Prof. Carlos A. Blanco

ECUACIONES

• Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de tercer y cuarto grado incompletas

Ecuaciones bicuadradas y bicúbicas

• Ecuaciones de segundo grado Completas

Incompletas

En este tema se van a tratar los siguientes contenidos:• Definiciones: igualdades, identidades, ecuaciones, incógnitas, solución,…• Reglas de equivalencia de ecuaciones.• Ecuaciones de primer grado

• Ecuaciones polinómicas• Ecuaciones racionales• Ecuaciones irracionales• Ecuaciones exponenciales• Ecuaciones logarítmicas• Problemas

ÍNDICE

Una igualdad es escribir un símbolo igual entre dos tipos de expresiones.• Una igualdad numérica es una igualdad entre dos expresiones numéricas.

• Una igualdad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Las igualdades algebraicas pueden ser:• Identidades: Igualdades que son ciertas para cualquier valor que se de a las

letras.

• Ecuaciones: Igualdades que son ciertas sólo para algunos valores que les demos a las letras

A estos valores los llamamos soluciones, hallar dichos valores es resolver la ecuación.En la ecuación del ejemplo, la solución es porque la igualdad es cierta sólo para ese valor, siendo falsa para el resto de valores.

IGUALDADES: IDENTIDADES Y ECUACIONES

a) Evaluamos la igualdad en , ,…Si que es falso.Luego la igualdad no es cierta para . Se trata entonces de una ecuación.

b) Evaluamos la igualdad en , ,…Si que es cierto.Si que es cierto.La igualdad tendrá al menos dos soluciones, siendo de grado 1. Es identidad.

c) Evaluamos la igualdad en , ,…Si que es cierto.Si que es cierto.Si que es cierto.La igualdad tendrá al menos tres soluciones, siendo de grado 2. Es identidad.

d) Evaluamos la igualdad en , ,…Si que es falso.Luego la igualdad no es cierta para . Se trata entonces de una ecuación.

a) c)

b) d)

Distingue entre identidades y ecuaciones:

IGUALDADES: IDENTIDADES Y ECUACIONES

Primer grado Segundo grado Tercer grado

Las letras que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas y el grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos.

Términos

3 𝑥−5=𝑥+7Cada uno de los sumandos en una ecuación es un término de la ecuación.

Segundo miembroPrimer miembro

3 𝑥−5=𝑥+7

En una ecuación, a la expresión que se encuentra a la izquierda del igual se la llama primer miembro y a la expresión que se encuentra a la derecha del igual se la llama segundo miembro.

ECUACIONES

Debemos entender la ecuación como una balanza en equilibrio: cada miembro es un platillo y para mantener dicho equilibrio, todo lo que se haga en un platillo, debe hacerse igual en el otro.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, ambas son ciertas para los mismos números y falsas para el resto.

son ciertas solo para Existen dos reglas básicas que permiten construir ecuaciones equivalentes a partir de una dada.• Regla de la suma: Consiste en sumar un mismo número ó expresión algebraica a

los dos miembros de una ecuación.

• Regla del producto: Consiste en multiplicar por un mismo número distinto de cero a los dos miembros de una ecuación.

ECUACIONES EQUIVALENTES (I)

Observar que de este modo, los términos que están multiplicando en un miembro, pasan dividiendo al otro miembro y viceversa… ¡y no cambian de signo!

⇒𝑥=85

15 ·

15 · 8𝑥=¿5 ·

• En segundo lugar, a partir de la regla del producto podemos despejar:

Observar que de este modo, los términos que están sumando en un miembro, pasan restando al otro miembro y viceversa.

⇒5 𝑥=8+(−2𝑥   )+(−2𝑥   ) +82 𝑥¿7 𝑥⇒7 𝑥=2𝑥+8+5+5¿2 𝑥+3−57 𝑥

Aplicaremos la regla de la suma para cambiar los términos y de lado.

7 𝑥−5=2𝑥+3

Vamos a estudiar las consecuencias de las reglas anteriores:• En primer lugar, a partir de la regla de la suma podemos trasponer términos:

ECUACIONES EQUIVALENTES (II)

Las ecuaciones se van a resolver aplicando las reglas de equivalencia anteriores, intentando obtener en cada paso una ecuación más sencilla que en el paso precedente.Sin embargo estas reglas de equivalencia deben aplicarse con cuidado, puesto que si no se hace correctamente, se pueden cometer errores graves:Teorema: Demostración: Sean y dos números reales iguales y distintos de cero.

Aplicamos la regla del producto, multiplicando ambos miembros por :

Aplicamos la regla de la suma, sumando a ambos miembros:

Simplificando

¿Dónde está el error?

ECUACIONES EQUIVALENTES (y III)

En una ecuación de primer grado como la siguiente

Seguiremos los siguientes pasos:1. Eliminaremos los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva:

2. Eliminaremos los denominadores, multiplicando todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores:

3. Eliminaremos de nuevo los paréntesis que han aparecido al simplificar:

4. Y al final resolvemos: trasponemos términos, agrupamos y despejamos.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

b)

a)

a) b)Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de segundo grado es cualquier ecuación equivalente a:

Si tenemos la ecuación de esta forma, resolveremos aplicando la fórmula:

Donde• es el opuesto del coeficiente del término de primer grado. No necesariamente

va a ser siempre negativo: si es negativo, entonces será positivo, por ejemplo• nos va a indicar que existen dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa.

Eso nos proporcionará las dos soluciones de la ecuación de segundo grado.• es el discriminante de la ecuación y su signo nos indicará el número de

soluciones reales: Si , habrá dos soluciones reales distintas. Si , habrá una solución real doble. Si , no habrá ninguna solución real.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (I)

a) Puesto que , y , se tiene la fórmula

b) Desarrollamos la ecuación:

Puesto que , y , se tiene

c) Desarrollamos la ecuación:

Puesto que , y , se tiene

a) b) c)Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (I)

En una ecuación de segundo grado de la forma:

Si y son las soluciones, entonces:

Y se cumple que:• El término de primer grado es el opuesto de la suma de las soluciones

• El término independiente es igual al producto de las soluciones

Es decir, si llamamos y

entonces la ecuación igual a Si tenemos la ecuación • La suma de las soluciones es y el producto de las soluciones es : las soluciones

son del mismo signo y negativas.Si tenemos la ecuación • La suma de las soluciones es y el producto de la soluciones es : las soluciones

son de distinto signo y suman , luego además la positiva es mayor en valor absoluto que la negativa.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (II)

Basta con despejar:

Sacamos factor común:

Basta con despejar:

En estos casos no es necesario aplicar la fórmula para resolver. En estos casos se puede hacer de una forma más rápida y eficaz:

𝑎𝑥2=0𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0𝑎𝑥2+𝑐=0

Son ecuaciones de segundo grado en las que falta alguno de los términos, es decir, ecuaciones de la forma:

ECUACIONES INCOMPLETAS

a) Puesto que no tiene término independiente podemos hacer

b) Desarrollamos la ecuación:

Puesto que no tiene término de primer grado, despejamos

y no tiene solución real

c) Desarrollamos la ecuación:

Puesto que no tiene término de primer grado, despejamos

a) b) c)Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

ECUACIONES INCOMPLETAS

Un primer tipo de ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado son ecuaciones de tercer grado incompletas de la forma

O también ecuaciones de cuarto grado incompletas de la forma

En cualquiera de los dos casos, la solución es sacar factor común:

Esta ecuación tiene una solución , además de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado.

Esta ecuación tiene una solución doble, además de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado.

ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Un segundo tipo de ecuaciones de segundo grado es una ecuación bicuadrada:

En este caso, basta con hacer un cambio de variable . Teniendo en cuenta que , se tiene que y la ecuación queda:

La solución entonces quedará:

Y deshaciendo el cambio de variable

Esta idea se puede generalizar a ecuaciones de la forma:

Resolviéndose mediante el cambio de variable , y deshaciendo el cambio de variable al final , siendo en el caso de que sea par, y en el caso de que sea impar.

ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

a) Extraemos factor común y tenemos:

b) Desarrollamos

c) Hacemos el cambio de variable y tenemos:

Y deshaciendo el cambio de variable, y , que no es real.d) Hacemos el cambio de variable y tenemos:

Y deshaciendo el cambio de variable, y

a) c)

b) d)

Resuelve las siguientes ecuaciones:

ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las soluciones son (doble) y

0−12

−6+2

+1+2

+1+2

+1 −1 −8+12

+2+1

+2+3

+60

−3+1−30

En una ecuación polinómica en general, cuando no se pueda resolver mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado, ni se pueda sacar factor común, ni se pueda hacer un cambio de variable, el último recurso que nos queda es obtener las raíces por el método de Ruffini.Por ejemplo en la ecuación

No podemos sacar factor común, no es de segundo grado y no podemos hacer un cambio de variable. Entonces:

ECUACIONES POLINÓMICAS

Las soluciones son, (doble) y

0−2

+1−2

0−2

−2+1

+1+1

+1+1

+1 0 −3+2

+1+1

+1+2

+20

b) Comenzamos sacando factor común:

Las soluciones son, y

0+4

+1+4

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24

+3+1

+3−4−120

a) Factorizamos el polinomio:

a) b)Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

ECUACIONES POLINÓMICAS

Una ecuación racional es una ecuación del tipo:

Resolvemos eliminando denominadores, y lo haremos igual que en el caso de ecuaciones de primer grado con denominadores numéricos: multiplicar todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. El problema es que ahora los denominadores son polinomios:

Las dos soluciones son válidas puesto que no anulan los denominadores

ECUACIONES RACIONALES

a) Como , multiplicamos:

La solución es válida porque no anula los denominadores.b) Como , multiplicamos:

Las dos soluciones son válidas porque no anulan los denominadores.

a) b)Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

ECUACIONES RACIONALES

Una ecuación irracional es aquella en la que aparece al menos una raíz cuadrada. Para resolverla, es necesario eliminar la raíz cuadrada. Aplicaremos que:

El reciproco no es cierto, es decir si Esto quiere decir que después de eliminar las raíces y resolver, comprobaremos las soluciones.1. En primer lugar aislaremos la raíz en un miembro:

2. En segundo lugar elevamos los dos miembros al cuadrado:

3. Resolvemos la ecuación resultante:

4. Comprobamos las soluciones en la ecuación de partida:Si , entonces cierto. Es solución.Si , entonces cierto. Es solución

ECUACIONES IRRACIONALES

a) Eliminamos la raíz:

Tras comprobar las soluciones, solo es solución de la ecuación.b) Eliminamos las raíces una por una:

Tras comprobar las soluciones, solo es solución de la ecuación.

a) b)Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que alguna incógnita está como exponente de alguna constante. Resolveremos de diferentes maneras :1. En muchas situaciones intentaremos aplicar propiedades de potencias para

obtener una igualdad de potencias de la misma base. En ese caso:

2. En otras ocasiones se buscará un cambio de variable de la forma . En este caso no hay que olvidar deshacer el cambio de variable al terminar.

3. Finalmente, si ninguna de las técnicas anteriores nos sirve, podemos extraer logaritmos en ambos miembros.

Ejemplos:a) Si tenemos b) Si tenemos hacemos y tenemos

c) Si tenemos , tomamos logaritmos y tenemos

ECUACIONES EXPONENCIALES

a) Aplicamos propiedades de potencias

b) Aplicamos el cambio de variable

c) Tomamos logaritmos

d) Aplicamos el cambio de variable (observar que )

a) c)

b) d)

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

ECUACIONES EXPONENCIALES

En una ecuación logarítmica habrá expresiones logarítmicas. Para resolverlas, se aplicarán propiedades de los logaritmos para obtener

Después de resolver, habrá que comprobar que si toma alguno de los valores de las soluciones obtenidas , las expresiones logarítmicas tienen sentido en los números reales.

La única solución es ya que en la ecuación de partida la solución no tiene sentido en los números reales puesto que quedaría

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

a) Aplicamos propiedades de logaritmos

De las dos soluciones solo es válida b) Aplicamos propiedades de logaritmos

Observamos que tenemos ahora una ecuación exponencial. Hacemos el cambio de variable y tenemos

Las dos soluciones de son válidas.

a) b)Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Para resolver un problema con ecuaciones debemos:• Leer atentamente el problema y fijarnos en qué datos nos da el problema y qué

datos nos pide.• Fijar qué es lo que va a significar la incógnita del problema. Si es posible, esto

último lo escribiremos con una frase completa:Por ejemplo, escribir x es el número de kilos de patatas a 0,40€ el kilo• A continuación leeremos de nuevo el problema fijándonos en las relaciones de

lo que hemos llamado x con el resto de los datos del problema. A partir de esta nueva lectura intentaremos plantear la ecuación.

• Resolveremos la ecuación.• El último paso será interpretar la solución, intentando responder a la pregunta

que nos hace el problema. Puesto que la pregunta está redactada en lenguaje ordinario, la respuesta la daremos también en lenguaje ordinario, no en lenguaje matemático.

PROBLEMAS DE ECUACIONES

Los tipos de problemas que resolveremos son:

• Problemas de números

• Problemas de edades

• Problemas de mezclas

• Problemas de móviles

• Problemas en los que intervenga alguna figura geométrica así como alguna de sus características: perímetro, área,…

• Problemas de interés compuesto

En principio estos problemas intentaremos resolverlos con una sola incógnita.

PROBLEMAS DE ECUACIONES

Halla un número tal que su tercera parte, más su cuarta parte, más su quinta parte, más su sexta parte sea 6 unidades menos que dicho número.En primer lugar, la incógnita va a ser el número buscado, es decir:• x es el número buscado• La tercera parte del número será entonces • La cuarta parte del número será entonces • La quinta parte del número será entonces • La sexta parte del número será entonces • 6 Unidades menos que dicho número será La ecuación es entonces:

Y la solución es El número buscado es el 120

PROBLEMAS DE NÚMEROS (I)

De un barril extraemos la mitad del contenido y a continuación la tercera parte del resto, quedando 200 litros en el barril. ¿Qué capacidad tiene dicho barril?En primer lugar, la incógnita va a ser la capacidad del barril, es decir:• El barril tiene x litros de capacidad• La mitad del contenido es entonces • Si sacamos del barril, dentro quedarán • La tercera parte del resto será entonces Puesto que quedarán entonces 200 litros aún en su interior, la ecuación es entonces:

Y la solución es La capacidad del barril es de 600 litros

PROBLEMAS DE NÚMEROS (II)

Observamos que así ya tenemos planteada la incógnita. Puesto que mi edad era el triple hace 10 años, multiplicamos por 3 la edad de mi hermano hace 10 años para obtener mi edad hace 10 años. La ecuación es:

Cuya solución es y por tanto mi edad es Mi hermano tiene 17 años y yo tengo 31 años.

Edades Hoy Edades hace 10 años

Yo

Mi hermano

Tengo 14 años más que mi hermano, y hace 10 años tenía exactamente el triple de su edad. ¿Cuáles son nuestras edades actuales?La manera de plantear este problema es escribir los datos en una tabla y observar que hace 10 años, tanto yo como mi hermano teníamos 10 años menos:

PROBLEMAS DE EDADES

Debemos mezclar 150 kilos de patatas a 0,40€/Kg para obtener la mezcla deseada.

La ecuación es:

Cuya solución es

Kilos Precio total

Patatas a 0,40€/Kg

Patatas a 0,20€/Kg

Patatas a 0,35€/Kg

¿Cuántos kilos de patatas a 0,40€ el kilo debemos mezclar con 50 kilos de patatas a 0,20€ el kilo para obtener patatas a 0,35€ el kilo?x es el número de kilos de patatas a 0,40€ el kiloObservamos que el precio total antes de la mezcla debe ser igual al precio total después de mezclar:

PROBLEMAS DE MEZCLAS

Se encuentran a 270 km de A y tardan 3 h en encontrarse

La ecuación es:

Cuya solución es y por tanto el tiempo serán

Móvil A Velocidad Espacio Tiempo

Móvil B Velocidad Espacio Tiempo

Dos ciudades A y B están separadas 570 km. Sale de A una moto a 90 km/h y simultáneamente de B un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A?x será ahora la distancia de A a la que se encuentran.Observamos que el tiempo que tarden debe ser el mismo para ambos, y plantearemos la ecuación igualando los tiempos (usamos la fórmula )

PROBLEMAS DE MÓVILES

Los lados miden 3, 4 y 5 unidades respectivamente.

La ecuación, aplicando el teorema de Pitágoras, es:

Que es una ecuación de segundo grado. Resolvemos.

Puesto que x es un lado, debe ser positivo, por tanto la solución valida es , y el resto de los lados son y

𝑥+2

𝑥+1𝑥 será ahora el lado más pequeño, con los cual

los otros lados serán y . Este último será la hipotenusa, por ser el mayor.

Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son números naturales consecutivos. Halla las medidas de dichos lados.Cuando en el problema haya alguna referencia a figuras geométricas es conveniente hacer un dibujo:

PROBLEMAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Halla los años que tienen que pasar para que un capital que está al 4,73% de interés compuesto anual se duplique.En este tipo de problemas se usa la fórmula del interés compuesto, y es una de las aplicaciones de las ecuaciones exponenciales.

Si el capital se duplica, es que y como lo que pregunta es el tiempo, esa será la incógnita del problema. De este modo se tiene la ecuación:

Esta es una ecuación exponencial, que resolvemos tomando logaritmos:

Deben pasar aproximadamente 15 años

PROBLEMAS DE INTERÉS COMPUESTO