13.Ecuación en derivadas parcialesEn matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables.1 O bien una ecuación que involucre una función matemática   de varias variables independientes   y las derivadas parciales de   respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

Flexión elástica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la acción de una carga vertical distribuida

uniformemente, que es solución de la ecuación de Lagrange de placas, la solución mostrada fue obtenida

numéricamente mediante Ansys.

Variación del perfil de temperaturas solución de la ecuación del calor en un problema bidimensional.

Introducción

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función   tiene la siguiente forma:

donde   es una función lineal de   y sus derivadas si:

Si   es una función lineal de   y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución generalde esta ecuación diferencial es:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función   puede determinarse si   se especifica sobre la línea x=0 .

Notación y ejemplos

En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como   para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como

 (notación matemática) (notación física)

Solución general y solución completa

Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Existencia y unicidad

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma

que para una EDP, que es analítica en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.2 Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

con condiciones iniciales

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o mal definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Clasificación de las EDP de segundo orden

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Ecuación Nombre Tipo

Laplace Elíptica

Onda Hiperbólica

Difusión Parabólicas

Helmholtz Elíptica

Triangulo hechado es el laplaciano

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

(*)

Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz:

En función del determinante la ecuación (*):

se dice que es elíptica si la matriz Z tiene un determinante mayor a 0. se dice que es parabólica si la matriz Z tiene un determinante igual a 0. se dice que es hiperbólica si la matriz Z tiene un determinante menor a 0.

Nombres de objetos de la geometría analítica y se llaman cónicas.

EDP de orden superior

Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexión mecánica  de una placa elástica:

Vibración  flexional de una viga:

Ecuación de Korteweg-de Vries , que tiene soluciones de tipo solitón,

EDP.- MÉTODO DE LAGRANGE

Ej.- Resolver (x2 + y2 )zx +2xyzy = 2x

dx/(x2 +y2 )= dy/2xy = dz/2x

método de las bandas características (buscar) u(x,y)

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Diferencia finitaUna diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Diferencias finitas centradas y laterales

Diferencias finitas.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el límite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas

La derivada de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en

Por lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es:

La misma fórmula es válida en la diferencia anterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder   con su derivada  , es decir, 

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de órdenes mayores

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de   para   y   y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de   en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas                        El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución

aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos. Es de una gran

sencillez conceptual y constituye un procedimiento muy adecuado para la resolución de una ecuación

bidimensional como la que hemos planteado.

                        El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del plano en el

que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada. Los puntos de la malla están

separados una distancia h en ambas direcciones x e y.

Podemos desarrollar T(x,y) en serie de Taylor alrededor de un punto:

                                     (11)

                                       (12)

                  

Sumando miembro a miembro, agrupando, despreciando los términos o(h3) y despejando el

término de la derivada segunda resulta:

                                                                   (13)

                  

De forma similar se obtiene la expresión equivalente:

                                                                   (14)

                   Pero de la ecuación de Laplace:

                                                                                                     (15)

 

por lo tanto:  

                                

            Lo que significa que el valor de la temperatura en un punto se puede escribir como la media de las

temperaturas de los 4 puntos vecinos.

 

Discretización del dominio 

Para obtener la solución numérica de una ecuación diferencial en derivadas parciales utilizando el MDF se debe, como primer paso, discretizar el dominio.

Para ello, el dominio continuo del problema en estudio es reemplazado por una malla. Las intersecciones de las líneas que constituyen la malla son denominadas nodos y es en donde se calcula la solución numérica de la ecuación diferencial parcial.

Así, por ejemplo, para discretizar el dominio D(x,t) de un problema de propagación unidimensional se deberán definir los tamaños de paso tanto temporal como espacial. Estos tamaños de paso son determinados por medio de las expresiones:

donde Nx y Nt son dos números enteros positivos, L es la longitud del dominio espacial y tf indica el tiempo final en que se estudia el problema en cuestión.

La división del dominio espacial en Nx+1 partes iguales de ancho hx, y del dominio temporal en Nt+1 partes iguales de “ancho” ht, da como resultado la discretización del dominio al trazar líneas verticales y horizontales a través de los puntos de coordenadas (xi; tj), donde:

 

Aproximaciones en diferencias finitas

 

El próximo paso para la resolución numérica de una ecuación diferencial parcial utilizando el MDF es el reemplazo de las derivadas continuas de la ecuación diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. Esto se logra utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la variable dependiente alrededor de un punto particular de la malla. Para ello, la variable dependiente en un nodo de la malla es indicada utilizando como subíndice y superíndice los índices que se utilizan para denotar dicho nodo. Así, por ejemplo, la función T(x, t) en el nodo (i;j) es expresada de la siguiente manera:

Para ejemplificar el procedimiento de aproximación, se considerará la derivada parcial de primer orden de la función T con respecto al tiempo. Para ello, se utilizará el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evaluará en (xi; tj+1). De esta manera se obtiene:

donde Rm+1 es el término residual que está dado por:

El término residual Rm+1 es el error asociado con el truncamiento de la serie de Taylor. Es importante conocer el orden de dicho error, es decir, conocer la forma en que el error tiende a cero cuando ht → 0. Como se puede observar, el término residual Rm+1 depende de htm+1, por lo tanto, cuando ht → 0, el error tenderá a cero como htm+1.

En consecuencia, el orden de truncamiento de la serie de Taylor para aproximar Ti

j+1 es m+1. Esto es indicado con el símbolo O(htm+1).

Si se despeja la derivada parcial de primer orden de la función T con respecto al tiempo resulta:

donde

En particular, si se escribe el desarrollo en serie de Taylor de primer orden, entonces, la expresión anterior está dada por:

donde el término de error es:

Una aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden se obtiene despreciando el término de error:

El término de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamiento de la aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden de la función T. La aproximación recién obtenida es de primer orden y es llamada aproximación de diferencias progresivas.

Del mismo modo, puede conseguirse una aproximación de diferencias regresivas de primer orden. Para ello, se escribe el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evalúa en (xi; tj-1).

Para poder obtener una aproximación en diferencias finitas para la derivada parcial de segundo orden de la función T con respecto al espacio, es necesario escribir el desarrollo en serie de Taylor de T de orden tres en (x i; tj). Evaluando dicho desarrollo en (xi-1; tj) y en (xi+1; tj) se obtiene:

Despreciando el término de error, se obtiene una aproximación de diferencias finitas de segundo orden:

Esta aproximación es denominada de diferencias centradas. Trabajando de manera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferencias finitas:

 

Solución en diferencias finitas 

La solución en diferencias finitas de una ecuación diferencial parcial se obtiene al reemplazar cada una de las derivadas parciales exactas en la ecuación diferencial por su correspondiente aproximación en diferencias finitas. De esta manera, es posible discretizar la ecuación diferencial parcial.

Al aplicar la ecuación discretizada en cada punto de la malla se obtiene un sistema de ecuaciones denominado sistema de ecuaciones de diferencias finitas. El proceso de aproximación requiere de la selección de un método adecuado para obtener la solución del sistema de ecuaciones algebraicas planteado. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones de diferencias finitas se obtiene el valor de la función en los nodos de la malla, es decir, que al emplear el método de diferencias finitas se obtiene una solución aproximada discreta.

 

Ecuaciones diferenciales parciales elípticas 

Los problemas gobernados por ecuaciones diferenciales parciales (EDP) elípticas presentan curvas características complejas. Físicamente, esto implica que no hay trayectorias preferidas en la propagación y que el dominio de dependencia y el rango de influencia de cada punto es el dominio entero de la solución. Es decir, la

solución de cada punto depende e influye en la solución de todos los demás puntos, incluyendo la frontera. La solución es continua y el dominio de solución es cerrado para una EDP elíptica, el cual es ilustrado esquemáticamente por medio de la siguiente figura.

Las propiedades básicas del MDF para resolver problemas que han alcanzado un equilibrio serán descriptos en esta sección. Para ello, se debe superponer una malla finita sobre el dominio continuo de la solución y elegir aproximaciones por diferencias finitas para cada derivada parcial que aparece en la EDP. Al sustituir estas aproximaciones en la EDP, la transforman en una ecuación de diferencias finitas (EDF) algebraica. Como se mencionó, la solución en cada punto de una EDP elíptica depende de la solución de todos los demás puntos, incluyendo la frontera. Así, la EDF para la solución de cada punto se acopla a las ecuaciones de diferencias finitas del resto de los puntos. Por lo tanto, un sistema de ecuaciones de diferencias finitas se debe resolver simultáneamente. Estos métodos se llaman métodos implícitos, porque la solución en cada punto está implícitamente especificada en función de las soluciones desconocidas en los puntos vecinos.

Dos EDP elípticas importantes gobiernan los problemas de conducción de calor:

Se puede observar que la ecuación de Poisson es la ecuación de Laplace no homogénea.

La solución de estas ecuaciones es una función de la forma T(x,y,z). Esta función debe también satisfacer las condiciones que se imponen sobre los bordes del

dominio físico. Las condiciones que se establecen en la frontera pueden ser de dos tipos:

 

Ecuación de Laplace

 

Se considerará la ecuación de Laplace en el espacio bidimensional:

en R = {(x,y) / a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d}, con T(x,y) = g(x,y) para (x,y) Є S, donde S denota la frontera en R.

Para obtener la solución numérica de la ecuación de Laplace, se debe como primer paso seleccionar los enteros Nxy Ny, y definir los tamaños de paso en ambas direcciones mediante las expresiones:

 

La división del intervalo [a,b] en Nx + 1 partes iguales de ancho hx, y del intervalo [c;d] en Ny + 1 partes iguales de ancho hy, da como resultado una malla en el rectángulo R al trazar líneas verticales y horizontales a través de los puntos con coordenadas (xi; yj), donde:

Las líneas x = xi e y = yj son líneas de la malla, y sus intersecciones son los nodos de la malla. En cada nodo interior de la malla (xi; yj) con i= 1, 2, …, Nx y j= 1, 2, …, Ny, se utilizará el desarrollo de la serie de Taylor en la variable x alrededor de xi y en la variable y alrededor de yj para generar las respectivas fórmulas de diferencias centrales:

El uso de estas aproximaciones permite expresar la ecuación de Laplace en los puntos (xi; yj) como:

para toda i= 1, 2, …, Nx y j= 1, 2, …, Ny, y las condiciones de frontera como:

La ecuación anterior puede escribirse de la forma:

donde Eij es el error de truncamiento de la aproximación por diferencias finitas de la

ecuación diferencial parcial:

El error de truncamiento Eij, es de segundo orden en hx y hy. Multiplicando la

expresión en diferencias por hx2, resulta:

donde

y eij es el error de discretización de la ecuación de diferencias finitas:

Despreciando el error de discretización eij, la expresión que proporciona la

ecuación de diferencias finitas de cinco puntos para la ecuación de Laplace es:

que puede escribirse:

La naturaleza implícita de la ecuación de diferencias finitas aparece en la igualdad anterior. La solución de cada nodo de la malla depende de la solución de los cuatro nodos vecinos, los que son desconocidos hasta que la solución completa es obtenida. El comportamiento implícito de la ecuación de diferencias finitas es usual en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas, las cuales gobiernan problemas físicos de equilibrio.

En el caso especial de que hx = hy y β = 1, las igualdades anteriores toman la forma:

Aunque no hay una ventaja matemática formal cuando β es la unidad, valores de β cercanos a la unidad tienden a producir soluciones más aproximadas.

Por lo tanto, la solución de una ecuación diferencial parcial por diferencias finitas es obtenida cuando se resuelven las ecuaciones de diferencias finitas para cada punto en el dominio de solución.

 

Derivadas en las condiciones de frontera

 

La ecuación de Laplace tratada anteriormente, cuya solución numérica fue obtenida por medio del método de diferencias finitas, presentaba condiciones de Dirichlet en la frontera, es decir, se especificaban valores de T(x,y) en los bordes. Ahora, se mostrará un procedimiento que se implementa cuando se conocen las derivadas en los bordes, es decir, cuando las condiciones de frontera son de Neumann.

La aproximación que se aplicará es la ecuación de diferencias finitas del punto interior en el punto frontera.

 

Ecuación de diferencias finitas del punto interior

 

En primer lugar, se debe aplicar la ecuación de diferencias finitas del punto interior (EDF) en el punto de la malla (i, j) sobre el borde del dominio que presenta la condición de Neumann, como se ilustra en la figura.

 La EDF es:

donde el último término es el error de discretización.

El punto de la malla (i+1, j) está fuera del dominio de solución, por lo tanto Ti+1

j no está definido. Sin embargo, un valor para Ti+1j puede ser determinado a partir

de la condición de Neumann establecida sobre ese borde del dominio.

Las aproximaciones por diferencias finitas empleadas para las derivadas espaciales son de segundo orden. Por lo tanto, es aconsejable utilizar una aproximación de diferencias finitas centradas de segundo orden para la condición de frontera de Neumann, para que el error de truncamiento sea del mismo orden que el de las aproximaciones para las derivadas espaciales. Así,

Despejando Ti+1j resulta:

Despreciando el término de error de la desratización, la ecuación que se obtiene es:

para  i= Nx + 1 y j= 1, 2, …, Ny. 

EcuacionesDiferenciales parciales   parabólicas  

Los problemas de propagación son problemas con condiciones iniciales y de frontera en dominios abiertos (abierto con respecto a una de las variables independientes) en los cuales la solución en el dominio de interés se obtiene partiendo del estado inicial, y es guiada y modificada por las condiciones de frontera. De esta manera, la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n depende de la solución de todos los puntos del dominio en todos los tiempos que preceden, incluyendo el nivel de tiempo n, y la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n influye en la solución de todos los puntos del dominio en todos los tiempos posteriores al nivel de tiempo n, incluyendo a este último. Lo explicado se ilustra en la siguiente figura.                         

           

 

Los métodos de diferencias finitas, en los cuales la solución en un punto P en el nivel de tiempo n+1 depende solamente de la solución en los puntos vecinos del nivel de tiempo n, son llamados métodos explícitos, porque la solución en cada punto es especificada explícitamente en función de la solución conocida de los puntos vecinos en el nivel de tiempo n. En cambio, los métodos de diferencias finitas en los cuales la solución en el punto P en el nivel de tiempo n+1 depende de la solución en los puntos vecinos en el nivel de tiempo n+1, reciben el nombre de métodos implícitos, porque la solución en cada punto se especifica en términos de la solución desconocida en los puntos vecinos en el nivel de tiempo n+1. Tales métodos agrupan las ecuaciones de diferencias finitas en el nivel de tiempo n+1, formando de esta manera un sistema de ecuaciones, que debe resolverse en cada nivel de tiempo. El procedimiento de solución en cada nivel de tiempo es análogo al procedimiento de solución para las EDP elípticas. Cabe destacar, que los métodos explícitos requieren un esfuerzo computacional menor, ya que no hay sistemas de ecuaciones para resolver.

Una importante EDP parabólica gobierna los problemas de conducción de calor: la ecuación de difusión.

Ecuación de difusión

 

La ecuación de difusión describe procesos físicos disipativos dependientes del tiempo, que evolucionan hacia un estado estable.

La ecuación de difusión en una dimensión está dada por:

donde T es la temperatura (ºC) y a la difusividad térmica(cm2/s).

La solución de esta ecuación es una función T(x,t). Como la ecuación de difusión unidimensional es de segundo orden con respecto a la coordenada espacial x, son requeridas dos condiciones de frontera. Estas condiciones pueden ser de Dirichlet o de Neumann. Además, esta función debe satisfacer la condición inicial en t=0, T(x,0)= f(x). La coordenada temporal no presenta un valor final específico.

A continuación, se explicarán tres métodos de diferencias finitas que permiten obtener una solución aproximada para la ecuación de difusión:

• Método de tiempo progresivo - espacio centrado

• Método de tiempo regresivo - espacio centrado

• Método de Crank - Nicolson

 

Método de tiempo progresivo – espacio centrado

 

La solución numérica de una ecuación diferencial parcial se obtiene al reemplazar cada una de las derivadas parciales exactas por sus respectivas aproximaciones por diferencias finitas. A continuación, se resolverá numéricamente la ecuación de difusión en una dimensión por el método de tiempo progresivo – espacio centrado.

En el método de tiempo progresivo – espacio centrado, el punto fundamental para la aproximación por diferencias finitas de la ecuación diferencial parcial es el punto (i,j). La ecuación de diferencias finitas se obtiene al sustituir la derivada temporal por la aproximación de diferencias progresivas de primer orden y la derivada espacial por la aproximación de diferencias centradas de segundo orden:

Para obtener la solución numérica de la ecuación de difusión, se deben seleccionar los enteros Nx y Nt y definir los tamaños de paso, tanto el temporal como el espacial en la dirección x, mediante las expresiones:

El uso de las aproximaciones anteriores permite expresar la ecuación de onda en los puntos (xi; tj) como:

para toda i= 1, 2, …, Nx y j= 0, 1, 2, …, Nt, y las condiciones inicial y de frontera como:

La ecuación anterior puede escribirse de la forma:

donde Eij es el error de truncamiento de la aproximación por diferencias finitas de la

ecuación diferencial parcial.

Despreciando el error de truncamiento Eij, la ecuación en diferencias puede ser

resuelta explícitamente para Tij+1 mediante la siguiente expresión:

donde d es el número de difusión, y está definido por:

La condición T(x, 0)= f(x) para 0 ≤ x ≤ L, permite determinar los valores de los nodos de la forma Ti

0, para cada i (i= 1, 2, …, Nx). Si se utilizan estos valores y las condiciones de frontera que determinan que Ti

1 = TNx1 = 0, se pueden establecer los

valores de la forma Ti1. Si se vuelve a aplicar el procedimiento una vez conocidas

todas la aproximaciones Ti1, se pueden obtener en forma semejante los valores Ti

2 y así sucesivamente.

Cabe destacar que la aproximación de tiempo progresivo – espacio centrado es condicionalmente estable, sólo converge si:

Esta restricción, en principio matemática, tiene su justificación en bases físicas. Un valor de d > 0,5 conduciría a obtener resultados que violan principios de la Termodinámica. Si la temperatura en nodos adyacentes al nodo i,j es la misma en el instante inicial, al cabo de cierto tiempo la temperatura en el nodo i,j no puede ser menor que la de los nodos adyacentes, pues el calor fluiría espontáneamente hacia arriba en la escala de temperaturas, violando el enunciado de Clausius del Segundo Principio de la Termodinámica.

 

Método de tiempo regresivo – espacio centrado

 

El método de tiempo progresivo – espacio centrado es un ejemplo de un método explícito de diferencias finitas, en el cual las aproximaciones de diferencias finitas de las derivadas parciales exactas en la ecuación diferencial son evaluadas teniendo en cuenta el nivel de tiempo conocido n, es decir, la solución en un punto en el nivel de tiempo n+1, puede ser expresada explícitamente en términos de la solución conocida en el nivel de tiempo n. Si bien el método de tiempo progresivo – espacio centrado presenta ciertas ventajas, la principal debilidad es que es condicionalmente estable. De esta manera, el paso de tiempo que se permite es generalmente pequeño, y la cantidad de esfuerzo computacional que se requiere para obtener la solución de algunos problemas es prohibitiva. Por esta razón, es necesario un procedimiento para evitar la limitación del tamaño del paso temporal.

Los métodos implícitos de diferencias finitas son los que solucionan el inconveniente planteado. En los métodos implícitos, las aproximaciones por diferencias finitas de las derivadas parciales exactas en la ecuación diferencial parcial son evaluadas en el nivel de tiempo n+1. Afortunadamente, los métodos de diferencias finitas implícitos son incondicionalmente estables. Es decir, no hay un límite en el tamaño del paso temporal para que la solución sea numéricamente estable. Por supuesto, hay un cierto límite práctico en el paso temporal requerido para mantener los errores de truncamiento dentro de límites razonables, pero esta no es una consideración de la estabilidad sino de la precisión.

No obstante, los métodos implícitos presentan algunas desventajas. Una de ellas es que la solución en un punto en un determinado nivel de tiempo depende de la solución de los puntos vecinos de ese nivel de tiempo, que es también desconocida.

Por lo tanto, la solución se expresa en función de otras soluciones que no se conocen, y se debe resolver un sistema de ecuaciones para obtener la solución en cada nivel de tiempo. No obstante, la estabilidad incondicional hace que los métodos de diferencias finitas implícitos sean muy utilizados.

Uno de los métodos implícitos que permite resolver numéricamente la ecuación de difusión es el método de tiempo regresivo – espacio centrado.

Para resolver la ecuación de difusión unidimensional utilizando el método de tiempo regresivo – espacio centrado, la derivada temporal se sustituye por la aproximación de diferencias regresivas de primer orden y la derivada espacial por la aproximación de diferencias centradas de segundo orden:

Para obtener la solución numérica de la ecuación de difusión, se deben seleccionar los enteros Nx y Nt y definir los tamaños de paso, tanto el temporal como el espacial en la dirección x, mediante las expresiones ya definidas.

De esta manera, la ecuación de difusión en los puntos (xi, tj) se expresa como:

para toda i= 1, 2,…, Nx y j= 1, 2,…, Nt+1, y las condiciones inicial y de frontera como:

La ecuación anterior puede escribirse de la forma:

donde Eij es el error de truncamiento de la aproximación por diferencias finitas de la

ecuación diferencial parcial.

Despreciando el error de truncamiento Eij de la ecuación en diferencias finitas se

obtiene:

donde d es el número de difusión.

Esta ecuación no puede ser resuelta explícitamente para Tij, porque dos valores

vecinos desconocidos, Ti-1j y Ti+1

j , también aparecen en la ecuación. Las ecuaciones de diferencias finitas en las cuales el valor desconocido Ti

j se expresa en términos de sus vecinos desconocidos, constituyen un sistema de ecuaciones de diferencias finitas que deben resolverse simultáneamente.

 

Método de Crank – Nicolson

 

El método de tiempo regresivo – espacio centrado, si bien presenta la ventaja de ser incondicionalmente estable, emplea aproximaciones de distintos órdenes para la derivada espacial y temporal. Una mejora obvia sería emplear aproximaciones del mismo orden para ambas derivadas.

Así, un método que presenta esta mejora se deriva al promediar el método de diferencias progresivas en el j-ésimo paso en t y el método de diferencias regresivas en el (j+1)-ésimo paso. Este método se denomina de Crank – Nicolson y es incondicionalmente estable.

 

Por lo tanto, el resultado de la aproximación por diferencias finitas de la ecuación de difusión en una dimensión es:

Reacomodando los términos de la expresión

anterior, resulta:

para i= 1, 2,…, Nx y j= 0, 1, 2,…, Nt, donde d es el número de difusión.

 

Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas 

Las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas son ecuaciones que describen procesos físicos conservativos dependientes del tiempo, que no evolucionan hacia un estado estable. Estos problemas presentan condiciones iniciales y de frontera en dominios abiertos, en los cuales la solución en el dominio de interés se obtiene partiendo del estado inicial, y es guiada y modificada por las condiciones de frontera. De esta manera, la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n depende sólo de la solución de determinados puntos en todos los tiempos que preceden y la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n influye en la solución de ciertos puntos en todos los tiempos posteriores al nivel de tiempo n. Lo explicado se ilustra en la siguiente figura.

 

 

Una importante EDP hiperbólica es la ecuación de onda.

A continuación, se presentará un método numérico explícito que permite resolver la ecuación de onda unidimensional.

 

Ecuación de onda

 

La ecuación de onda en una dimensión está dada por:

donde U es el desplazamiento vertical de cualquier punto x en el instante t  y a la velocidad de propagación de la onda (cm2/s).

La solución de esta ecuación es una función U(x,t). Como esta ecuación es de segundo orden con respecto a la coordenada espacial x, dos condiciones de frontera son requeridas. Estas condiciones pueden ser de Dirichlet o de Neumann. Además, esta función debe satisfacer las condiciones iniciales en t=0:

La coordenada temporal no presenta un valor final específico.

 

Método explícito

 

La solución numérica de la ecuación de onda se obtiene al reemplazar cada una de las derivadas parciales exactas por sus respectivas aproximaciones por diferencias finitas.

La ecuación de diferencias finitas se obtiene al sustituir tanto la derivada temporal como la espacial por una aproximación de diferencias centradas de segundo orden:

Para obtener la solución numérica de la ecuación de onda, se deben seleccionar los enteros Nx y Nt y definir los tamaños de paso, tanto el temporal como el espacial en la dirección x, mediante las expresiones:

El uso de las aproximaciones de diferencias permite expresar la ecuación de onda en los puntos (xi; tj) como:

y las condiciones iniciales y de frontera como:

La ecuación discretizada puede escribirse de la forma:

donde Eij es el error de truncamiento de la aproximación por diferencias finitas de la

ecuación diferencial parcial. Despreciando el error de truncamiento, la ecuación anterior puede ser resuelta explícitamente para Ui

j+1 mediante la siguiente expresión:

donde σ2 es el número de convección, y está definido por:

Si se analiza la expresión en diferencias finitas se puede concluir que para establecer la solución en la capa temporal j+1 se necesita conocer el valor de la función en las dos capas temporales anteriores (j y j-1). Por lo tanto, es necesario determinar los valores de la función en los dos primeros instantes de tiempo utilizando las condiciones iniciales para poder calcular los valores de la función en las restantes capas temporales.

La condición U(x,0) = f(x) para 0 ≤ x ≤ L, permite

determinar los valores de los nodos de la forma Ui0:

Para obtener la solución numérica en la primera capa temporal, se escribirá el desarrollo en serie de Taylor de U en (xi;0) y se lo evaluará en (xi, ht):

Despreciando el término de error y teniendo en cuenta que:

y que por la ecuación diferencial,

resulta:

Por lo tanto:

Utilizando los valores Ui1 y las condiciones de frontera e inicial, se pueden

establecer los valores de la forma Ui2. Si se vuelve a aplicar el procedimiento una vez

conocidas todas la aproximaciones Ui2, se pueden obtener en forma semejante los

valores Ui3 y así sucesivamente.

Cabe destacar que la aproximación empleada es condicionalmente estable, sólo converge si:

 

Consistencia, orden, estabilidad y convergencia Hasta el momento se resolvieron numéricamente algunos problemas sencillos

utilizando el método de diferencias finitas. No obstante, es necesario efectuar algunas preguntas básicas con respecto a las ecuaciones discretizadas:

        ¿Qué condiciones se le debe imponer a un esquema numérico para obtener una aproximación aceptable del problema diferencial?

        ¿Por qué dos esquemas simples pueden tener comportamientos completamente diferentes?

        ¿Cómo se puede obtener información cuantitativa sobre la precisión de la aproximación numérica?

Para proporcionar respuestas a estas preguntas es necesario definir con cuidado los requisitos que debe verificar un esquema numérico. Estos requisitos son definidos como consistencia, orden, estabilidad y convergencia.

La anterior figura muestra esquemáticamente que la consistencia hace referencia a la relación entre la ecuación diferencial y su formulación discreta, la convergencia establece la relación entre la solución numérica y la solución exacta de la ecuación diferencial, mientras que la estabilidad determina la relación entre la solución numérica y la solución exacta de la ecuación discretizada.

A continuación, se realizará un análisis detallado de cada uno de los conceptos mencionados.

 

Consistencia y orden

 

Un método es consistente con la ecuación diferencial parcial si la ecuación discreta usada por el método es equivalente a la ecuación diferencial cuando el tamaño de paso tiende a cero.

Otra forma de definir la consistencia de un método es la siguiente:

La ecuación de diferencias es consistente con una ecuación diferencial parcial si el error de truncamiento local tiende a cero cuando los tamaños de los pasos en la red de puntos se aproximan a cero.

Cuando los errores de truncamiento local de las aproximaciones por diferencias de las derivadas parciales exactas son conocidos, la comprobación de la consistencia es directa. En cambio, cuando los mencionados errores no se conocen, se debe analizar la ecuación de diferencias completa para la consistencia. Esto se logra cuando se expresa cada término en la ecuación de diferencias por un desarrollo de la serie de Taylor alrededor del punto de la malla (i, j). La ecuación resultante, llamada ecuación diferencial modificada, puede ser entonces simplificada para proporcionar la forma exacta del error de truncamiento de la ecuación de diferencias completa. Por lo tanto, la ecuación diferencial modificada difiere de la ecuación diferencial parcial exacta por el error de truncamiento.

De esta manera, se puede concluir que la ecuación diferencial modificada puede ser usada para determinar la consistencia y el orden de un esquema numérico.

El orden de una solución por diferencias de una ecuación diferencial parcial es la razón a la que el error global de la solución por diferencias finitas se aproxima a cero cuando los tamaños de los pasos en la red de puntos tienden a cero.

A modo de ejemplo, se mostrará el análisis de consistencia de la aproximación de diferencias finitas de cinco puntos para la ecuación de Laplace cuando hx = hy.

Esta ecuación puede ser reordenada de la siguiente manera:

Escribiendo la serie de Taylor alrededor del punto (i, j) para todos los valores de T(x,y) que aparecen en la ecuación anterior, se tiene:

Eliminando la notación |ij para mayor claridad y sustituyendo estas expresiones

en la ecuación (*) resulta:

Cancelando los términos de orden cero, dividiendo el primer miembro por hx2 y el segundo por hy2 (hx= hy) y reacomodando los términos, se obtiene la ecuación diferencial modificada:

Cuando hx → 0 y hy → 0, la ecuación diferencial modificada se aproxima a:

que es la ecuación de Laplace. Por lo tanto, la aproximación de diferencias finitas de cinco puntos es una aproximación consistente de la ecuación de Laplace.

El orden de la ecuación de diferencias está dado por el orden más bajo de los términos que aparecen en la ecuación diferencial modificada. Por lo tanto, esta  aproximación es de orden O (hx

2) + O(hy2).

Como se puede observar, el orden de una ecuación de diferencias finitas coincide con el orden de los términos del error de truncamiento en la aproximación de diferencias finitas de las derivadas parciales exactas en la ecuación diferencial.

 

Estabilidad

 

Cuando una ecuación diferencial parcial tiene una solución acotada, se dice que la ecuación de diferencias asociada es estable si produce una solución acotada y es inestable si produce una solución no acotada.

El concepto de estabilidad está relacionado con el crecimiento o decrecimiento de los errores que se introducen en la etapa de cómputo. Estos errores no son producidos por una lógica incorrecta sino que se originan porque las computadoras no pueden almacenar un número infinito de cifras decimales, introduciendo de esta manera un error de redondeo.

Un método particular se dice que es estable si el efecto acumulativo de todos los errores de redondeo producidos al aplicar un determinado algoritmo es insignificante. Más específicamente, el error introducido en el nodo  está dado por:

donde ˙Tij es la solución numérica del sistema de ecuaciones algebraicas.

Usualmente, no es posible determinar el valor exacto del error numérico ξ ij en el

nodo (i, j). No obstante, pueden ser estimados usando ciertos métodos estándares, los cuales no serán discutidos. En la práctica, la solución numérica es generalmente más precisa que las estimaciones efectuadas mediante esos métodos estándares debido a que en los análisis de estabilidad se considera el caso más desfavorable.

El primer paso en el análisis de la estabilidad de una ecuación de diferencias finitas que aproxima a una ecuación diferencial parcial, es determinar el comportamiento de la solución exacta de la ecuación diferencial parcial. La solución de la mayoría de los problemas físicos es acotada. Por lo tanto, en estos casos, la solución de la ecuación de diferencias finitas también debe ser acotada. Si la solución de la ecuación de diferencias finitas es acotada para cualquier valor de tamaño de paso que se utilice, se dice que la ecuación de diferencias finitas es incondicionalmente estable. En cambio, si la ecuación de diferencias finitas es acotada solamente para determinados tamaños de paso, la ecuación de diferencias finitas es condicionalmente estable. Si la solución de la ecuación de diferencias finitas es no acotada para todos los valores de tamaño de paso, entonces la ecuación de diferencias finitas es incondicionalmente inestable. Y si la solución exacta de una ecuación diferencial parcial es no acotada, la ecuación de diferencias finitas también deber ser no acotada. En este caso, el concepto de estabilidad no se aplica, porque la solución numérica se comporta de la misma manera que la solución exacta.

 

Convergencia

 

Un método de diferencias finitas es convergente si la solución de la ecuación de diferencias finitas se aproxima a la solución exacta de la ecuación diferencial parcial cuando los tamaños de los pasos en la malla tienden a cero.

Si Tij denota la solución exacta de la ecuación diferencial parcial, ˙Ti

j representa la solución aproximada por diferencias finitas y ei

j la diferencia entre ellos, se puede definir a la convergencia de la siguiente manera:

cuando los tamaños de los pasos tienden a cero.

La solución exacta del sistema de ecuaciones algebraicas es la solución aproximada de la ecuación diferencial parcial, la cual es obtenida cuando ningún error numérico se presenta durante su cómputo. De esta manera, la magnitud del

error en cada nodo depende del tamaño de la malla y de los valores de las derivadas de mayor orden en ese nodo, omitidos en las aproximaciones por diferencias finitas.

La prueba de que una solución aproximada converge a la solución exacta de una ecuación diferencial parcial es generalmente muy difícil, aún en los casos más simples. Por esta razón, se relaciona la convergencia de un método de diferencias finitas con la consistencia y estabilidad de la ecuación de diferencias finitas, puesto que demostrar la consistencia y estabilidad es relativamente fácil.

El teorema de equivalencia de Lax enuncia: Dado un problema lineal de valor inicial correctamente planteado y una aproximación de diferencias finitas consistente, la estabilidad de la misma es condición necesaria y suficiente para su convergencia.

De esta manera, la convergencia de un método de diferencias finitas puede ser determinada por medio de un estudio de la consistencia y estabilidad de la ecuación de diferencias finitas. Si la ecuación de diferencias finitas es consistente y estable, entonces el método es convergente.