Lcdo. Juan Jácome.

INDICE1.-Objetivos

2.-Explicar el concepto de pendiente. 3.-Cálculo de la pendiente de una recta

6.-Pendiente y coeficiente de posición de la recta

7.-Recta horizontal y vertical

5.-Ecuación de la recta , a través de la forma punto pendiente

8.-Ecuación de la recta , forma general

9.-Ecuación Principal de la Recta principal de la recta

10.-Comportamiento de la recta según valor de la pendiente11.-Como encontrar la pendiente de una recta a través de su grafica

12.-Posiciones relativas de dos rectas en el plano

13.-Rectas paralelas

14.-Grafica de dos rectas paralelas15.-Rectas perpendiculares

16.-Grafica de rectas PERPENDICULARES 17.-Rectas coincidentes

OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.

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CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS • Ecuación de la recta. • Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. • Condición de paralelismo y perpendicularidad.

Objetivos de Aprendizaje 1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.

2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.

3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.

4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.

5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.

.

La pendiente de una recta en un sistema de

representación triangular (de un plano

cartesiano ), suele ser representado por la

letra , y es definido como el cambio o diferencia

en el eje Y dividido por el respectivo cambio en

el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la

siguiente ecuación se describe:

DEFINICION DE PENDIENTE

y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente que pasa por dos puntos de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

∆x=x2 - x1

∆y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

La ecuación de la recta de pendiente m, y un punto de Ella (xLa ecuación de la recta de pendiente m, y un punto de Ella (x11, y, y11) es:) es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación de la recta, a través de la forma punto pendiente: y-y1=m (x-x1)

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Pendiente y coeficiente de posicion de la recta .

•Ecuación pendiente ordenada al origen y = m x+b

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

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Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta.

Grafiquemos L en el plano cartesiano:Tabla de valores Gráfico X Y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una

recta.• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es

solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

•Forma general Ax + By + C = 0

Ecuación Principal de la Recta

Importante

Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta

donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)

y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

Ecuación General 2x – y- 1 = 0

Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1Si dividimos la igualdad por -1 para

que el coeficiente de y no sea negativo

-Y = -2x + 1 / : - 1

Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta.

Donde: m = 2 n= -1

10

Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0

Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.

m>0 m<0

Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o

11

x

y

x

y

x

y

x

y

Si m>0 la recta Si m>0 la recta ll es creciente es creciente Si m<0 la recta Si m<0 la recta ll es decreciente es decreciente

Toda recta horizontal tiene m = 0 Toda recta horizontal tiene m = 0

Comportamiento de la recta según , valor de la pendiente

¿Cómo encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?

Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.

Por ejemplo:Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación

12

x - x y - y

m12

12=

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.

Por lo tanto remplazando tenemos:

Luego la pendiente m = -1m = = = = -112

12

xx

yy

−−

21

25

−−−

3

3

−

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten

c) Que sean Coincidentes

13

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

Rectas Paralelas

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:Es decir:

Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2

14

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L2

EjemploGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

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Rectas Perpendiculares

Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares.

si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n

L2 es una recta de ecuación

y= m2x +n

L1 L┴ 2 si m1 • m2 = -1

16

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L1

GRAFICA DE RECTAS PERPENDICULARESGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = 4x + 3y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

17

18

Rectas Coincidentes

Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto.

Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2

L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.

x1 x2

y1

y2

L1

•

•

αx

y

L2