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LA ECUACION DE ONDA.

Consideremos una perturbacin, generada en una cuerda, que viajahacia la derecha con una rapidez constante u (fig. 6.1). Si convenimos endenotar por x a las diferentes posiciones a lo largo de la direccin de

propagacin de la perturbacin y por ya las posiciones perpendiculares a sta,la forma de la perturbacin quedar descrita por una funcin y = f(x,t). Sidurante la propagacin de la perturbacin no existe disipacin de energa, laforma y el tamao de la perturbacin no cambiarn a medida que sta sedesplaza. (En particular, la propagacin de la luz en el espacio vaco cumplecon este requisito.) En tal caso se debe cumplir necesariamente que

f(x1,t1) = f(x2,t2) (6-1)

en donde x2= x1+ u(t2- t1), ya que u(t2- t1)es la distancia que ha avanzado laperturbacin en el intervalo t2 - t1. Este requisito se cumple si la funcin que

describe a la perturbacin tiene la formaf(x,t) = y(x - ut) (6-2)

ya que entonces,

f(x2,t2) = y(x2- ut2)= y[x1+ u(t2- t1)- ut2]= y( x1- ut1) = f(x1,t1) (6-3)

Desde luego, si la perturbacin viaja hacia la izquierda, la forma de lafuncin debe ser

f(x,t) = y(x + ut) (6-4)

Es importante recalcar que si el argumento de la funcin que describe ala perturbacin tiene la forma 6-2, o la 6-4, entonces se cumple el requisito deque la perturbacin no cambia de forma a medida que se desplaza y se puededemostrar que esa es la nica forma posible de cumplir con ese requisito. Entodo caso, lo importante es que la funcin f(x,t)puede ser cualquiera, con tal deque su argumento contenga a x y a tsolamente como combinaciones de laformax- ut, x + ut.

De todas las formas posibles en que puede oscilar transversalmente unpunto de la cuerda (es decir, moverse a lo largo de la direccin y, que es

perpendicular a la direccin de propagacin), solo consideraremos un tipo demovimiento, llamado armnico simple, el cual est descrito por una variacin

y

x

u

u

x1 x2

u(t2-t1)

Figura 6.1. Una perturbacin ondulatoria en una cuerda.

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sinusoidal de la funcin y. En particular, consideremos que en el origen de lacuerda (x = 0) se genera una secuencia de perturbaciones armnicasperidicas con un desplazamiento mximo (amplitud) y0. En ese caso, elmovimiento transversal del origen quedara descrito por la ecuacin:

y= y0sen t (6-5)

en donde es una constante -llamada frecuencia angular, cuyas unidades sonsegundos inversos (s-1= hertz)- que est relacionada con la frecuencia delmovimiento a travs de = 2. La funcin

y = f(x - ut) = y0sen [(x - ut)/u] (6-6)

describe el movimiento transversal del origen de la cuerda (ya que x= 0), perotambin describe el movimiento de cualquier punto x de la perturbacin. Sidefinimos una nueva constante, llamada nmero de onda k, como k = /u =2/u, la onda armnica queda descrita por:

y = y0sen (kx - t) (6-7)

Recordando que una funcin sinusoidal es cclica, con "periodo" 2,podemos obtener unas relaciones importantes. En primer lugar, consideremosque estamos observando a la perturbacin en una posicin fija. Para que elargumento de la funcin cambie en 2, tiene que transcurrir tiempo T tal que(t + T) - t = 2; en ese caso, = 2/T = 2, que es la relacin que yahabamos mencionado. Por otra parte, si "examinamos" una fotografa de la

onda (esto es, si fijamos el tiempo), el argumento de la funcin cambia en 2cuando la perturbacin se desplaza una distancia (llamada longitud de onda)tal que k(x+ ) - (kx) = 2, es decir cuando k= 2/. Como k= 2/u, entonces= u.

Aunque ya contamos con una expresin para la rapidez de laperturbacin en trminos de la frecuencia angular y del nmero de onda,conviene considerar un clculo explicito de sta rapidez. En el intervalo detiempo t = t2 - t1 la perturbacin recorre una distancia x = x2 - x1. Siconsideramos dos puntos de la perturbacin viajera con el mismo valor de y enlas dos posiciones x1 y x2, entonces los argumentos de la funcin y(x,t) para

estos puntos deben iguales; es decir:kx - t=k(x+ x) - (t+ t) (6-8)

as que

x/t= /k (6-9)en el lmite cuando t 0, obtenemos la velocidad de fase

u = dx/dt = /k (6-10)

Tambin podemos llegar a este resultado calculando

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( )( ) kxy

ty

t

x

t

x

y

=

=

(6-11)

LA ECUACIN DE ONDA.

Partiendo de la Ec 6-1 podemos calcular

x

fu

t

x

x

f

t

f

=

=

y tambin, si la velocidad de propagacin u de la onda es constante,

2

22

2

2

xu

t

x

x

f

xu

x

fu

tt

f

t

f

t

=

=

=

=

(6-12)

o bien

2

2

22

2 1

t

y

ux

y

=

(6-13)

Esta es la ecuacin diferencial que buscbamos. Conviene recalcar quela nica suposicin importante que hicimos para llegar a esta ecuacin fue quela perturbacin que no cambia de tamao ni de forma conforme se propaga a lolargo de la cuerda, y que esto implica que tal propagacin se lleva a cabo sindisipacin de energa.

La ecuacin de Schrdinger

Aparentemente, la lnea de razonamiento que condujo a ErwinSchrdinger a plantear una ecuacin para describir los fenmenos del mundosubmicroscpico (un mundo con una estructura mucho ms rica que la delmundo macroscpico) estuvo basada en una analoga: As como la ptica fsica(ondulatoria) describe el comportamiento de la luz considerando su estructurafina ondulatoria para explicar fenmenos como la difraccin y la interferencialuminosas, los cuales no se podan explicar con la ptica geomtrica(corpuscular, o de rayos), as tambin podra desarrollarse una mecnica

ondulatoria para describir los nuevos fenmenos en los que los corpsculospresentan caractersticas ondulatorias.Consideremos a una partcula que se mueve bajo la accin de un

potencial V(r). El mpetu asociado con la partcula est determinado por

( )VEm2p =

en donde E es la energa total del sistema. Si se quiere describirondulatoriamente a esta partcula, se debe partir de la ecuacin de onda 6-13haciendo los siguientes cambios: la amplitud y(x,t) de la onda por (x,t), endonde es la amplitud de una onda material, cuyas caractersticasignoramos, y la velocidad u de la partcula por la velocidad de fase de la ondade de Broglie (Ec. 5-52) asociada; es decir:

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y uE/p = ( )VEm2/E . (6-14)

El resultado es

( ) 0tE)VEm2

x 2

2

22

2

=

(6-15)

o bien

( ) 22

2

22

txVEm2

E

=

(6-15)

La forma de esta ecuacin sugiere proponer que la funcin (x,t) sea tal que(x,t) = (x)T(t), ya que al sustituirla en la Ec. 6-15 , sta se transforma en

( ) 22

2

22

dt

Td

T

1

dx

d1

VEm2

E=

(6-18)

Como los miembros izquierdo y derecho de esta ecuacin son funciones deuna sola variable (x y t, respectivamente) y tales variables son independientes,la nica forma en que pueden ser iguales para toda x y toda t es si son igualesa una constante 2. El problema se transforma entonces de una ecuacindiferencial de segundo orden en dos variables, al de dos ecuacionesdiferenciales de segundo orden, cada una en una variable, que siempre tienesolucin (analtica o numrica). Las ecuaciones resultantes son:

( )T

dt

Tdy

dx

d

VEm2

E 22

22

2

22

==

(6-17)

La forma de la ecuacin en T es formalmente igual a la del oscilador armnicoy su solucin general es T = T0sen(t + ), que es una funcin oscilatoria cuyafrecuencia angular es = 2. Si se hubiese escogido a la constante 2consigno positivo, la ecuacin en T no hubiese resultado oscilatoria y no se podraasociar con un comportamiento ondulatorio. Si se sustituye el valor de en laecuacin en cambiando, adems, a E por h, se obtiene,

( )

2 2 2

2 2

2 4

2

h d

m E V dx

=

(6-18)

de donde resulta, finalmente

( )( ) ( ) ( )xExxV

dx

xd

m2 2

22

=+

(6-19)

en donde 2/= h se llama constante de Dirac. La ecuacin anterior es laecuacin de Schrdinger independiente del tiempo.