ECUACIÓN LINEALCálculo de la pendiente de una recta

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2

Ecuación de la recta

Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta.

Grafiquemos L en el plano cartesiano:Tabla de valores Gráfico X Y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde

gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto

que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

y - x 4

3

Ecuación Principal de la Recta

Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0

Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.

Ecuación General 2x – y- 1 = 0

Despejemos “y” en términos de “x”

- y = - 2x + 1

Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo

-Y :-1 = (-2x + 1):-1

Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta.

Donde: m = 2 n= -1Importante

Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta

donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)

y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

4

En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1)

x

y

1 2 31

1

2

Pero ¿Qué son m y n ?

•¿Qué es la Pendiente en una recta?•¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta?•¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?

ENTONCES CONCLUYENDO

• Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y

(x2 ,y2 ),

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y2 – y1

x2 – x1

m =y2 – y1

x2 – x1

• la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas• y la diferencia de las abscisas

de los mismos puntos, es decir:

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y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

x=x2 - x1

y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

Ejemplo 1

• Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m = y2 – y1 =x2 – x1

14 – 2

9 – 7 =

122 = 6

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Ejemplo 2

• Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m = y2 – y1 =x2 – x1

-3 – 1

9 – (-5) =

-414 = -2

7

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Ejemplo 3

Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano:

En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta

(5,0)

(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)

x1 y1 x2 y2Identificamos los valores de x1 ,

y1 , x2 , y

2

Reemplazamos estos valores en la fórmula

m = y2 – y1

x2 – x1

0 – 4

5 – 0

-4 5

= =

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Ejemplos

• Ubique los puntos en el plano y determine la Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:pendiente de estos segmentos:

1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)

2.2. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)

3.3. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)

4.4. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

x

y

VERIFICAMOS LO OBTENIDO

E J E R C I C I O S

I) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos:A) (3 , -6) y (-2 , -2)B) (7 , -9) y (0 , -1)C) (-3 , -4) y el origenD) (3 , -4) y ( 2 , -6)

II) Encuentre la pendiente de la recta graficada en los siguientes planos:

A) B)

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Conclusiones

1.1. Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente

2.2. Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente

3.3. Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = = 0 0

4.4. Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen

pendiente definida. pendiente definida.

Ejemplo:

Un doctor compro un automóvil nuevo en

1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un

amigo en $26 000.Dibuje una recta que

muestre la relación entre el precio de venta

del automóvil y el año en que se vendió.

Determine e interprete la pendiente.

La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación de la recta 1.

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

Ecuación de la recta 3.

• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejercicios:

1. (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

m1 = m2

Rectas paralelas

• Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes soncuyas pendientes son mm11 yy

mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) ) si y sólo si tienen la si y sólo si tienen la

misma pendiente o si ambas son verticales .misma pendiente o si ambas son verticales .

Es decir:Es decir:

Rectas perpendiculares

• Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

• Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1

Ejercicios:

Determine la ecuación de la recta que satisfaga:

1. (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

Ejercicios:

Problemas de la pag. 134 -135:

11, 15, 32, 49, 58, 59, 62.

PC1 UPC 2006-1:Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y esperpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C?

PC1 UPC 2006-2:¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?

WEBGRAFÍA

Adaptado de:

• www.salesianosalameda.cl• beta.upc.edu.pe/matematica/.../Clase%202....

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