Ecuación general de segundo grado con tres variables

De considerable importancia para el desarrollo del siguiente tema es la ecuación general de segundo grado con tres variables

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+ Iz=K

En donde uno, por lo mendo es de los seis primeros coeficientes es diferente de cero. A este tipo de ecuaciones se le llaman superficie cuádrica.

Se demuestra en tratados avanzados que mediante una transformación apropiada de coordenadas, se puede trasformar la ecuación de manera que tome una de las dos formas tipo:

Mx2+Ny2+Pz2=R

Mx2+Ny2=Sz

Las superficies como la primera ecuación tienen un centro de simetría, el origen y por esto se llaman cuádrica con centro. Las superficies de la otra forma no tiene centro de simetría y se llaman por lo tanto, cuádrica sin centro.

Clasificación de las cuádrica

Mx2+Ny2+Pz2=R

Coeficientes Lugar GeométricoR M.N,P>0 Todos positivos

Todos negativosDos positivos, uno negativoUno positivo, dos negativosUno cero, dos positivosUno cero, dos negativosUno cero, un positivo, un negativoDos ceros, uno positivoDos ceros, uno negativo

ElipsoideNingún lugar geométricoHiperboloide de una hojaHiperboloide de dos hojasCilindro elíptico (o circular) rectoNingún lugar geométricoCilindro hiperbólico rectoDos planos paralelos diferentesNingún lugar geométrico

=0 Todos del mismo signoDos positivos, uno negativoUno cero, dos del mismo signoUno cero, dos de signos contrariosDos ceros

Un solo punto (el origen)Cono rectoTodos los puntos sobre un eje coordenadoDos planos que se cortanUn plano coordenado (dos planos coincidentes)

Mx2+Ny2=Sz

Coeficientes Lugar GeométricoS M.N>0 Del mismo signo

De signos contrariosUno cero

Paraboloide elípticoParaboloide hiperbólicoCilindro parabólico recto

=0 Del mismo signoDe signos contrariosUno cero

Todos los puntos sobre un eje coordenadoDos planos que se cortanUn plano coordenado (dos planos coincidentes)

Cuando R<0 y S<0 se invierten los signo de los coeficientes M, N y P: los lugares geométricos correspondientes estarán dados entonces para R>0 y S>0

Cuádricas con centro: vamos a considerar ahora las cuádricas con centro, representadas por la ecuación

Mx2+Ny2+Pz2=R

En donde todos los coeficientes son diferentes de cero. Podemos escribir esta ecuación en la forma

±x2

a2±y2

b2±z2

c2=1

Llamada forma canónica de una cuádrica con centro. De la cual se deduce que cada cuádrica con centro tiene tres planos de simetría llamados planos principales, tres ejes de simetría llamados ejes principales, y un centro de simetría, llamado centro de la superficie.

Si todos los coeficientes en la ecuación canónica son negativos, no hay lugar geométrico. Por tanto solamente quedan tres casos por considerar, según que el número de coeficientes positivos sea tres, dos o uno. Tenemos entonces los tres siguientes tipos de superficies.

CILINDRO:

Es la grafica de la ecuación:

x2

a2+ y2

b2=¿1 o x2

a2+ z

2

c2=¿1 o y2

b2+ z2

c2=¿1

Donde a, b, c son números reales positivos. Si a=b, en la primera ecuación, el grafico de

x2

a2+ y2

b2=¿1 se llama cilindro circular, y si a≠b, el grafico se llama cilindro elíptico.

Para hacer el grafico de x2

a2+ y2

b2=¿1, se toma z=k y sus curvas de nivel son las graficas de

x2

a2+ y2

b2=¿1 en z=k, que son elipses para todo k, luego para hacer su grafico en cada plano

z=k, grafique la elipse x2

a2+ y2

b2=¿1. En forma análoga se torna y=k para graficar

x2

a2+ z

2

c2=¿1 y x=k para graficar

y2

b2+ z2

c2=¿1.

Ejemplo de Cilindro:

x2+2 y2=1

I x :Y=Z=0→X=1

I y : X=Z=0→Y=√1/2

I z :X=Y=0→Noexiste

T xy :Z=0→X2+2Y 2=1

T xz :Y=0→x=1

T yz :X=0→Y 2=1/2

Syz : X=−X→X2+2Y 2=1

Sxz :Y=−Y →X2+2Y 2=1

Sxy :Z=−Z→X2+2Y 2=1

ST yz: X=K→2Y 2=1−K2

ST xz :Y=K→X2=1−2K2

ST XY :Z=K→X2+2Y 2=1

CONO ELIPTICO:

La ecuación es del tipo:

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2=0

El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Entonces:

1. x2

a2+ y2

b2= z2

c2 ; 2. y

2

b2+ z2

c2= x2

a2 ; 3. x

2

a2+ z

2

c2= y2

b2

Con a>0, b>0, c>0

Las trazas en los planos coordenados paralelos a ese eje son rectas que se cortan. Por lo tanto para ecuación 1. :

Traza PlanoElipse Paralelo al plano xyHipérbola Paralelo al plano xzHipérbola Paralelo al plano yz

Ejemplo de Cono:

1. X2 + y2 = z2:

I x :Y=Z=0→X=0

I y : X=Z=0→Y=0 (0, 0,0)

I z :X=Y=0→Z=0

T xy :Z=0→X2+Y 2=0

T xz :Y=0→X2=Z2

T yz :X=0→Y 2=Z2

Syz : X=−X→X2+Y 2=Z2

Sxz :Y=−Y →X2+Y 2=Z2 Existe simetría.

Sxy :Z=−Z→X2+Y 2=Z2

ST yz: X=K→Y 2=Z2−K2

ST xz :Y=K→X2=Z2−K2

ST XY :Z=K→X2+Y 2=K2 Circunferencia si K=0.

La Esfera:

La ecuación canónica de la esfera es de la forma:

(x-h)2+ (y-k)2+ (z-l)2=r2, con r2>0

Donde su centro es (h, k, l) y su radio es r.

Ejemplo: discutir la ecuación (x-3)2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9 y realizar su grafica

I x :Y=Z=0 x=5 , x=1

I y : X=Z=0Noexiste la∈tercepción

I z :X=Y=0Noexiste la∈tercepción

T xy :Z=0(x−3)2+( y−2)2=9 representaunacircunferencia

T xz :Y=0(x−3)2+( z+1)2=9 representaunacircunferencia

T yz :X=0( y−2)2+(z+1)2=9 representauna circunferencia

Syz : X=−X (−x−3)2+( y−2)2+(z+1)2=9 No existe simetría

Sxz :Y=−Y (x−3)2+(− y−2)2+(z+1)2=9 No existe simetría

Sxy :Z=−Z (x−3)2+( y−2)2+(−z+1)2=9 No existe simetría

ST yz: X=K (k−3)2+( y−2)2+(z+1)2=9 Circunferencia si 0<k<6

ST xz :Y=K (x−3)2+(k−2)2+(z+1)2=9 Circunferencia si -1<k<5

ST xy :Z=K ( x−3)2+( y−2)2+(k+1)2=9 Circunferencia si -4<k<2

El Elipsoide:

La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:

X2

a2+ Y

2

b2+ Z2

c2=1

Sus trazas son elipses. El elipsoide es simétrico respecto a cada plano coordenado, entonces igualando a cero cada variable, obtenemos las ecuaciones de las trazas del elipsoide, que son:

x2

a2+ y2

b2=1

x2

a2+ z

2

c2=1

y2

b2+ z2

c2=1

Plano XY: z=0 plano XZ: y=0 plano YZ: x=0

Ejemplo: discutir la ecuación x2

4+ y2

9+ z

2

1=1

I x :Y=Z=0 x=−2 , x=2

I y : X=Z=0 y=−3 , y=3

I z :X=Y=0 z=−1 , z=1

T xy :Z=0 x2

4+ y2

9=1 representaunaelipse

T xz :Y=0 x2

4+ z2

1=1representauna elipse

T yz :X=0 y2

9+ z

2

1=1 representaunaelipse

Syz : X=−X ¿¿ Existe simetría

Sxz :Y=−Yx2

4+¿¿ Existe simetría

Sxy :Z=−Zx2

4+ y2

9+¿¿ Existe simetría

ST yz: X=Kk2

4+ y2

9+ z2

1=1 Elipse si k=0

ST xz :Y=Kx2

4+ k

2

9+ z2

1=1 Elipse si k=0

ST xy :Z=Kx2

4+ y2

9+ k

2

1=1 Elipse si k=0

Hiperboloide de una hoja:

Es una superficie representada por una ecuación de la forma:

x2

a2+ y2

b2− z2

c2=1

. Las otras dos formas canónicas son

x2

a2− y2

b2+ z2

c2=1

y − x2

a2+ y2

b2+ z2

c2=1

Dibujar el lugar geométrico de la ecuación:

x2

a2+ y2

b2− z2

c2=1

Solución: Sabemos que el lugar geométrico de esta ecuación es un hiperboloide de una hoja y que las intersecciones con el eje X son x=±a, con el eje Y son y=±b, y con el eje Z son imaginarias. Empleamos ahora el método de las trazas.

(1)Obtenemos las trazas en cada uno de los planos coordenados haciendo x=0, y=0 y z=0. Entonces:

Y la hipérbola en el plano YZ tiene un eje transverso igual a 2b, la hipérbola en el plano XZ tiene un eje transverso igual a 2a, y la elipse en el plano XY tiene el eje mayor igual a 2a y el eje menor igual a 2b.

Dos de sus secciones son hiperbólicas y una es una elipse. Entonces, en este hiperboloide, las secciones paralelas a las trazas sobre los planos XZ y YZ son hipérbolas y las trazas paralelas a, y sobre el plano XY, son elipses. La superficie es simétrica respecto a cada plano coordenado. Las intersecciones sobre los ejes X y Y son ±a y ±b y no hay intersección con el eje Z. la superficie forma una sola pieza (u hoja) pero no esta acotada.

Para x=0

y2

b2− z2

c2=1

Hipérbola

Para y=0

x2

a2− z2

c2=1

Hipérbola

Para z=0

x2

a2+ y2

b2=1

Elipse

(2)Sea el plano z=k secante a la superficie y paralelo al plano XY.

x2

a2+ y2

b2− z2

c2=1+ k

2

c2 O

x2

(a2/c2 )(c2+k 2)+ y2

(b2 /c2)( c2+k2 )=1

lo cual indica que toda sección paralela al plano XY es una elipse.

Ejemplo: Identificar la grafica

x2

1+ y2

4− z2

9=1

Paso 1:

Intersección eje X: y=z=0 x2=1 x=±1; puntos: (1,0,0) y (-1,0,0)

Intersección eje Y: x=z=0 y2=4 y=±2; puntos (0,2,0) y (0,-2,0)

Intersección eje Z: x=y=0 z2=-9 (no existe intersección)

Paso 2:

Traza plano XY: z=0

x2

1+ y2

4=1

(es una elipse con eje focal en Y)

Traza plano XZ: y=0

x2

1− z2

9=1

(x+ z

3 )(x− z3 )=1 (son dos rectas)

Traza plano YZ: x=0

y2

4− z2

9=1

( y2 + z

3 )( y2− z3 )=1 (son dos rectas)

Paso 3:

Simetría plano XY: z=-z

x2

1+ y2

4−

(−z )2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano XY)

Simetría plano XZ: y=-y

x2

1+(− y )2

4− z2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano XZ)

Simetría plano YZ: x=-x

(−x )2

1+ y2

4− z2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano YZ)

Simetría plano X: y=-y & z=-z

x2

1+(− y )2

4−

(−z )2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano X)

Simetría plano Y: x=-x & z=-z

(−x )2

1+ y2

4−

(−z )2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano Y)

Simetría plano Z: x=-x & y=-y

(−x )2

1+(− y )2

4− z2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría en el plano X)

Simetría con el origen: x=-x & y=-y & z=-z

(−x )2

1+(− y )2

4−

(−z )2

9=1

x2

1+ y2

4− z2

9=1

(si existe simetría con el origen)

Paso 4:

Sección transversal en el plano XY: z=k=Cte.

x2

1+ y2

4− k 2

9=1

x2

1+ y2

4=1+ k

2

9

x2

( k2+99 )+ y2

( 4k2+99 )

=1

(Representa una elipse)

Sección transversal en el plano XZ: y=k=Cte.

x2

1+ k

2

4− z2

9=1

x2

1− z2

9=1− k2

4

x2

( 4−k2

4 )− z2

( 94−k 2

4 )=1

(Representa una hipérbola)

Sección transversal en el plano YZ: x=k=Cte.

k2

1+ y2

4− z2

9=1

y2

4− z2

9=1− k2

1

y2

( 41−k2 )

− z2

( 91−k2 )

=1

(Representa una hipérbola)

Paso 5:

Extensión en x: x ϵ |R

Extensión en y: y ϵ |R

Extensión en z: z ϵ |R

Paso 6:

Hiperboloide de dos hojas:

El hiperboloide de dos hojas es una superficie representada por una ecuación de la forma:

x2

a2− y2

b2− z2

c2=1

Este hiperboloide de dos hojas (dos porque su superficie está formada por dos piezas, u hojas)

Las intercepciones con el eje X con +-a. no hay intercepciones con los ejes Y y Z.

Las trazas sobre los planos XY y XZ son, respectivamente, las hipérbolas

x2

a2− y2

b2− z2

c2=1 , Z=0 y x

2

a2− y2

b2− z2

c2=1 , y=0 . No hay trazas sobre el eje YZ.

La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y al origen. El eje de este hiperboloide es el X, su centro está en el origen y los puntos

(±a ,0,0) son sus vértices.

Nota: el término positivo de la ecuación indica cual es el eje que sirve como eje del hiperboloide de dos hojas.

Ejemplo:

x2

1− y2

4− z2

9=1

I x :Y=Z=0 X2=1

I y : X=Z=0Noexiste la∈tercepción

I z :X=Y=0Noexiste la∈tercepción

T xy :Z=0 x2

1− y2

4=1

T xz :Y=0 x2

1− z2

9=1

T yz :X=0Norepresenta ninguna gráfica

Syz : X=−Xx2

1− y2

4− z2

9=1 Existe simetría

Sxz :Y=−Yx2

1− y2

4− z2

9=1 Existe simetría

Sxy :Z=−Zx2

1− y2

4− z2

9=1 Existe simetría

ST yz: X=K− y2

4− z2

9=1− k2

1 Elipse si x>√2

ST xz :Y=Kx2

1− z2

9=1+ k

2

4 Hipérbola si K=0

ST xy :Z=Kx2

1− y2

4=1+ k2

9 Hipérbola si K=0

Paraboloide elíptico

Es una superficie representada por una ecuación de la forma:

x2

a2+ y2

b2=cz

. Las otras dos formas canónicas son

x2

a2+ y2

b2=cy

,

x2

a2+ y2

b2=cx

Ejemplo: Identificar la superficie x2+ y2=4 z

Paso 1:

Intersección eje X: y=z=0 x2=0 x=0

En este paraboloide, la traza sobre el plano XY, obtenida haciendo z=0, es el origen. Si a, b y c son constantes positivas, la superficie (exceptuando el origen) esta por encima del plano XY. Un plano paralelo al plano XY, que corte la superficie, forma una sección elíptica que aumenta de tamaño a medida que el plano se aleja del origen.

Intersección eje Y: x=z=0 y2=0 y=0

Intersección eje Z: x=y=0 4z=0 z=0

Punto (0,0,0)

Paso 2:

Traza plano XY: z=0 x2+y2=0 x=0 & y=0, punto (0,0,0)

Traza plano XZ: y=0 x2=4z (parábola con eje focal en z)

Traza plano YZ: x=0 y2=4z (parábola con eje focal en z)

Paso 3:

Simetría plano XY: z=-z x2+y2=4(-z) x2+y2=-4z (no existe simetría en el plano XY)

Simetría plano XZ: y=-y x2+ (-y)2=4z x2+y2=4z (si existe simetría en el plano XZ)

Simetría plano YZ: x=-x (-x)2+y2=4z x2+y2=4z (si existe simetría en el plano YZ)

Simetría plano X: y=-y & z=-z x2+ (-y)2=4(-z) x2+y2=-4z (no existe simetría en el plano X)

Simetría plano Y: x=-x & z=-z (-x)2+ y2=4(-z) x2+y2=-4z (no existe simetría en el plano Y)

Simetría plano Z: x=-x & y=-y (-x)2+ (-y)2=4z x2+y2=4z (si existe simetría en el plano Z)

Simetría con el origen: x=-x & y=-y & z=-z (-x)2+ (-y)2=4(-z) x2+y2=-4z (no existe simetría con el origen)

Paso 4:

Sección transversal en el plano XY: z=k=Cte.

x2+y2=4k

x2

4 k+ y2

4 k=1

(representa una elipse o un punto para k≥0)

Sección transversal en el plano XZ: y=k=Cte.

x2+k2=4z x2=4 (z− k2

4 ) (representa una parábola con eje paralelo al eje Z)

Sección transversal en el plano YZ: x=k=Cte.

k2+y2=4z y2=4 (z− k2

4 ) (representa una parábola con eje paralelo al eje Z)

Paso 5:

Extensión en x: x ϵ |R

Extensión en y: y ϵ |R

Extensión en z: z ϵ [0,+∞)

Paso 6:

Paraboloide hiperbólico:

La ecuación es del tipo x2

a2− y2

b2=cz Su representación grafica tiene forma e una silla

de montar. La traza sobre el plano XY es una hipérbola (con cualquier plano horizontal), mientras que la intersección con los otros dos planos son parábolas (con cualquier plano vertical), que difieren en concavidad. Para una mejor idea véase la siguiente figura.

En este paraboloide hiperbólico, la superficie es simétrica respecto a los planos YZ y XZ. La traza sobre el plano XY, donde z=0, está dada por el par de ecuaciones simultaneas.

x2

a2− y2

b2=0 Ó ( xa + y

b )( xa− yb )=0

En consecuencia, la traza sobre el plano XY está compuesta por en par de rectas que se intersecan en el origen. La sección con un plano paralelo al plano XY puede ser representada por la ecuación.

x2

a2− y2

b2=c z0

Esta es la ecuación de la hipérbola cuyo eje transverso es paralelo al eje Y cuando Z0 es positiva y paralelo al eje X cuando Z0 es negativa. Las secciones paralelas a los planos XZ y YZ son parábolas. La superficie completa de este paraboloide hiperbólico tiene la forma de una silla de montar, donde el punto de silla se encuentra en el origen.

Ejemplo:

x2

32− y2

42=10 z

I x :Y=Z=0 X=0

I y : X=Z=0Y=0

I z :X=Y=0 Z=0

T xy :Z=0 x2

32− y2

42=0

T xz :Y=0 x2

32=10 z

T yz :X=0− y2

42=10 z

Syz : X=−X Existe simetría

Sxz :Y=−Y Existe simetría

Sxy :Z=−Z No Existe simetría

ST yz: X=Kk2

32− y2

42=10 z

ST xz :Y=Kx2

32− k 2

42=10 z

ST xy :Z=Kx2

32− y2

42=10k