de sus autovalores.

a. Si λi > 0, i = 1, ..., n, es definida positiva

b. Si λi < 0, i = 1, ..., n, es definida negativa

c. Si λi ≥ 0, i = 1, ..., n, (algunos son cero) es semi-definida positiva

d. Si λi ≤ 0, i = 1, ..., n, (algunos son cero) es semi-definida negativa

e. Si hay autovalores positivos y negativos es indefinida

Si dos matrices A y B son congruentes, es decir, existe P invertible tal que

PAP T = B, entonces son de la misma clase.

Para clasificar una matriz simetrica no es necesario conocer sus autovalores.

Dada A simetrica hallamos P invertible y D diagonal, tales que

PAPT

= D

Los signos de los autovalores de A coinciden con los signos de los terminos en la diagonal

principal de D. No es necesario hallar explıcitamente a P .


Respuestas del Ejercicio 1 (con la clasificacion)

a. A =

1 0 10 3 01 0 1

(2, 0) (semidefinida positiva)

b. B =

1 1 11 2 01 0 0

, (2, 1) (indefinida)

c. C =

−1 0 20 −3 02 0 3

(1, 2) (indefinida)

d. D =

1 0 10 5 01 0 3

(3, 0) (definida positiva)


Ejercicio 2. Clasificar Ak que es congruente a Dk,k = 1, ..., 8.

D1 =

5 0 00 0 00 0 1

D2 =

1 0 00 5 00 0 9

D3 =

−4 0 00 −2 00 0 −3

D4 =

0 0 00 8 00 0 5

D5 =

−1 0 00 0 00 0 −4

D6 =

0 0 00 0 00 0 −9

D7 =

3 0 00 −2 00 0 −3

D8 =

6 0 00 4 00 0 5

Nota: No hay que hacer calculos. La respuesta se basa en la congruencia asumida

y en las diagonales.


Problemas

Ejercicio 3. Sea A ∈ M3 la siguiente matriz

A =

3 −2 4

−2 6 2

4 2 3

a. Hallar P ∈ M3 invertible y D ∈ M3 diagonal tales que A = PDP T

b. Hallar P ∈ M3 ortogonal, es decir, P T = P−1, y D ∈ M3 diagonal tales que

A = PDP−1.

c. Clasificar A.

d. Clasificar q(x, y, z) = (x, y, z)A(x, y, z)T y decir su signatura.

e. Hallar explıcitamente la forma cuadratica del anterior apartado en terminos de las

variables x, y y z.

f. Enumerar las diferencias que existen entre los dos anteriores apartados tomando como

referencia las matrices P y D- informacion que contienen, estructura,...- y las

dificultades que presentan ambos procedimientos.

Notas: En el apartado (a) basta aplicar congruencias, mientras que en el apartado (b) se requiereel calculo efectivo de autovalores y autovectores, y una base ortogonal de cada subespacio propio.La clasificacion de A coincide nominalmente con la de la forma cuadratica q aunque sean entesde naturaleza diferente. De hecho, para clasificar q estamos empleando A.

El apartado (f) nos obliga a pensar en todo lo que hacemos en los anteriores.


Sobre el ejercicio 3

El apartado b del ejercicio 3 es el mas dificultoso y aparece resuelto en el libro AlgebraLineal y sus aplicaciones (3ra edicion) de David C. Lay (Ejemplo 3 del §7.1, en la pag.

451). No obstante se muestran a continuacion algunos de esos resultados.

El polinomio caracterıstico de A es PA(λ) = −(λ− 7)2(λ + 2). La ecuacion

caracterıstica es 0 = −(λ− 7)2(λ + 2), cuyas raıces son los autovalores de A, a

saber, σ(A) = {−2, 7, 7}, enumerados de modo que se destaque la multiplicidad

algebraica. Sabiendo que V(λ) = Nul(A− λI3), obtenemos una base para cada

subespacio propio, por ejemplo, una base de V(7) es {(1, 0, 1)T , (−1/2, 1, 0)T}, y

de V(−2) es {(1, 1/2,−1)T .

Notar que, tal como predice la teorıa, el vector de la base de V(−2) es ortogonal a los

dos de la base de V(7) (esto ocurre porque A es simetrica), y que los dos de la base de

V(7) no son ortogonales (en general no tienen que serlo).

Ahora calcular una base ortogonal de V(7) usando el metodo de Gram-Schmidt y

despues dividir a cada uno estos vectores y el de la base de V(−2) por su norma. Estos

vectores normalizados seran las columnas de P ordenadas segun sea el orden que dimos a

los autovalores en la diagonal de D.

Tener en cuenta que se puede plantear hallar A simetrica a partir de q, o al reves tal

como aquı se indica.


Recordar que:

Sea z = f(x, y) una funcion definida en un abierto de R2. El diferencial de f (si f

tiene derivadas parciales fx y fy continuas) es

df(x, y;h, k) = fxh + fyk,

que resulta ser para cada (x, y) fijo, una funcion lineal L(h, k) = ah + bk,

L : R2 → R, respecto a los incrementos h y k.

El diferencial segundo de f (si f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas) es

d2f(x, y;h, k) = fxxh

2+ 2fxyhk + fyyk

2.

Para cada (x, y) fijo, d2f(x, y;h, k) es una forma cuadraticaq(h, k) = αh2 + βhk + γk2, sobre R2 en las variables h y k.

Tambien puede decirse que d2f(x, y;h, k) es un polinomio homogeneo de grado 2, en

dos variables.

En lo que sigue trabajaremos con polinomios homogeneos de grado 2, en n variables

(formas cuadraticas sobre Rn). En la practica docente lo normal es 2 ≤ n ≤ 5.


Recordar que:

Si α, β, γ ∈ R, destacamos lo importante escribiendo

q(h, k) = αh2

+ βhk + γk2

en lugar de

d2f(x, y;h, k) = fxxh

2+ 2fxyhk + fyyk

2.

El diferencial segundo nos ha servido para calificar la naturaleza de algunos puntos

estacionarios (x, y) de z = f(x, y), es decir, aquellos que anulan a df(x, y). Para

ello se considera la matriz

A =

(α β

β γ

)y los signos de α y ∆ = β2−αγ nos senalan en caracter de dicho punto. Por ejemplo,

si ambos α y ∆ son positivos, entonces en ese punto f tiene un mınimo relativo.

Notar que α es simetrica, es decir, A = AT , y que ∆ = det(A).

Notar tambien que estamos asociando una matriz simetrica A a la forma cuadratica q.

En lugar de calcular los menores principales de la matriz y ver sus signos, emplearemos

operaciones por fila y columna para obtener una matriz diagonal.


¿A que llamamos formas cuadraticas en Rn?

Son funciones que en R2 tienen la forma q(x, y) = αx2 + βy2 + γxy.

En R3: q(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz.

Las letras α, β, γ, a, b, c, d, e, f son constantes absolutas.

En general son polinomios homogeneos de grado dos (todos los monomiostienen el mismo grado 2) en varias variables.

Notar que ahora estamos tratando con funciones NO lineales.

Ejemplo 2. q(x, y, z) = 3x2 − 2y2 + 6xy − 8xz.

Notar que esta q(x, y, z) se obtiene como

q(x, y, z) = (x, y, z)

3 3 −43 −2 0−4 0 0

xyz

1× 1 1× 3 3× 3 3× 1


Formas cuadraticas: definicion general

Definicion 1. Una forma cuadratica en Rn es una funcion

q : Rn→ R,

cuyo valor en un vector X ∈ Rn se calcula mediante la formulaq(X) = XTAX, siendo A una matriz simetrica del tipo n× n.

Ejemplo 3. Sea A =

5 −1 1−1 −9 2

1 2 4

. Hallar q en terminos de las

variables x, y y z.

Respuesta: q(x, y, z) = 5x2 − 9y2 + 4z2 − 2xy + 2xz + 4yz.

Ejercicio 4. Dada A =

(1 −2−2 3

), hallar la forma cuadratica

q(x, y) = (x, y)A

(xy

).


Problemas

Ejercicio 5. Sea q(x, y, z) = 2x2 + y2 + 4z2 − 4xy + 10yz.Hallar A ∈M3, simetrica y tal que q(X) = XTAX, para todoX = (x, y, z) ∈ R3.

Respuesta: A =

2 −2 0−2 1 5

0 5 4

Ejercicio 6. Sea A la matriz

A =

1 0 10 2 31 3 3

,hallar explıcitamente la f.c. q definida por q(X) = XTAX, para todoX = (x, y, z)T ∈ R3.

Respuesta: q(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xz + 6yz.


Clasificacion de formas cuadraticas

q esta en forma canonica si solo aparecen terminos cuadrados en suexpresion. Esto significa que q(X) = XDXT con D diagonal.

a. q(X) = 2x2 + 12y2 + 6z2 es definida positiva

b. q(X) = −2x2 − 12y2 − 6z2 es definida negativa

c. q(X) = 2x2 + 6z2 es semi-definida positiva

d. q(X) = −2x2 − 12y2 es semi-definida negativa

e. q(X) = −2x2 + 12y2 − 6z2 es indefinida

Si q1(X) = XTAX y q2(X) = XBXT , siendo PAP T = B(congruentes), entonces q1 y q2 son de la misma clase.

Si aparecen productos cruzados 5xy, 7xz, etc, entonces debemos obteneruna nueva f.c. de la misma clase pero en forma canonica. Es decir, siq1(X) = XTAX y q2(X) = XDXT , siendo PAP T = D con Ddiagonal, entonces q2 es una suma de cuadrados y facilmente clasificable.Como ambas estan relacionadas por tener sus matrices congruentes, son dela misma clase.


Ejemplo ilustrativo

Ejemplo 4. Sea q(x, y, z) = (x, y, z)A

xyz

, con

A =

1 −2 3−2 4 5

3 5 2

.

Entonces la forma cuadratica q1(x, y, z) = (x, y, z)D

xyz

,asociada a la matriz D =

1 0 00 −7 00 0 121/7

, es de la misma clase

que q porque A y D son congruentes, y segun se aprecia en la diagonal deD, se tiene que q1 es indefinida, y por tanto tambien lo es q.


La clasificacion de matrices simetricas y formas cuadraticas se basaen el siguiente resultado.

Teorema 1. Si una forma cuadratica se reduce a suma de cuadrados dedos formas diferentes cualesquiera, entonces el numero de coeficientespositivos es el mismo en ambas expresiones. Y lo mismo ocurre con elnumero de coeficientes negativos y nulos.

En otras palabras, si q(X) = XTAX, siendo A simetrica, yPAP T = D, con D diagonal y P invertible, entonces

• el numero π de terminos positivos en la diagonal de D,

• y el numero ν de terminos negativos en la diagonal de D,

son invariantes, es decir, no dependen de como lleguemos a obtener Dmediante congruencias.


Clasificacion de formas cuadraticas en terminos matriciales

Teorema 2. La forma cuadratica q(X) = XTAX, con PAP T = D,D diagonal y P invertible, es:

a. definida positiva si y solo si todos los terminos de la diagonal de D sonpositivos,

b. definida negativa si y solo si todos los terminos de la diagonal de D sonnegativos,

c. semidefinida positiva si y solo si todos los terminos de la diagonal de Dson no negativos,

d. semidefinida negativa si y solo si todos los terminos de la diagonal de Dson no positivos,

e. indefinida si y solo si D tiene terminos en la diagonal negativos ypositivos.


Diagonalizacion ortogonal

Si A ∈Mn es simetrica entonces existen P ∈Mn invertible yD ∈Mn diagonal tales que PAP T = D, es decir, A es congruente auna matriz diagonal que en general no tiene en su diagonal principal a losautovalores de A, pero siempre es posible encontrar P ortogonal, es decir,cumpliendo P T = P−1, tal que se cumpla lo anterior. Ahora loescribimos como

PAP−1 = D

En tal caso D sı contiene a los autovalores de A pues A y D sonsemejantes.

¿Como obtener P ortogonal? Tendremos que calcular los autovalores y lascorrespondientes bases para cada subespacio propio para construir D y P ,teniendo P como columnas una base de Rn formada por autovectores deA. De forma anadida, tendremos que aplicar el procedimiento deGram-Schmidt a las columnas de A para obtener una base ortonormal deautovectores de A. Con ello tendrıamos una matriz ortogonal.

Nota: Una matriz cuadrada es ortogonal, es decir, AT = A−1, si ysolo si sus columnas forman un sistema ortonormal.


Problema

Ejercicio 7. Sea q : R4 → R la forma cuadratica definida por

q(x, y, z, t) = x2 + y2 + z2 + 5t2 + 2xt− 4zt.

(a) Hallar A ∈M4, simetrica y tal que

q(x, y, z, t) = (x, y, z, t)A

xyzt

(b) Hallar P ∈M4 invertible y D ∈M4 diagonal, tales que

PAP T = D.

(c) Clasificar q (o lo que es lo mismo, clasificar A) y decir la signatura.

(d) Hallar ∆ ∈M4 diagonal y P ∈M4, ahora ortogonal, es decir, talque P T = P−1, y que cumpla que PAP−1 = ∆.


Solucion ejercicio 7 (el sımbolo(c)∼ indica relacion de congruencia)

(a) A =

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 −2

1 0 −2 5

(b) Se trata de hallar P ∈ M4 invertible y D ∈ M4 diagonal de modo que A y D

sean congruentes.

[A, I4]

−F1 + F4 → F4

−C1 + C4 → C4

(c)∼

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 −2 0 0 1 0

0 0 −2 4 −1 0 0 1

2F3 + F4 → F4

2C3 + C4 → C4

(c)∼

(c)∼

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 −1 0 2 1

La respuesta es: P =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−1 0 2 1

, D =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0


Solucion ejercicio 7

(b) La matriz D hallada anteriormente es diagonal y congruente a A, pero las

congruencias no dejan invariante a los autovalores, de modo que 1 no es un autovalor,

aunque el cero sı lo es. Sin embargo, sı dejan invariante a los signos de los autovalores, lo

que significa en este caso que A tiene tres autovalores positivos y ninguno negativo. Ello

nos permite clasificar q como semi-definida positiva con signatura (3, 0). Tambien

decimos que A es semi-definida positiva.

(c) Lo que ahora nos piden requiere en general un mayor esfuerzo computacional pues se

trata de hallar exactamente a los autovalores de A (para construir la matriz ∆) y una

base ortonormal de autovectores para construir la matriz P . El polinomio caracterıstico

es PA(λ) = (λ− 1)2λ(λ− 6), luego, σ(A) = {1, 1, 0, 6}. Obtenemos

sucesivamente:

V(1) = Gen

2

1

1

0

,

2

0

1

0

, V(0) = Gen

−1

0

2

1

,

V(6) = Gen

1

0

−2

5



Como A es simetrica entonces V ⊥W si V ∈ V(λ1) y W ∈ V(λ2), siendo

λ1 6= λ2,... pero si V,W ∈ V(λ) entonces no necesariamente son ortogonales,... y es

lo que ocurre en este caso con los vectores de la base de V(1).

Apliquemos el metodo de Gram-Schmidt. Pongamos X1 =

2

1

1

0

, X2 =

2

0

1

0

V1 = X1, V2 = X2 −〈X2, V1〉〈V1, V1〉

V1 =

1/3

−5/6

1/6

0

Si tomamos V2 =

2

−5

1

0

, no se pierde la ortogonalidad entre V1 y V2. Calculamos

las normas de cada autovector: ‖V1‖ =√

6, ‖V2‖ =√

30, ‖(−1, 0, 2, 1)‖ =√

6,

‖(1, 0,−2, 5)‖ =√

30



Ya sabemos que

D =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 6

Para obtener P de modo que sea ortogonal (P T = P−1) tenemos que obtener una base

ortonormal de autovectores. Solo resta dividir cada uno de los autovectores hallados- que

ya forman una base ortogonal- por su norma, y ponerlos como columna de una matriz

siguiendo el orden de los autovalores en D.

P =

2/√

30 2/√

6 −1/√

6 1/√

30

−5/√

30 1/√

6 0 0

1/√

30 1/√

6 2/√

6 −2/√

30

0 0 1/√

6 5/√

30

Lo que se obtiene la factorizacion A = PDP−1 o bien A = PDP T (diagonalizacion

ortogonal de una matriz simetrica).

Nota: Si hubieramos empezado por el apartado (d), esta claro que tambien se

podrıa, de inmediato, clasificar A o q, pues si conocemos los autovalores tambien

conocemos sus signos.


Aclaraciones necesarias

• Si el dato es la forma cuadratica q y me piden clasificarla, un metodoconsiste en hallar la matriz simetrica A asociada a dicha formacuadratica, someterla a congruencias hasta que se obtiene una matrizdiagonal en cuya diagonal principal hay numeros cuyo signos secorresponden con los signos de los autovalores de A.

• Si el dato es una matriz simetrica A y me piden clasificarla y ademashallar P invertible y D diagonal tales que PAP T = D, entonces

sometemos a congruencias a la matriz [A, In](c)∼ [D,P ].

• Si el dato es A simetrica y me piden la diagonalizacion ortogonal y suclasificacion, entonces calculamos los autovalores de A, cuyos signos yanos dan la clasificacion de A o de la forma cuadraticaq(X) = XTAX. Despues calculamos una base para cada subespaciopropio y si alguno tiene dimension mayor que uno, es muy probable quetengamos que ortogonalizar la base del mismo. Finalmente dividimoscada autovector hallado por su norma y con ellos construimos lascolumnas de la matriz P . Esta P es entonces ortogonal pues suscolumnas forman una base ortonormal.


Ejercicio 8. Clasificar las formas cuadraticas q(X) = XTAX,tales que A es congruente a D.

D1 =

−2 0 00 0 00 0 1

D2 =

1 0 00 5 00 0 9

D3 =

−4 0 00 −2 00 0 −3

D4 =

3 0 00 0 00 0 5

D5 =

2 0 00 0 00 0 17

D6 =

0 0 00 0 00 0 −9

D7 =

3 0 00 −2 00 0 −3

D8 =

6 0 00 4 00 0 5


Problemas

Ejercicio 9. Sea q(x, y, z) = 2x2 + y2 + 6z2 + 4xz.

a. Hallar A ∈M3, simetrica y tal que

q(x, y, z) = (x, y, z)A

xyz

, (x, y, z)T ∈ R3.

b. Hallar P,D ∈M3, tales que P es invertible, D es diagonal yPAP T = D.

c. Si q′ es la forma cuadratica asociada a D, representarla en terminos delas variables x, y y z.

d. Clasificar a q y calcular su signatura.


Respuestas ejercicio 9

a. A =

2 0 20 1 02 0 6

b. P =

1 0 00 1 0−1 0 1

, D =

2 0 00 1 00 0 4

c. q′(x, y, z) = 2x2 + y2 + 4z2

d. Definida positiva y la signatura es (3, 0)


Problemas

Ejercicio 10. Sea q(x, y, z) = −4x2 − 6y2 − z2 + 4xy.


q(x, y, z) = (x, y, z)A

xyz

, (x, y, z)T ∈ R3.






a. A =

−4 2 02 −6 00 0 −1

b. P =

1 0 01/2 1 0

0 0 1

, D =

−4 0 00 −5 00 0 −1

c. q′(x, y, z) = −4x2 − 5y2 − z2

d. Definida negativa y la signatura es (0, 3)


Problemas

Ejercicio 11. Sea q(x, y, z) = x2 + y2 + 2z2 + 2xy.


q(x, y, z) = (x, y, z)A

xyz

, (x, y, z)T ∈ R3.






a. A =

1 1 01 1 00 0 2

b. P =

1 0 0−1 1 0

0 0 1

, D =

1 0 00 0 00 0 2

c. q′(x, y, z) = x2 + 2z2

d. Semi-definida positiva y la signatura es (2, 0)


Problemas

Ejercicio 12. Hallar la matriz simetrica A tal que q(X) = XTAX y clasificar la

forma cuadratica en los siguientes casos. Calcular la signatura (p, n) de cada una.

a. q(x, y, z, t) = 2x2 + 3z2 + t2

b. q(x, y, z) = −4x2 − 6y2 − 5z2

c. q(x, y, z, t, w) = x2 − w2

d. q(x, y) = 4x2 + 8y2

e. q(x, y, z, t) = 5x2 + 5y2 + 4z2 + 50t2

f. q(x, y, z) = −x2 − 9y2 − 8z2

g. q(x, y, z) = −y2

h. q(x, y, z) = 5y2 + z2

i. q(x, y, z) = 3y2 − 6xz

j. q(x, y, z, t) = 4xt− 6yz

Notar que la mayorıa se representan como suma de cuadrados y por tanto la clasificacion

es inmediata, aunque veremos mas adelante que hay casos en los que habiendo terminos

mixtos tambien se puede, por ejemplo, las formas cuadraticas de los apartados (i) y (j).


Problemas

Ejercicio 13. Clasificar las siguientes formas cuadraticas. Calcular lasignatura (p, n).

a. q(x, y, z, t) = 4x2 + 2z2 +−t2 + 6xt− 8xy

b. q(x, y, z) = 8x2 − 6y2 − 5z2 + 5xz

c. q(x, y, z, t, w) = x2 − w2 − 6xw

d. q(x, y) = x2 + 6y2 − 3xy

e. q(x, y, z, t) = 5x2 − y2 + 4z2 + 50t2 + 3xy − 6yt

f. q(x, y, z) = 3x2 − 9y2 + 5z2 − 4xy

g. q(x, y, z) = 3y2 + 10xz

h. q(x, y, z) = 5x2 + z2 − 6xy

i. q(x, y, z) = bx2 + 2axz, ab 6= 0.

Notar que aparecen terminos mixtos y por tanto la clasificacion demomento no parece ser inmediata.


Matrices simetricas especiales

Pongamos el foco en matrices simetricas de la forma:

An =

0 0 0 · · · 0 0 a1

0 0 0 · · · 0 a2 00 ... 0... ... ...0 ... 00 a2 0 · · · 0 0 0a1 0 0 · · · 0 0 0

∈Mn×n

Notar que se sugiere que solo puede haber celdas no nulas en la diagonalopuesta a la (diagonal) principal (dop)(∗).

La forma cuadratica asociada no tiene terminos cuadrados si n es parn = 2k:q(x1, · · · , xn) = 2x1xn + 2x2xn−1 + · · · . Pero si n es impar, esdecir, n = 2k+ 1, entonces A tiene una celda que es el centro ak+1,k+1.En tal caso aparece un solo cuadrado:q(x1, · · · , xn) = x2

k+1 + 2x1xn + 2x2xn−1 + · · · .*) Aquı hemos adoptado libremente esta denominacion y las siglas dop.


Matrices simetricas de tipo dop. Ejemplos

A2 =

(0 a

a 0

)∈ M2×2, A3 =

0 0 a

0 b 0

a 0 0

∈ M3×3

asociadas con q(x, y) = 2axy y q(x, y, z) = 2axz + by2, respectivamente.

A4 =

0 0 0 a

0 0 b 0

0 b 0 0

a 0 0 0

∈ M4×4

asociada con q(x, y, z, t) = 2axt + 2byz.

A5 =

0 0 0 0 a

0 0 0 b 0

0 0 c 0 0

0 b 0 0 0

a 0 0 0 0

∈ M4×4

asociada con q(x, y, z, t, w) = 2axw + 2byt + cz2.


Matrices simetricas de tipo dop. Clasificacion

¿Pueden clasificarse facilmente las matrices dop? ¿Pueden calcularse facilmente sus

autovalores? Si esta ultima pregunta se responde afirmativamente entonces se responde la

primera.

Notar que en la matriz 4× 4 la diagonal principal (dp) no tiene celdas en comun con la

dop (lo mismo para cualquier n par). Sin embargo, en los casos 3× 3 y 5× 5, y para

cualquier n impar, sı tienen la dp y la dop una celda comun (senalada en rojo).

Los anteriores ejemplos ilustran lo dicho anteriormente sobre las formas cuadraticas

asociadas, cuando se consideraron por separado las matrices de orden par de las de orden

impar.

En realidad es muy simple calcular los polinomios caracterısticos de las cuatro matrices

que sirven de ejemplo. Con ello tendremos de inmediato la clasificacion de las mismas y

de sus respectivas formas cuadraticas. En cuanto al calculo debemos senalar algunos

aspectos interesantes que facilitan una demostracion para una matriz dop cualquiera. El

alumno podra sacar sus propias conclusiones, atendiendo a que a2 + b2 6= 0 o bien que

c 6= 0 en los casos en que el orden es mayor que 2.

En el caso impar debe desarrollarse inicialmente el determinante por la celda central y con

ello reducirlo al caso par anterior. Asimismo, el caso par debe desarrollarse a partir del

bloque central de orden n− 1, con lo cual se reduce al caso par anterior. En sımbolos(∗):

det(An − λIn) = (λ2 − a21) det(An(2 : n− 1, 2 : n− 1)− λIn−2).

*) Notacion Matlab para representar la submatriz central.


Matrices simetricas de tipo dop. Polinomio caracterıstico

PA2(λ) = det

(−λ a

a −λ

)= λ

2 − a2, σ(A2) = {a,−a}, a 6= 0

PA3(λ) = det

−λ 0 a

0 b− λ 0

a 0 −λ

= (b− λ)(λ2 − a2

)

σ(A3) = {b, a,−a}.

PA4(λ) = det

−λ 0 0 a

0 −λ b 0

0 b −λ 0

a 0 0 −λ

= (λ2 − a2

)(λ2 − b2

)

σ(A4) = {b,−b, a,−a}.

PA5(λ) = det

−λ 0 0 0 a

0 −λ 0 b 0

0 0 c− λ 0 0

0 b 0 −λ 0

a 0 0 0 −λ

= (c−λ)(λ2−a2

)(λ2−b2

)

σ(A5) = {c, b,−b, a,−a}.


Matrices simetricas de tipo dop. Ejercicios

Ejercicio 14. Basandose en lo anterior construir las matrices simetricas generales de

tipo dop de orden 6 y 7, y calcular sus respectivos espectros. Hallar las formas

cuadraticas correspondientes de las matrices Ak, k = 2, 3, 4, 5, 6, 7 y clasificarlas

atendiendo al valor o signo de los parametros.

Ejercicio 15. Estudiar el espectro de la matriz no necesariamente simetrica,

A =

0 0 0 a

0 0 b 0

0 c 0 0

d 0 0 0

. Hallar la forma cuadratica asociada a A y la

correspondiente matriz simetrica As. Hallar condiciones suficientes sobre los parametros

a, b, c y d para que A sea diagonalizable. Comparar los espectros de A y As.

Ejercicio 16. Dada una matriz simetrica dop An ∈ Mn, y su forma cuadratica

asociada q(x1, · · · , xn), establecer un metodo que permita hallar un subespacio

vectorial F de Rn tal que la restriccion de q(x1, · · · , xn) a F se exprese como suma

de cuadrados.

Ejercicio 17. Detectar a simple vista cuales formas cuadraticas del ejercicio 13 tienen

asociada una matriz simetrica dop.


Otras matrices simetricas especiales

Ejercicio 18. Sean las matrices simetricas

Aα,β,c =

α 0 β

0 c 0

β 0 α

, Aα,β,a,b =

α 0 0 β

0 a b 0

0 b a 0

β 0 0 α

a. Calcular los autovalores de Aα,β,γ y Aα,β,a,b.

b. Clasificarlas atendiendo a los valores de los parametros.

c. Hallar las formas cuadraticas asociadas.

d. Extender el diseno de este tipo de matriz simetrica a las de orden cuatro.

e. Comprobar que si Aα,β,C ∈ Mn,n,

Aα,β,C =

α Z β

ZT C ZT

β Z α

con C ∈ Mn−2,n−2 no necesariamente simetrica y Z = (0, · · · , 0) ∈ Rn−2, se

cumple que det(Aα,β,C) = (α2 − β2) det(C), y aplicarlo a las matrices Aα,β,γ

y Aα,β,a,b, y a sus respectivos polinomios caracterısticos.


Formas cuadr aticas. Matrices sim etricas

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