FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.En esta unidad comenzaremos por preparar el camino para las siguientes al analizar aspectos básicos de las funciones tales como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa representación y reconocer ciertos conjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la imagen.Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante una ecuación, con una gráfica, o con palabras.Más adelante nos introduciremos en las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas son las más simples: las rectas. Como caso particular observaremos las características propias de la función de proporcionalidad.Finalmente, veremos cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales, tratando de no perder de vista el significado geométrico del problema.

FUNCIÓN

La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual.No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico.Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información simple de leer.En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la señalización a lo largo de la vía férrea.

En el eje vertical se han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estacionesferroviarias.En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas.Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la misma, en función del tiempo. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y algunos no paran en ciertas estaciones.

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Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico:1) ¿A qué hora sale el tren nº 2?2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4?3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4?4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B?5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B?6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren nº 6?7) ¿Hasta donde llega el tren nº 3?8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2?9) Si un pasajero llega a la estación O a las 12:30 hs. y quiere llegar a la estación E, ¿qué opciones tiene?10) Si un pasajero llega a la estación O a las 10 hs. y toma el tren nº 3, ¿cómo hace para llegar a la estación E?. ¿A qué hora llega?. ¿Qué le hubiera convenido hacer para llegar antes?11) ¿Es siempre la misma la velocidad del tren nº 2?. ¿Y la del tren nº 1?. ¿En qué lugar es mayor?

Las funciones aparecen en nuestra vida cotidiana muy a menudo, las encontramos de todo tipo porque sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, estadísticos, sociológicos o para expresar relaciones matemáticas utilizando una ecuación. Su representación gráfica permite hacerse una idea precisa de las evoluciones del fenómeno descripto.Representar en los ejes cartesianos los valores dados en la tabla que corresponde a la variación de la temperatura de un enfermo a lo largo de 24 horas.

El gráfico y la tabla relacionan dos magnitudes reales: temperatura y tiempo, las cuales se llaman variables y son representadas en cada uno de los ejes cartesianos utilizando una escala. Al eje horizontal (eje de las abscisas) se lo designa con la letra x y al eje vertical (eje de las ordenadas) se lo designa con la letra y.Cada punto de la gráfica corresponde a un par de valores: un valor de x (variable independiente) y el correspondiente valor de y (variable dependiente).

Tem

per

atu

ra e

n °

C

X y0 394 388 3712 3816 3720 3924 38

2

Tiempo en horas

Una función es una relación de dependencia entre dos variables a través de una ley de asignación la cual asocia a cada valor de la variable x un único valor de la variable y.

Simbólicamente una función se expresa:Y = f(x) Se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”Lo que significa que el valor que toma y depende del valor que le damos a x.

Dominio e imagen de una función

El conjunto de los valores de x a los cuales les corresponde algún valor de y se llama dominio de la función.Df = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24}El conjunto de los valores que son el resultado de aplicar la función a los valores del dominio se llama imagen de la función. If= {39; 38; 37}

Desde un punto de vista informal, una función es una regla que permite asignar a cada uno de los elementos “x” de un conjunto “A” un único elemento “y” de otro conjunto “B ”. A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del bebé, nos cobran el pasaje en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la velocidad alcanzada, etc.

Diremos que y es la imagen de x por la función f .

En símbolos: y = f (x)

Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un sistema de cordenadas cartesianas.

En el eje horizontal se representa a la variableindependiente y recibe el nombre de eje de abscisas o eje x.

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Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe unarelación entre las variables, x e y, donde x Є A e y Є B,en la que a cada valor de la variable independiente x lecorresponde un único valor de la variable dependiente y,diremos que dicha relación es una función.

En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe el nombre de eje de ordenadas o eje y.

Al representar una función y = f (x) en un sistema decoordenadas cartesiano, sobre el eje de abscisas se ubica la variable independiente x, mientras que sobre el eje de ordenadas se ubica la variable dependiente y.

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x lo

En el gráfico anterior podemos leer Dom f = [ a , b ]

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable dependiente y tales que y = f (x) para algún x Є A, lo denominamos imagen de la función y lo denotamos Im f.

En el gráfico anterior podemos leer Im f = [ c , d ]

Para una función f : A B , se tiene que A = Dom f e Im f B

No todo lo que parece es una función. Es importante aprender a reconocer cuándo una relación entre dos conjuntos es o no una función.

Analicemos los siguientes gráficos, que muestran relaciones desde un conjunto A hacia un conjunto B, donde A = [ 1 , 5 ] y B = [ 0 , 5 ]

El Gráfico 1 no representa una función pues hay elementos del dominio que tienen más de una imagen.

Ejemplo:

4

f (3) = 2 y f (3) = 4.

FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

Observemos que... La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para alargarlo, es decir, a doble fuerza, doble estiramiento. El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es proporcional a la cantidad dedinero que el banco ha prestado, y también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha prestado. Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo.

En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de estamisma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad,caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.

Toda función de la forma

y = f (x) = a x + b con a Є R, b Є R,

recibe la denominación de función lineal.

Son ejemplos de funciones lineales:y = 2x y = 0,5x + 2 y = x – 4 y = 2

Denominaremos pendiente a la constante a.

Denominaremos ordenada al origen a la constante b.

El dominio de la función lineal f es todo el conjunto R de los números reales.

Para pensar….

El gráfico de una función lineal es siempre una recta que no puede ser paralela al eje y. ¿Por qué?

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PENDIENTE DE UNA RECTA

Vamos a estudiar más detenidamente a la función lineal. Representemos en el plano de coordenadas cartesianas algunas funciones.

Ejemplos:

a) y = x - 4

Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada también aumenta 1 unidad.

Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada aumenta 2 unidades.

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b) y = - 3 x +2

Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada disminuye 3 unidades.

Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada disminuye6 unidades.

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aObservemos que...los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.

c) y= 2

En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente:

Resumiendo

La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y la variación de x.

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aNuevamente observamos que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.

Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada no aumenta ni disminuye.

Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3 o más unidades.

aEn este ejemplo, resulta que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales a 0, el valor de la pendiente a.

La pendiente a mide la inclinación de la recta respecto del eje x.

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD

Ecuación de la recta

Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta.

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Recordemos que…

En la ecuación y = a x + b a la constante b se la denomina ordenada al origen.

La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x = 0, o sea la imagen de cero.

Si la ordenada al origen es 0, resulta y = a

Este caso particular se llama función de proporcionalidad directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen.

Para a, b Є R constantes, podemos interpretar una función lineal. y = ax + b

como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que denominaremos ecuación de la recta.

A la expresión

y = ax + b,

donde a, b Є R son constantes, la denominamos forma explícita de la ecuación de la recta.

Cómo encontrar la ecuación de la recta que pasa por un punto

Para hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente -2 y pasa por el punto (3 , 6), lo resolvemos de la siguiente manera:

y = a x + b (Reemplazamos a por su valor que es -2)

y = (-2) . x + b

6 = (-2) . 3 + b (Reemplazamos cada coordenada en el lugar correspondiente)

6 = (-6) + b (Separamos en términos y resolvemos)

6 + 6 = b (Despejamos para encontrar el valor de b)

12 = b

La ecuación buscada es y = (-2) x + 12

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Diremos que para a, b, c Є R constantes,

ax + by + c = 0

es la forma implícita de la ecuación de la recta.

Si tenemos como datos dos puntos (x1, y1), (x2, y2) pertenecientes a una recta, podemos construir la ecuación de la misma.

Observemos que…

Su pendiente es a =

Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)

a = 1

Para hallar b (ordenada al origen) reemplazo por cualquiera de los dos puntos.Vamos a reemplazar por los dos puntos para demostrar que la ordenada al origen me va a dar igual.

Reemplazo por el punto (1 , 2) Reemplazo por el punto ( 3 , 4)y = a x + b

2= 1. (1) + b

2 = 1 + b

2 – 1 = b 1 = b

y = a x + b

4 = 1. (3) + b

4 = 3 + b

4 – 3 = b

1 = b

La ecuación de la recta es y = 1 x + 1

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a

a =

Rectas ParalelasRectas

Perpendiculares

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

Ejemplo:

L(x) = 2x + 2 y G(x) = 2x - 1

Dos rectas con pendiente distinta de 0 son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la inversa y opuesta de la otra.El producto de ambas pendientes es -1.

Ejemplo:

T(x) = 2x – 2 y H(x) =

Ejemplos:

Halle la ecuación de la recta paralela a 4x - 3y = 24 y que pasa por (1, -2).

Lo primero que hacemos es hallar la forma explícita de la recta.

-3y = 24 – 4x

y = -8 + x

La ecuación que debemos encontrar tiene

pendiente .

Reemplazamos las coordenadas del punto para encontrar a b.

Y = a x + b

Halle la ecuación de la recta perpendicular a y = 2x + 5 y que pasa por (2, 9)

Lo primero que hacemos es hallar la forma explícita de la recta.

Como la ecuación ya está en forma explícita,

vemos que la pendiente buscada es .

Reemplazamos las coordenadas del punto para encontrar a b.

Y = a x + b

Y = x + b

9 = . 2 + b

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Y = x + b

-2 = . (1) + b

-2 - = b

= b

Entonces la ecuación es y = x

9 = -1 + b

9 + 1 = b

10 = b

Entonces la ecuación es y = x + 10

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

1. Sustitución2. Igualación

Método de Sustitución Método de Igualación

Sea el sistema 

Primero despejamos en una de las ecuaciones una de las incógnitas

y=11-3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

5x-(11-3x)=13

Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos

5x-11+3y=135x+3x=13+11

8x=24x=3

Sea el sistema 

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11-3x=-13+5x

8x=24

Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y

y=11-913

Sistemas de Ecuaciones

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor

de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=11-3xy=11-9

y=2 

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será 

x=3 e y=2

y=2

Así la solución del sistema de ecuaciones propuesto será

x=3 e y=2

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -2 0 2 4 6

Muchas veces cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, o no encontramos ninguna solución o si la encontramos no es única, es decir podemos encontrar infinitas soluciones. Si el sistema tiene solución se llama COMPATIBLE; si tiene una única solución se llama COMPATIBLE DETERMINADO pero si tiene infinitas soluciones se llama COMPATIBLE INDETERMINADO. En cambio, si no tiene solución se llama INCOMPATIBLE.

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Situación Problemática

En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas

preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

Pasemos de inmediato a la primera parte de la resolución. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste,

hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda parte, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:

El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera parte, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:

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De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ;

sustituyendo en la primera:

2y + 8 + y = 20 3y = 12

y = 12/3 y = 4

sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta parte que consiste en comprobar si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.

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