ec_lineal
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3. Demostrar que (a) y (b) son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial.
(a )=sin3 x
(b )= 1
sin2 x
y + tan x {dy} over {dx} -6 ( {cot} ^ {2} x)y=
Se calcula el Wroskiano, la ecuación es de segundo orden así que se deriva una vez:
y1=sen3 x
y '1=3 sen2 x+cos x
Para
y2=1
sen2 x= y '2=
−2cos x
sen3 x
W ( y1 , y2 )=| sen3 x1
sen2 x
3 sen2 x cos x−2cosxsen3 x
|W ( y1 , y2 )=sen3
x (−2cos x
sen3 x )−¿
W ( y1 , y2 )=−2 cos x−3cos x=−5 cos x
El Wroskiano es cero para x=(2n+1 ) π2n=0 ,1 ,2,3 en otro caso serán linealmente
independientes.
y= y1+ y2 se hace la derivacióndos veces y sereemplaza enla ecuaciónoriginal .
y '=3 sen2 x cos x+−2 cos x
sen3 x
y = {6 cos} ^ {2} x sen {x} -3 {sen} ^ {3} x+ {2 {sen} ^ {4} {x+6 { cos} ^ {2}} x {sen} ^ {2} x} over {{sen} ^ {6} x
y = {6 cos} ^ {2} x sen {x} -3 {sen} ^ {3} x+ {2 {sen} ^ {2} {x+6 { cos} ^ {2}} x} over {{sen} ^ {4} x
Reemplazo
6 cos2 x sen x−3 sen3 x+2 sen2 x+6 cos2 xs en4 x
+ tan x (3 sen2 xcos x+−2cos xsen3 x )−6 cot2 x (sen3 x+ 1
sen2 x )=0
6 cos2 x sen x−3 sen3 x+ 2sen2 x
+ 6 cot2 xsen2 x
+3 sen3 x− 2sen2 x
−6 senx cos2 x−6cot2 xsen2 x
=0
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