Ecuación de calor

Ecuación de calor

Esta ecuación representa la transferencia de calor por conducción en una varilla delgada.

Donde la variable independiente U es una función desconocida de x y t, siento k una contante dada

• El flujo de calor φ(x,t) en la varilla es la tasa de flujo al tiempo t atra vez de na porción de área de la sección transversal en x.

• Donde k se llama conductividad térmica del material que esta echa la varilla. El signo menos de la ecuación corresponde al echo de que el calor fluye en dirección negativa de x cuando u>0, mientras que φes

positivo para el flujo de calor en la dirección positiva del eje x; el calor fluye de un lugar caliente a otro frio y no viceversa.

• Si consideramos un pequeño segmento de la varilla solo estaremos estudiando el intervalo [x,x+Δx]. La tasa de flujo R(en calorías por segundo) de calor dentro de este segmento a través de sus dos extremos es :

• (x,t) - (x+Δx,t) =kA[ ].

La resultante de la tasa de cambio de la temperatura con respecto del tiempo en el segmento depende de su densidad δ y su calor especifico c( supondremos que ambos son contantes).El calor especifico c es la cantidad de calor requerido para elevar 1° la temperatura de un gramo de sustancia .• En consecuencia se requiere c δu calorías para elevar i centímetro cubico

de la sustancia desde la temperatura cero hasta la temperatura u.

• Una pequeña rebanada de la varilla que tenga una longitud dx tendrá un volumen Adx, de modo que se requerirán cδuA dx calorías para elevar la temperatura de esta rebanada de 0 a u

• El contenido calórico (entalpia)

• Q(t)=

• Del segmento [x,x+Δx] de varilla es la cantidad de calor necesaria para elevar su temperatura desde cero hasta la temperatura dado u(x,t). Puesto que el

calor entra y sale de la varilla solo a través de los extremos, vemos de la formula:

Q’(t)=kA[ ]

• Por otro lado , observamos que R= De modo que diferenciando la ecuación dentro de la integral y aplicando el teorema del valor medio para integrales, vemos que:

• Q’(t)== Δx• Para alguna x@ del intervalo (x, . Igualando los valores obtenido:

• Δx=kA[ ]

• De modo que:

• Donde:

Es la difusividad térmica de material. Finalmente, tomando el limite cuando , obteniendo la ecuación de calor.

Así que la temperatura u(x,t) en una varilla con una superficie lateral aislada debe satisfacer esta ecuación diferencial parcial.

• Si 𝑼( , ) = ( ) ( ) ó = 𝒙 𝒕 𝑿 𝒙 𝑻 𝒕 𝑼 𝑿𝑻entonces

= ; = y = 𝑿 ′𝑻 𝑿 ′′𝑻 𝑿𝑻 ′Considerando de la ecuación de calor

que = 𝒌 𝟏entonces nos queda que

• Sustituyendo : 𝑿 ′′𝑻 = 𝑿𝑻 ′

Separación de variables 𝑿 ′′ 𝑿 = = 𝑻 ′ 𝑻 λ

Para lo cual tenemos tres casos (tres valores posibles de λ)

Los cuales serán los siguientes:Si λ =0Si λ=Si λ=

• Caso I . Si = 𝝀 𝟎 = ; = 𝟎 𝑿 ′′ 𝟎

cuya solución es 𝑿( ) = + 𝒙 𝑪𝟏 𝑪𝟐𝒙

Para = = = 𝟎 𝑻 ′ 𝟎 𝑻 𝑪𝟑𝑻( ) = 𝒕 𝑪𝟑 Como

𝑼𝟏 ( , ) = ( ) ( ) ; ( , ) = ( + )( )𝒙 𝒕 𝑿 𝒙 𝑻 𝒕 𝑼𝟏 𝒙 𝒕 𝑪𝟏 𝑪𝟐𝒙 𝑪𝟑 𝑼𝟏 ( , ) = + )𝒙 𝒕 𝑨𝟏 𝑩𝟏𝒙

• Ahora evaluamos las constantes y con los valores iniciales 𝑨𝟏 𝑩𝟏𝑼( , ) = y ( , ) = 𝟎 𝒕 𝟎 𝑼 𝑳 𝒕 𝟎

𝒙 = y ( , ) = 𝟎 𝑼 𝟎 𝒕 𝟎Sustituyendo

𝟎 = + ( ) ;𝑨𝟏 𝑩𝟏 𝟎 𝑨𝟏 = ;𝟎

𝟎 = + ;𝟎 𝑩𝟏𝒙 𝑩𝟏 = = 0

• Caso II Si λ=• = = ; − = 𝑿 ′′ 𝑿 𝑿 ′′ 𝑿 𝟎utilizando la ecuación auxiliar queda como

− 𝒎𝟐 = 𝟎Cuya solución es

𝒎𝟏 = y = − 𝜶 𝒎𝟐 𝜶obteniendo la solución de le ecuación diferencial como sigue:

𝑿( ) = + − 𝒙 𝑪𝟒𝒆 𝜶𝒙 𝑪𝟓𝒆 𝜶𝒙Para

𝑻 ′ 𝑻 = ; = 𝑻 ′ 𝑻 𝜶 𝟐𝒅𝒕 ∫ 𝑻 ′ 𝑻 = ∫ ; ( ) = + 𝜶 𝟐 𝒅𝒕 𝒍𝒏 𝑻 𝜶 𝟐𝒅𝒕 𝑪