Repaso de Ecuación de la recta Profesora: Lic. Alicia Herrera Ruiz

TEORÍA:

Un punto se ubica en el plano cartesiano mediante coordenadas (x; y), en donde la primera componente se le

llama abscisa y la segunda ordenada.

Un punto ubicado en el eje de las ordenadas “y” se le llama ORDENADA EN EL ORIGEN o COEFICIENTE

DE POSICIÓN y se representa por “b” cuyas coordenadas son: (0; b)

Un punto ubicado en el eje de las abscisas “x” se le llama ABSCISA EN EL ORIGEN y se representa por

“A” cuyas coordenadas son: (a: 0)

1. PENDIENTE DE LA RECTA:

TEORÍA:

NOCIÓN DE PENDIENTE: La pendiente es la inclinación de la recta

DEFINICIÓN DE PENDIENTE: Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación, es decir:

L

x

0

y

m = Tg =

ESTIMADOS ALUMNOS

LES HE PREPARADO ESTE MATERIAL CON EL ÚNICO FIN DE

AYUDARLES A AFIANZAR LO QUE UDS. YA HAN VENIDO

ESTUDIANDO.

RECUERDEN QUE LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO.

SU PROFESORA

ALICIA

Repaso de Ecuación de la recta Profesora: Lic. Alicia Herrera Ruiz

Solución:

Trazamos el triángulo rectángulo, de tal manera que se cuenten valores enteros por cada lado.

La pendiente será:

6

5

horizontal

verticalm

Tener en cuenta que

debemos graficar un

triángulo rectángulo, debajo

o sobre la recta

La recta está de bajada,

por lo que la pendiente

será negativa

Repaso de Ecuación de la recta Profesora: Lic. Alicia Herrera Ruiz

Solución:

La pendiente será:

2

1

horizontal

verticalm

Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de

puntos: A. (2,5) y (-3,8) B. (4,-8) y (-7,0) C. (1,0) y (-2,-4)

La recta va de subida, por

lo tanto es positiva la

pendiente.

Repaso de Ecuación de la recta Profesora: Lic. Alicia Herrera Ruiz

Solución:

Teniendo en cuenta: 12

12

xx

yym

A. (2 , 5) (-3 , 8)

m = 8 - 5 = 3

-3 - 2 -5 Por lo tanto, la pendiente es -3 .

5

B. (4, -8) (-7 , 0)

m = 0 - -8 = 8

-7 - 4 -11 Por lo tanto, la pendiente es -8.

11

C. (1, 0) ( -2, -4)

m = -4 - 0 = -4

-2 - 1 -3 Por lo tanto, la pendiente es 4 .

3

Para practicar en la web:

Signos de la pendiente: http://www.ematematicas.net/pendienterecta.php?a=3

Valor de la pendiente: http://www.ematematicas.net/calculopendiente.php?a=3

2. ECUACIONES DE LA RECTA:

TEORÍA:

Una misma recta puede ser representada por varias ecuaciones. Éstas son:

a) Ecuación punto pendiente: y – y1 = m (x – x1 )

b) Ecuación pendiente ordenada: y = mx + b (donde “m” es la pendiente y “b” la ordenada en el origen)

x1 y1 x2 y2

x1 y1 x2 y2

x1 y1 x2 y2

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c) Ecuación general: Ax + By + C = 0 (donde la pendiente m = -(A)/B y la ord. en el origen b= -( C )/B.

Si C = 0 la recta pasa por el origen Si B = 0 la recta es vertical

Si A = 0 la recta es horizontal

d) Ecuación canónica, simétrica u ordinal:

donde “a” es la abscisa en el origen y “b” es la

ordenada en el origen. Llamados “a” y “b” también interceptos con los ejes.

Buscar la ecuación en todas sus formas (punto pendiente, general, pendiente ordenada en el

origen y canónica) con los puntos dados: (5,0) y (2,-1)

Solución:

( 5, 0 ) y ( 2, -1 )

x1 y1 x2 y2

Paso 1: PENDIENTE: Para conseguir la ecuación, primero hay que buscar la

pendiente.

3

1

3

1

52

01

12

12

xx

yym

Paso 2: Y - Y1 = m(X - X1)

Y - -1 = 1 ( X - 2)

3

Y + 1 = 1 (X - 2) ec. punto - pendiente (E.P.P) 3

Paso 3:

Y + 1 = 1 (X - 2)

3

3y + 3 = x – 2

3y = x – 5

3 3 3

y = x – 5 ec. pendiente ordenada en el origen (E.P.O)

3 3

Colocamos los valores de ( x;y) a

cada punto.

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Paso 4: 3y + 3 = x – 2

-x +3y + 3 +2 =0

-x +3y + 5 =0

Cambiamos signos x -3y – 5 = 0 Ec. general (E.G.)

Paso 5:

Si : x = 0, entonces y = -5/3……b

Si: y= 0, entonces x =5…… a

Ecuación simétrica

Hallar las 4 ecuaciones de la recta que pasa por P(− 2, 1) y tiene como pendiente -4/3.

Solución: x1 y1 m

Paso 2: y – y1 = m(x – x1)

y -1 = -4 (x +2) ec. punto - pendiente (E.P.P)

3

Paso 3: y - 1 = -4 (x +2)

3

y

(5; 0) x

(0 ; -5/3)

Podemos pasar todos los términos al primer miembro o

también al segundo miembro, según convenga.

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3y – 3 = -4x – 8

3y = -4x – 8 + 3

3y = -4x – 5

3 3 3

Y = -4x – 5 ec. pendiente ordenada en el origen (E.P.O)

3 3

Paso 4: De la ecuación: 3y = -4x – 5

Se obtiene:

4x + 3y + 5 = 0 Ec. general (E.G.)

Paso 5:

Si y = 0 resulta 4x + 5 = 0 donde x = -5/4 = a. Intercepto: (-5/4 ; 0)

Si x = 0 resulta 3y + 5 = 0 donde y = -5/3 = b Intercepto: ( 0 ;-5/3 )

La ecuación canónica, ordinal o simétrica será:

Y el gráfico:

y

(-4/5; 0) x

(0 ; -5/3)

Humm sólo es cuestión de

seguir los pasos. No está difícil

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Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto P (3, 4) y que tiene una pendiente

m=2

Solución:

Si pasa por P (3 , 4) y la pendiente es m=2.

x1 y1

Aplicando la fórmula:

y – y1 = m(x – x1)

y – 4 = 2(x – 3)

Despejando se puede obtener la ecuación general:

y - 4 = 2x – 6

Transponiendo todo a un solo miembro:

2x – y – 6 + 4 = 0

2x – y – 2 = 0 Entonces, si la ecuación general tiene la forma Ax + By + C = 0

A = 2; B = -1 ; C = -2

Hallar la ecuación punto pendiente de la recta y la ecuación pendiente ordenada en el origen de la

recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Solución:

Entonces identificamos los puntos:

A (-2, -3) y B (4, 2) x1 y1 x2 y2

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Paso 1: La pendiente

6

5

24

32

24

32

12

12

xx

yym

Paso 2:

y – y1 = m(x – x1)

ec. punto - pendiente (E.P.P)

6y + 18 = 5x + 10

Paso 3:

Despejando: 6y = 5x + 10 – 18

6y = 5x – 8

6y = 5x – 8

6 6 6

y = 5x – 4

6 3 ec. pendiente ordenada en el origen (E.P.O)

Para practicar en la web:

Dado el gráfico escribir la ecuación pendiente ordenada en el origen:

http://www.ematematicas.net/calculoecuacion.php?a=3

Sólo observando la pendiente y la ordenada, nada más.

Ecuación pendiente ordenada en el origen:

http://www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3

Con los datos dados plantear la ecuación y – y1 = m(x – x1) transfórmala a pendiente ordenada y=mx + b

PUEDES RESOLVER LAS VECES QUE QUIERAS.

Ecuación general: http://www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3

Con los datos dados plantear la ecuación y – y1 = m(x – x1) transfórmala a general Ax + By + C = 0

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Pendiente, ecuación pendiente ordenada en el origen, ec. general, ecuación simétrica o canónica:

http://geometriadinamica.org/examinteractivo/EIrecta.htm

Responder con conocimientos las 8 primeras preguntas.

3. Rectas paralelas y perpendiculares:

La teoría ya está dada en el punto anterior.

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y es paralela a la recta

−10x + 2y − 6 = 0.

Solución:

Llamaremos L2 a la ecuación de la recta que pasa por (-1,2)

y es paralela a la recta L1: −10x + 2y − 6 = 0.

Obtenemos la pendiente de la recta L1 : m1 = -A/B = -(-10)/2 = 5, como es paralela a L2, es la misma

pendiente : m2 = 5

y – y1 = m(x – x1)

Y – 2 = 5 ( x +1)

Y – 2 = 5x + 5

0 = 5x – y + 3

Si las ecuaciones y = (7-2k)x+kx+5 e y =3-(4k-1)x, representan rectas paralelas.

Hallar el valor de k

Solución:

Entonces la ecuación

será

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Llamaremos L1 : y = (7-2k)x+kx+5

L2: y =3-(4k-1)x, y estas rectas don paralelas.

Las dos rectas están expresadas como ecuaciones punto pendiente ordenada en el origen.

Entonces: m1 = 7-2k+k = 7 –k

m2 = -(4k – 1) = 1 – 4k

Se igualan por ser paralelas: m1 = m2

7 –k = 1 – 4k

3k = -6 donde K = -2

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuación es

2x−5y=8.

Solución:

Llamaremos L2 a la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3) y es perpendicular a la recta

L1: 2x − 5y = 8.

Obtenemos la pendiente de la recta L1 : m1 = -A/B = -(2)/-5 = 2/5, como es perpendicular a L2, es la

pendiente invertida y opuesta : m2 = -5/2

Entonces la ecuación será

y – y1 = m(x – x1)

Y +3 = 2

5 ( x -7)

2Y + 6 = - 5x + 35

5x + 2y - 29 = 0

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1. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta 2x - y - 4 = 0 y pasa por el punto (-3,1).

Rpt: y=2x+7.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-3/4; -1/2), y paralela a la recta cuya ecuación es x +

3y =1.

Rpta: y = -1/3x – 3/4

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la recta g(x)=2 /3 x - 1.

Rpta: y=2/3 x - 11

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos

(-1,-3) y (-3,4).

Rpta: y=-7/2 x-12.

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,1) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos (-3,-2) y (-2,3).

Rpta: y=5x+16.

6. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-2) y es perpendicular a la recta x +3y -6 = 0.

Rpta 0=3x-y -5.

7. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,0) y es perpendicular a la recta x - 2y = 6.

Rpta: y=-2x-6.

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-2) y que es perpendicular ala recta que pasa por

(-3,-1) y (2,-3).

Rpta: y=2/5 x + 1/2.

Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. ALBERT EINSTEIN