ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuacin de segundo grado es una ecuacin que puede reducirse a la forma general

con

Ejemplos: ;

Las soluciones de la ecuacin son los valores de x que al sustituirlos verifican la igualdad

Ejemplo: en la ecuacin

el valor no es solucin porque

el valor si es solucin porque

Ejercicios:

1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los coeficientes a b y ca)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

(Soluciones: a) b) c) d)

e) f) g) h) i)

2. Decir en cada ecuacin si los valores que se proponen son solucin o no de la ecuacin

a) ;

b) ;

c) ;

(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )

3. En la ecuacin , una solucin es 3. Cunto vale c? (Sol: )

4. En la ecuacin , una solucin es 5 Cunto vale b? (Sol: )

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Si en la ecuacin alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuacin incompleta y se pueden resolver directamente:

a) si entonces la ecuacin queda y la solucin es

b) si entonces la ecuacin queda ; ejemplo ; ; ;

c) si entonces la ecuacin queda ; Ejemplo se saca factor comn x; ; primer factor cero

segundo factor cero ; ; ;

Ejercicios:

5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

(Sol: a) b) c) d) e) f) g) h)

i) j) k) l) m) n)

RESOLUCIN DE LA ECUACIN COMPLETALa ecuacin de segundo grado se dice que est completa cuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la frmula:

El valor del radicando de permite saber el nmero de soluciones sin necesidad de hallarlas. se llama discriminante.

si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)

si D es cero, tiene una solucin (solucin doble)

si D es negativo, no tiene soluciones

Ejemplo: en esta ecuacin y aplicando la frmula

6. Calculando el discriminante, indicar el nmero de soluciones de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

(Sol: a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 f)2 g)0 h)1 i)0 j)2 k)2 l)0 )

7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

(Sol: a) 3,5 b) c) d)no tiene e) f) g) h) i) j) k) l)

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

(Sol: a) b) 0 c)11 d) e) f) g) h) i) no tiene)

EJERCICIOS DE MATEMTICAS 2 E.S.O.ECUACIONES

1.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incgnita:

EMBED Equation.3 2.- Calcular un nmero sabiendo que el doble y el triple de dicho nmero suman 60.

3.- Si a un nmero le restas 12 se reduce a su tercera parte. Calcularlo.llo4.- Calcular un nmero cuya tercera parte, sumada con su quinta parte nos de 64.

5.- La suma de tres nmeros consecutivos es 48. Calcularlos.

6.- Calcular un nmero cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.

7.- Si al dinero que tengo ahora le aadiera su cuarta parte adems 5 euros, tendra 60 euros. Calcular el dinero que tengo.

8.- La suma del doble de la edad de Luis mas 4 aos es igual a 32. Calcular la edad de Luis.,

9.- Una madre tiene 40 aos y su hijo 10. Calcular cuantos aos deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple de la del hijo.

10.- Andrea tiene 16 aos, su hermano Paco 14, y su padre 40 aos. Calcular cuntos aos han de pasar para que la edad del padre sea la suma de las edades de los hijos.

11.- Un hijo tiene 24 aos menos que su padre y ste tiene cinco veces la edad del hijo. Calcular la edad que tiene cada uno.

12.- Un hijo tiene 25 aos menos que su padre. Dentro de diez aos, la edad del padre ser el doble que la del hijo. Calcular la edad de cada uno.

14.- Ana tiene el triple de la edad de Mara. Dentro de 5 aos Ana solo tendr el doble de la edad de Mara. Calcular las edades de cada una.

15.- Juan tiene hoy 13 aos menos que Manuel. Dentro de 4 aos, Juan tendr el triple de la edad de Manuel. Calcular las edades de Juan y Manuel.

16.- Calcular las dimensiones de un rectngulo sabiendo que su base es cuatro veces su altura y que su permetro es 120 metros.

17.- En un almacn hay dos veces ms microondas que televisores y cinco veces ms lavadoras que microondas. Si en total hay 169 electrodomsticos, hallar cuntos hay de cada clase.

18.- En una granja hay pollos, ovejas y cerdos. El nmero de pollos es doble que el de ovejas y el de cerdos es el triple de la suma de los pollos y ovejas ms 80. Calcular el nmero de animales de cada clase si el nmero total es 1148.

19.- Una abuela reparte 10 euros entre sus tres nietos, de manera que el mediano recibe 1 euro ms que el pequeo, y el mayor 2 euros ms que el mediano. Calcular cunto recibe cada nieto.

20.- En un bosque del Parque Nacional de Doana hay tres veces ms pinos que alcornoques, y el doble de stos que enebros. Tambin hay 90 sabinas. En total, el bosque tiene 639 rboles y arbusto. Calcular cuntos hay de cada especie.

21.- Tres socios han de repartirse 1500000 euros. Calcular lo que le corresponde a cada uno si al primero ha de tener dos veces ms que el segundo, y ste tres veces ms que el tercero.

22.- Por un videojuego, un cmic y un helado, Andrs ha pagado 26 euros. El videojuego es cinco veces ms caro que el cmic, y ste cuesta el doble que el helado. Cul es el precio de cada artculo?

23.- Tres nios juntan su dinero y comprueban que tienen 4 euros entre los tres. Calcular cunto tena cada uno sabiendo que el primero aporta 0,25 euros ms que el segundo y ste el doble que el tercero.

24 un barril lleno de agua se saca primer la mitad del contenido y despus un quinto del resto. Si en el barril quedan 300 litro, cul es la capacidad del barril?

25.-Ana pas dos quintos de los das que estuvo de vacaciones en la montaa. Los cinco sextos de los que le quedaban los pas en el mar y los ltimos 6 das restantes, en casa preparando la vuelta al colegio. Calcular cuantos das ha estado de vacaciones Ana.

26- Un depsito est lleno de vino. Se extrae la mitad del contenido y luego la tercera parte del resto, quedando 1100 litros. Hallar la capacidad total del depsito.

27- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) x2-1=0

b) x2-4=0

c) x2-9=0

d) x2+4=0

e) 2x2-50=0

f) 3x2-12=0

g) 5x2-45=0

h) x2+1=0

i) 3x2-75=0

j) x2+16=0

k) x2+25=0

l) 5x2-80=0

m) 4x2-1=0

n) 25x2-4=0

) 9x2-16=0

o) 36x2-16=0

28.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) x2+x=0

b) x2-5x=0

c) x2+8x=0

d) x2-3x=0

e) 2x2-3x=0

f) 5x2-10x=0

g) 3x2+7x=0

h) 2x2+8x=0

i) 3x2-6x=0

j) 4x2+5x=0

k) x2+3x=0

l) 5x2-10x=0

29.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 3x2=0

b)5x2=0

c)-2x2=0

d)6x2=0

30.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 3x2-5x=0

b) 3x2-27=0

c) x2=0

d) 2x2-4x=0

e) 2x2-8=0

f) 5x2+5x=0

g) 5x2-5=0

h) x2-x=0

i) x2-1=0

j) x2-4x=0

k) x2 +1=0

l) 3x2+3=0

m) x2-4=0

n) 3x2-12x=0

) 5x2=0

o) x2+9=0

31.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado, aplicando la frmula

a) x2-2x-3=0

b) x2-2x-8=0

c) x2+9x+14=0

d) x2-6x+9=0

e) x2+4x+5=0

f) x2+8x+16=0

g) x2+x+3=0

h) 2x2-3x-5=0

i) x2+x-6=0

j) x2-x-12=0

k) x2-x-20=0

l) x2+5x-14=0

m) 2x2-3x-2=0

n) 3x2+2x-1=0

) 5x2-7x-6=0

o) 2x2+x-15=0

p) x2-2x=0

q) 3x2-3=0

r) 5x2-20=0

s) x2+4x=0

t) 2x(x-3)+1=x-2

u) (x-2)(x+3)-x+5=2x-1v) x2+5x+2=2x+12w) 2-x(x+3)+2x=2(x+1)

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

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