Magdalena, NOTAS DE CLASE

DEÁLGEBRA

SEMANA 3:

Ecuación Bicuadrada. Ecuación Recíproca. Inecuaciones de primer grado en una variable. Inecuaciones cuadráticas. Método de los puntos críticos para resolver: Inecuaciones de grado superior e Inecuaciones racionales.

CEPRE – UNICentro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional de IngenieríaCiclo 2012 - I

LA ECUACIÓN BICUADRADA

Son ecuaciones de la forma

ax4 + bx² + c = 0 , donde a, b, c IR y a 0 (1)

que es una ecuación cuadrática en x², luego usando la fórmula cuadrática y

despejando x, se obtiene

Por lo tanto sus raíces son de la forma:

m, -m, n y –n (2)

Entonces

Por lo tanto

(3)

Problema 88 del seminario 1

La ecuación bicuadrada tiene dos de sus raíces que son

las raíces de .Halle los valores de p y q

Solucion

Sean y las raíces de entonces

Entonces de acuerdo a las relaciones de

raíces y coeficientes de una ecuación bicuadrada. Elevando al cuadrado (1)

; de (4) (

si tomamos -4 salen soluciones imaginarias) entonces q=4 y p=4 Clave C

Nota : Si tomaramos p=-3 la ecuación bicuadrada tendría raíces imaginarias

Ecuación RecíprocaSi una ecuación polinómica no se altera (o tiene las mismas soluciones) al

sustituir x por se denomina ecuación recíproca.

Si la ecuación dada es (convirtiéndola a mónica previamente)

(4)

sustituyendo x por obtenemos

(5)

Como las ecuaciones (4) y (5) son las mismas; obtenemos

Del último resultado obtenemos pn = 1 y en consecuencia obtenemos dos

clases de ecuaciones recíprocas.

1.-Si pn = 1 (primera clase), entonces

p1 = pn-1, p2 = pn-2, p3 = pn-3,…

Es decir, los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son

iguales.

2.-Si pn = -1 (segunda clase),entonces

p1 = -pn-1, p2 = -pn-2, p3 = pn-3, …

Es decir, los coeficientes de los términos equidistantes son de signo opuesto

Teorema.- Si f(x) = 0 es una ecuación recíproca

1. Si f(x) = 0 es de primera clase y de grado impar tiene una raíz -1; de

manera que f(x) es divisible por x+1. Si (x) es el cociente, entonces (x) =

0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.

Ejemplo …….(*)

Vemos que -1 es raíz luego al dividir por el binomio (x+1) obtenemos

al considerar =0

dividimos entre y obtenemos

Haciendo

Finalmente que es el conjunto solución de la

ecuación propuesta (*)

2. Si f(x) = 0 es de la segunda clase y de grado impar, tiene una raíz +1; en

este caso f(x) es divisible por x-1. Si (x) es el cociente, entonces (x) = 0

es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.

Ejemplo =0

Vemos que 1 es raíz luego al dividir por el binomio (x-1) obtenemos

al considerar =0

dividimos entre y obtenemos

Haciendo

Finalmente que es el conjunto solución de la

ecuación propuesta (*)

3.-Si f(x) = 0 es de la segunda clase y de grado par, tiene una raíz +1 y una raíz

-1; en este caso f(x) es divisible por x² - 1, y como anteriormente (x)=0 es una

ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.

Ejemplo …..(*)

Vemos que 1 y -1 son raices luego al dividir por ( x² - 1) obtenemos

al considerar =0

dividimos entre y obtenemos

Haciendo

Finalmente que es el conjunto solución de la

ecuación propuesta (*)

Problema 90 del seminario 1Determine el valor de la mayor raíz de la ecuación

.

Solucion

Es de primera clase y de grado impar entonces -1 es raíz, luego al dividir por el

binomio (x+1) obtenemos

al considerar =0

dividimos entre y obtenemos

Haciendo

Finalmente que es el conjunto solución

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Es una expresión de la forma

; a, b , cuya solución depende del valor de a

1°) Si a>0 , el CS=

2°) Si a<0 ,el CS

Inecuaciones Cuadráticas

Dada la expresión cuadrática

ax² + bx + c (a > 0)

su discriminante = b² - 4ac, puede ser: positivo, cero o negativo.

1. Caso I: Si > 0 ax² + bx + c = a(x – r1)(x – r2), raíces reales

(a)

(b)

(c)

(d)

2. Caso II: = 0 ax² + bx + c = a(x-r)²

(a)

(b)

(c)

(d)

3. Caso III: < 0 ax² + bx + c =

(a) Si a>0 y <0 ax² + bx + c > 0 xIR.

(b) Si a<0 y <0 ax² + bx + c < 0 xIR.

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Una inecuación de grado superior es cualquiera de las siguientes formas

, , , ;donde P(x) es un polinomio de grado n.

En atención a las raíces de P(x) se obtiene el conjunto solución de la

inecuación .Se presentan los siguientes casos:

1°)Si todas las raíces de P(x) son reales distintos ;se ordenan

en la recta de los números reales y se aplica el criterio de los puntos críticos.

Ejemplo:

2°) Si P(x) tiene factor cuadrático irreducible en R : con a>0

P(x)= ; por ser este factor cuadrático

>0, el conjunto solución dependerá de las raíces reales

que quedan, a las que se les aplicará el criterio de los puntos críticos

Ejemplo: Resolver es equivalente a resolver

3°)Si P(x) tiene una raíz r de multiplicidad k y las otras raíces distintas

3.1) Si k es par en el criterio de los puntos críticos el signo que tenga antes r

será el mismo después de r

Ejemplo: Resolver , k par

3.2) Si k es impar se le tratará al factor como si fuera (x-r) en el criterio

de los puntos críticos.

Ejemplo: Resolver k impar ; es equivalente a

resolver

INECUACIONES RACIONALES

Una inecuación racional es cualquiera de las siguientes formas

, , , donde P(x) y Q(x) son polinomios;

(considerando que la fracción es irreductible)

Por ejemplo si nos fijamos en las dos primeras formas:

1°) Resolver equivale a resolver

Ejemplo: Resolver equivale a resolver

2°) Resolver equivale a resolver ,

Ejemplo Resolver equivale a resolver

,

Problema 78 del seminario 1

Resolver : , equivale a resolver

, equivale a resolver

, ;aplicando puntos críticos

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si a<0<b<1, resolver la inecuación .

2. Dada la inecuación , determine su conjunto solución. (¿si

fuese , Cuál es su conjunto solución?)

3. Si S= <a,b><c,d><e,> es el conjunto solución de la inecuación

hallar el valor de a + b + c + d + e.