Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Ecuación de primer grado Se dice que una ecuación es de primer

grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

con a diferente de cero. Su solución es la más sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer grado Dada la ecuación:

1- Transposición: Primero, se agrupan los monomios que poseen la

variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificación: El siguiente paso es convertir la ecuación

en otra equivalente más simple y corta. Realizamos la simplificación del primer

miembro: Y simplificamos el segundo miembro:

La ecuación simplificada será:

3- Despejar: Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable

quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número)

en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está multiplicando

(Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).

Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).

Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

Ecuaciones de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado

tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 Este tipo de ecuaciones son las más

sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

Pasamos -16 al segundo miembro

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

La ecuación ya está resuelta Nota: si -c/a es un número real negativo, las

raíces de la ecuación son imaginarias y pertenecerán al campo de los números complejos.

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 Tengamos:

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

Si tenemos la ecuación cuadrática:

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3

Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.

Método II También podemos resolver ecuaciones

cuadráticas del siguiente modo: Si hallamos dos números que sumados

resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:

es equivalente a:

siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.

En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.

luego, la igualdad: es equivalente a:

Demostración Partiendo de la igualdad: operando, obtenemos: Luego, para a = 1, resulta:

m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.