Ecuación de Convección Difusión

Ecuacion de Conveccion-Difusion


Adolfo J. Cardozo S.

Junio de 2013


Tabla de Contenido

Seccion 1. GeneralidadesSubseccion 1.1. DefinicionSubseccion 1.2. Situaciones relacionadas

Seccion 2. Deduccion y significado.Subseccion 2.1. DeduccionSubseccion 2.2. Forma y significadoSubseccion 2.3. Ejemplos de uso


Seccion 1. Generalidades

Subseccion 1.1. Definicion

Definicion

Modelo matematico que describe situaciones fsicas donde lacantidad total de una variable se transporta y transformadebido a diversos procesos. Algunos ejemplos:

I Fluctuaciones de temperatura en un ambiente productodel transporte de calor.

I Transporte de contaminantes en el aire, agua y/o suelo.

I Transporte de sedimentos en cuerpos de agua natural(ros, lagos, estuarios, embalses, oceanos).

I Balance de fuerzas que producen la aceleracion de masasfluidas (transporte de momentum).


Seccion 1. Generalidades

Subseccion 1.2. Situaciones relacionadas

I Flujos multifase/multicomponente en intercambiadores decalor, reactores qumicos, camaras de combustion, etc.

I Movimiento aleatorio de partculas en algun medio fluido(random walk).

I Movimiento de iones de componentes qumicos dentro deun fluido sometido a un campo electrico (bioconductoresy semiconductores).

I Evolucion de precios de un mercado financiero de acuerdoal empuje riesgo, precio referencial y volatibilidad delcapital.


Seccion 2. Deduccion y significado.

Subseccion 2.1. Deduccion

DeduccionDel Teorema de transporte de Reynolds,

D

Dt

[s

d]

=

td+

ui nidS (1)

Donde = (xi , ..., t) con i = 1, 2, ..., n




Deduccion

s espacio del sistema. espacio del volumen de referencia.Aplicando el teorema de Gauss al segundo termino del ladoderecho de la ecuacion (1), y agrupando

D

Dt

[s

d]

=

[t + (ui)xi ]d (2)

Si s y son volumenes infinitesimales, entonces (2) seexpresa como,

D

Dt= t + (ui)xi (3)




Deduccion

En la ecuacion (3):

I La derivada material DDt

representa los cambios de en elsistema s a medida que se mueve, que lo denotaremos s

I t es el cambio de dentro de con respecto al tiempo.

I ui es un flujo neto de hacia el volumen diferencial dereferencia , que denotaremos ji

Con lo anterior, se obtiene la Ecuacion General de Continuidad,

t + (ji)xi = s (4)

Es importante no olvidar la naturaleza de cada termino.




Orgen del flujo netoExisten situaciones donde el flujo neto ji de una cantidad escausado por dos fenomenos:

Conveccion: causado por eldesplazamiento de masasdel medio circundante.

Difusion: causado pordistribucion de partculasdebido a la existencia de ungradiente.




Conveccion

= xiA

tA=

xit

lmt,A0

[

tA

]= lm

t0

[

xit

]

tA=

xit

jconvectivo = ui (5)




Difusion

= 0,5(1 2)xiAlm

t,A0

[

tA

]= lm

t0

[0,5(xi)

2

t

xi

]

tA= (0,5Lxi

t)

xi

jdifusivo = D xi

(6)



Subseccion 2.2. Forma y significado

Ecuacion Conveccion-Difusion

Al sustituir (5) y (6) en (4), tenemos

t + (ui Dxi )xi = s (7)

que es la ecuacion de conveccion-difusion. En general, = (xi , t) Cantidad Concentracion,

Escala o vectorial temperatura, momentumD = D(xi , t) Difusividad Masica, termica,

molecularui = ui(xi , t) Velocidad Del fludo, de partcula,

de burbujass = s(xi , t) Fuentes/Sumideros Reaccion, radiacion,

calor por friccion



Subseccion 2.2. Forma y significado

No Linealidad

Cuando alguno de los parametros depende de Entrada/Salida s = (q)xi Flujo unitario al sistema

de Reaccion s = r() = kn Reaccion de orden nqumica

Conveccion ui = ui(T (xi , t)) Cambio local de densidadtermica

Movimiento ui = ui((xi , t)) Dificultad al aumentar Obstaculizado



Subseccion 2.3. Ejemplos de uso

Ejemplos

Conveccion-difusion

t+ u

x+ v

y= D

(2

x2+2

y 2

)simple 2D transitorio

Difusion-reaccion 3D D

(2

x2+2

y 2+2

z2

)= kn

estacionario

Movimiento aleatorio ft

= xi

(i f ) +2

xixj(Dij f )

de partculas f es una funcion probabilidad deXt

Movimiento de iones

t=

xi

[D

xi ui kEi

]en semiconductores

Evolucion preciosV

t+ rS

V

S+ 0,52S2

2V

S2 rV

mercado capitales

Seccin 1. GeneralidadesSubseccin 1.1. Definicin Subseccin 1.2. Situaciones relacionadas

Seccin 2. Deduccin y significado.Subseccin 2.1. Deduccin Subseccin 2.2. Forma y significado Subseccin 2.3. Ejemplos de uso

Ecuación de Convección Difusión

Documents

Transcript of Ecuación de Convección Difusión