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Ejercicio nº 1.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta f x x

. 1 14

y x

Solución:

1'2

f xx

1 1 1La pendiente de la recta es 44 42

m xx

2,4Cuando yx La recta será:

1411

4124

412 xxxy

Ejercicio nº 2.-

Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Solución:

Recta tangente horizontal, implica pendiente m=0; luego f´(x)=0

2

2

2

22

2

2

234

2342

2322

'

xxx

xxxx

xxxxxf

0340340' 22 xxxxxf

6,3 Punto 3

2,1 Punto 1

224

212164

x

xx

Ejercicio nº 3.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Solución:

26' xxf Estudiamos el signo de la derivada:

3126026

31

6226026

31026

xxx

xxxx

xx

Fecha:

SOLUCIONES

.31 en mínimo un tieney ,

31 en crece ,

31, en decrece función La

x

Ejercicio nº 4.-

Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:

• La derivada no se anula en ningún punto.• La función es decreciente.• Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)

xflimxflimxx 22

;

• Tiene una asíntota horizontal en y 1. Además:

Si , 1Si , 1

x yx y

Solución:

Ejercicio nº 5.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

a ¿En qué puntos se anula la derivada?b ¿Cuáles son sus asíntotas?c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.

Solución: 3,0 en máximo unHay 30

00'a)

ff

b Asíntotas verticales: x 2, x 2

Asíntota horizontal: y 2

)c

xflimxflimxx 22

;

xflimxflimxx 22

;

Ejercicio nº 6.-

Estudia y representa la siguiente función:

xxxxf 44 23

Solución:

xxxlimxxxlimxx

44;44 2323

• Puntos de corte con los ejes:

0,2Punto 2

0,0Punto 0

0)44(44 eje el Con 223

x

x

xxxxxxX

Con el eje 0 0 Punto 0, 0Y x y

• Puntos singulares:

32

642

648

648648

0483' 2

x

xxxxxf

.2732,

32 y 0,2 Puntos

• Gráfica:

Ejercicio nº 7.-

Dada la función:

3

3

x

xxf

estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.

Solución:

• Dominio R {3}

Puntos de corte con los ejes:

00, Punto 003

30 eje el Con

xx

xyX

00, Punto 00 eje el Con yxY

• Asíntota vertical: x 3

3

3;3

333 x

xlimx

xlimxx


3 con ,3

3 con ,3

yxflim

yxflim

x

x


039

3393

3333'

222

xxxx

xxxxf

No tiene puntos singulares.

• Gráfica:

Ejercicio nº 8.-

Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos .:

x

xxf 23

Solución:

• Dominio R {0}


02020 eje el Con 3

3

xx

xyX

0;3,1 Punto 3,123 x

Con el eje Y No corta el eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;

• Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el deldenominador.

xflimxflimxx

;

• Puntos singulares:•

3,1 Punto 11010120'

12222323'

333

2

3

2

3

2

33

2

32

xxxxf

xx

xx

xxx

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 9.-

Dada la función

2

2 12x

xxf

estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.

Solución:

• Dominio R {0}


. eje al corta No0120 eje el Con 2 XxyX Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no pertenece al dominio.


xflimxflimxx 00

;

• Asíntota horizontal: x 2

2 con ,2

2 con ,2

yxflim

yxflim

x

x


0222442124'

344

33

22

22

xxx

xxxx

x

xxxxxf


• Gráfica:

Ejercicio nº 10.-

Estudia de la siguiente función dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.

12

3

xxxf

Solución:

• Dominio R


0,0 Punto 001

0 eje el Con2

3

xx

xyX

0,0 Punto 00 eje el Con yxY

• Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota oblicua:

oblicua asíntota es11 22

3xy

xxx

xx

.

asíntota. la de debajo por está curva La01

, Si2

xxx

asíntota. la de encima por está curva La01

, Si2

xxx


0,0 Punto 0030'

1

3

1

3

1

233

1

213'

22

22

22

22

24

22

424

22

322

xxxxf

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 11.-

Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

4

241

xf xx

Solución:

Dominio R {1, 1}

Puntos de corte con los ejes:

4,14040 eje el Con 44 xxyX

0;4,1 y 0;4,1Puntos 4,0 Punto 40 eje el Con y x Y

Asíntotas verticales: x 1, x 1

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11

;

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

24

22

35

22

535

22

423

1

422

1

842

1

8244

1

2414'

x

xxx

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxxf

21642

;042;042

4,0 Punto 0020'

2224 zzzzxxx

xxxf

No tiene solución

Gráfica:

Ejercicio nº 12.-

Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva fx 3x2 + x 1.

Solución:

' 6 1f x x

La pendiente de la recta es 7 6 1 7 1m x x .y,x 31 Cuando

La ecuación de la recta será:

47773173 xxxy

Ejercicio nº 13.-

Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Solución:

2

12420323963' 22 xxxxxy

263 Punto 3

61 Punto 1242 ,x

,x

Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:

193193 2323 xxxlimxxxlimxx

Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26).

Ejercicio nº 14.-

Dada la función:

f x x x32 6 1

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

Solución:

2' 6 6f x x Estudiamos el signo de la derivada:

6x2 6 0 x 16x2 6 > 0 x , 1 1, 6x2 6 < 0 x 1, 1

La función es creciente en , 1 y 1, y decreciente en (1, 1.

Ejercicio nº15.-

:siguiente lo conocemos que la de(x), función una tegráficamen Representa f

.41, en y 41, en anula se derivada Su No corta a los ejes.

xflimxflimxx 00

;

Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:

Solución:

Ejercicio nº 16.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos.b Puntos de corte con los ejes.c Ramas infinitas.d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Solución:

33, en mínimo unHay

3303a)

f'f

30, en máximo unHay 30

00

f'f

b) 4, 0 , 2, 0 , 3, 0 y 0, 3 .

)c

xflimxflimxx

;

) Decrece en , 3 y en 0, ; crece en 3, 0 .d

Ejercicio nº 17.-


xxxf 123

Solución:

xxlimxxlimxx

12;12 33


0,21 Punto 120,0 Punto 0

0,12 Punto 12 01212 eje el Con 23

xxx

xxxxX

Con el eje Y x = 0 y = 0


162, Punto2

162, Punto240123' 22

x

xxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 18.-


13

xxxf

Solución:

• Dominio R {1}


03, Punto 3030130 eje el Con

xxxxyX

3,0 Punto 31

30 eje el Con

yxY


xflimxflimxx 11

;


1con,1

1con,1

yxflim

yxflim

x

x


01

4

1

31

1

31'222

xxxx

xxxxf


• Gráfica:

Ejercicio nº 19.-


2

3

xxxf

Solución:

• Dominio R {2}


0,0 Punto 002

0 eje el Con3

xxxyX



xflimxflimxx 22

;

• Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador.

xflimxflimxx

;

• Puntos singulares

2

2

2

23

2

323

2

32

2

32

2

62

2

63

2

23'

xxx

xxx

xxxx

xxxxxf

2

0 Punto 0, 0' 0 2 3 0

3 Punto 3, 27

xf x x x

x

• Gráfica:

Ejercicio nº 20.-


4

22

2

xxxf

Solución:

• Dominio R {2, 2}


0,0 Punto 00204

20 eje el Con 22

2

xxx

xyX


• Asíntotas verticales: x 2, x 2

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

22

22

;

;


2 con ,2

2 con ,2

yxflim

yxflim

x

x


0,0 Punto 00160'

4

16

4

4164

4

2244'2222

33

22

22

xxxf

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 21.-


2

4 1x

xxf

Solución:

• Dominio R {0}


XxyX eje al corta no010 eje el Con 4 Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

xfxfxxlim;lim


3

4

4

4

4

5

4

55

22

423 121222224214'x

xxxx

xxx

xxxx

x

xxxxxf

2,1y 2,1 Puntos1 11010120' 4444 xxxxxf

• Gráfica:

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