Ecuacin de sptimo grado

Grfico de unpolinomiode grado 7, con 6puntos crticos.Enmatemticas, unaecuacin de sptimo gradoes laecuacinde la forma

donde a 0.Unafuncin de sptimo gradoofuncin spticaes unafuncinde la forma

donde a 0.Loscoeficientesa,b,c,d,e,f,g,hpueden ser tantonmeros enteros,nmeros racionales,nmeros reales,nmeros complejoso, ms generalmente, los miembros de cualquierconjunto.Debido a que tienen ungradoimpar, las funciones de sptimo grado parecen similares a las deterceroquintogrado al ser graficadas, excepto que pueden poseermnimos locales y mximos localesadicionales (hasta tres mximos y tres mnimos). Laderivadade una funcin sptica es unafuncin sxtica.ndice[ocultar] 1Soluciones 2Grupos de Galois 3Ecuacin de sptimo grado para el rea cuadrada de un pentgono o un hexgono cclico 4Vase tambin 5Referencias 6Enlaces externosSolucionesAlgunas ecuaciones de sptimo grado se pueden resolver por factorizacin en radicales, pero otras no se pueden resolver de esa forma.Evariste Galoisdesarroll tcnicas para determinar si una ecuacin dada podra ser resuelta por los radicales, lo que dio lugar al campo de lateora de Galois. Por mostrar un ejemplo de una ecuacin sptica irreducible pero solucionable, se puede generalizar lafrmula de De Moivrepara lasecuaciones de quinto gradoy obtener,,donde la ecuacin auxiliar es.Esto significa que la ecuacin sptica se obtiene mediante la eliminacin de u y v entre,y.En consecuencia, las sieteracesde la ecuacin son dadas por

dondekes cualquiera de las sieteraces de la unidad. Elgrupo de Galoisde esta ecuacin es el grupo resoluble mximo de orden 42. Esto es fcilmente generalizable a cualquier otro gradok, no necesariamenteprimo.Otra familia solucionable es,

cuyos miembros aparecen en la "Base de datos campos numricos" de Kluner. Su discriminante es,

Ntese qued= 467 tienenmero de claseh (d) = 7. El grupo de Galois de estas ecuaciones es elgrupo diedralde orden 14.La ecuacin de sptimo grado general puede ser resuelto congrupos de GaloisalternantesosimtricosA7orS7. Talesecuacionesrequierenfunciones hiperelpticasasociadas y lasfunciones thetadegnero3 para su solucin. Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas especficamente por los matemticos delsiglo XIXque estudian las soluciones de lasecuaciones algebraicas, debido a que las soluciones de lasecuaciones de sexto gradoya estaban al lmite de sus capacidades de computacin sincomputadoras.1Las ecuaciones de sptimo grado son las ecuaciones de orden ms bajo para las que no es obvio que sus soluciones se pueden obtener mediante la superposicin de funciones continuas de dos variables. Elproblema 13 de Hilbertera la conjetura de que esto no era posible en el caso general de ecuaciones de sptimo grado.Vladimir Arnoldresolvi esto en1957, lo que demostr que esto siempre es posible.2Sin embargo, Arnold en s consideraba que elgenuinoproblema de Hilbert consista en si las soluciones de estas ecuaciones se pueden obtener mediante la superposicinalgebraicade funciones de dos variables (el problema sigue estando abierto).3Grupos de Galois

Plano de Fano. Las ecuaciones spticas solubles por radicales tienen un grupo de Galois que es ya sea elgrupo cclicode orden 7, o el grupo didrico de orden 14 o un grupo metacclico de orden 21 o 42. El grupo de GaloisL(3, 2) (de orden 168) est formado por laspermutacionesde las 7 etiquetas de los vrtices que conservan las 7 "lneas" en el plano de Fano. Las ecuaciones spticas con este grupo de GaloisL(3, 2 ) requierenfunciones elpticaspero no funciones hiperelpticas para su solucin.1 De lo contrario, el grupo de Galois de una funcin sptica es ya sea elgrupo alternantede orden 2520 o elgrupo simtricode orden 5040.Ecuacin de sptimo grado para el rea cuadrada de un pentgono o un hexgono cclico[editar]El cuadrado de la superficie de un pentgono cclico es una raz de una ecuacin sptica cuyos coeficientes sonfunciones simtricasde los lados del pentgono.4Lo mismo es verdad para el cuadrado de la superficie de un hexgono cclico.5